天津市静海区第一中学【最新】高一12月学业能力调研数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则A
B =（ ） A ．[2,3] B ．(1,5)
C ．{}2,3
D ．{2,3,4} 2．命题“20,11x x ?≥-≥-”的否定是（ ）
A ．20,11x x ?≥-<-
B ．20,11x x ?<-<-
C ．20,1x x ?≥-<-1
D ．20,11x x ?<-<-
3．已知0.21.1a =，0.2log 1.1b =， 1.10.2c =，则（ ）
A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．a c b >>
D ．c a b >> 4．函数log (21)3a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象必过点（ ）
A ．1
(,4)2 B ．(1,3)
C ．1(,3)2
D ．(1,4) 5．在下列各个区间中，函数()3239f x x x =--的零点所在区间是 ( )
A ．(1,0)-
B ．()0,1
C ．()1,2
D ．()2,3
6．设函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，1
()()22
x f x x b =++（其中b 为实数），则(1)f 的值为( )
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3 7．已知2:log (1)1p x -<，2:230q x x --<，则p 是q 的（ ）条件 A ．充分非必要
B ．必要非充分
C ．充分必要
D ．既非充分又非必要
8．设函数()()2ln 1x f x x
e =++，则使得()()21
f x f x -<成立的x 的取值范围是（ ）
A ．1,13??
??? B ．()1,1,3?
?-∞+∞ ??? C ．11,33??
- ???
D ．11,,33?
???-∞-+∞ ? ?????
9．已知函数()()21,11log ,013a a x x f x x x ?->?=?-<≤??
，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1(0,]3
B ．11[,)32
C ．1(0,)2
D ．1(,]3-∞
二、填空题
10．已知扇形OAB 的圆心角为4rad ，其面积是22cm 则该扇形的周长是______cm 11．若0a >，0b >，21a b +=，则11a a b
++的最小值为______. 12．函数2()42x x f x +=-(12)x -≤≤的最小值为______．
13．角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5
θ=-，则tan θ=______． 14．函数21()(5)m f x m m x +=--是幂函数，且为奇函数，则实数
m 的值是_____．
三、解答题
15．化简求值：
（1
）01
363470.001168- ??-++ ???
（2）3log 22311lg 25lg 2log 9log 223??++-? ???.
16．函数23()log (28)f x x x =+-的定义域为A ，函数2()(1)g x x m x m =+++. （1）若4m =-时，()0g x ≤的解集为B ，求A B ；
（2）若存在1[0,]2x ∈使得不等式()1g x ≤-成立，求实数m 的取值范围.
17．（1）若()22f x x ax =-+与()1a g x x =+，在区间[]1,2是减函数，求a 的取值范围.
（2）若函数
()212
()log 3f x x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，求a 的取值范围. （3）
()()212
log 45f x x x =-++在区间(3m -2,m +2)内单调递增,求实数m 的取值范围. （4）已知函数()()
2lg 2f x x x a =--,若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围（只写
出关系式不需要计算）
通过解答上述习题，请归纳解此类题注意什么问题?（至少写出两点）
18．已知函数()121x
a f x =++为奇函数． （1）求a 的值，并证明()f x 是R 上的增函数；
（2）若关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0的解集非空，求实数k 的取值范围．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
解不等式简化集合A 的表示，用列举法表示集合B ，最后根据集合交集的定义求出A B .
【详解】 2560(2)(3)023x x x x x -+≤?--≤?≤≤，{}
23A x x ∴=≤≤，
又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ?=，故本题选C.
【点睛】
本题考查了列举法表示集合、集合交集的运算，正确求解出不等式的解集是解题的关键. 2．C
【分析】
利用全称命题的否定解答即得解.
【详解】
所给命题为全称量词命题，故其否定为存在量词命题，同时要否定结论，
所以所给命题的否定为20,1x x ?≥-<-1.
故选C
【点睛】
本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
3．C
【分析】
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【详解】 0.20 1.100.20.2a 1.1 1.11,?b log 1.1log 10,?0c 0.20.21=>==<=<=<=,故a c b >> 故选C
【点睛】
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，熟记指对函数的单调性与底的关系是关键，属于基础题．
4．B
根据log 10a =列式，求得函数图像所过定点.
【详解】
当1x =时，211x -=，则log 13033a y =+=+=，∴函数log (21)3a y x =-+的图像必过点(1,3).
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查对数中log 10a =，属于基础题.
5．C
【解析】
因为连续函数()3
239f x x x =--，所以()170f -=-<，()090f =-<，()1100f =-<，()210f =>,所以，函数()3239f x x x =--的零点所在区间是()1,2,故选C.
6．C
【分析】
先由函数奇偶性，结合题意求出1b =-，计算出(1)1f -=-，即可得出结果.
【详解】
因为()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，1()()22x f x x b =++，
则(0)10f b =+=，解得1b =-，则1
()()212
=+-x f x x ， 所以(1)1f -=-，因此(1)1f =.
故选C
【点睛】
本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记奇偶性的概念即可，属于常考题型.
