)
2(选择题(5)
选择题(7)
选择题单元一 质点运动学（一）
一、选择题
1. 下列两句话是否正确：
(1) 质点作直线运动，位置矢量的方向一定不变；
【 ? 】
(2) 质点作园周运动位置矢量大小一定不变。 【 ? 】 2. 一物体在1秒内沿半径R=1m 的圆周上从A 点运动到B 点，如图所示，则物体的平均速度是： 【 A 】 (A) 大小为2m/s ，方向由A 指向B ； (B) 大小为2m/s ，方向由B 指向A ； (C) 大小为3.14m/s ，方向为A 点切线方向； (D) 大小为3.14m/s ，方向为B 点切线方向。
3. 某质点的运动方程为x=3t-5t 3
+6(SI)，则该质点作 【 D 】
(A) 匀加速直线运动，加速度沿X 轴正方向； (B) 匀加速直线运动，加速度沿X 轴负方向;
(C) 变加速直线运动，加速度沿X 轴正方向; (D)变加速直线运动，加速度沿X 轴负方向
4. 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度v=2 m/s ，瞬时加速率a=2 m/s 2
则一秒钟后质点的速度:
【 D 】
(A) 等于零
(B) 等于-2m/s (C) 等于2m/s (D) 不能确定。
5. 如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向边运动。设该人以匀速度V 0收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 【 C 】
(A)匀加速运动; (B) 匀减速运动; (C) 变加速运动;
(D) 变减速运动; (E) 匀速直线运动。
6. 一质点沿x 轴作直线运动，其v-t 曲线如图所示，如t=0时，
质点位于坐标原点，则t=4.5s 时，质点在x 轴上的位置为 【 C 】
(A) 0； (B) 5m ； (C) 2m ； (D) -2m ； (E) -5m
*7. 某物体的运动规律为
t kv dt
dv
2-=，式中的k 为大于零的常数。当t=0时，初速为v 0，则速度v 与时间t 的函数关系是 【 C 】
(A) 02v kt 21v += (B) 02v kt 2
1
v +-= (C)
2v 1kt 21v 1+=
(D)
2v 1
kt 21v 1+-=
二、填空题
(2)填空题(3)
填空题1. )t t (r )t (r ?+ 与为某质点在不同时刻的位置矢量，)t (v 和)t t (v ?+
为不同时刻的速度矢量，试在两个图中分别画出s ,r ,r ??? 和v ,v ??
。
2. 一质点从P 点出发以匀速率1cm/s 作顺时针转向的圆周运动，圆半径为1m ，如图当它走过2/3圆周时，走过的路程是
m 34π； 这段时间平均速度大小为：s /m 40033π
；方向是与X 正方向夹角3
π
α=
3. 一质点作直线运动，其坐标x 与时间t 的函数曲线如图所示，则该质点在第3秒瞬时速度为零；在第3秒至第6秒间速度与加速度同方向。
三、计算题
1. 已知一质点的运动方程为t ,r ,j )t 2(i t 2r 2
-+=分别以m 和s 为单位，求:
(1) 质点的轨迹方程，并作图；
(2) t=0s 和t=2s 时刻的位置矢量；
(3) t=0s 到t=2s 质点的位移?v ,?r ==
?
? (1)轨迹方程：08y 4x 2=-+； (2) j 2r 0
=，j 2i 4r 2
-=
(3) j 4i 4r r r 02
-=-=?，j 2i 2t
r v -==?? 2. 一质点沿x 轴作直线运动，其运动方程为x=3+5t+6t 2-t 3
(SI)，求 (1) 质点在t=0时刻的速度； (2) 加速度为零时，该质点的速度。
? 任一时刻的速度：2t 3t 125dt dx v -+==
，任一时刻的加速度：t 612dt
dv a -== s 0t =时的速度：s /m 5v =；当加速度为零：s 2t =，速度：s /m 17v =
*3. 湖中一小船，岸边有人用绳子跨过高出水面h 的滑轮拉船，如图所示。如用速度V 0收绳，计算船行至离岸边x 处时的速度和加速度。
(1)
填空题
)
3(计算题? 选取如图所示的坐标，任一时刻小船满足：
2
2
2
h x l +=，两边对时间微分 dt dx x dt dl l
=，dt dl V 0-=，dt
dx V = 02
2V x
h x V +-=
方向沿着X 轴的负方向。
方程两边对时间微分：xa V V 2
20
+=，x
V V a 220-=
32
20x
h V a -=，方向沿着X 轴的负方向。
4. 质点沿X 轴运动，其速度与时间的关系为v=4+t 2
m/s ，当t=3s 时质点位于x=9m 处，求质点的运动方程。当t=2s 时，质点的位置在哪里?
? 质点的位置满足： )dt t 4(vdt x 2+==??，C t 3
1t 4x 3++=
由初始条件：t=3s 时质点位于x=9m ，得到c=-12，12t 3
1t 4x 3
-+= 当t=2s 时，质点的位置：m 3
412388x -=-+
= *5. 质点沿X 轴运动，其加速度和位置的关系是)SI (x 62a 2+=。如质点在x=0处的速度为
1s m 10-?，求质点在任意坐标x 处的速度。
? 由速度和加速度的关系式：dt dv a =
，dx
dv
v dt dx dx dv a ==
vdv adx =，vdv dx )x 62(2=+，两边积分，并利用初始条件：0x =，10s m 10v -?=
vdv dx )x 62(v
10
2
x
??
