2004年数学一试题分析、详解和评注
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)
(1)曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .
【分析】 本题为基础题型,相当于已知切线的斜率为1,由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。 【详解】 由11
)(ln ==
'='x
x y ,得x=1, 可见切点为)0,1(,于是所求的切线方程为 )1(10-?=-x y , 即 1-=x y .
【评注】 本题也可先设切点为)ln ,(00x x ,曲线y=lnx 过此切点的导数为11
==
'=x y x x ,得10=x ,由此可知所求切线方程为)1(10-?=-x y , 即 1-=x y .
本题比较简单,类似例题在一般教科书上均可找到. (2)已知x x xe e f -=')(,且f(1)=0, 则f(x)=
2)(ln 2
1
x . 【分析】 先求出)(x f '的表达式,再积分即可。
【详解】 令t e x
=,则t x ln =,于是有
t t t f ln )(=
', 即 .ln )(x
x
x f =
' 积分得 C x dx x x x f +==?2)(ln 2
1ln )(. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0,故所求函数为f(x)= 2
)(ln 21x .
【评注】 本题属基础题型,已知导函数求原函数一般用不定积分。
完全类似的例题见《数学复习指南》P89第8题, P90第11题.
(3)设L 为正向圆周22
2
=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分
?
-L
ydx xdy 2的值为
π2
3 . 【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示,相应曲线积分可化为定积分。 【详解】 正向圆周22
2
=+y x 在第一象限中的部分,可表示为 .
2
0:,
sin 2,cos 2π
θθθ→
??
?==y x
于是
θθθθθπd y d x x d y L
]s i n 2s i n 22c o s 2c o s 2[220
?+?=-??
=.2
3sin 220
2πθθππ
=
+
?
d 【评注】 本题也可添加直线段,使之成为封闭曲线,然后用格林公式计算,而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.
完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143例10.11,《考研数学大串讲》P122例5、例7 .
(4)欧拉方程)0(0242
22
>=++x y dx dy
x dx y d x 的通解为 221x c x c y +=.
【分析】 欧拉方程的求解有固定方法,作变量代换t
e x =化为常系数线性齐次微分方程即可。 【详解】 令t
e x =,则
dt
dy
x dt dy e dx dt dt dy dx dy t 1==?=-, ][1112222
2222dt dy
dt
y d x dx dt dt y d x dt dy x dx y d -=?+-=, 代入原方程,整理得
0232
2=++y dt dy
dt
y d , 解此方程,得通解为 .2
2
1221x c x c e c e
c y t t
+=
+=-- 【评注】 本题属基础题型,也可直接套用公式,令t
e x =,则欧拉方程
)(2
22
x f cy dx dy
bx dx
y d ax =++, 可化为 ).(][22t e f cy dt dy
b dt dy dt
y d a =++- 完全类似的例题见《数学复习指南》P171例6.19, 《数学题型集粹与练习题集》P342第六题.,《考研数
学大串讲》P75例12.
(5)设矩阵????
??????=100021012A ,矩阵B 满足E BA ABA +=**2,其中*
A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,
则=B
9
1
. 【分析】 可先用公式E A A A =*
进行化简 【详解】 已知等式两边同时右乘A ,得
A A BA A ABA +=**2, 而3=A ,于是有 A
B AB +=63, 即 A B E A =-)63(,
再两边取行列式,有
363==-A B E A ,
而 2763=-E A ,故所求行列式为.9
1=
B 【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点,而题设含有伴随矩阵*
A ,一般均应先利用公式
E A AA A A ==**进行化简。
完全类似例题见《数学最后冲刺》P107例2,P118例9 (6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >
=
e
1 . 【分析】 已知连续型随机变量X 的分布,求其满足一定条件的概率,转化为定积分计算即可。 【详解】 由题设,知2
1
λ
=DX ,于是
}{DX X P >
=dx e X P x ?+∞
-=>
λ
λλλ
1}1
{
=.11
e
e x
=-∞+-λ
λ 【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征,而不应在考试时再去推算。 完全类似例题见《数学一临考演习》P35第5题.
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)把+
→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t x
x x
???
===0
30
2
sin ,tan ,cos 2
γβα,使排在后面的是前一个
的高阶无穷小,则正确的排列次序是
(A) γβα,,. (B) βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,. [ B ] 【分析】 先两两进行比较,再排出次序即可.
