工业区位选择及工业区位因素
(2012年高考上海卷)上海宝钢为实施“走出去”战略，将在韩国京畿道投资新建钢材加工配送中心，提供汽车板材仓储、剪切、配送等服务。回答下列2小题。
1．宝钢实施“走出去”战略的主要目的是
A．保护环境B．扩大市场C．降低运费D．输出技术
2．为提高在国际钢铁市场上的竞争力，宝钢可以采取的措施有
①降低钢铁生产能耗②建立境外铁矿石基地③加大产品研发投入④提高进口燃料比重
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
[2014大纲卷] 美国M公司在我国投资建设某电子产品生产厂，零部件依靠进口，产品全部销往美国，产品的价格构成如图所示。据此完成3～5题。
3．M公司的电子产品生产厂可以在全球选址，主要是因为( )
A．产品和零部件的运输成本相对较低 B．产品技术要求高，需要多国合作
C．异国生产可以提高产品的附加值 D．能降低原材料成本，扩大国际市场
4．M公司将电子产品生产厂由美国转移至中国，主要原因是中国( )
A．市场广阔B．劳动力价格低 C．交通运输方便D．原材料丰富
5．我国进一步发展电子信息产业，下列措施最有利的是( )
A．扩大电子信息产品生产环节的国际引进 B．提高电子信息产品生产环节的利益比重
C．加大电子信息产品高附加值环节的投入 D．限制电子信息产品生产环节的国际引进
下图示意的A、B两地区是世界重要的酿酒葡萄主产区。据此完成6～7题。
6．A地区较B地区发展酿酒葡萄生产的优势条件是( )
①全年热量丰富②气候干燥，光照充足，昼夜温差大③种植技术先进
④劳动力价格低
A．①② B．②③ C．①④D．②④
7．关于A地区的葡萄品质更加优良的自然原因，说法正确的是( )
①A地区受地形的影响，冬季温度低，夏季温度高，气温年较差大、日较差大②A地区受地理位置和冬季风的影响，病虫害少③B地区
受西风和副热带高气压带的影响，气温年较差大、日较差大④B地区受西风和地形的影响，气温年较差小、日较差小 A．①② B．②③ C．①④D．②④
比较费用即一个区域某一生产要素相对于另一区域的该要素比值。读甲、乙、丙、丁四地三种生产要素相对另一个参照区域的比较费用
表，回答第8题。
8.某集团公司对四地进行考察后，决定在乙地兴办一企业，该企业最有可能是( )
A．造纸工业 B．钢铁工业 C．制糖工业 D．电子工业
（2015?新课标全国2）1996年我国与M国签订海洋渔业发展合作规划，至2010
年我国有20多家沿海渔业企业（总部设在国内）在M国从事渔业捕捞和渔业
产品加工，产品除满足M国需求外，还远销其他国家，下图示意M国的位置。
把此完成下列问题。
9、中资企业在M国从事渔业捕捞和渔业产品加工的主要目的是（）
A、满足我国需求
B、拓展国际市场
C、提高技术水平
D、增加当地就业
10、如考虑运输成本，在下列国家中，M国中资企业的产品首先应销往（）
A.美国
B.日本
C.澳大利亚
D.法国
（2015?上海卷地理）“互联网+商业”即电商，作为一种新业态，对传统的第
三产业产生了多方面影响。
11、若干年前，某国际著名出版社利用互联网开办网上书店，消费者订购图书
后，通过第三方支付平台付款即可。在网上书店购书不但方便，而且更加便宜。
但网上书店也对某些企业产生不良影响，这些企业包括（）
①实体书店②实体银行③电信公司④航空公司
A、①②
B、②③
C、③④
D、①④
12、网上购书之所以便宜，部分原因是某些传统的商业区位要素对网上书店影响变得很小。影响变小的要素主要是（）
①交通②人口③集聚④地价
A、①②
B、②③
C、③④
D、①④
（20 15?安徽卷）企业总部是企业决策和控制中心。下表表示2001年1月至2012年4月我国上市企业总部在四大区域间的迁移情况。完成下列问题。
13.2001年1月至2012年4月，我国上市企业总部在四
大区域间的迁移表现为（）
A、东部地区上市企业总部主要向东北地区迁移
B、东部地区是上市企业总部迁移的主要目的地
C、中部地区上市企业总部的净迁出量最大
D、西部地区上市企业总部主要迁往中部
14. 下列因素中，影响我国企业总部布局的主要是（）
①原料②交通③劳动力④信息⑤政策
A、①②④
B、①③⑤
C、②④⑤
D、③④⑤
（2015?福建卷）一个国家中某种商品出口的比较优势程度用R值表示，R值越大表示该商品出口的优势越强。表1为2005-2012年中国、
东南亚Y国出口商品比较优势前六位的R值。读表完成下列问题。
15.中国，Y国商品出口的共同特点是（）
A.工业品比较优势强
B. 工业品所占比重小
C. 农产品比较优势弱
D. 农产品出口总量大
16.决定Y国鞋子、服装出口优势的生产要素是（）
A.科技
B.资金
C.劳动力
D.原材料
2015?海南卷地理）电解铝业是高耗能、高污染产业。近年来，我国新建电解铝产能主要分布在西北地区。有人认为，我国电解铝业西移大势所趋。下图示意铝工业主要部门及其在我国的主要分布省区（2010年前）。据此完成以下问题。
17．西北地区大规模发展电解铝业依赖的优势条件是（）
A．廉价而充足的电力 B.良好的生态环境C．充足的原料供应 D.良好的工业基础
18．电解铝业由东、中部转移到西北地区，会导致（）
A.能耗降低
B.产品价格提高
C.污染排放减少
D.运输成本增加
19. 西北地区电解铝厂选址应远离（）
A.交通线
B.输电线
C.绿洲
D.荒漠
二．综合题
1．[2014新课标I卷] 阅读图文资料，完成下列要求。
沙特阿拉伯人口主要集中在沿海和内陆绿洲地区。21世纪初，该国甲地发现便于开采、
储量丰富的优质磷酸盐矿(位置见图7)。初期开采的矿石送往乙地加工，2013年，该国
在甲地附近筹建磷酸盐工业城，使其成为集开采、加工为一体的国际磷酸盐工业中心。
(1)分析沙特阿拉伯建设国际磷酸盐工业中心的优势条件。
(2)分析在甲地附近建设磷酸盐工业城需要克服的不利地理条件。