=+，得到质点在任意坐标x 处的速度：25x x 2v 3++=
单元一 质点运动学（二）
一、 选择题
1. 一质点在平面上运动，已知质点的位置矢量为j bt i at r 2
2+= (a ，b 为常数)则质点作: 【 B 】
(A) 匀速直线运动； (B) 变速直线运动； (C) 抛物线运动；(D) 一般曲线运动。
2. 质点作曲线运动，r
表示位置矢量，S 表示路程，a t 表示切向加速度，下列表达式中， 【 D 】
(1)
a dt dV =； (2) V dt dr =； (3) V dt
ds
=； (4) t a dt V d =
。 (A) 只有(1)、(2)是对的； (B) 只有(2)、（4）是对的； (C) 只有(2)是对的； (D) 只有(3)是对的。
3. 某人骑自行车以速率v 向正西方向行驶，遇到由北向南刮的风 (风速大小也为v ) 则他感到风是从
【 C 】
(A) 东北方向吹来；(B) 东南方向吹来； (C) 西北方向吹来；(D) 西南方向吹来。
4. 在相对地面静止的坐标系内，A 、B 两船都以1
s m 2-?的速率匀速行驶，A 船沿X 轴正向，B 船沿y 轴正向，今在A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x ，y 方向单位矢量
i j ,表示)，那么从A 船看B 船它相对A 船的速度(以1
s m -?为单位)为 【 B 】
；
j 2i 2)D (,
j 2i 2)C (,j 2i 2)B (,
j 2i 2)A (
---+-+ 5. 一条河设置A ， B 两个码头，相距1 km ，甲，乙两人需要从码头A 到码头B ，再由B 返回，甲划船前去，船相对河水的速度4 km/h ；而乙沿岸步行，步行速度也为4 km/h ，如河水流速为2 km/h ，方向从A 到B 下述结论中哪个正确? 【 A 】 (A) 甲比乙晚10分钟回到A ； (B) 甲和乙同时回到A ；
(C) 甲比乙早10分钟回到A ；
(D) 甲比乙早2分钟回到A
二、填空题
1. 在x ，y 面内有一运动质点其运动方程为 )SI (j t 5sin 10i t 5cos 10r
+=，则t 时刻
其速度j t 5cos 50i t 5sin 50v
+-=；其切向加速度0a =τ；该质点运动轨迹是100y x 22=+。
2. 一质点作如图所示的抛体运动，忽略空气阻力。回答:
(A) 标量值dv dt 是否变化：变化；矢量值dt
v
d
是否变化：不变；a n 是否变化：变化
(B) 轨道最高点A 的曲率半径g )cos v (2
0A θρ=，落地点B 的曲率半径θ
ρcos g v 2
0B =。
3. 试说明质点作何种运动时，将出现下述各种情况0v ≠ (1) 0a ,0a n t ≠≠：变速曲线运动
(2) 0a ,0a n t =≠：变速直线运动， a a t n ,分别表示切向加速度和法向加速度。
4. 如图所示，小球沿固定的光滑的1/4圆弧从A 点由静止开始下滑，圆弧半径为R ，则小球在A 点处的切向加速度g a t =，小球在B 点处的法向加速度g 2a n =。
5. 在一个转动的齿轮上，一个齿尖P 做半径为R 的圆周运动，其路程S 随时间的变化规律为
02
0v ,bt 2
1t v S 其中+
=和b 都是正的常量，则t 时刻齿尖P 的速度大小为：bt v 0+，加速度大小为：2
4
02
R
)bt v (b a ++=。 6. 一物体在某瞬时，以初速度
v 0从某点开始运动，在?t 时间内，经一长度为S 的曲线路径后，又回到出发点，此时速度为-
v 0，则在这段时间内:
)
2(填空题)
4(填空题
)
9(填空题 (1) 物体的平均速率是t S
?； (2) 物体的平均加速度是t
v 20? -。
7. 一质点沿半径为R 的圆周运动，路程随时间的变化规律为),SI (ct 2
1bt S 2
-
=式中b ，c 为大于零的常数，且2
1
c R c b ??
? ??>。
(1) 质点运动的切向加速度：c a -=τ；法向加速度：R
)ct b (a 2
n -=；
(2) 质点经过c
R
c b t ±
=
时，n t a a =。 8. 质点沿半径R 作圆周运动，运动方程为)SI (t 232
+=θ，则t 时刻质点法向加速度大小
2n Rt 16a =，角加速度4=β，切向加速度大小R 4a =τ。
9. 楔形物体A 的斜面倾角为α，可沿水平方向运动，在斜面上物体B 沿斜面以 v t 相对斜面下滑时，物体A 的速度为
v ，如图，在固接于地面坐标oxy 中，B 的速度是
矢量式 j )sin v (i )v cos v (v t t B
αα-+-=地
分量式 v cos v v t x -=α，αsin v v t y -=
三、计算题
1. 如图，一质点作半径R=1m 的圆周运动， t=0时质点位于A 点，然后顺时针方向运动，运动方程)SI (t t s 2
ππ+=求： (1) 质点绕行一周所经历的路程、位移、平均速度和平均速率；(2) 质点在1秒末的速度和加速度的大小。
(1) 质点绕行一周所需时间：R 2t t 2πππ=+，s 1t =
质点绕行一周所经历的路程：)m (2R 2s ππ==
位移：0r =
?；平均速度：0t
r v ==?? 平均速率：s /m 2t
s
v π?==
(2) 质点在任一时刻的速度大小：ππ+==
t 2dt
ds
v 加速度大小：2222
2n )dt
dv ()R v (a a a +=+=τ 质点在1秒末速度的大小： )s /m (3v π=
加速度的大小：2
22)2()9(a ππ+=