【详解】 0c o s 2t a n lim cos tan lim
lim 2
20
02=?==+
+
+
→→→?
?
x x
x dt
t dt t x x
x x x αβ
,可排除(C),(D)选项,
又 x
x x x dt
t dt
t x x
x
x x tan 221
sin lim tan sin lim
lim 2
3
03
02
?==+
+
+
→→→?
?
βγ
=
∞=+→20lim 41x
x x ,可见γ是比β低阶的无穷小量,故应选(B). 【评注】 本题是无穷小量的比较问题,也可先将γβα,,分别与n
x 进行比较,再确定相互的高低次序. 完全类似例题见《数学一临考演习》P28第9题.
(8)设函数f(x)连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得
(A) f(x)在(0,)δ内单调增加. (B )f(x)在)0,(δ-内单调减少. (C) 对任意的),0(δ∈x 有
f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有
f(x)>f(0) .
[ C ]
【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零,一般不能推导出单调性,因此可排除(A),(B)选项,再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可。
【详解】 由导数的定义,知
0)
0()(l i m
)0(0
>-='→x
f x f f x ,
根据保号性,知存在0>δ,当),0()0,(δδ -∈x 时,有
0)
0()(>-x
f x f
即当)0,(δ-∈x 时,f(x)
∑∞
=1n n
a
为正项级数,下列结论中正确的是
(A) 若n n na ∞
→lim =0,则级数
∑∞
=1
n n
a
收敛.
(B ) 若存在非零常数λ,使得λ=∞
→n n na lim ,则级数
∑∞
=1
n n
a
发散.
(C) 若级数
∑∞
=1n n
a
收敛,则0lim 2
=∞
→n n a n .
(D) 若级数
∑∞
=1
n n
a
发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞
→n n na lim . [ B ]
【分析】 对于敛散性的判定问题,若不便直接推证,往往可用反例通过排除法找到正确选项.
【详解】 取n n a n ln 1=,则n n na ∞→lim =0,但∑∑∞
=∞==1
1ln 1
n n n n n a 发散,排除(A),(D);
又取n
n a n 1=
,则级数
∑∞
=1
n n
a
收敛,但∞=∞
→n n a n 2
lim ,排除(C), 故应选(B).
【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式,
01l i m l i m ≠==∞→∞→λn
a na n n n n ,而级数∑∞=11
n n 发散,因此级数∑∞
=1
n n a 也发散,故应选(B).
完全类似的例题见《数学复习指南》P213例8.13.
(10)设f(x)为连续函数,??
=
t t
y
dx x f dy t F 1
)()(,则)2(F '等于
(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ B ]
【分析】 先求导,再代入t=2求)2(F '即可。关键是求导前应先交换积分次序,使得被积函数中不含有变量t.
【详解】 交换积分次序,得
??
=
t t
y
dx x f dy t F 1
)()(=???-=t x t
dx x x f dx dy x f 1
1
1
)1)((])([
于是,)1)(()(-='t t f t F ,从而有 )2()2(f F =',故应选(B).
【评注】 在应用变限的积分对变量x 求导时,应注意被积函数中不能含有变量x: ?
'-'=')
()
()()]([)()]([])([
x b x a x a x a f x b x b f dt t f
否则,应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x 换到积分号外或积分线上。
完全类似例题见《数学最后冲刺》P184例12,先交换积分次序再求导.
(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B,再把B 的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为
(A) ??????????101001010. (B) ?????
?????100101010. (C) ?????
?????110001010. (D) ????
?
?????100001110. [ D ]
【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质,对A 作两次初等列变换,相当于右乘两个相应的初等矩阵,而Q 即为此两个初等矩阵的乘积。
【详解】由题设,有
B A =??????????100001010,
C B =??????????100110001, 于是, .100001110100110001100001010C A A =????
?
?????=????
????????????????
可见,应选(D).
【评注】 涉及到初等变换的问题,应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系。 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P196例2.2
(12)设A,B 为满足AB=O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A) A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. (C) A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.
(D) A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. [ A ]
【分析】A,B 的行列向量组是否线性相关,可从A,B 是否行(或列)满秩或Ax=0(Bx=0)是否有非零解进行分析讨论.
【详解1】 设A 为n m ?矩阵,B 为s n ?矩阵,则由AB=O 知,
n B r A r <+)()(.