(3)在甲地或乙地加工磷酸盐矿石，都会造成污染。有观点认为“与乙地相比，甲地加工磷酸盐矿石造成的污染危害较轻”。你是否赞同这种观点？请通过对甲、乙两地的对比分析，阐述理由。
2．[2014山东卷]卷阅读材料，回答问题。
材料一20世纪90年代以来，中国逐步成为世界主要汽车企业投资的热点地区。现今，中国已超过美国，成为世界最大的汽车生产国。材料二吉林省是我国汽车工业大省。近年来，该省汽车工业规模不断扩大，部分配套零部件生产由长春市向周边地区转移，带动了周边地区汽车零部件生产企业的快速发展，形成了以长春市为核心的汽车工业“整零协作”模式。图8为长春市及其周边地区汽车工业空间体系图。图8
(1)指出与美国相比，中国汽车工业发展的区位优势。
(2)试分析汽车工业“整零协作”模式对长春市周边零部件生产地区的积极作用。
3．[2014四川卷]图7中M、N海域均是世界优良渔场。读图回答下列问题。
(1)洋流对渔场的分布有显著影响。请在答题卡图中表示洋流的两条线划上添绘箭头（暖流用，
寒流用），以表明洋流的性质和流向。（4分）
(2)从大气环流对天气的影响分析，比较M、N两渔场捕捞作业的天气条件。
(3)指出渔产品加工业所属导向型工业的类型，并分析在M海域沿岸国家发展该工业的区位优势。
4．[2014天津卷]结合图文材料，回答问题。
山城重庆工业历史悠久，是大型综合性工业中心和西南地区综合交通枢纽。2014年作为“长江经济带”的重要增长极，纳入国家经济发展战略。目前，重庆已把新能源汽车、电子信息等作为现代制造业的发展重点。
(1)重庆采取“削山头、造平地”等方式利用土地。这对城市建设有何好处？请列
举两项。
(2)从图文材料中找出两条相关信息，分别对应说明重庆发展现代制造业的有利社会经济条件。
三峡水库面临着泥沙淤积、水污染等环境问题。
(3)为了解决三峡水库的环境问题，重庆工、农业内部结构应如何调整？并说明调整产生的具体作用。请填表回答。
5．[2014重庆卷]阅读图文材料并结合所学知识，完成下列要求。
材料一移民城市洛杉矶通过三次产业结构调整，成为美国的“科技之都”和全球性经济中心，其电影产业也久负盛名。图5是洛杉矶主
导产业演进示意图。图5
(1)读图5，填出A、B表示的经济发展主导驱动因素。
(2)从人口数量和素质分析外来移民对洛杉矶高科技产业发展的积极影响。
材料二洛杉矶及周边地区晴天较多，海滩、沙漠等多样的景观为电影拍摄提供了良好的自然条件。图6是该地区盛行风作用下形成的某一新月形沙丘局部图，图7是沙丘所在地风频图。
图6
图7
(3)从洋流和大气环流分析该地区晴天较多的原因。
(4)结合图7，判断图6中箭头所指方向并说明理由。
6．[2014重庆卷]阅读图文材料并结合所学知识，完成下列要求。
咖啡是世界主要饮品之一。世界某咖啡连锁企业的原料实行全球
化采购，我国云南的小粒种咖啡也是其原料之一，小粒种咖啡树
适宜生长在海拔800～1800米、年均温19～20℃、土壤排水良好
等环境中。图8是某城区用地示意图，图9是云南某区域示意图。
(1)该企业原料全球化采购提高了产品市场竞争力，分析其原因。
(2)该企业拟将图8中，A、B两处作为咖啡店的备选地，请分别说出A、B处的两点区位优势。(要求：两处回答的区位优势不重复，每处回答超过两点的按前两点计分)
(3)分析图9所示区域地形起伏、地势高低及变化对咖啡树生长的有利影响。
8．[2014山东卷]阅读材料，回答问题。
材料一20世纪90年代以来，中国逐步成为世界主要汽车企业投资的热点地区。现今，中国已超过美国，成为世界最大的汽车生产国。材料二吉林省是我国汽车工业大省。近年来，该省汽车工业规模不断扩大，部分配套零部件生产由长春市向周边地区转移，带动了周边地区汽车零部件生产企业的快速发展，形成了以长春市为核心的汽车工业“整零协作”模式。图8为长春市及其周边地区汽车工业空间体系图。
(1)指出与美国相比，中国汽车工业发展的区位优势。
(2)试分析汽车工业“整零协作”模式对长春市周边零部件生产地区的积极作用。
9．[山东省济南市2014届高三上学期期末质量调研考试地理.] 图X255为上海宝山钢铁公司分布示意图，该公司最近从海南石碌购进一
批优质铁矿石。读图完成下列问题。图X255
(1)上海市没有铁矿，能源也十分匮乏，却在此布局大型钢铁厂，分析其区位优势。
(2)从图中可看出，宝山钢铁公司根据产品之间的相关性将各工厂集聚在一起。分析这种工业活动空间集聚的原因。
(3)写出石碌铁矿石畅销的原因。
(4)写出在一般情况下钢铁厂生产过程中产生的废弃物，并提出减少污染物排放的措施。
（2015?北京卷）41.（18分）世界博览会通过展示科学技术发展，预示世界发展方向。1962年世博会在美国西雅图举行。随着产业的不断升级，人类生活发生着巨大变化，下图是西雅图主导产业变化过程示意图。
（1）归纳西雅图产业转型过程中主导区位因素的变化。（8分）
。
37．(1)沙特阿拉伯(靠近亚洲、非洲、欧洲市场)濒临海洋，产品运输方便；磷酸盐矿品位高，储量大，易开采；油气资源丰富，能源成本低；资金雄厚。
(2)高温干燥，淡水资源短缺，施工环境差；地处偏远地区，人口稀少，劳动力缺乏；地区开发历史短，工业与基础设施薄弱。
(3)赞同：甲地人口少，未利用土地多，能容纳更多污染物；乙地人口多，经济活动密集，对污染更敏感；位于港口，容易污染海洋；等等。
反对：甲地生态环境更脆弱(水资源短缺，植被稀少，易沙漠化)；乙地环境保护设施较完备，污染物处理技术较成熟。
[解析] 第(1)题，结合工业区位，主要从原料、市场、交通、资金等方面分析。沙特阿拉伯是重要的产油国，石油资源丰富，故工业发展能源成本较低，石油大量出口而资金雄厚。图中显示沙特阿拉伯三面环海，位于三大洲交界地带，地理位置优越，交通便利，接近海外市场。材料显示该国发现便于开采、储量丰富的优质磷酸盐矿，故原料丰富，开采方便。第(2)题，沙特阿拉伯位于热带沙漠气候区，气候干旱、淡水资源短缺、多沙漠，昼夜温差大，自然环境较差。图示信息显示，该工业中心位于沙漠地区，人口与聚落稀少，表明劳动力少，基础设施差，开发历史较短。第(3)题，该题属于开放性试题，需要先阐明观点。从环境污染的角度对比分析两地发展条件的差异，可以从污染物的处理能力、生态环境脆弱程度及污染对社会经济产生的危害强度进行综合评价。手。