7．A
【分析】
解出两个不等式的解集,根据真子集关系可得.
因为2log (1)1x -<012x ?<-<13x ?<<;
2230x x --<13x ?-<<,
又{|13}x x << {|13}x x -<<,
所以命题p 是q 的充分非必要条件,
故选A .
【点睛】
本题考查了充分非必要条件,对数不等式和一元二次不等式的解法,属于基础题.
8．A
【分析】
函数定义域为R ，先分析函数的奇偶性再分析函数的单调性，根据奇偶性和单调性将()()21f x f x -<转变为21x -与x 之间的关系，从而求解出x 的取值范围.
【详解】
因为函数定义域为R 且()()()()()22ln 1ln 1x x
f x x e x e f x --=+-+=++=，所以()f x 是偶函数，
又因为0x ≥时，()()2ln 1x f x x e =++是增函数，所以()f x 在(),0-∞上是减函数，
因为()()21f x f x -<，所以21x x -<，所以()()3110x x --<，所以1,13x ??∈ ???
. 故选：A.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，难度一般.已知函数值之间的不等关系可通过单调性将其转变为自变量之间的关系，再通过奇偶性将取值范围的求解扩充到整个定义域.
9．A
【解析】
【分析】
先根据条件的函数单调性,再根据函数单调性列不等式,解得结果.
因为当12x x ≠时，()()
12120f x f x x x -<-，所以()f x 为定义域内单调性减函数, 因此210
1{01
031
21log 13a a a a a -<<<∴<≤-≤-
，选A. 【点睛】
分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.
10．6
【分析】
设扇形的半径为r ,弧长为l ,然后根据圆心角和面积列方程组成方程组可解得.
【详解】
设扇形的半径为r ,弧长为l ,
依题意可得,4122
l r l r ?=?????=??,解得41l r =??=?, 所以扇形的周长为2246r l +=+=cm .
故答案为:6
【点睛】
本题考查了扇形中圆心角的弧度数公式和扇形的面积公式,属于基础题.
11．7
【分析】
根据已知条件把1用2+a b 替换,再由基本不等式,即可求解.
【详解】
11a a b ++
=22()32723a a b b a a b a b a b +++=++≥?=+ 当且仅当13
a b ==
时,等号成立. 【点睛】
本题考查基本不等式求最值,考查计算能力,属于基础题.
【分析】
换元，令2x t =，则1,42t ??∈????
，24y t t =-，再利用二次函数的单调性可求最小值. 【详解】
()2()242x x f x =-?，
令2x t =，
因为12x -≤≤， 所以1,42
t ??∈????
， 则224(2)4y t t t =-=--， y 在1,22t ??∈????
上递减，在[2,4]t ∈上递增， 所以当2t =时函数取得最小值.
故答案为：4-.
【点睛】
本题主要考查了利用函数的单调性求最值.属于较易题.
13．34
- 【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan θ的值．
【详解】
解：角θ的终边经过点()4,P y ，且
3sin 5θ=-=， 3y ∴=-，则3tan 44y θ=
=-， 故答案为34
-
． 【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
14．2-
根据函数()f x 为幂函数列式，求得m 的可能取值，再根据函数()f x 为奇函数，确定m 的值.
【详解】
∵()f x 是幂函数，∴251m m --=，∴260m m --=，
解得2m =-或3，当2m =-时，11+=-m ，1()f x x -=是奇函数，符合题意；
当3m =时，14m +=，4()f x x =是偶函数，不符合题意， ∴2m =-．
故答案为2-.
【点睛】
本小题主要考查根据函数为幂函数且为奇函数，求参数的值，属于基础题.
15．（1）86π+；（2）12-
. 【分析】
（1）根据指数的运算律可计算出结果；
（2）根据对数的运算律、对数恒等式以及换底公式可计算出结果.
【详解】
（1）原式()()6611133
432340.112233101872386πππ-????=-++?+-=-+++-=+ ? ?????； （2）原式()3log 2212231lg5lg 23log 3log 22
-=++-?()()31log 2
12311lg5lg 232log 3log 2lg10221222
--=++-??=+-=+-=-. 【点睛】 本题考查指数与对数的计算，解题时要充分熟悉指数与对数的运算律、对数恒等式以及换底公式，考查计算能力，属于基础题.
16．（1）(2,4]A B ?=；（2）1m ≤-.
【分析】
（1）求出集合A ，B ，由交集运算的定义，可得A ∩B ；
（2）若存在102x ??
∈????，使得不等式g （x ）≤﹣1成立，即存在102x ??∈????
，使得不等式﹣m
211x x x ++≥+成立，得﹣m ≥（211
x x x +++）min ，解得实数m 的取值范围． 【详解】
（1）由x 2+2x ﹣8＞0，解得：x ∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），
故则函数f （x ）＝log 3（x 2+2x ﹣8）的定义域A ＝（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），
若m ＝﹣4，g （x ）＝x 2﹣3x ﹣4，由x 2﹣3x ﹣4≤0，解得：x ∈[﹣1，4]，则B ＝[﹣1，4] 所以A ∩B ＝（2，4]； （2）存在102x ??