又A,B 为非零矩阵,必有r(A)>0,r(B)>0. 可见r(A) 【详解2】 由AB=O 知,B 的每一列均为Ax=0的解,而B 为非零矩阵,即Ax=0存在非零解,可见A 的列向量组线性相关。 同理,由AB=O 知,O A B T T =,于是有T B 的列向量组,从而B 的行向量组线性相关,故应选(A). 【评注】 AB=O 是常考关系式,一般来说,与此相关的两个结论是应记住的: 1) AB=O ?n B r A r <+)()(; 2) AB=O ?B 的每列均为Ax=0的解。 完全类似例题见《数学最后冲刺》P110例10-11,《数学一临考演习》P79第4题,〈考研数学大串讲〉P173例8, P184例27。 (13)设随机变量X 服从正态分布N(0,1),对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若 α=<}{x X P ,则x 等于 (A) 2 αu . (B) 2 1α - u . (C) 2 1α-u . (D) α-1u . [ C ] 【分析】 此类问题的求解,可通过αu 的定义进行分析,也可通过画出草图,直观地得到结论。 【详解】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知,αα=-<}{u X P ,于是 }{2}{}{}{}{11x X P x X P x X P x X P x X P ≥=-≤+≥=≥=<-=-α 即有 21}{α -= ≥x X P ,可见根据定义有2 1α-=u x ,故应选(C). 【评注】 本题αu 相当于分位数,直观地有 α α 2/)1(α- o αu 2 1α-u 此类问题在文登学校的辅导班上作为正态分布的一般结论总结过. (14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02 >σ 令∑==n i i X n Y 1 1,则 (A) Cov(.),2 1n Y X σ= (B) 21),(σ=Y X Cov . (C) 212)(σn n Y X D += +. (D) 2 11)(σn n Y X D +=-. [ A ] 【分析】 本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可,注意利用独立性有: .,3,2,0),(1n i X X Cov i == 【详解】 Cov(∑∑==+==n i i n i i X X Cov n X X Cov n X n X Cov Y X 2 111111),(1),(1)1,(), = .1 121σn DX n = 【评注】 本题(C),(D) 两个选项的方差也可直接计算得到:如 2 222 22111)1()111()(σσn n n n X n X n X n n D Y X D n -++=++++=+ = 222 233σσn n n n n +=+, 2 222 22111)1()111()(σσn n n n X n X n X n n D Y X D n -+-=----=- = .22222 2σσn n n n n -=- 完全类似的例题见《数学一临考演习》P78第23题(本题是第23题的特殊情况). (15)(本题满分12分) 设2 e b a e <<<, 证明)(4 ln ln 2 2 2 a b e a b -> -. 【分析】 根据要证不等式的形式,可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明. 【证法1】 对函数x 2 ln 在[a,b]上应用拉格朗日中值定理,得 .),(ln 2ln ln 2 2 b a a b a b <<-= -ξξ ξ 设t t t ln )(= ?,则2 ln 1)(t t t -='?, 当t>e 时, ,0)(<'t ? 所以)(t ?单调减少,从而)()(2 e ?ξ?>,即 2222 ln ln e e e =>ξξ , 故 )(4 ln ln 22 2 a b e a b -> -. 【证法2】 设x e x x 22 4 ln )(- =?,则 24 ln 2 )(e x x x -='?, 2 ln 12)(x x x -=''?, 所以当x>e 时,,0)(<''x ? 故)(x ?'单调减少,从而当2 e x e <<时, 044)()(2 22 =-= '>'e e e x ??, 即当2 e x e <<时,)(x ?单调增加. 因此当2 e x e <<时,)()(a b ??>, 即 a e a b e b 2 2 22 4ln 4ln ->- , 故 )(4ln ln 22 2a b e a b ->-. 【评注】 本题也可设辅助函数为2 22 2),(4ln ln )(e x a e a x e a x x <<<-- -=?或 2 222),(4ln ln )(e b x e x b e x b x <<<-- -=?,再用单调性进行证明即可。 完全类似的例题见《数学复习指南》P347例13.31及P344的[解题提示], 《考研数学大串讲》P65例13. (16)(本题满分11分) 某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h. 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66 ?=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少? 注kg 表示千克,km/h 表示千米/小时. 【分析】 本题是标准的牛顿第二定理的应用,列出关系式后再解微分方程即可。 【详解1】 由题设,飞机的质量m=9000kg ,着陆时的水平速度h km v /7000=. 从飞机接触跑道开始记时,设t 时刻飞机的滑行距离为x(t),速度为v(t). 根据牛顿第二定律,得 kv dt dv m -=. 又 dx dv v dt dx dx dv dt dv =?