，)s /m (96.88a 2
=
)
1(
计算题)
2(计算题
2. 如图，飞机绕半径r=1km 的圆弧在竖直平面内飞行，飞行路程服从)m (t 50)t (s 3+=的规律，飞机飞过最低点A 时的速率1A s m 192v -?=，求飞机飞过最低点A 时的切向加速度a t ，法向加速度n a 和总加速度
a 。
? 飞机的速率：dt ds v =，2
t 3v =，加速度：ττ?a n ?a a n += ， t 6dt
dv a ,r t 9v a 42n ====τρ
飞机飞过最低点A 时的速率：1A s m 192v -?=，s 8t =
224n s /m 00.48t 6a ,s /m 86.36r
t 9a ====τ，加速度：n 86.3648a
+=τ
*3. 有架飞机从A 处向东飞到B 处，然后又向西飞回到A 处。已知气流相对于地面的速率为u ， AB 之间的距离为l ，飞机相对于空气的速率v 保持不变。
(1) 如果u=0(空气静止)，试证明来回飞行的时间为v /l 2t 0=；
(2) 如果气流的速度向东，证明来回飞行的时间为)v
u 1/(t t 22
01-=；
(3) 如果气流的速度向北，证明来回飞行的时间为22
02v
u 1/t t -=
? (1)如果：0u =，飞机来回的速度均为v ，来回的飞行时间：v l t /20=
(2)如果气流的速度向东，飞机向东飞行时的速度：u v v 1+=，飞机向西飞行时的速度：
u v v 2-=，来回飞行的时间：u v l u v l t 1-++=
，)v
u 1/(t t 22
01-= (3)如果气流的速度向北，飞机向东飞行的速度：221u v v -=，飞机向西飞行的速度
2
2
1u v v -=，来回飞行的时间：22222u
v l
u v l t -+-=，22
02v u 1/t t -= 4. 一粒子沿抛物线轨道2x y =运动。粒子速度沿X 轴的投影v x 为常数，等于1
s m 3-?。试计算粒子
在m 3
2
x =
处时，其速度和加速度的大小和方向。 ? 根据题意：s /m 3v x =，由2x y =得到：x y xv 2v =，x 6v y =
速度的大小：2y 2x v v v += ，2
x 369v += ，速度的方向：v
v cos ,v v cos y x ==βα
当m 3
2x =
时：s /m 5x 369v 2=+=
，速度的方向：5
4
v v cos 53
v v cos y x =
==
= βα
加速度大小：y 2
y 2x a a a a =+=
，2x y s /m 18v 6a ==，2s /m 18a = ，方向沿Y 轴方向。
单元二 牛顿运动定律（一）
一、 选择、填空题
1. 如图所示，质量分别为20kg 和10kg 的两物体A 和B ，开始时静止在地板上。今以力F 作用于轻滑轮，设滑轮和绳的质量以及滑轮轴处摩擦可以忽略，绳子不可伸长，求F 为下列各值时，物体
A 和
B 的加速度 (1) 96N (2) 196N (3) 394N
(1) 0a ,0a B A == (2) 0a ,0a B A == (3) 2B 2A s /m 9.9a ,s /m 05.0a ==
提示：在不计滑轮质量时，两边绳子的张力相等，为F 的1/2,以地面为参照系，分别列出两个物体的运动方程。
2. 已知水星的半径是地球半径的0.4倍，质量为地球的0.04倍。设在地球上的重力加速度为g ，则水星表面上的重力加速度为: 【 B 】 (A) 0.1g; (B) 0.25g; (C) 4g; (D) 2.5g
3. 如果一个箱子与货车底板之间的静摩擦系数为μ，当这货车爬一与水平方向成θ角的小山时，不致使箱子在底板上滑动的最大加速度)sin cos (g a max θθμ-=。
4. 如图，在光滑水平桌面上，有两个物体A 和B 紧靠在一起。它们的质量分别m A =2kg 和m B =1kg 。今用一水平力F=3N 推物体B ，则B 推A 的力等于2N 。如用同样大小的水平力从右边推A ，则A 推B 的力等于1N
5. 质量m 为10kg 的木箱放在地面上，在水平拉力F 的作用下由静止开始沿直线运动，其拉力随时间的变化关系如图所示。若已知木箱与地面间的摩擦系数μ为0.2，那么在t=4s 时，木箱的速度大小为4m/s ；在t=7s 时，木箱的速度大小为2.5 m/s 。( g=10 m/s 2
)。
)
1(选择题)4(选择题)
5(选择题)6(选择题)
7(选择题)6(选择题
)
1(计算题6. 分别画出物体A 、B 、C 、D 的受力图，
(1) 被水平力F 压在墙上保持静止的两个方木块A 和B ；
(2) 被水平力F 拉着在水平桌面上一起做匀速运动地木块C 和D 。
7. 如图所示，用一斜向上的力
F (与水平成30°)，将一重为
G 的木块压靠在竖直壁面上，如果不
论用怎样大的力F ，都不能使木块向上滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数μ的大小为 【 B 】
3)D (;32)C (;3/1)B (;2
1
)A (≥
≥≥≥
μμμμ
8. 一小车沿半径为R 的弯道作园运动，运动方程为2
t 23s +=(SI )，则小车所受的向心力
R
m t 16F 2
n =，(设小车的质量为m )。
9. 质量为m 的物体，在力F x =A+Bt (SI)作用下沿x 方向运动(A 、B 为常数)，已知t=0时
0v ,0x 00==，则任一时刻:物体的速度表达式：m
)
At Bt 2
1
(v 2+= 物体的位移表达式：m
)
At 21