37．(1)市场需求量大(市场潜力大)；生产成本低(劳动力成本低，土地成本低)。
(2)有利于企业实现专业化生产分工协作，调整产业结构(提高工业化水平)；当地企业规模扩大、数量增多，促进了当地的经济发展(扩大了当地经济规模)；增加了就业机会(推动了城市化进程)。
[解析] 第(1)题，我国汽车工业与美国相比其发展的优势可从消费市场、生产成本等角度回答。第(2)题，汽车“整零协作”模式对长春市周边零部件生产地区的积极作用可从分工协作、工业化水平、经济规模以及城市化水平等方面回答。
14．(1)在图中北纬45°以北的线上添绘“ ”，箭头指向东北；在北纬45°以南的线上添绘“ ”，箭头指向西南。
(2)冬半年M渔场和N渔场都盛行西风，阴雨天气多，海面风浪大；夏半年N渔场仍盛行西风，而M渔场受副热带高压影响，多晴朗高温天气，海面风浪小。
(3)原料导向型；临M海域世界优良渔场，渔业资源丰富；属发展中国家，劳动力充裕(或工资水平低)；邻近欧洲，渔业加工产品消费市场广阔；西濒大西洋，海运交通方便。
[解析] 第(1)题，本题主要考查世界洋流的分布规律。由图及世界洋流分布规律可知，N附近洋流位于欧洲西海岸，为北大西洋暖流，其流向应由低纬向高纬流即自南向北流；M附近洋流位于北部非洲西海岸，为加那利寒流，应由高纬向低纬流即自北向南流。第(2)题，本题主要考查大气环流对天气的影响。由图中信息可知，N附近渔场位于中纬西风带，终年受西风影响，风浪大，阴雨天气多；M附近渔场冬季受西风带控制，风浪大，阴雨天气多，而夏季受副热带高气压带控制，风浪小，多晴朗天气。第(3)题，本题主要考查工业类型及工业区位。渔产品加工业的原料易腐烂变质，应及时加工，故属于原料导向型工业。工业的区位优势要从原料、交通、市场、科技、劳动力及政策等方面加以分析。
14.(1)提高城市土地利用率，方便城内地域联系，便于城市基础设施建设，减少地质灾害。(答出其中两项即可)
(2)①信息：是大型综合性工业中心。
条件：工业部门齐全，技术力量强。
②信息：工业历史悠久(原来就有机械、汽车、电子电器等制造业)。
条件：工业基础雄厚。
③信息：是“长江经济带”的增长极，纳入国家经济发展战略。
条件：国家政策支持。
④信息：是西南地区的综合交通枢纽。
条件：地域间联系便捷，市场广阔。
(答出①②③④中两项即可)
(3)①扩大林业比重(降低种植业比重)。
②减少水土流失。
③减少农药、化肥对水体的污染。
④降低高污染工业比重(扩大低能耗、低污染工业比重)。
⑤减少污染物的排放。
[解析] 第(1)题，重庆是典型的山城，采取“削山头、造平地”的土地利用方式，使得地表变得平坦，有利于提高城市土地利用率，方便城内地域联系，便于城市基础设施建设，减少地质灾害。第(2)题，从材料中可以看出，重庆是大型综合性工业中心、西南地区的综合性交通枢纽、“长江经济带”的增长极，纳入国家经济发展战略，根据这些信息回答。第(3)题，三峡水库面临泥沙淤积，水污染等环境问题。解决这些问题主要是针对泥沙淤积、水污染采取相关措施，如农业要扩大林业比重，以减少水土流失，从而减少泥沙淤积，降低种植业比重可以减少农药、化肥对水体的污染；工业生产要降低高污染工业比重，从而可减少污染物的排放，减轻水污染程度。
13．(1)A：资源；B：知识(技术)。
(2)提供了更多的劳动力资源，有利于扩大产业规模，提供了高素质人才，有利于促进技术创新。
(3)沿岸有加利福尼亚寒流经过，近地面降温，大气稳定。夏季受副热带高压控制，气流下沉，天气晴朗。
(4)方向：南(偏南)；理由：盛行风向为西风(偏西风)，沙丘缓坡为迎风坡(沙丘两翼顺着风向延伸)，缓坡坡向为西(偏西)。
[解析] 第(1)题，19世纪发现矿产，能源化工产业随之发展，因此能源化工工业发展的主导因素是资源；而高科技产业发展的主导因素是知识与技术。第(2)题，注意题干要求从“人口数量”和“人口素质”两方面回答。从“人口数量”角度来说，外来移民为高科技产业提供充足的劳动力资源；从“人口素质”角度来说，外来移民为高科技产业提供更高的技术支持。第(3)题，洛杉矶晴天较多的原因从洋流方面分析主要侧重寒流的降温减湿作用，从大气环流方面分析主要考虑副热带高压的影响。第(4)题，根据风频玫瑰图可知，当地主要盛行西风(偏西风)，然后结合沙丘坡缓的一侧为迎风坡即可得出图中箭头指示的风向。
14．(1)降低产品成本低，保证产品品质，增加产品品种。
(2)A处：变通便利，人流量大，消费能力强。B处：租金便宜，环境优美，变通便利。
(3)地形起伏大，土壤排水良好；地势总体较高(海拔较高)，满足咖啡树生长的温度(海拔)要求；地势北高南低(北部山地高)，阻挡寒冷气流南下，使咖啡树少受低温冻害。
[解析] 第(1)题，该企业全球采购生产咖啡的原料，可最大限度地接近原料产地，降低产品生产成本，同时保证产品品质；由于不同地区咖啡生产原料的差异，因此又可增加产品的品种。第(2)题，属于开放性题目，就其中一处展开合理论述即可。若选择A处，可从交通、
市场以及经济等方面回答；若选择B处，可从土地租金、环境以及交通等方面回答。第(3)题，注意题干要求，从地形起伏和地势高低两方面回答，其中地形起伏可结合土壤、排水方面回答；地势高低可结合气温以及地势对冷空气的阻挡作用等方面
37．(1)沙特阿拉伯(靠近亚洲、非洲、欧洲市场)濒临海洋，产品运输方便；磷酸盐矿品位高，储量大，易开采；油气资源丰富，能源成本低；资金雄厚。
(2)高温干燥，淡水资源短缺，施工环境差；地处偏远地区，人口稀少，劳动力缺乏；地区开发历史短，工业与基础设施薄弱。
(3)赞同：甲地人口少，未利用土地多，能容纳更多污染物；乙地人口多，经济活动密集，对污染更敏感；位于港口，容易污染海洋；等等。
反对：甲地生态环境更脆弱(水资源短缺，植被稀少，易沙漠化)；乙地环境保护设施较完备，污染物处理技术较成熟。