=, 由以上两式得 dv k m dx -=, 积分得 .)(C v k m t x +- = 由于0)0(,)0(0==x v v ,故得0v k m C =,从而 )).(()(0t v v k m t x -= 当0)(→t v 时, ).(05.1100.6700 9000)(6 0km k mv t x =??=→ 所以,飞机滑行的最长距离为1.05km. 【详解2】 根据牛顿第二定律,得 kv dt dv m -=, 所以 .dt m k v dv -= 两端积分得通解t m k Ce v -=,代入初始条件00 v v t ==解得0v C =, 故 .)(0t m k e v t v -= 飞机滑行的最长距离为 ).(05.1)(0 00 km k mv e k mv dt t v x t m k == -== ∞+-∞ +? 或由t m k e v dt dx -=0,知)1()(000--==--?t m k t t m k e m kv dt e v t x ,故最长距离为当∞→t 时, ).(05.1)(0 km m kv t x =→ 【详解3】 根据牛顿第二定律,得 dt dx k dt x d m -=22, 02 2=+dt dx m k dt x d , 其特征方程为 02 =+λλm k ,解之得m k -==21,0λλ, 故 .21t m k e C C x -+= 由 00 2000,0v e m kC dt dx v x t t m k t t t =-== ==-===, 得 ,021k m v C C =-= 于是 ).1()(0 t m k e k mv t x --= 当+∞→t 时,).(05.1)(0 km k m v t x =→ 所以,飞机滑行的最长距离为1.05km. 【评注】 本题求飞机滑行的最长距离,可理解为+∞→t 或0)(→t v 的极限值,这种条件应引起注意. 完全类似的例题见《数学最后冲刺》P98-99例10-11. (17)(本题满分12分) 计算曲面积分 ,)1(3222 33dxdy z dzdx y dydz x I ??∑ -++= 其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧. 【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面,应用高斯公式求解,而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可. 【详解】 取1∑为xoy 平面上被圆122=+y x 所围部分的下侧,记Ω为由∑与1∑围成的空间闭区域,则 dxdy z dzdx y dydz x I ??∑+∑-++= 1 )1(3222 33 .)1(3221 233dxdy z dzdx y dydz x ??∑-++- 由高斯公式知 d x d y d z z y x d x d y z d z d x y d y d z x ?????Ω ∑+∑++=-++)(6)1(3222223 31 =rdz r z dr d r )(6 20 1 10 22 ? ?? -+π θ =.2)]1()1(2 1[122 3221 0ππ=-+-?dr r r r r 而 ????≤+∑=-- =-++1 2 33 221 33)1(322y x dxdy dxdy z dzdx y dydz x π, 故 .32πππ-=-=I 【评注】 本题选择1∑时应注意其侧与∑围成封闭曲面后同为外侧(或内侧),再就是在1∑上直接投影积分时,应注意符号(1∑取下侧,与z 轴正向相反,所以取负号). 完全类似的例题见《数学复习指南》P325例12.21,《数学题型集粹与练习题集》P148例10.17(2), 《数 学一临考演习》P38第19题. (18)(本题满分11分) 设有方程01=-+nx x n ,其中n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当1>α时,级数 ∑∞ =1 n n x α收敛. 【分析】 利用介值定理证明存在性,利用单调性证明惟一性。而正项级数的敛散性可用比较法判定。 【证】 记 .1)(-+=nx x x f n n 由01)0(<-=n f ,0)1(>=n f n ,及连续函数的介值定理知,方程 01=-+nx x n 存在正实数根).1,0(∈n x 当x>0时,0)(1>+='-n nx x f n n ,可见)(x f n 在),0[+∞上单调增加, 故方程01=-+nx x n 存在惟一正 实数根.n x 由01=-+nx x n 与0>n x 知 n n x x n n n 110<-= <,故当1>α时,αα )1(0n x n <<. 而正项级数∑∞ =11n n α收敛,所以当1>α时,级数∑∞ =1 n n x α 收敛. 【评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性,题型设计比较新颖,但难度并不大,只要基本 概念清楚,应该可以轻松求证。 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P91例6.15(有关根的存在性与惟一性证明), 收敛性证明用比较法很简单. (19)(本题满分12分) 设z=z(x,y)是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数,求),(y x z z =的极值点和极值. 【分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点,先求出一阶偏导,再令其为零确定极值点即可,然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值,并求出相应的极值. 【详解】 因为 0182106222=+--+-z yz y xy x ,所以 02262=??-??--x z z x z y y x , 0222206=??