华师一附中
高考数学压轴题精选精练 共46道典型压轴题
华师一附中高考数学知识点 华师一附中高考数学高分法则
1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对
称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.
（Ⅰ）求这三条曲线的方程；
（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =
2
4y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）
由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分）
对于椭圆，()()2
2
2
122112114222a M F M F =+=+++-+=+
()
2
2
2
2
2
2
2
1212
322
2221
322222
a a
b a
c x
y
∴=+∴=+
=+∴=-=+∴+
=++ 椭圆方程为：
………………………………（4分）
对于双曲线，122222a M F M F '=-=-
2
2
2
2
2
2
21
322
2221
322222
a a
b
c a x
y
'∴=
-'∴=-'''∴=-=-∴-
=-- 双曲线方程为：
………………………………（6分）
（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，D E 中点为H 令()11
113,,,22x y A x y +??
∴
???
C ………………………………………………（7分） ()()2
2
1
1
11
11322
3123
2
2
D C AP x
y x C H a x
a ∴==-++=
-=
-+
()()()22
2
2
2
21112
12
1
132344-2324622222
D H
D C C H
x y x a a x a a
a D H
D E D H l x ????∴=-=
-+--+???
?=-+==-+=∴=='= 当时,为定值;
为定值此时的方程为： …………（12分）
2．
（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点()1
,n n n
A a a +在抛物线2
1y
x =+上；数列{}
n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.
（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；
（Ⅱ）若()()()
n n a f n b ??=?
??, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k
值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数n ，不等式
1
1202111111n n
n
n a
a
n a b b b +-
≤??????-++++
? ? ??
????? 成立，求正数a 的取值范围.
解：（Ⅰ）将点()1,n n n A a a +代入21y x =+中得
()11111115:21,21
n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-?=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）
（Ⅱ）()()()
521n f n n ?+?=?
+??, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）
()()()()()()
27274275421,42735227145,2
4k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴== 当为偶数时，为奇数， 当为奇数时，为偶数， 舍去综上，存在唯一的符合条件。
……………………（8分）
（Ⅲ）由
1
1202111111n n
n
n a
a
n a b b b +-
≤??
????-++++
? ? ???????
()()()()
121212111
111111231
1111112311111111112512312324
24123
2525n n n n n a b b b n f n b b b n f n b b b b n f n n n n n f n b n n n ++??????≤
+++
? ? ?+?
???????
????=
+++
? ? ?+??????????
????∴+=
+++
+ ? ? ? ?+????????+??++++∴=
?+=
?=
?+++?
? 即记
()()()()()2
2
m in 2523416161
41615
1,14451,
315
545015
n n n n n n f n f n f n f n f a +?
+++=
>++∴+>∴==?=∴<≤
即递增，
………………………………（14分）
3.（本小题满分12分）将圆O: 4y x 2
2
=+上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变),
得到曲线C. (1) 求C 的方程;
(2) 设O 为坐标原点, 过点)0,3(F 的直线l 与C 交于A 、B 两点, N 为线段AB 的中点, 延长线段ON 交C 于点E.
求证: ON 2OE =的充要条件是3|A B |= .
解: (1)设点)y ,x (P '' , 点M 的坐标为)y ,x ( ,由题意可知??
?='=',
y 2y ,x x ………………(2分)
又,4y x 22='+'∴1y
4
x
4y 4x 2
2
2
2=+?
=+.
所以, 点M 的轨迹C 的方程为
1y 4
x
2
2
=+.………………(4分)
(2)设点)y ,x (A 11 , )y ,x (B 22 , 点N 的坐标为)y ,x (00 , ㈠当直线l 与x 轴重合时, 线段AB 的中点N 就是原点O, 不合题意,舍去; ………………(5分) ㈡设直线l: ,3my x +
=
由?????=++=4
y 4x 3my x 22消去x,
得01my 32y )4m (22=-++………………①
∴,4
m m 3y 2
0+-
=………………(6分)
∴4
m 344
m
34m 34
m
m 33my
x 2
2
2
2
2
0+=
+++
+-
=+=,
∴点N 的坐标为)4
m m 3,4
m 34(
2
2
+-
+ .………………(8分)
①若OE ON 2=, 坐标为, 则点E 的为)4
m m 32,4
m 38(
2
2
+-
+ , 由点E 在曲线C 上,
得
1)
4m
(m 12)
4m
(482
2
2
2
2
=++
+, 即,032m 4m 2
4=-- ∴4m
(8m
2
2
-== 舍去).