[解析] 第(1)题，结合工业区位，主要从原料、市场、交通、资金等方面分析。沙特阿拉伯是重要的产油国，石油资源丰富，故工业发展能源成本较低，石油大量出口而资金雄厚。图中显示沙特阿拉伯三面环海，位于三大洲交界地带，地理位置优越，交通便利，接近海外市场。材料显示该国发现便于开采、储量丰富的优质磷酸盐矿，故原料丰富，开采方便。第(2)题，沙特阿拉伯位于热带沙漠气候区，气候干旱、淡水资源短缺、多沙漠，昼夜温差大，自然环境较差。图示信息显示，该工业中心位于沙漠地区，人口与聚落稀少，表明劳动力少，基础设施差，开发历史较短。第(3)题，该题属于开放性试题，需要先阐明观点。从环境污染的角度对比分析两地发展条件的差异，可以从污染物的处理能力、生态环境脆弱程度及污染对社会经济产生的危害强度进行综合评价。
37．(1)市场需求量大(市场潜力大)；生产成本低(劳动力成本低，土地成本低)。
(2)有利于企业实现专业化生产分工协作，调整产业结构(提高工业化水平)；当地企业规模扩大、数量增多，促进了当地的经济发展(扩大了当地经济规模)；增加了就业机会(推动了城市化进程)。
[解析] 第(1)题，我国汽车工业与美国相比其发展的优势可从消费市场、生产成本等角度回答。第(2)题，汽车“整零协作”模式对长春市周边零部件生产地区的积极作用可从分工协作、工业化水平、经济规模以及城市化水平等方面回答。
12．(1)市场广阔；海运便利，廉价；科技水平高；水资源丰富；工业基础雄厚，工业历史悠久。
(2)共用基础设施，降低能耗和交通费用，加强信息交流和协作，降低生产成本，形成规模效益。
(3)石碌铁矿石品位高，海运便利。
(4)废水、废气和废渣。节能降耗，清洁生产，综合利用。
[解析] 第(1)题，从市场、交通、技术、水源和工业基础等方面进行分析。第(2)题，通过工业集聚可以充分加强工业之间的空间、生产和信息联系，降低生产成本，提高经济效益。第(3)题，结合石碌铁矿石品质说明。第(4)题，钢铁厂生产过程中主要产生废水、废气和废渣等污染物；要结合节能降耗，最大限度地降低污染物排放，并加强对废弃物的回收和综合利用，实现化害为利，变废为宝。
【答案】
（1）从资源、劳动力密集型向资金密集型转移，再向知识和技术密集型转型。
44、1999年：石油生产主要分布于东北，其他地区相对较少（1分）；北方多，南方少；陆上石油生产占主导地位，海洋石油生产相对较少（1分）。
2009年：东北、西北石油生产平分秋色（1分）；北方多，南方少，陆上石油生产占主导地位的格局保持不变（1分）
45、由图可见东北的石油生产量逐步下降（1分），进口量明显增加（1分），这反映该地区油田开发强度大，储量有所减少，需要进口部分石油弥补储量不足带来的产能下降。这表明我国部分地区油田确已进入中晚期。
46、关系：2009年我国石油进口量明显大于国内生产量（2分）；
差异：华东、华南石油进口量明显大于其他地区（1分）；
原因：华东、华南石油生产量远远满足不了本地区经济发展的需要，必须依靠进口弥补缺口（1分）。
【解析】
试题分析：
44、从时空分布来看我国石油生产，主要是对在图示时间内，石油生产的变化及地区间的差异。1999年：石油生产主要分布在东北，气体地区相对较少；北方多，南方少；陆上石油生产占主导地位，海洋石油生产相对较少。2009年：东北、西北石油生产平分秋色；北方多，南方少，陆上石油生产占主导地位的格局保持不变。
45、油田资源进入中晚期，石油产量将逐渐下降，该区域石油进口量增加。图中符合这一特征的地区为东北地区。由图可见东北的石油生产量逐步下降，进口量明显增加，这反映该地区油田开发强度大，储量有所减少，需要进口部分石油来弥补储量不足所带来的产能下降。这表明我国部分地区油田确已进入中晚期。
46、通过各地石油生产量相加得到的数据和各地石油进口量相加得到的数据，两数据进行对比可知2009奶牛我国石油进口量明显大于国内生产量。华东、华南石油进口量明显大于其他地区。这与华东、华南石油生产量小，两区交警发达，石油消费量大，必须依靠进口弥补缺口有关。
考点：石油生产的时空分布与空间差异。
【名师点睛】该题以我国不同地区石油进出口量变化为材料，考查我国石油生产的时空分布与空间差异，难度不大，关键是读懂图中信息，注意两幅图对照分析。
高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值
2015-2017高考立体几何题汇编 2017(三)16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最小值为60°； 其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号） 2017(三)19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值． 2017(二)4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 2017(二)10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=?，2AB =， 11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 A B C D
