解析函数的孤立奇点类型判断及应用
摘 要 孤立奇点的应用在解析函数的学习和对其性质分析研究中有着重要作用，而留数计算是复变函数中经常碰到的问题。解析函数在不同类型的孤立奇点处的计算方法不同，关键我们要先判断其类型。本文在分析整理了相关资料的基础上，首先给出了孤立奇点的定义、分类及其类型的判别定理和相关推及引理，其中在考虑极点处的留数求法时，又根据单极点、二阶极点，m 阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。并通过有限孤立奇点的判别对解析函数无穷远点的性态进行研究，分析能否把有限孤立奇点的特征应用到无穷远点，进而探讨了孤立奇点在留数计算中的应用，使得孤立奇点的知识更加系统、全面。 关键词 孤立奇点 可去奇点 极点 本质奇点 判断 留数计算
前言
在复变函数论中，留数是非常重要的，而解析函数的孤立奇点是学习留数的基础，只有掌握了孤立奇点的相关性质，才能更好的学好留数。目前，在相关资料中，对孤立奇点的判别及应用已较为完备，如在许多版本的《复变函数论》中对孤立奇点的判别做了详细的说明和解释，使我们对孤立奇点的了解更透彻。但在现实中有时我们遇到的留数计算具体例子，运用定理判别会比较麻烦，还需要前后知识的衔接，这为留数计算增加了障碍。本文就是在此基础上作进一步的探讨，将判断这一工作拿出来单独讨论，通过对论文的撰写，将把孤立奇点类型的判别及在留数运算中的应用更全面化、系统化。此项研究容可以对以后学习此部分容的同学提供一定的帮助，使其对孤立奇点的理解更加清晰，应用得更加自如。
在复变函数课程上我们已学过了孤立奇点的分类及其类型的判别和其在留数计算中的应用，为对其作进一步的研究奠定了基础。在此基础上查阅大量书籍，搜集相关资料，并对所搜集资料进行分析、研究、筛选和处理。通过指导教师的耐心指导，已具备了研究解析函数类型的判别及其在留数计算中的应用这一课题的初步能力，并能解决现实生活中的相关例题，使理论和实践达到真正的结合和统一。
本文通过对已学知识的回顾总结，和相关资料的查阅，在老师的指导下自拟题目，将对孤立奇点的类型判别及应用进行说明，通过分析、整理、归纳、总结，对其进行更深入的研究。
正文
一、孤立奇点的定义及类型
（一）定义
如果函数)(z f 在点a 的某一去心邻域R a z a K <-<-0:}{(即除去圆心a 的某圆)解析，点a 是)(z f 的奇点，则称a 为)(z f 的一个孤立奇点。 如果a 为函数)(z f 的一个孤立奇点，则必存在正数 R ，使得)(z f 在点a 的去心邻域 R a z a K <-<-0:}{ 可展成洛朗级数。
（二）孤立奇点的类型
如0z 为)(z f 的孤立奇点，则)(z f 在点0z 的去心邻域 R z z z K <-<-000:}{可展成洛朗级数0(z)(z )n n n f z c ∞=-∞=
-∑。其中称负幂部分01(z )n n n z c ∞
--=-∑为)(z f 在点0z 的主要部分。
孤立奇点按函数在0z 的去心邻域的洛朗展开式中负幂项的个数分类：
1.可去奇点：展开式中不含0z z -的负幂项； ()()()201020f z c c z z c z z =+-+-+
2.极点：展开式中含有限项0z z -的负幂项；
()(1)21010201000()()()()()m m m m c c c f z c c z z c z z z z z z z z -----=+++++-+-+---
()0,()m
g z z z =- 其中()1(1)01000()()()m m m m g z c c z z c z z c z z -----=+-+
+-+-+在0z 解析，且()00,1,0m g z m c -≠≥≠；
3.本性奇点：展开式中含无穷多项0z z -的负幂项；
()1010000()()()()m m m m c c f z c c z z c z z z z z z --=+++++-++-+--
二、孤立奇点类型的判别方法
（一）可去奇点
如果)(z f 在0z z =的洛朗级数中不含0z z -的负幂项，则称孤立奇点0z 是)(z f 的可去奇点。
以下三个条件是等价的：
（1）0z z =是)(z f 的可去奇点?)(z f 在0z 的洛朗级数不含0z z -的负幂项；
（2）0z z =是)(z f 的可去奇点?0
lim (z)z z f →存在； （3）0z z =是)(z f 的可去奇点?)(z f 在0z 的某去心邻域有界.
（二）极点
如果)(z f 在0z 的洛朗级数中只有（0z z -）的有限个负幂项，则孤立奇点0z 称为极点。若负幂的最高项为0(z z )m --，则0z 称为m 级极点。
与之等价的条件是：
0z 是)(z f 的极点?0
lim (z)z z f →=∞. 零点和极点的关系： 不恒等于零的解析函数)(z f 若能表示为
0(z)(z z )(z)m f ?=-，
其中(z)?在0z 解析，且0(z )0?≠，m 为一正整数，则称0z 为)(z f 的m 级零点.
（1） 若)(z f 在0z 解析，则0z 为)(z f 的m 级零点的充要条件是
(n)0(z )0f =， 0,1,2,,1n m =-；(m)0(z )0f ≠.
（2） 一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的.
（3） 若0z 是)(z f 的m 级极点，则0z 是1(z)
f 的m 级零点.反之也成立. 下面的定理说明了怎样由m 级零点得到m 级极点.
定理1 假设
（i ）两个函数p 和q 在点0z 解析；
（ii ）0(z )0p ≠,0z 是q 的m 级零点.