Bt 61(x 23+= 10. 一物体质量M=2kg ，在合外力i )t 23(F
+=的作用下，从静止出发沿水平x 轴作直线运动，
则当t=ls 时物体的速度i 2v
=。
二、计算题
1. 倾角为θ的三角形木块A 放在粗糙地面上，A 的质量为M ，与地面间的摩擦系数为μ、A 上放一质量为m 的木块B ，设A 、
B 间是光滑的。
(1) 作出A 、B 的示力图；
(2) 求B 下滑时，μ至少为多大方能使A 相对地面不动。
解：研究对象为物体A 和物体B ，受力分析如图所示，选
取斜面向下为坐标正方向，水平方向向右为坐标正方向，写出两个物体的运动方程
物体B ：ma sin mg =θ和0cos mg N =-θ，θcos mg N =
物体A ：0T sin N =-μθ和0cos N Mg T =--θ，两式消去T ，将θcos mg N =代入
0)cos N Mg (sin cos mg =+-θμθθ，0)cos mg Mg (sin cos mg 2=+-θμθθ
所以：θ
θ
θμ2cos m M cos sin m +≥
*2. 将一质量为m 的物体A ，放在一个绕竖直轴以每秒n 转的匀速率转动的漏斗中，漏斗的壁与水平面成θ角，设物体A 与漏斗壁间的静摩擦系数为μ0，物体A 与转轴的距离为r ，试证明物体与漏
)
2(计算题)
3(
计算题)4(计算题斗保持相对静止时，转速n 的范围为:
)
sin (cos r )
cos (sin g 21
n )sin (cos r )cos (sin g 210000θμθθμθπθμθθμθπ
+->
>-+
? 当min n n =时，物体有向下运动的趋势:
2min 00)n 2(mr cos N sin N mg
cos N sin N πθμθθθμ=-=+
)
sin (cos r )
cos (sin g 21n 00min θμθθμθπ+-=
当max n n =时，物体有向上运动的趋势:
2
max 00)
n 2(mr cos N sin N mg sin N cos N πθμθθμθ=+=-，)
sin (cos r )
cos (sin g 21n 00max θμθθμθπ-+=
)
sin (cos r )
cos (sin g 21n )sin (cos r )cos (sin g 210000θμθθμθπθμθθμθπ+->
>-+
3. 一根匀质链条，质量为m ，总长度为L ，一部分放在光滑桌面上，另一部分从桌面边缘下垂，长度为a ，试求当链条下滑全部离开桌面时，它的速率为多少？(用牛二定律求解)。
? 选取向下为坐标正方向，将整个链条视为一个系统，当链
条下落距离x 时，写出牛顿运动方程
dt
dv
m xg L m =，dx dv mv xg L m =，vdv xdx L g
=，vdv xdx L g v
L
a ??= 当链条下滑全部离开桌面时，它的速率为L /)a L (g v 22-=
4. 质量为m 的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向。大小与速度大小成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求: (1) 子弹射入沙土后，速度的大小随时间变化的函数式 (2) 子弹进入沙土的最大深度。
? 根据题意，阻力kv f -=，写出子弹的运动微分方程：
dt
dv
m kv f =-=，应用初始条件得到：t m k
0e v v -= 从dt dv m kv =-变换得到：v ds
dv
m
kv =-，mdv kds =-，应用初始条件，两边积分得到 )v v (k
m
s 0-=，当子弹停止运动：0v =，所以子弹进入沙土的最大深度：0max v k m x =
单元二 功和能（二）
一、 选择、填空题
1. 如图所示，子弹射入放在水平光滑地面上静止的木块而不穿出，以地面为参照系，指出下列说法中正确的说法是
【 C 】
(A) 子弹的动能转变为木块的动能；
(B) 子弹一木块系统的机械能守恒；
(C) 子弹动能的减少等于子弹克服木块阻力所做的功； (D) 子弹克服木块阻力所做的功等于这一过程中产生的热。
2. 一个半径为R 的水平圆盘恒以角速度w 作匀速转动，一质量为m 的人要从圆盘边缘走到圆盘中
心处，圆盘对他所做的功为： 【 D 】
2mR )A (ω；2mR )B (ω-；22mR 21)C (ω；22mR 2
1
)D (ω-
3. 对功的概念有以下几种说法:
(1) 保守力作正功时，系统内相应的势能增加； (2) 质点运动经一闭合路径，保守力对质点做的功为零；
(3) 作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者所做功的代数和必为零； 在上述说法中:
【 C 】
(A) (1)、(2)是正确的；(B) (2)、(3)是正确的；(C) 只有(2)是正确的；(D) 只有(3)是正确的。
4. 质量为10 kg 的物体，在变力F 作用下沿X 轴做直线运动，力随坐标X 的变化如图，物体在x=0处速度为1m/s ，则物体运动到x=16 m 处，速度的大小为 【 B 】 ；
s /m 17)D (,s /m 4)C (,s /m 3)B (,
s /m 22)A ( 5. 有一人造地球卫星，质量为m ，在地球表面上空2倍于地球半径R 的高度沿圆轨道运行，用M 、
R 、引力常数G 和地球的质量M 表示：
(1) 卫星的动能为
R 6GmM ； (2) 卫星的引力势能为R
3GmM
-。 6．原长为l 0倔强系数为k 的轻弹簧竖直挂起，下端系一质量为m 的小球，如图所示。当小球自弹簧原长处向下运动至弹簧伸长为l 的过程中:
