第十一章 机械振动
一、基本要求
1．掌握简谐振动的基本特征，学会由牛顿定律建立一维简谐振动的微分方程，并判断其是否谐振动。
2. 掌握描述简谐运动的运动方程)cos(0?ω+=t A x ，理解振动位移，振幅，初位相，位相，圆频率，频率，周期的物理意义。能根据给出的初始条件求振幅和初位相。
3. 掌握旋转矢量法。
4. 理解同方向、同频率两个简谐振动的合成规律，以及合振动振幅极大和极小的条件。
二、基本内容
1. 振动 物体在某一平衡位置附近的往复运动叫做机械振动。如果物体振动的位置满足)()(T t x t x +=，则该物体的运动称为周期性运动。否则称为非周期运动。但是一切复杂的非周期性的运动，都可以分解成许多不同频率的简谐振动（周期性运动）的叠加。振动不仅限于机械运动中的振动过程，分子热运动，电磁运动，晶体中原子的运动等虽属不同运动形式，各自遵循不同的运动规律，但是就其中的振动过程讲，都具有共同的物理特征。
一个物理量，例如电量、电流、电压等围绕平衡值随时间作周期性（或准周期性）的变化，也是一种振动。
2. 简谐振动 简谐振动是一种周期性的振动过程。它可以是机械振动中的位移、速度、加速度，也可以是电流、电量、电压等其它物理量。简谐振动是最简单，最基本的周期性运动，它是组成复杂运动的基本要素，所以简谐运动的研究是本章一个重点。
（1）简谐振动表达式)cos(0?ω+=t A x 反映了作简谐振动的物体位移随时间的变化遵循余弦规律，这也是简谐振动的定义，即判断一个物体是否作简谐振动的运动学根据。但是简谐振动表达式更多地用来揭示描述一个简谐运动必须
涉及到的物理量
A 、ω、0?（或称描述简谐运动的三个参量）
，显然三个参量确定后，任一时刻作简谐振动的物体的位移、速度、加速度都可以由t 对应地得到。
)2
cos()sin(00π
?ωω?ωω+
+=+-=t A t A v
)cos()cos(0202π?ωω?ωω±+=+-=t A t A a
（2）简谐运动的动力学特征为：物体受到的力的大小总是与物体对其平衡位置的位移成正比、而方向相反，即kx F -=，它是判定一个系统的运动过程是否作简谐运动的动力学根据，只要受力分析满足动力学特征的，毫无疑问地系统的运动是简谐运动。这里应该注意，F 系指合力，它可以是弹性力或准弹性力。
（3）和简谐运动的动力学特征相一致的是简谐运动的运动学特征：作简谐
运动物体的加速度大小总是与其位移大小成正比、而方向相反，即x dt
x
d 222ω-=，
它也是物体是否作简谐运动的判据之一。只要加速度与位移大小成正比、而方向恒相反，则该物理量的变化过程就是一个简谐运动的过程。在非力学量，例如电量、电流和电压等电学量，就不易用简谐振动的动力学特征去判定，而LC
电路中的电量q 就满足q LC dt
q d 1
22-=，故电量q 的变化过程就是一个简谐振荡的过程，显然用运动学的特征来判定简谐运动更具有广泛的意义。
3. 简谐振动的振幅、周期、频率和相位
（1）振幅A 是指最大位移的绝对值。A 是由初始条件来决定的，即
2
20
2
ωv +
=x A 。
（2）周期T 是指完成一次完整的振动所用时间。ω
π
2=T ，式中ω是简谐振
动的圆频率，它是由谐振动系统的构造来决定的，即m
k
=ω,ω也称为固有圆频率。对应的T 称为固有周期。v
T 1
=，式中v 称为频率（即固有频率），它与圆频率的关系
2v ωπ=，是由系统本身决定的。
（3）相位)(0?ω+t 和初相位0?是决定简谐振动的物体t 时刻和0=t 时刻运动状态的物理量。即在A 、ω确定后，任一时刻的x 、v 、a 都是由)(0?ω+t 来确定的。一个周期内，每一时刻的相位)(0?ω+t 不同，则对应的运动状态也不相同。对不同的两个或更多的几个简谐振动，相位还用来区分它们之间“步调”的一致与否。
初相位0?决定于初始条件：即由???-==00
0sin cos ?ω?A A x v 共同决定。或由
)arctan(0
0x ω?v -
=计算，但由此式算得的0?在[]π2,0或[]ππ,-范围内有两个可能的取值，必须根据0=t 时刻的速度方向进行合理的取舍。如能配合使用旋转矢量图示法，则会使0?的确定更加简捷、方便。
4. 旋转矢量法 简谐运动的表达式)cos(0?ω+=t A x 中有三个特征量A 、
ω、0?，旋转矢量法把描述简谐运动的三个物理量更直观、更形象地表示在图示中。作匀速转动的矢量，其长度等于谐振动的振幅A ，其角速度等于谐振动的角频率ω，且0=t 时，它与X 轴正向的夹角为谐振动的初位相0?，t t =时
刻它与X 轴正向的夹角为谐振动的位相（0?ω+t ）。旋转矢量A
的末端在X 轴
上的投影点的运动代表质点的谐振动。
5. 简谐振动的能量
动能 )(sin 21
0222?ωω+=
t A m E k 势能 )(cos 2
1
022?ω+=t kA E p
机械能 221
kA E E E p k =+=
6. 同方向同频率简谐振动的合成
()1011cos ?ω+=t A x 和()2022cos ?ω+=t A x 合成后仍为简谐振动
()
021cos ?ω+=+=t A x x x
其中)cos(21020212
221??-++=
A A A A A (合振幅)
20
210120
21010cos cos sin sin ?????A A A A tg ++=
（合振动的初相）
三、习题选解
11-1 质量为g 10的小球与轻弹簧组成的系统，按)3
8cos(5.0π
π+=t x m
的规律振动（式中 x 以m 计，t 以s 计），试求：