2017(二)19．（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ， o 1 ,90,2 AB BC AD BAD ABC == ∠=∠= E 是PD 的中点． （1）证明：直线CE ∥平面PAB ； （2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值． 2017(一)7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 2017(一)18．（12分） 如图，在四棱锥P?ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=. （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A ?PB ?C 的余弦值. 2017(天津)（17）（本小题满分13分） 如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=?.点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2. （Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值； （Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为 ，求线段AH 的 2016(二)（19）（本小题满分12分） 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB =5，AC =6，点E ,F 分别在AD ,CD 上，AE =CF =，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△ 的位置， .
新课标卷近三年高考题 1、（2016年全国I 高考）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=o ，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60o ． （I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值． 【解析】 ⑴ ∵ABEF 为正方形 ∴AF EF ⊥ ∵90AFD ∠=? ∴AF DF ⊥ ∵=DF EF F I ∴AF ⊥面EFDC AF ⊥面ABEF ∴平面ABEF ⊥平面EFDC ⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=? ∵AB EF ∥ AB ?平面EFDC EF ?平面EFDC ∴AB ∥平面ABCD AB ?平面ABCD ∵面ABCD I 面EFDC CD = ∴AB CD ∥,∴CD EF ∥ ∴四边形EFDC 为等腰梯形 以E 为原点，如图建立坐标系，设FD a = ()020EB a =u u u r ，，，322a BC a ?? =- ? ???u u u r ，，，()200AB a =-u u u r ，， 设面BEC 法向量为()m x y z =u r ，，. 00m EB m BC ??=? ??=??u r u u u r u r u u u r ，即1111203 202a y a x ay z ?=????-?=?? 设面ABC 法向量为()222n x y z =r ，， =00n BC n AB ?????=??r u u u r r u u u r .即2222 320220a x ay ax ?-=???=? 222034x y z ===，
立体几何高考题 1.在空间，下列命题正确的是 （A ）平行直线的平行投影重合（B ）平行于同一直线的两个平面平行 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行（D ）垂直于同一平面的两条直线平行 2.正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 （A ） （B （C ）2 3 （D 3．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ） A ．9π B ．10π C ．11πD ．12π 4.已知正四棱锥S ABCD - 中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 （A ）1 （B （C ）2 （D ）3 5．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ． 13 B ． 3 C ． 3 D ． 23 6.与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点 （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个 7.已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 3 (B)3 (C) 3 8.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则 1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ c ） A ． 13 B C D ． 23 9.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图
1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，() 1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0, 0,{ n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0, m 0, { PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 -
1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ⊥⊥（Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .
2014高考理科立体几何大题练习
1.如图1，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ?沿DE 折起到1 A DE ?的位置，使1A D CD ⊥，如图2． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面1A DC ； （Ⅱ）若2CD =，求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值； （Ⅲ） 当D 点在何处时，1 A B 的长度最小，并求出最小值． 2.如图，四棱锥ABCD P -中，底面 ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ， E 为棱PD 的中点． （Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ； （Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值． A B C D E 图图 A B C D E
E C 1 B 1A 1C B A 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=?，1 2,AB AC AA ===E 是BC 中点. （I ）求证：1//A B 平面1 AEC ； （II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11 B M C E ⊥，求AM 的长； （Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.
E D A B C P 5.如图，在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=AB=2， 3BC =，90=∠ABC °,平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点. （Ⅰ）求证：DE‖平面PBC ; （Ⅱ）求证：AB ⊥PE ； （Ⅲ）求二面角A-PB-E 的大小. 6.．如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面
1、（2016—6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是 3 28π ，则它的表面积是 （A ）π20 （B ）π18 （C ）π17 （D ）π28 2、（2016—11）平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，// α平面11D CB ，I α平面m ABCD =，I α平面n A ABB =11，则m ，n 所成角的正弦值为 （A ）3 3 （B ） 2 2 （C ） 2 3 （D ） 3 1 3、（2015—6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体 积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 4、（2015—11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为π2016+，则=r （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 正视图 2r r r 2r
5、（2014—12）如图，网格纸上小正方形的边长为1， 粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（） （A ） （B ）（C）6（D）4 6、（2013—6 ）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高cm 8，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为cm 6，如果不计容器的厚度，则球的体积为（） A.3 3 500 cm π B.3 3 866 cm π C.3 3 1372 cm π D.3 3 2048 cm π 7、（2013—8）某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为（） A. 168π + B. 88π + C. 1616π + D. 816π + 俯视图 侧视图
近几年高考理科立体几何大题汇编 1.（2018年III卷）如图，边长为2的正方形 ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是 CD上异于C，D的点． （1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）当三棱锥M ABC 体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． 2、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四棱锥P-ABCD中，底 面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中 点． (1)证明：PB∥平面AEC； (2)设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝ 3，求三棱锥E-ACD的体积．
3.（2017?新课标Ⅰ卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°． (1)证明：平面PAB⊥平面PAD； (2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值． 4.（菱形建系）[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图
三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C. (1)证明：AC＝AB1； (2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值．
5.（菱形建系）【2015高考新课标1】如图，四边形ABCD为菱形，∠ ABC=120°， E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面 AFC； （Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值. AD BC的中点，以6.（翻折）(2018年I卷)如图，四边形ABCD为正方形，,E F分别为, DF为折痕把DFC ⊥. △折起，使点C到达点P的位置，且PF BF （1）证明：平面PEF⊥平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
（一） 1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥 O ABCD -的体积为 。 3.如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。 （一） 1.D 2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直
角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，() 1,3,0C -，()0,0,1P 。 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0,0,{ n AB n PB ?=?=u u u r u u u r 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0,m 0,{ PB BC ?=?=u u u r u u u r 可取m=（0，-1，3-） 27 cos ,27 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 - （二） 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 3 C 2 3 D 6 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?u u u v u u u v 的最 小值为
新课标卷高考真题 1、（2016年全国I 高考）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=o ，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60o ． （I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值． 2、（2016年全国II 高考）如图，菱形ABCD 的对 角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，5 4 AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ?沿EF 折到'D EF ?位置，10OD '=． （Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值． 3【2015高考新课标1，理18】 如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面 ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 4、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-3，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． (1)证明：PB ∥平面AEC ； (2)设二面角D -AE -C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E -ACD 的体积． 图1-3 5、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-5，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C . 图1-5 (1)证明：AC ＝AB 1； (2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，AB ＝BC ，求二面角A -A 1B 1 -C 1的余弦值． 6、（2017?新课标Ⅱ）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB=BC= AD ，∠BAD=∠ABC=90°，E 是PD 的中点． （Ⅰ）证明：直线CE ∥平面PAB ；
一， [2017·山东济南调研]如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5. (1)求证：AA 1⊥平面ABC ； (2)求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值； (3)在线段BC 1上是否存在点D ，使得AD ⊥A 1B ？若存在，试求出BD BC 1 的值． (1)[证明] 在正方形AA 1C 1C 中，A 1A ⊥AC . 又平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ， 且平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，AA 1?平面AA 1C 1C . ∴AA 1⊥平面ABC . (2)[解] 由(1)知，AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ， 由题意知，在△ABC 中，AC ＝4，AB ＝3，BC ＝5， ∴BC 2 ＝AC 2 ＋AB 2 ，∴AB ⊥AC . ∴以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A －xyz . A 1(0,0,4)， B (0,3,0)， C 1(4,0,4)，B 1(0,3,4)， 于是A 1C 1→＝(4,0,0)，A 1B →＝(0,3，－4)， B 1 C 1→ ＝(4，－3,0)，BB 1→ ＝(0,0,4)． 设平面A 1BC 1的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，
平面B 1BC 1的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)． ∴????? A 1C 1 →·n 1 ＝0，A 1 B →·n 1 ＝0 ????? ? 4x 1＝0，3y 1－4z 1＝0， ∴取向量n 1＝(0,4,3)． 由????? B 1 C 1 → ·n 2 ＝0，BB 1→·n 2 ＝0 ?? ?? ?? 4x 2－3y 2＝0， 4z 2＝0， ∴取向量n 2＝(3,4,0)． ∴cos θ＝ n 1·n 2|n 1||n 2|＝165×5＝16 25 . 由题图可判断二面角A 1－BC 1－B 1为锐角， 故二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为16 25 . (3)[解] 假设存在点D (x ，y ，z )是线段BC 1上一点，使AD ⊥A 1B ，且BD → ＝λBC 1→ ， ∴(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)， 解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ， ∴AD → ＝(4λ，3－3λ，4λ)． 又AD ⊥A 1B ，∴0＋3(3－3λ)－16λ＝0， 解得λ＝9 25， ∵9 25 ∈[0,1]， ∴在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ， 此时 BD BC 1＝925 . 二， 如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π 2 ，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.