(A) 重力做功：)l l (mg 0-； (B) 重力势能的增量：)l l (mg 0--。
)
1(选择题)
4(选择题
)
1(计算题 (C) 弹性势能的增量：
20)l l (k 21-；(D) 弹性力所做的功：20)l l (k 2
1
--。
7．如图所示，质量m=2kg 的物体从静止开始，沿1/4圆弧从A 滑到B ，在B 处速度的大小为v=6m/s ，已知圆的半径R=4m ，则物体从A 到B 的过程中摩擦力对它所做的功m N 4.42W ?-=。
二、计算题
1．如图所示装置，光滑水平面与半径为R 的竖直光滑半圆环轨道相接，两滑块A ，B 的质量均为m ，弹簧的倔强系数为k ，其一端固定在O 点，另一端与滑块A 接触。开始时滑块B 静止于半圆环轨道的底端，今用外力推滑块A ， 使弹簧压缩一段距离x 后再释放，滑块A 脱离弹簧后与B 作完全弹性碰撞，碰后B 将沿半圆环轨道上升。升到C 点与轨道脱离，O’C 与竖直方向成
60=α角，求弹簧被压缩的距离x 。
过程一，弹簧力做功等于物体A 动能的增量：2
1A 2mv 21kx 21
=，得到：x m
k v 1A =
过程二，物体A 和物体B 发生弹性碰撞，动量守恒和动能守恒
2B 2A 1A mv mv mv +=，2B 22A 21A 2mv 2
1
mv 21mv 21+=，得到：x m k v v 1A 2B == 过程三，物体B 做圆周运动，在C 点脱离轨道满足的条件：R v m cos mg N 2
3
B =+α
0cos mg R
v m N 23B
=-=α，得到：αcos gR v 3B =
根据动能定理：重力做的功等于物体B 动能的增量：2B 23B 2mv 2
1
mv 21)cos 1(mgR -=+-α 将αcos gR v 3B =和x m
k
v 2B =
代入得到：K 2mgR 7x =
*2. 设两粒子之间的相互作用力为排斥力f ，其变化规律为3r
k
f =
，k 为常数，r 为二者之间的距离，)
6(选择题)
7(选择题
试问: (1) f 是保守力吗？ 为什么？ (2) 若是保守力，求两粒子相距为r 时的势能。设无穷远处为零势能位置。
? 根据问题中给出的力3
r k
f =
，只与两个粒子之间位置有关，所以相对位置从r 1变化到r 2时，力做的功为：?--==
2
1
r r 21223)r 1r 1(k 21dr r k A ，做功与路径无关，为保守力； 两粒子相距为r 时的势能：?∞
==
r
23P r 2k
dr r k E 3. 从地面上以一定角度发射地球卫星，发射速度v 0应为多大才能使卫星在距地心半径为r 的圆轨道上运转？ 设地球半径为R e 。
? 研究对象为卫星，根据动能定理，地球万有引力做的功等于卫星动能的增量
2022r
R mv 21mv 21dr r GmM e
-=-
?
，2
02e mv 2
1mv 21R GmM r GmM -=- 卫星在距地心半径为r 的圆轨道上运转，满足：r
v m r GmM
2
2
=，2mv r GmM =
由
202e mv 2
1mv 21R GmM r GmM -=-和2mv r GmM
= 解得：)r /1R /2(GM v e 0-=
4. 质量为g 6.5m =的子弹A ，以s /m 501v 0=的速率水平地射入一静止在水平面上的质量为
kg 2M =的木块B 内，A 射入B 后，B 向前移动了cm 50L =后而停止，求：
(1) B 与水平面间的摩擦系数μ；(2)木块对子弹所做的功W 1； (3) 子弹对木块所做的功W 2 ； (4)W 1与W 2是否大小相等，为什么？
? 研究对象为子弹和木块，系统水平方向不受外力，动量守恒。
10v )M m (mv +=，0v M
m m
v +=
根据动能定理，摩擦力对系统做的功等于系统动能的增量：
22v )M m (21'v )M m (21gs )M m (+-+=+-μ，0'v )M m (2
1
2=+
得到：2.0v )M m (gs 2m 2
02
2
=+=
μ
木块对子弹所做的功等于子弹动能的增量：2
021mv 21mv 21W -=
，J 8.702W 1-= 子弹对木块所做的功等于木块动能的增量：2
2Mv 2
1W =，J 96.1W 2=
21W W ≠，子弹的动能大部分损失克服木块中的摩擦力做功，转变为热能。
单元三 冲量和动量（一）
一、 选择题
1. 在两个质点组成的系统中，若质点之间只有万有引力作用，且此系统所受外力的矢量和为零，则此系统：
【 D 】
(A) 动量和机械能一定都守恒； (B) 动量与机械能一定都不守恒； (C) 动量不一定守恒，机械能一定守恒； (D) 动量一定守恒，机械能不一定守恒。 2. 下列叙述中正确的是
【 A 】
(A) 物体的动量不变，动能也不变； (B) 物体的动能不变，动量也不变； (C) 物体的动量变化，动能也一定变化； (D) 物体的动能变化，动量却不一定变化。
3. 在由两个物体组成的系统不受外力作用而发生非弹性碰撞的过程中，系统的 【 C 】 (A) 动能和动量都守恒； (B) 动能和动量都不守恒；
(C) 动能不守恒，动量守恒； (D) 动能守恒，动量不守恒。 4. 一子弹以水平速度v 0射入一静止于光滑水平面上的木块后，随木块一起运动，对于这一过程正确的分析是
【 B 】
(A) 子弹、木块组成的系统机械能守恒； (B) 子弹、木块组成的系统水平方向的动量守恒；
(C) 子弹所受的冲量等于木块所受的冲量； (D) 子弹动能的减少等于木块动能的增加。