（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度和加速度的最大值； （2）s t 1=、s 2、s 10各时刻的相位；
（3）分别画出位移、速度、加速度与时间t 的关系曲线。 解：（1）)3
8cos(5.0π
π+=t x m 与振动的标准形式cos(A x =0?ω+t )相比可
知：
圆频率 πω8=1-s 振幅 m A 5.0= 初相位 3
0π
?= 周期 ω
π
2=
T =s 25.0
最大速度 5.08max ?==πωA v 1156.12--?=?s m s m
最大加速度 5.0)8(22max ?==πωA a 2211016.3--??=?s m s m （2）相位为)3
8(π
π+
t ,将s t 1=、s 2、s 10代入相位分别为
π318、π3116、π3
180 （3）由)3
8cos(5.0π
π+
=t x m 有
)38sin(4π
ππ+==
t dt dx v 1-?s m )3
8cos(322π
ππ+-==t dt d a v 2-?s m 11-2 有一个和轻弹簧相连的小球，沿x 轴作振幅为A 的简谐振动，其表达式用余弦函数表示。若0=t 时，球的运动状态为（1）A x -=0；（2）过平衡
位置向
x 轴正向运动；（3）2A
x =
处向x 轴负方向运动；（4）2
A x =处向x 轴正方向运动；试用矢量图示法确定相应的初相的值，并写出振动表达式。
解：四种情况对应的旋转矢量 图如图所示：
（1） 初相位π?=0，振动 方程为)cos(πω+=t A x
（2） 初相位2
0π
?-=，振动
方程为)
2
cos(π
ω-=t A x （3） 初相位为3
0π?=，
振动方程为 )3
cos(π
ω+
=t A x 题11-2图
（4）初相位40π?-
=，振动方程为)4
cos(π
ω-=t A x
11-3 质点作简谐振动的曲线x-t 如图所示，求质点的振动方程式
解：t=0时， 00cos 2
?A A
x ==
所以 21cos 0=?， 3
0π
?±=，
再由0sin 0>-=?ωA 0v ， 0sin 0?< 取3
0π
?-=
t=1s 时，11cos 2
?A A
x == （注意01?ω?+=）
11
cos 2?= ， 3
1π?±=
再由0sin 1<-=?ωA 1v ， 0sin 1>? 所以 3
1π
?=
102
3
ω??π=-=
振动方程为 ()m t t A x ??? ??-=+=33
2
cos 04.0cos 0ππ?ω
11-4 两质点沿同一直线作同频率、同振幅的简谐振动，当它们每次沿相反方向互相通过时，它们的位移均为其振幅的一半，求这两个质点振动的相位差。
解：设两个质点振动方程为
)cos(11?ω+=t A x )cos(22?ω+=t A x
速度为 )sin(11
1?ωω+-==
t A dt
dx v )sin(22
2?ωω+-==
t A dt
dx v 依题意，两质点在t t '=相遇时
2
)()(21A t x t x =
'=' )cos(1?ω+'t )cos(2?ω+'=t 2
1=
1?ω+'t 2?ω+'=t 3
2π
π±
=n
此时两质点运动方向相反，这分两种情况。
（1）质点1向x 轴正向运动，质点2向x 轴负向运动，这时
3
21π
π?ω-
=+'n t 3
22π
π?ω+
=+'n t
位相差=??-+')(1?ωt 3
2)(2π?ω-
=+'t （2）质点1向x 轴负向运动，质点2向x 轴正向运动，这时
3
21π
π?ω+
=+'n t 3
22π
π?ω-
=+'n t
位相差=??-+')(1?ωt 3
2)(2π?ω=
+'t 两种情况都说明其中一个质点的运动比另处一个质点的运动超前或落后
32π。两质点在2A -处相向相遇时有同样的结论。
11-5 在一平板上放质量kg m 0.1=的物体，平板在竖直方向上下作简谐振动，周期为s T 5.0=，振幅02.0=A m ，试求： （1）在位移最大时，物体对平板的压力； （2）平板应以多大振幅作振动，才能使重物开始跳离木板。
解：（1）选择物体平衡位置为坐标原点，向
上的方向为x 轴正向。由牛顿第二定律有
ma mg N =-
当系统运动到最高位置时，加速度为负的最大值。即 2max ωA a a -=-=
此时 N A T g m A g m ma mg N 6.6)2()(22max =??
?
???-=-=-=πω
当系统运动到最低位置时 2max ωA a a ==
此时 N N A g m ma mg N 13)2.38.9(0.1)(2max =+?=+=+=ω
（2）物体跳离木板，应在最高位置时受木板的力
0)(2max =-=-=ωA g m ma mg N
m gT g
A 062.042
2
2===πω
11-6 如图所示，一质量为M 的盘子系于竖直悬挂的 轻弹簧的下端，弹簧的倔强系数为k 。现有一质量m 的物体自离盘h 高处自由落下 掉在盘中，没有反弹，以物体掉在盘上的 瞬时作为计时起点。求盘子的振动表达式。 （取物体掉在盘子后的平衡位置作为坐标原点，位移取向下为正）。
解：取物体掉在盘子里的平衡位置为坐标原点，y 轴向下建立坐标系。 这时弹簧伸长2λ为
2)(λk g M m =+
g k
M
m +=
2λ当0=t 时，弹簧伸长1λ为
1λk Mg = k
Mg
=
1λ 所以，0=t 时系统的位移为
题11-5图
题11-6图
题11-6图
k
mg
k mg k g m M y -
=-+-=--=])([
)(120λλ