高中数学立体几何专题训练 1、（2017?山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线 为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP 的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小． 2、（2017?浙江）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB； （Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值． 3、（2017?江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°．（Ⅰ）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．
4、（2017?北京卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD， 点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD= ，AB=4．(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B﹣PD﹣A的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 5、（2017?新课标Ⅰ卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°． (1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
6.在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的一条母线.（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC； （II）已知EF=FB=1 2 AC ==BC.求二面角F BC A --的余弦值 . 7（本小题满分12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，5 AB=，6 AC=，点E，F 分别在AD，CD上， 5 4 AE CF ==，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D EF ' 的位置OD'=（I）证明：D H'⊥平面ABCD； （II）求二面角B D A C ' --的正弦值 . 8.（15年山东理科）如图，在三棱台DEF ABC -中，2, AB DE = （Ⅰ）求证：// BD平面FGH； （Ⅱ）若CF⊥平面ABC,,,45, AB BC CF DE BAC ⊥=∠= 求平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小.
高考立体几何知识点总结 整体知识框架： 一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 （二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2 棱柱的分类 棱 柱 四棱柱 平行六面体 直平行六面 体 长方体正四棱柱正方体 性质： 棱长都相等 底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是四边形 图1-1 棱柱
Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等； 1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S =直棱柱侧（c 是底周长，h 是高） S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 （1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 （2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比； Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； 正棱锥侧面积：1 '2 S ch = 正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：1 3 V Sh =棱椎（S 为底面积，h 为高） 正四面体： 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。 对棱间的距离为 a 2 2 （正方体的边长） 正四面体的高 a 3 6 （正方体体对角线l 32=） 正四面体的体积为 3 12 2a （正方体小三棱锥正方体V V V 314=-） 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1（正方体体对角线正方体体对角线：l l 2 1 61= ） A B C D P O H
立体几何 1．【2018年浙江卷】已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S-AB-C的平面角为θ3，则 A. θ1≤θ2≤θ3 B. θ3≤θ2≤θ1 C. θ1≤θ3≤θ2 D. θ2≤θ3≤θ1 【答案】 D 从而因为，所以即，选 D. 点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面. 2．【2018年浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】 C 【解析】分析:先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果. 详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高 为2，因此几何体的体积为选C. 点睛：先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等. 3．【2018年理新课标I卷】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为
A. B. C. D. 【答案】 A 详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两 个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选 A. 点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位 置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面 积的求法，应用相关的公式求得结果.+ 4．【2018年理新课标I卷】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最 短路径的长度为 A. B. C. D. 2 【答案】 B 【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N 在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上 两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果. 详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱 底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故
20１5-２０17高考立体几何题汇编 ２０1７(三)１6.a ，ｂ为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形A ＢC 的直角边AC 所在直线与a ，ｂ都垂直,斜边ＡB 以直线 AC 为旋转轴旋转,有下列结论: ①当直线A Ｂ与a 成6０°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，A Ｂ与ｂ成60°角; ③直线ＡB 与ａ所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最小值为60°； 其中正确的是__＿__＿＿＿。(填写所有正确结论的编号) 2017(三)１9．（12分）如图,四面体ＡＢC Ｄ中,△AB Ｃ是正三角形,△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠C ＢD ，AB =ＢD . （1)证明：平面ACD ⊥平面ＡBC ; (2）过ＡC 的平面交B Ｄ于点Ｅ，若平面ＡEC 把四面体ＡBCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –A Ｅ–C 的余弦值. 20１7(二)4.如图,网格纸上小正方形的边长为１，粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．90π Ｂ．63π C ．42π D ．36π 2０1７(二)10.已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=?,2AB =, 11BC CC ==,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为