-??--+-y z z y z y z y x . 令 ??? ????=??=??0,0y z x z 得 ? ? ? =-+-=-,0103,03z y x y x 故 ?? ?==. , 3y z y x 将上式代入01821062 2 2 =+--+-z yz y xy x ,可得 ??? ??===3,3,9z y x 或 ?? ? ??-=-=-=.3,3,9z y x 由于 02)(22222222=??-??-??-x z z x z x z y , ,02222622=???-?????-???-??--y x z z x z y z y x z y x z 02)(22222022222=??-??-??-??-??-y z z y z y z y y z y z , 所以 61)3,3,9(2 2=??= x z A ,21)3,3,9(2-=???=y x z B ,3 5 ) 3,3,9(2 2= ??=y z C , 故03612 >= -B AC ,又06 1 >=A ,从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点,极小值为z(9,3)=3. 类似地,由 61)3,3,9(2 2-=??= ---x z A ,21)3,3,9(2=???=---y x z B ,3 5 )3,3,9(2 2-=??=---y z C , 可知03612 >= -B AC ,又06 1 <-=A ,从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点,极大值为 z(-9, -3)= -3. 【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题,关键是求可能极值点时应注意x,y,z 满足原方程。 完全类似的例题见《数学复习指南》P277例10.31. (20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组 ) 2(, 0)(,02)2(2,0)1(212121≥?? ???? ?=++++=++++=++++n x a n nx nx x x a x x x x a n n n 试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解. 【分析】 本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组,可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形,再讨论其秩是否小于n ,进而判断是否有非零解;或直接计算系数矩阵的行列式,根据题设行列式的值必为零,由此对参数a 的可能取值进行讨论即可。 【详解1】 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换,有 .00002111122221111B a na a a a a n n n n a a A =????? ? ??????--+→????????????+++= 当a=0时, r(A)=1 ,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η 于是方程组的通解为 ,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数. 当0≠a 时,对矩阵B 作初等行变换,有 .10000120002)1(10000121111?????? ????????--++→???? ????????--+→ n n n a n a B 可知2 ) 1(+- =n n a 时,n n A r <-=1)(,故方程组也有非零解,其同解方程组为 ???????=+-=+-=+-, 0,03,0213 121n x nx x x x x 由此得基础解系为 T n ),,2,1( =η, 于是方程组的通解为 ηk x =,其中k 为任意常数. 【详解2】 方程组的系数行列式为 1 )2)1((22221 111-++=+++=n a n n a a n n n n a a A . 当0=A ,即a=0或2 ) 1(+- =n n a 时,方程组有非零解. 当a=0时,对系数矩阵A 作初等行变换,有 ???? ? ???????→????????? ???=000000000111122221111 n n n n A , 故方程组的同解方程组为 ,021=+++n x x x 由此得基础解系为 ,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η 于是方程组的通解为 ,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数. 当2 ) 1(+- =n n a 时,对系数矩阵A 作初等行变换,有 ?????? ??????--+→????????????+++=a na a a a a n n n n a a A 00002111122221111 ???? ? ???????--→????????? ???--+→1000012000010000121111 n n a , 故方程组的同解方程组为 ???????=+-=+-=+-, 0,03,0213 121n x nx x x x x 由此得基础解系为 T n ),,2,1( =η, 于是方程组的通解为 ηk x =,其中k 为任意常数. 【评注】 矩阵A 的行列式A 也可这样计算: ? ? ??? ???? ???+++=a n n n n a a A 22221111=aE +????????????n n n n 22221111,矩阵? ? ??? ? ??????n n n n 222211 11的特征值为2)1(,0,,0+n n ,从而A 的特征值为a,a,2 ) 1(,++n n a , 故行列式.)2 )1((1 -++ =n a n n a A 类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P228例4.4和P234例4.12. (21)(本题满分9分) 设矩阵???? ??????