则0z 是 (z)(z)
p q 的m 级极点. 定理2 设两个函数p 和q 在0z 解析.如果
0(z )0p ≠，0(z )0q = 和 0(z )0q '≠，
则0z 是商(z)(z)
p q 的简单极点且 )()()()(Re 000
z q z p z q z p s z z '==. （三）本质奇点
如果)(z f 在0z 的洛朗级数中含有（0z z -）的无穷多个负幂项，则孤立奇
点0z 称为本质奇点。
与之等价的条件是：
0z 是)(z f 的本质奇点?0
lim (z)z z f →不存在且不等于∞. 在本质奇点的邻域，复变函数)(z f 具有以下性质：
（1）维尔斯特拉斯定理 若0z z =是)(z f 的本质奇点，则对于任一复数0ω及任给的0ε>，任意的0r >，在区域00z z r <-<中必存在一点z '，使得εω<-'0)(z f .
推论 在任意一个圆环域00z z r <-<中，必存在序列{}n z ，使得00lim (z)n z z f ω→=.
（2）皮卡定理 解析函数)(z f 在本质奇点0z z =的任何邻域，能够取任意一个有限值（复数）无穷次，至多有一个值例外.
（四）函数在无穷远点的性态
如果)(z f 在无穷远点z =∞的去心邻域z R <<+∞解析，则称点∞是)(z f 的孤立奇点. 作变换1t z
=（规定把扩充z 平面上的无穷远点z =∞映射为扩充t 平面上的点0t =），把扩充z 平面上的邻域0R z z <-<+∞映射成扩充t 平面的去心邻域
10t R
<<
，且有)(z f =1()f t =(t)?.于是，可以把在z R <<+∞上对)(z f 的研究化为在10t R <<对(t)?的研究. （1）如果0t =是(t)?的可去奇点、m 级极点或本质奇点，则z =∞是)(z f 的可去奇点、m 级极点或本质奇点.
（2）若)(z f 在z R <<+∞可以展开为洛朗级数，那么，在)(z f 的洛朗级数中，如果：
不含正幂项，则z =∞为)(z f 的可去奇点；
含有限个正幂项，则z =∞为)(z f 的极点；
含无穷多正幂项，则z =∞为)(z f 的本质奇点.
三、留数定理及留数计算方法
（一）留数定义 若0z z =是解析函数)(z f 的一个孤立奇点，)(z f 在0z 的去心邻域解析，C 为0z 邻域任一简单闭曲线，则称dz z f i C ?)(21π为)(z f 在0z 处的留数，记作]),([Re 0z z f s ，即
10)(21]),([Re -==?c dz z f i
z z f s C π. 1-c 是)(z f 在以0z 为中心的圆环域的洛朗级数中10)(--z z 项的系数.
（二）留数定理 设函数)(z f 在区域D 除有限个孤立奇点1z ，2z ，…，n z 外处处解析，C 是D 包围诸奇点的一条简单闭曲线，则 ∑?==n
k k C z z f s i dz z f 1]),([Re 2)(π. 利用定理，可以将求沿封闭曲线C 的积分，转化为求被积函数在C 各孤立奇点处的留数.
（三）留数的计算与极点处留数的计算规则.计算留数最基础的依据是定义 10)(21]),([Re -==?c dz z f i z z f s c
π, C 为0z 某去心邻域一条简单闭曲线，1-c 是以0z 为中心某邻域洛朗级数10)(--z z 项的系数.即，可通过求积分
dz z f i C
?)(21π的值或求洛朗级数10)(--z z 项系数来计算留数，所以 若0z 为)(z f 的可去奇点，则0]),([Re 0=z z f s .
若0z 为)(z f 的本质奇点，则10]),([Re -=c z z f s .
若0z 为)(z f 的极点，则有以下规则：
规则I 若0z 是)(z f 的一级极点，有
)()(lim ]),([Re 000
z f z z z z f s z z -=→. 规则II 若0z 是)(z f 的m 级极点，有 )]()[(lim )!1(1]),([Re 011
00z f z z dz
d m z z f s m m m z z --=--→.
规则III 当)
()()(z Q z P z f =，)(z P 和)(z Q 都在0z 解析，如果0)(0≠z P ，0)(0=z Q ，0)(0≠'z Q ，则0z 为)(z f 的一级极点，且有 )
()(]),([Re 000z Q z P z z f s '=. 实际计算时，可以用规则，也可以用定义求洛朗级数的1-c ，或计算?C dz z f i
)(21π. （四）若函数)(z f 在z R <<+∞解析，C 为圆环域绕原点的任何一条正向简单闭曲线，则称积分
?C dz z f i
)(21π为)(z f 在∞点的留数，记为 ?--==∞C c dz z f i z f s 1)(21]),([Re π. 定理 如果函数)(z f 在扩充的复平面只有有限个孤立奇点，则)(z f 在所有各奇点（包括∞点）的留数总和比等于零.
规则IV ]0,1)1([Re ]),([Re 2z
z f s z f s ?-=∞. 以上定理和规则提供了计算复变函数沿闭曲线积分的一种方法，这些方法使用恰当的话会使计算更简便.
四、孤立奇点类型的判别及其在留数计算中的应用相关例题 例1 指出下列函数在零点z=0的级：
（1）)1(22-z e z （2）)6(sin 66
33-+z z z . 解（1）用求导数验证：记0)0(,)1()(22=-=f e z z f z ，不难计算
,0)0(,)(22)(23='++-='f e z z z z f z
,0)0(,2)2104()(2
24=''-++=''f e z z z f z ,0)0(,)24368()(235='''++='''f e z z z z f z
,24)0(,)2415611216()()4(24642=+++=f e z z z z f z ）（
即 0)0(,0)0()0()0()0()4(=='''=''='=f
f f f f 故0=z 为函数)1(22-z e z 的四阶零点.