Ａ． 2 B ． 5 ? Ｃ． 5 D ． 3 ２0１7(二)19.（12分）如图，四棱锥Ｐ-AB ＣD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ＡBC Ｄ, o 1 ,90,2 AB BC AD BAD ABC == ∠=∠= Ｅ是PD 的中点. （1)证明:直线CE ∥平面P ＡB ; (2）点M 在棱P Ｃ 上，且直线B Ｍ与底面A ＢC Ｄ所成角为o 45,求二面角M AB D --的余弦值． 2017(一)７.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为２,俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 ２017（一)18.（12分) 如图，在四棱锥Ｐ?ABCD 中,ＡB//ＣD ，且90BAP CDP ∠=∠=． (１）证明：平面PAB ⊥平面PAD ;(2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=，求二面角A ?PB ?C 的余弦值. ２017(天津)(1７)（本小题满分1３分) 如图，在三棱锥Ｐ-ABC 中，ＰＡ⊥底面ABC ，90BAC ∠=?.点D ,E ，N 分别为棱PA ，ＰＣ，B Ｃ的中点,Ｍ是线段ＡＤ的中点，PA =AC ＝４,ＡＢ=2． (?）求证：MN ∥平面BDE ；(?)求二面角C -ＥＭ－N 的正弦值; （?)已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线ＢＥ所成角的余弦值为 21 ,求线段AH 的 ２0１６(二）（1９）（本小题满分1２分） 如图，菱形ＡＢCD 的对角线AC 与B Ｄ交于点O ,AB =５,AC =6，点E ,F 分别在AD ，CD 上，AE ＝ＣF =，EF 交B Ｄ于点H .将△DEF
1 近几年高考理科立体几何大题汇编 1.（2018年III 卷）如图，边长为2的正方形 所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点． （1）证明：平面平面； （2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值． 2、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． (1)证明：PB ∥平面AEC ； (2)设二面角D -AE -C 为60°，AP ＝1，AD ＝3 求三棱锥E -ACD 的体积． ABCD CD M CD C D AMD ⊥BMC M ABC MAB MCD
3.（2017?新课标Ⅰ卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°． (1)证明：平面PAB⊥平面PAD； (2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值． 4.（菱形建系） [2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C. (1)证明：AC＝AB1； (2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A -A1B1-C1的余弦值． 2
5.（菱形建系）【2015高考新课标1】如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°， E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC； （Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值. AD BC的中点，以6.（翻折）(2018年I卷)如图，四边形ABCD为正方形，,E F分别为, ⊥. DF为折痕把DFC △折起，使点C到达点P的位置，且PF BF （1）证明：平面PEF⊥平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 3
高考数学专题复习立体几何(理科)练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1．如图正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点， P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点， （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面； （2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线 2．已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β． 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系． ①求EF 和点G 的坐标； ②求异面直线EF 与AD 所成的角； ③求点C 到截面AEFG 的距离． 4. 如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小； （III ）求二面角C-PA-B 的余弦值． E 1A 1C A
5. 如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ； (2)求二面角B —AC —E 的余弦值． 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，点M 在侧棱1BB 上. （Ⅰ）若P 为AC 的中点，M 为BB 1的中点，求证BP//平面AMC 1； （Ⅱ）若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο，试求BM 的长. 7. 如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，BC ＝2． （1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （2）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值； 8. 已知：在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB = a ，AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证： （Ⅰ）求证：平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1； （Ⅱ）求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值． P A B C D E
高考理科数学《立体几何》题型归纳与训练 题型归纳】 题型一线面平行的证明 1 例1如图，高为 1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝3AB＝1.现将△AMD沿MD折起，使平面AMD ⊥平面MBCD ，连接AB，AC. 试判断：在AB 边上是否存在点P，使AD∥平面MPC ?并说明理由 1 答案】当AP＝3AB 时，有AD ∥平面MPC. 3 连接BD 交MC 于点N，连接NP . 理由如下： DN DC 1 在梯形MBCD 中，DC∥MB，NB＝MB＝2 AP 1 在△ADB 中，＝，∴AD ∥PN. PB 2 ∵AD? 平面MPC，PN? 平面MPC， ∴AD ∥平面MPC. 【解析】线面平行，可以线线平行或者面面平行推出。此类题的难点就是如何构造辅助线。构造完辅助线，证明过程只须注意规范的符号语言描述即可。本题用到的是线线平行推出面面平行。【易错点】不能正确地分析 DN 与 BN 的比例关系，导致结果错误。 【思维点拨】此类题有两大类方法：
1. 构造线线平行，然后推出线面平行。 此类方法的辅助线的构造须要学生理解线面平行的判定定理与线面平行的性质之间的矛盾转化关系。 在 此，我们需要借助倒推法进行分析。首先，此类型题目大部分为证明题，结论必定是正确的，我们以此 为前提可以得到线面平行。 再次由线面平行的性质可知， 过已知直线的平面与已知平面的交线必定平行 于该直线，而交线就是我们要找的线，从而做出辅助线。从这个角度上看我们可以看出线线平行推线面 平行的本质就是过已知直线做一个平面与已知平面相交即可。如本题中即是过 AD 做了一个平面 ADB 与平面 MPC 相交于线 PN 。最后我们只须严格使用正确的符号语言将证明过程反向写一遍即可。即先 证 AD 平行于 PN ，最后得到结论。构造交线的方法我们可总结为如下三个图形。 2. 构造面面平行，然后推出线面平行。 此类方法辅助线的构造通常比较简单，但证明过程较繁琐，一般做为备选方案。辅助线的构造理论同上。 我们只须过已知直线上任意一点做一条与已知平面平行的直线即可。可总结为下图 方法一 例 2 如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形， AB ⊥平面 BEC ，BE ⊥EC ，AB ＝BE ＝ EC 方法三 方法 方法 P
2006-2015全国高考新课标1卷理科---立体几何专题 一、基础题 1. (2006，全国卷1)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 （A ）16π （B ）20π （C ）24π （D ）32π 2. (2006，全国卷1)用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 （A ）58cm 2 （B ）106cm 2（C ）553cm 2 （D ）20cm 2 3. (2006，全国卷1)已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为62，则侧面与底面所成的二面角等于 . 4. (2007，全国卷1)如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线 A 1 B 与AD 1所成角的余弦值为 A ． 51 B ．52 C ．53 D ．5 4 5. (2007，全国卷1)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。 已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为。 6. (2008，全国卷1)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ） A ．13 B ．23 C ．33 D ．23 7. (2009，全国卷1)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）（A ）34 （B ）54 （C ）74 (D) 34 8. (2009，全国卷 1)直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=?，则此球的表面积等于。9. (2009，全国卷1)已知二面角l αβ--为60，动点P 、Q 分别在面α、 β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P 、Q 两点之间距 离的最小值为（） (A) (B)2 (C) 23 (D)4