---=51341321a A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化. 【分析】 先求出A 的特征值,再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量,确定A 是否可相似对 角化即可. 【详解】 A 的特征多项式为 5 1 3 4 10)2(251 3 4 1321 -------=------= -λλλλλλλλa a A E =).3188)(2(5 13 4 1 011 )2(2a a ++--=------λλλλλλ 当2=λ是特征方程的二重根,则有,03181622=++-a 解得a= -2. 当a= -2时,A 的特征值为2,2,6, 矩阵2E-A=???? ??????----321321321的秩为1,故2=λ对应的线性无关的特征向量有两个,从而A 可相似对角化。 若2=λ不是特征方程的二重根,则a 31882 ++-λλ为完全平方,从而18+3a=16,解得 .3 2-=a 当32 -=a 时,A 的特征值为2,4,4,矩阵4E-A=? ???? ???????---132 1301323秩为2,故4=λ对应的线性无关的特 征向量只有一个,从而A 不可相似对角化。 【评注】 n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是:对于A 的任意i k 重特征根i λ,恒有.)(i i k A E r n =--λ 而单根一定只有一个线性无关的特征向量。 原题见《考研数学大串讲》P224例20.,完全类似的例题还可参见《数学复习指南》P462例5.12及[解题提示]. (22)(本题满分9分) 设A,B 为随机事件,且2 1 )(,31)(,41)(=== B A P A B P A P ,令 ;,,0,1不发生发生A A X ?? ?= .,,0,1不发生 发生B B Y ???= 求:(I )二维随机变量(X,Y)的概率分布; (II )X 和Y 的相关系数.XY ρ 【分析】 先确定(X,Y)的可能取值,再求在每一个可能取值点上的概率,而这可利用随机事件的运算性质 得到,即得二维随机变量(X,Y)的概率分布;利用联合概率分布可求出边缘概率分布,进而可计算出相关系数。 【详解】 (I ) 由于12 1 )()()(= =A B P A P AB P , ,6 1 )()()(== B A P AB P B P 所以, 12 1)(}1,1{= ===AB P Y X P , 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P , ,12 1)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P )(1)(}0,0{B A P B A P Y X P +-==== =3 2)()()(1= +--AB P B P A P (或3 2121611211}0,0{=---===Y X P ), 故(X,Y)的概率分布为 Y X 0 1 0 32 121 1 6 1 12 1 (II) X, Y 的概率分布分别为 X 0 1 Y 0 1 P 43 41 P 65 6 1 则61,41==EY EX ,163=DX ,DY=365, E(XY)=12 1 , 故 24 1 )(),(=?-=EY EX XY E Y X Cov ,从而 .15 15),(= ?= DY DX Y X Cov XY ρ 【评注】 本题尽管难度不大,但考察的知识点很多,综合性较强。通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件,可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来,这种命题方式值得注意。 原题见《考研数学大串讲》P274例3. (23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为 ,1, 1, 0,11),(≤>????? -=x x x x F ββ 其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求: (I ) β的矩估计量; (II ) β的最大似然估计量. 【分析】 先由分布函数求出概率密度,再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可。 【详解】 X 的概率密度为 .1,1, 0, ),(1≤>?????=+x x x x f βββ (I ) 由于 1 );(1 1 -=? == ?? +∞ ++∞ ∞ -βββ ββdx x x dx x xf EX , 令 X =-1 ββ,解得 1 -= X X β,所以参数β的矩估计量为 .1 ?-=X X β (II )似然函数为 ?? ? ??=>==+=∏其他,0),,,2,1(1,)();()(1211n i x x x x x f L i n n n i i ββββ 当),,2,1(1n i x i =>时,0)(>βL ,取对数得 ∑=+-=n i i x n L 1 ln )1(ln )(ln βββ, 两边对β求导,得 ∑=-=n i i x n d L d 1 ln )(ln βββ, 令 0) (ln =β βd L d ,可得 ∑==n i i x n 1 ln β, 故β的最大似然估计量为 .ln ?1 ∑==n i i X n β 【评注】 本题是基础题型,难度不大,但计算量比较大,实际做题时应特别注意计算的准确性。 完全类似的例题见《数学复习指南》P596例6.9, 《数学题型集粹与练习题集》P364第十三题,《数学一临考演习》P26第23题.