5. 质量为m 的小球，以水平速度v 与固定的竖直壁作弹性碰撞，设指向壁内的方向为正方向，则由
于此碰撞，小球的动量变化为
【 D 】
(A) mv (B) 0 (C) 2mv (D) -2mv
6. 质量为m 的质点，沿正三角形ABC 的水平光滑轨道匀速度v 运动，质点越过A 点时，轨道作用于质点的冲量的大小： 【 C 】
mv 2)D (mv 3)C (mv 2)B (mv )A (
7. 质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速度沿图示方向射入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩。子弹射入后与摆球一起运动的速度为 【 A 】 (A) 4m/s (B) 8m/s (C) 2m/s (D) 7m/s
8. 如图所示，一斜面固定在卡车上，一物块置于该斜面上，在卡车沿水平方向加速起动的过程中，物块在斜面上无相对滑动，说明在此过程中摩擦力对物块的冲量 【 D 】
(A) 水平向前； (B) 只可能沿斜面上；
(C) 只可能沿斜面向下； (D) 沿斜面向上或向下均有可能。
)
1(选择题)
7(选择题)
8(选择题
)
3(填空题*9. 关于质点系动量守恒定律，下列说法中正确的是
【 C 】
(A) 质点系不受外力作用，且无非保守内力时，动量守恒；
(B) 质点系所受合外力的冲量的矢量和为零时动量守恒； (C) 质点系所受合外力恒等于零，动量守恒； (D) 动量守恒定律与所选参照系无关。
二、 填空题
1. 质量为m 的小球自高为y 0处沿水平方向以速率v 0抛出，与地面碰撞后跳起的最大高度为2
y 0
，水平速率为
2
v 0
，则碰撞过程中 (1) 地面对小球的垂直冲量的大小为0gy )21(m +； (2) 地面对小球的水平冲量的大小为0mv 2
1
-
2. 如图所示，有m 千克的水以初速度 v 1进入弯管，经t 秒后流出时的速度为2v
且v 1=v 2=v 。在管
子转弯处，水对管壁的平均冲力大小是t
mv
F =
，方向垂直向下。(管内水受到的重力不考虑) 3. 如图所示，两个用轻弹簧连着的滑块A 和B ，滑块A 的质量为
2
m
，B 的质量为m ，弹簧的倔强系数为k ，A 、B 静止在光滑的水平面上(弹簧为原长)。若滑块A 被水平方向射来的质量
为
2
m
、速度为v 的子弹射中，则在射中后，滑块A 及嵌在其中的子弹共同运动的速v 2
1
v A =，此时刻滑块B 的速度0v B =，
在以后的运动过程中，滑块B 的最大速度v 2
1v max B =
。 4. 质量为m=2kg 的物体，所受合外力沿x 正方向，且力的大小随时间变化，其规律为：
F=4+6t (sI)，问当t=0到t=2s 的时间内，力的冲量i 20I
=；物体动量的增量i 20P =?。
)
1(填空题)
2(填空题
)
1(计算题５. 粒子B 的质量是粒子A 的质量的4倍，开始时A 粒子的速度为j 4i 3
+，粒子B 的速度为
j 7i 2 -，由于两者的相互作用，粒子A 的速度变为j 4i 7 -此时粒子B 的速度等于j 5i -。
6. 质量为m 的质点，在竖直平面内作半径为R ，速率为V 的匀速圆周运动，在由A 点运动到B 点
的过程中：所受合外力的冲量j mV i mV I
+=； 除重力外其它外力对物体所做的功，mgR A -=非。
*7. 一园锥摆，质量为m 的小球在水平面内以角速度ω匀速转动，在小球转动一周过程中： (1) 小球动量增量的大小等于零； (2) 小球所受重力的冲量的大小等于ω
π
2mg
；
(3) 小球所受绳子拉力的冲量大小等于ω
π
2mg
。
三、计算题
1. 一质量M=10 kg 的物体放在光滑的水平桌面上，并与一水平轻弹簧相连，弹簧的倔强系数K=1000 N/m 。今有一质量m=1kg 的小球以水平速度v 0=4m/s 飞来，与物体M 相撞后以v 1=2 m/s 的速度弹回，试问：
(1) 弹簧被压缩的长度为多少?小球和物体的碰撞是完
全弹性碰撞吗?
(2) 若小球和物体相撞后粘在一起，则上面所问的结果
又如何?
研究系统为小球和物体及弹簧，系统水平方向上不受外力，动量守恒，取X 轴正方向向右
Mv mv mv 10-=-，)v v (M
m
v 10+=
，物体的速度大小：s /m 6.0v = 物体压缩弹簧，根据动能定理：
22Mv 21kx 21=，弹簧压缩量：v k
M x =，m 06.0x = 碰撞前的系统动能：J 8mv 21E 2
00k ==
碰撞后的系统动能：J 8.3Mv
2
1mv 21E 2
2
1k =+=，所以系统发生的是非完全弹性碰撞。
若小球和物体相撞后粘在一起，动量守恒：v )M m (mv 0+-=-
)
6(填空题)
7(填空题
)
2(
计算题)
4(计算题0v M
m m
v +=
，物体的速度大小：s /m 364.0v =
弹簧压缩量：v k
M
m x +=
，m 038.0x =，系统动能损失更大，为完全非弹性碰撞。 2. 如图所示，质量为M 的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动，一质量为m 的小球水平向右飞行，以速度v 1 (对地)与滑动斜面相碰，碰后竖直向上弹起，速率为v 2 (对地)，若碰撞时间为?t ，试计算此过程中滑块对地的平均作用力和滑块速度增量的大小。
? 研究对象为小球和滑块构成的系统，水平方向上动量守
恒，取X 轴正方向向右，Y 轴向上为正。
)v v (M Mv mv 1?+=+，1v M
m v =
? 小球在Y 方向受到的冲量：2y mv t mg t F =-??