∈????
，使得不等式x 2+（m +1）x +m ≤﹣1成立， 即存在102x ??∈????，使得不等式﹣m 211x x x ++≥+成立，所以﹣m ≥（211
x x x +++）min 因为211
x x x ++=+x +111x +-+1≥1， 当且仅当x +1＝1，即x ＝0时取得等号
所以﹣m ≥1，
解得：m ≤﹣1．
【点睛】
本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式，集合的交集，函数存在性问题，函数的最值，基本不等式的应用，难度中档．
17．（1）(]0,1（2）[-4,4] （3）[
43
,2）（4）1a ≤- 注意问题见解析 【分析】
（1）根据二次函数的图像,区间[]1,2在对称轴右侧即可,再由反比例函数单调性由比例系数正负确定,即可求出a 的取值范围;
（2）令23u x ax a =-+,根据复合函数的单调性关系,只需23u x ax a =-+在()2,+∞单调递增，且恒大于0，即可求出a 的取值范围;
（3）先确定
()()212log 45f x x x =-++单调递增区间，(3m -2,m +2)是单调递增区间的子集，即可求出a 的取值范围;
（4）函数()()
2lg 2f x x x a =--的定义域为R ，即220x x a -->在R 恒成立，即可求出a
的取值范围.
【详解】
（1）()2
2f x x ax =-+对称轴为直线x a =, ()f x 在区间[]1,2是减函数,1a ∴≤,
()1
a g x x =+,在区间[]1,2是减函数, 0a ∴>, ∴a 的取值范围为(0,1];
（2）212
3,log u x ax a y u =-+=在(0,)+∞是减函数
23u x ax a ∴=-+在()2,+∞单调递增，且恒大于0
2240
a a ?≤???+≥?解得44a -≤≤, ∴a 的取值范围为[4,4]-;
（3）函数
()()212
log 45f x x x =-++定义域需满足, 2450x x -++>,即2450x x --<
解得15x -<<,
()()212
log 45f x x x =-++定义域是(1,5)-
245y x x =-++对称轴为直线2x =
()f x ∴单调递增区间是(2,5),
()()212
log 45f x x x ∴=-++在区间(3m -2,m +2)内单调递增须,
32232225m m m m -<+??-≥??+≤?
解得423m ≤<, ∴a 的取值范围为4[,2)3
; （4）已知函数()()
2lg 2f x x x a =--,若()f x 的定义域为R , 220x x a --≥在R 上恒成立,
440,1a a ∴?=+≤≤-
∴a 的取值范围为(,1]-∞-.
解此类题目注意:
（1）研究函数性质必须要使函数有意义,即定义域优先原则，
凡是自变量的范围都得是定义域的子集;
（2）一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数单
调性要熟练掌握;
（3）如何求对数函数的定义域;
（4）复合函数的单调性求法.
【点睛】
本题考查函数的定义域以及函数的单调性,要注意在研究函数的单调性时,必须确保函数有意义,即单调区间是定义域的子集,属于中档题.
18．（1）2a =-，证明见解析（2）13k >-
【分析】
(1)由奇函数在0处有定义时(0)0f =计算可得.证明()f x 在R 上为增函数时,设12x x <,再计算12()()f x f x -,化简证明12())0(f x f x -<即可.
(2)先根据奇偶性化简为22(2)(2)f t t f k t -<-,因为函数单调递增,所以若解集非空,则2222t t k t -<-有解.再根据二次不等式恒成立的问题求解即可.
【详解】
（1）因为()f x 定义在R 上的奇函数,所以(0)0f =,得2a =-.
此时,221()12121
x x x f x -=-=++, 2112()()2112x x x x
f x f x -----===-++,所以()f x 是奇函数, 所以2a =-．
任取12,x x ∈R,且12x x <,则1222x x <,因为
1
22112211222()()(1)(1)2121
22 21212(22) 0,(21)(21)
x x x x x x x x f x f x -=---++=-++-=<++ 所以12()()f x f x <,
所以()f x 是R 上的增函数.
（2）因为()f x 为奇函数,f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0的解集非空, 所以22(2)(2)f t t f k t -<-的解集非空,
又()f x 在R 上单调递增,
所以2222t t k t -<-的解集非空,
即2320t t k
--<在R 上有解,所以0?>得13
k >-. 【点睛】
(1)单调性的证明方法：设定义域内的两个自变量12x x >,再计算()()12f x f x -, 若()()120f x f x ->,则()f x 为增函数；若()()120f x f x -<,则()f x 为减函数.计算化简到最后需要判断每项的正负,从而判断()()12f x f x -的正负.
(2) 利用单调性与奇偶性解决抽象函数不等式的问题,注意化简成12()()f x f x <的形式, 若()f x 在区间(),a a -上是增函数,则1212x x a x a a x a
,求解出交集即可.
若()f x 在区间(),a a -上是减函数,则1212x x a x a a x a >??-<
,求解出交集即可.