函数解题思路方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标.需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号.或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置.要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称.可利用这一性质.求和已知一点对称的点坐标.或已知与x 轴的一个交点坐标.可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式.二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例.揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
动点问题题型方法归纳总结
动态几何特点----问题背景是特殊图形.考查问题也是特殊图形.所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中.特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）
动点问题一直是中考热点.近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、
相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍.解题方法、关键给以点拨。
二、 抛物线上动点
5、（湖北十堰市）如图①. 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1.0)和点
B (－3.0).与y 轴交于点
C ．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M .问在对称轴上是否存在点P.使△CMP为等腰三角形？若存在.请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在.请说明理由．
(3) 如图②.若点E为第二象限抛物线上一动点.连接BE、CE.求四边形BOCE面积的最大值.并求此时E点的坐标．
注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时.以C为圆心CM为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.②M为顶点时.以M为圆心MC为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.③P为顶点时.线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。
第（3）问方法一.先写出面积函数关系式.再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二.先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组）.再求面积。
070809
动点个数两个一个两个
问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边
上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动
共同点：
⑤探究存在性问题时.先画出图形.再根据图形性质探究答案。
二次函数的动态问题（动点）
1.如图.已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，.(20)B -，.(08)E ，．
①特殊四边形为背景；
②点动带线动得出动三角形；
③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）； ④求直线、抛物线解析式；
（1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M .抛物线2C 与x 轴分别交于
C D ，两点（点C 在点D 的左侧）.顶点为N .四边形MDNA 的面积为S ．若点A .点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时.点M .点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动.直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式.并写出自变量t 的取
值范围；
（3）当t 为何值时.四边形MDNA 的面积S 有最大值.并求出此最大值；
（4）在运动过程中.四边形MDNA 能否形成矩形？若能.求出此时t 的值；若不能.请说明理由．
[解] （1）点(40)A -，.点(20)B -，.点(08)E ，关于原点的对称点分别为
(40)D ，.(20)C ，.(08)F -，
． 设抛物线2C 的解析式是
2(0)y ax bx c a =++≠.
则16404208a b c a b c c ++=??
++=??=-?
，，． 解得168a b c =-??
=??=-?
，，．
所以所求抛物线的解析式是2
68y x x =-+-． （2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，．
过点N 作NH AD ⊥.垂足为H ．
当运动到时刻t 时.282AD OD t ==-.12NH t =+．
根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，.所以四边形MDNA 是平行四边形． 所以2ADN S S =△．
所以.四边形MDNA 的面积2
(82)(12)4148S t t t t =-+=-++．
因为运动至点A 与点D 重合为止.据题意可知04t <≤．
所以.所求关系式是24148S t t =-++.t 的取值范围是04t <≤． （3）781
444
S t ??=--+ ???.（04t <≤）
． 所以74t =
时.S 有最大值814
． 提示：也可用顶点坐标公式来求．
（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形．
由（2）知四边形MDNA 是平行四边形.对角线是AD MN ，.所以当AD MN =时四边形
MDNA 是矩形．
所以OD ON =．所以2222OD ON OH NH ==+．
所以22420t t +-=
．解之得1222t t ==，（舍）． 所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形.
此时2t =
．
[点评]本题以二次函数为背景.结合动态问题、存在性问题、最值问题.是一道较传统的压轴题.能力要求较高。
2. （06福建龙岩卷）如图.已知抛物线2
34y x bx c =-++与坐标轴交于A B C ，，三点.点A 的横坐标为1-.过点(03)C ，的直线3
34y x t
=-+与x 轴交于点Q .点P 是线段BC 上
的一个动点.PH OB ⊥于点H ．若5PB t =.且01t <<．
（1）确定b c ，的值：__________b c ==，；
（2）写出点B Q P ，，的坐标（其中Q P ，用含t 的式子表示）：
(______)(______)(______)B Q P ，，，，，；
（3）依点P 的变化.是否存在t 的值.使PQB △为等腰三角形？若存在.求出所有t 的值；若不存在.说明理由．
[解] （1）9
4
b =
3c = （2）(40)B ， (40)Q t ， (443)P t t -，
（3）存在t 的值.有以下三种情况 ①当PQ PB =时
PH OB ⊥.则GH HB = 4444t t t ∴--= 1
3
t ∴=
②当PB QB =时 得445t t -= 4
9
t ∴=
③当PQ QB =时.如图
解法一：过Q 作QD BP ⊥.又PQ QB =
则5
22
BP BD t ==
又BDQ BOC △∽△
BD BQ
BO BC ∴=
544245t
t -∴= 32
57
t ∴=
解法二：作Rt OBC △斜边中线OE
则5
22
BC OE BE BE ===，.
此时OEB PQB △∽△
BE OB
BQ PB
∴
= 5
4
2445t t ∴=-
32
57
t ∴=
解法三：在Rt PHQ △中有2
22
QH PH PQ += 2
2
2
(84)(3)(44)
t t t ∴-+=
-C O
C
O
257320t t ∴-=
32
057
t t ∴=
=，（舍去） 又01t <<
∴当13t =或49或32
57
时.PQB △为等腰三角形．
解法四： 数学往往有两个思考方向：代数和几何.有时可以独立思考.有时
需要综合运用。
代数讨论：计算出△PQB 三边长度.均用t 表示.再讨论分析 Rt △PHQ 中用勾股定理计算PQ 长度.而PB 、BQ 长度都可以直接直
接用t 表示.进行分组讨论即可计算。
[点评]此题综合性较强.涉及函数、相似性等代数、几何知识.1、2小题不难.第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论.需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验.在本题中若求出的t 值与题目中的01t <<矛盾.应舍去 3.如图1.已知直线12y x =-
与抛物线21
64
y x =-+交于A
B ，两点． （1）求A B ，两点的坐标；
（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；
（3）如图2.取与线段AB 等长的一根橡皮筋.端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动.动点P 将与A B ，构成无数个三角形.这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在.求出最大面积.并指出此时P 点的坐标；如果不存在.请简要说明理由．
[解] （1）解：依题意得216412
y x y x
?=-+????=-??解之得12126432x x y y ==-????=-=??
(63)(42)A B ∴--，，，
（2）作AB 的垂直平分线交x 轴.y 轴于C D ，两点.交AB 于M （如图1） 由（1
）可知：OA OB ==
图2 图1
AB ∴=
12OM AB OB ∴=
-= 过B 作BE x ⊥轴.E 为垂足 由BEO OCM △∽△.得：
5
4OC OM OC OB OE =∴=，. 同理：5
55002
42OD C D ????=∴- ? ???
?
?
，，，， 设CD 的解析式为(0)y kx b k =+≠
5204
5522
k k b b b ?==+????∴∴??=-??-=???
AB ∴的垂直平分线的解析式为：5
22
y x =-
． （3）若存在点P 使APB △的面积最大.则点P 在与直线AB 平行且和抛物线只有一个交点的直线1
2
y x m =-
+上.并设该直线与x 轴.y 轴交于G H ，两点（如图2）
． 212164
y x m y x ?=-+??∴??=-+??
211
6042
x x m ∴-+-=
抛物线与直线只有一个交点.
2
114(6)024m ??
∴--?-= ???
.
2523144m P ??∴=
∴ ???
， 在直线125
24
GH y x =-
+：中. 25250024G H ????
∴ ? ?????
，，，
GH ∴=