Y 方向上作用在滑块上的力：mg t
mv F 2
y +=
? 滑块对地面的平均作用力：Mg mg t
mv Mg F N 2
y ++=+=? 3. 两个自由质点，其质量分别为m 1和m 2，它们之间的相互作用符合万有引力定律。开始时，两质点间的距离为L ，它们都处于静止状态，试求两质点的距离为
2
L
时，两质点的速度各为多少? ? 两个自由质点之间的相互作用为万有引力，在不受外力作用下，系统的动量和机械能守恒。
动量守恒：0v m v m 2211=+ 机械能守恒：2
2
22112121v m 21v m 21)2
L (m Gm 0L m Gm ++-=+-
求解两式得到两质点距离为
2
L
时的速度：)m m (L G 2m v 2121+=和)m m (L G 2m v 2112+-=
4. 一轻弹簧，倔强系数K ，竖直固定在地面上，试求质量为m 的小球从钢板上方h 处自由落下，与钢板发生弹性碰撞，则小球从原来钢板位置上升的最大高度为多少?弹簧能再压缩的长度为多少?
? 小球和钢板发生弹性碰撞，不计重力影响，动量守恒和机械能守恒。选取如图所示的坐标
210Mv mv mv +=,
2
2211201Mv 21v m 21v m 21+=
gh 2v 0=
小球反弹速度：gh 2m M m
M v 1+--
=
钢板开始运动速度：gh 2m
M m
2v 2+=
)
1(选择题)
2(选择题小球上升的高度：g
2v 'h 2
1
=，h )m M m M (
'h 2+-= 钢板以初速度v 2在弹性力和重力的作用下运动，弹簧力和重力做的功等于钢板动能的增量：
2
2222020Mv 2
1'Mv 21Mgx )x l (k 21kl 21-=++- v’=0时：20202
2
kl 2
1)x l (k 21Mgx Mv 21-+=+， 其中0kl Mg = 弹簧的压缩量：K
Mgh
2M m m
2x +=
单元三 质 点 力 学 习 题 课（二）
一、 选择、填空题
1. 如图所示，木块m 固定光滑斜面下滑，当下降高度为h ，重力的瞬时功率为 【 D 】
(A) gh 2mg (B) gh 2cos mg θ (C)gh 2
1
sin mg θ
(D) gh 2sin mg θ 解 可以用牛顿运动定律来解，也可以用动能定理求解。
动能定理：)mv 21(d r d F 2=? ，2
mv 2
1mgh =，gh 2v =
)gh 2(sin mg v F dt
dA P θ=?==
2. 质量分别为m 1和m 2物体A 和B ，放在光滑的桌面上，A 和
B 之间连有一轻弹簧。另有质量为m 1和m 2的物体
C 和
D 分
别放在A 和B 上面，A 和C 、B 和D 之间摩擦系数不为零。用外力沿水平方向推压A 和B ，使弹
簧被压缩，然后撤掉外力，在A 和B 弹开的过程中，对A 、B 、C 、D 和弹簧组成的系统。 【 D 】
(A) 动量守恒，机械能守恒； (B) 动量不守恒，机械能守恒; (C) 动量不守恒，机械能不守恒; (D) 动量守恒，机械能不一定守恒
3. 质量为m 的质点，作半径为R 的圆周运动，路程s 随时间t
的变化规律为3
ct 3
1bt S +=，式中b ，c 为常数，则质点受到
的切向力cmt 2F t = ；质点受到的法向力22n )ct b (R
m
F +=
4. 一人拉住在河水中的船，使船相对于岸不动，以地面为参考系，人对船所做的功 = 0 ；以流水为参考系，人对船所做的功 > 0 ，（ 填 > 0 , = 0 , < 0 ）
人用F 拉住船，船无位移，做功为零。以流水为参考系，船发生位移，因而力F 做功不为零。
5. 一颗子弹在枪筒里前进时受到的合力为t 3
104400F 5
?-=，子弹从枪口射出时的速度为300
m/s 。假设子弹离开枪口处合力刚好为零，则: (1)子弹走完枪筒全长所用的时间s 1000
3
t =
；(2)子弹在枪筒中受力的冲量1ms kg 6.0I -?=; (3)子弹的质量kg 002.0m =
? (1)令0t 3
104400F 5
=?-
=来求得s 10003t = (2)s N 6.0dt )t 3
104400(Fdt Fdt I 1000
3
1000
30
5
t t 2
1
?=?-=
=
=?
?
?
(3)根据动量定理：212t t mv )mv mv (Fdt I 2
1
=-==?求得kg 002.0m =
6. 质量为m = 1 kg 物体，从静止出发在水平面内沿X 轴运动，其受力方向与运动方向相同，合力大小为x 23F += ，那么，物体在开始运动的3 m 内，合力做功J 18A =； x = 3 m 时，其速率
1ms 6v -=。
? ???+=+==3
s s s s dx )x 23(dx )x 23(Fdx A 21
21
求得：J 18A =
由动能定理：2
122mv 2
1mv 21A -=
求得：1ms 6v -= *7. 质量为m 1的弹簧枪最初静止于光滑水平面上，今有一质量为m 2的光滑小球射入弹簧枪的枪管内，并开始压缩弹簧，设小球的初速度为v 0，枪管内轻弹簧的倔强系数为k ，则弹簧的最大压缩量是0212
1max v )
m m (k m m x +=
。
? 研究系统为弹簧枪、小球和弹簧，水平方向上不受外力，动量守恒: 221102v m v m v m +=
系统只有弹簧力做功，弹簧力做的功等于系统动能增量: 2022112222v m 2
1v m 21v m 21kx 21-+= 当v 1=v 2＝v 时，弹簧的压缩量为最大
v )m m (v m 2102+=，2
022122max v m 21v )m m (21kx 21-+=, 02121max v )
m m (k m m x +=
8. 一质点在指向圆心的力2
r k
F -
=的作用下作半径为r 的圆周运动，该质点的速率mr k v =，若取
距圆心无穷远处的势能为零，它的势能k r 1
E P -=，机械能k r
21E -
= ? r v m F 2n =，r
v m r k 2
2=求得：mr k v =
根据势能定义：?
?∞
∞
-
==r
2
r
P dr )r k
(Fdr E 求得：k r 1E P
-=
)
10(选择题)
9(选择题机械能：k r 1mv 21E E E 2P k -=
+= 求得：k r
21E -= 9. 如图所示，一斜面倾角θ，以与斜面成α角的恒力F 将一质量
为m 的物体沿斜面拉升了高度h ，物体与斜面之间的摩擦系数为
μ，摩擦力在此过程中做的功。
? 研究对象：质量为m 的物体
根据牛顿第二定律列出运动方程
ma f sin my cos F =--θα
0cos mg N sin F =-+θα，N f μ=
由0cos mg N sin F =-+θα, 得到： αθsin F cos mg N -=
)sin F cos mg (N f αθμμ-==，求得：)sin F cos mg (sin h
sin h N
W f αθθ
μθμ--=-= 10. 如图所示，轻弹簧的一端固定在倾角为α 的光滑斜面的低端E ，另一端与质量为m 的物体C 相连，O 点为弹簧原长处，A 点为物体C 的平衡位置。如果外力作用将物体由A 点沿斜面向上缓慢移动了2x 0，到达了B 点，则该外力所做的功为: αsin mgx 2W 0=。
? 研究对象：物体和弹簧，斜面对物体的力不做功。
应用动能定理求解。
系统初始动能：0E 0k =，系统末了动能：0E k = 物体重力做的功：θsin x 2mg A 01-= 弹簧力做的功：
?--=
x x 2kxdx A ， 0)x (k 2
1
)x (k 21A 20202=--=
根据动能定理：0k k 20200E E ])x (k 2
1
)x (k 21[
sin x 2mg W -=--++α 求得：外力做的功αsin mgx 2A W 01==
11. 一质点受力i x 2F 3 =作用，沿X 轴的正方向运动，从x = 0到x = 2 m 的过程中，力i x 2F 3
=做的功为J 8W =。
12. 一弹簧，伸长量为x 时，弹性力的大小为2
bx ax F +=，当一外力将弹簧从原长再拉长l 的过程中，外力做的功为3
2bl 3
1al 21A +=
。 ? 外力做的功为A ，弹簧力做的功为?+-=l
21dx )bx ax (A ，)bl 3
1al 21
(A 321+-=
根据动能定理：0E E A A 0k k 1=-=+，所以3
21bl 3
1al 21A A +=-= 二、 计算题
1. 一沿x 轴方向的力作用在质量为m = 3.0 kg 的质点上。已知质点的运动方程为3
2
t t 4t 3x +-=
求：(1)力在最初4s 内做的功；(2)在t = 1 s 时，力的瞬时功率。
? (1)力做的功：???==?=dx x m Fdx r d F A （牛顿第二定律r m F
=） t 68x
+-= ，dt )t 3t 83(dx 2+-= ??+-+-=+-+-=2
1
t t 322dt )t 18t 72t 8224(m dt )t 3t 83)(t 68(m A ，J 528A =
(2)功率：12s J 12)t 3t 83)(t 68(m Fv dt
dA
P -?=+-+-===
，1s J 12P -?= 2. 一弹簧不遵守胡克定律，力与伸长量的关系为2
x 4.38x 8.52F +=。求
(1) 将弹簧从定长m 50.0x 1=拉伸到定长m 00.1x 2=时，外力所需做的功；
(2) 将弹簧横放在水平光滑平面上，一端固定，另一端系一个质量kg 17.2m =的物体，然
后将弹簧拉伸到一定长m 00.1x 2=，再将物体由静止释放，求当弹簧回到m 50.0x 1=时物体的速率；
(3) 此弹簧的弹力是保守力吗？
? (1) 外力做的功??+=+==2
1
2
1
x x 0
.15.0322x x )x 8.12x 4.26(dx )x 4.38x 8.52(Fdx A ，J 31A =
(2)从伸长量m 00.1x 2=到m 50.0x 1=
弹簧力做的功：J 31)x 8.12x 4.26(dx )x 4.38x 8.52(Fdx A 1
2
1
2
x x 5
.00.1322x x =+-=+-=-=?
?
根据动能定理：202mv 21mv 21A -=
，0mv 2
12
0= 弹簧回到m 50.0x 1=时物体的速率：1ms 35.5m
A
2v -==
(3)因为弹簧力做的功：)x 8.12x 4.26(A 32+-=，做的功与路径无关，只位置有关。所以此弹
簧的弹力是保守力。
3. 水面上一质量为M 的静止木船，从岸上以水平速度v 0将一质量为m 的砂袋抛到船上，此后二者一起运动，设运动过程中受到的阻力与速率成正比，比例系数K ，如砂袋与船的作用时间很短， 求 (1) 砂袋抛到船上后，二者一起开始运动的速率；(2) 二者由开始运动到静止时所走过的距离。
? (1)研究对象：木船和砂袋，不计水平方向水的阻力
系统动量守恒：00'v )M m (mv +=，砂袋和船开始运动的速度：M
m mv 'v 0
0+=
根据牛顿第二定律，任一时刻砂袋和船满足方程：dt
dv
)
M m (Kv +=-，求解该微分方程 利用初始条件M m mv 'v 00+=，得到任一时刻木船和砂袋的速率： t
M m K
0e M
m mv v +-+=
(2)dt dv )
M m (Kv +=-，v ds dv )M m (Kv +=-，ds
dv
)M m (K +=-