由方程①得,14
m 1m 44
m 16
m 4m 12|y y |2
2
2
2
221=++=
+++=
-
又|,)y y (m ||my my ||x x |212
121-=-=-
∴3|y y |1m |A B |212=-+= .………………(10分) ②若3|A B |= , 由①得
,34
m )1m (422
=++∴ .8m
2
=
∴点N 的坐标为)6
6,3
3(
± , 射线ON 方程为: )0x (x 2
2y >±
=
,
由?????=+>±=4y 4x )0x (x 2
2y 22 解得??
?
????±==36y 33
2x ∴点E 的坐标为),36,332(± ∴OE ON 2=.
综上, OE ON 2=的充要条件是3|A B |= .………………(12分)
4.（本小题满分14分）已知函数241
)x (f x
+=
)R x (∈. (1) 试证函数)x (f 的图象关于点)4
1
,21( 对称;
(2) 若数列}a {n 的通项公式为)m ,,2,1n ,N m ()m
n (f a n =∈=+, 求数列}a {n 的前m 项和
;S m
(3) 设数列}b {n 满足: 3
1b 1=
, n 2n
1n b b b +=+. 设1
b 11
b 11
b 1T n 21n ++
+++
+= .
若(2)中的n S 满足对任意不小于2的正整数n, n n T S <恒成立, 试求m 的最大值.
解: (1)设点)y ,x (P 000 是函数)x (f 的图象上任意一点, 其关于点)41
,2
1
( 的对称点为)y ,x (P .
由???
????=+=
+4
12
y y 2
1
2x x
00 得?????-=-=.y 21y ,
x 1x 00 所以, 点P 的坐标为P )y 2
1,x 1(00--
.………………(2分)
由点)y ,x (P 000 在函数)x (f 的图象上, 得2
4
1y 0
x 0+=.
∵,)
24
(244244
2
4
1)x 1(f 0
x x x x x 10+=
?+=
+=
--
=
+-
=
-2
4
12
1y 2
10
x 0,)
24
(24
x x + ∴点P )y 2
1,x 1(00--
在函数)x (f 的图象上.
∴函数)x (f 的图象关于点)41
,2
1
( 对称. ………………(4分)
(2)由(1)可知, 2
1)x 1(f )x (f =-+, 所以)1m k 1(2
1)m
k 1(f )m
k (
f -≤≤=
-
+ ,
即,2
1a a , 2
1)m
k m (
f )m k (
f k m k =
+∴=
-+- ………………(6分)
由m 1m 321m a a a a a S +++++=- , ……………… ① 得,a a a a a S m 13m 2m 1m m +++++=--- ………………② 由①＋②, 得,612m 6122
1m a 22
1)1m (S 2m m -=?
+-=
+?-=
∴).1m 3(12
1S m -=
………………(8分) (3) ∵,3
1b 1=
)1b (b b b b n n n 2
n 1n +=+=+, ………………③
∴对任意的0b ,N n n >∈+ . ………………④ 由③、④, 得
,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n
n n 1n +-
=+=
+即
1
n n n b 1b 11b 1+-
=+.
∴1
n 1
n 1
1
n n
3
2
2
1
n b 13b 1b 1)b 1b 1(
)b 1b 1()b 1b 1(
T +++-
=-=-
++-+-= .……………(10分)
∵,b b ,0b b b n 1n 2n n 1n >∴>=-++ ∴数列}b {n 是单调递增数列. ∴n T 关于n 递增. 当2n ≥, 且+∈N n 时, 2n T T ≥. ∵,81
52
)194(94b ,94)131(31b ,31b 321=+==+=
=
∴.52
75b 13T T 1
2n =
-
=≥………………(12分)
∴,52
75S m <即
,52
75)1m 3(12
1
<-∴,39
4639
238m =< ∴m 的最大值为6. ……………(14分)
5．（12分）E 、F 是椭圆22
24x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点.
（1） 当A E A F ⊥时，求AEF ?的面积；
（2） 当3AB =时，求AF BF +的大小；
M
F
E
O
y
A
B
P
x
（3） 求E P F ∠的最大值. 解：（1）2
2
4128
2
A E F m n S m n m n ?+=??=
=?
+=?
（2）因484AE AF AB AF BF BE BF ?+=??++=?+=??
，
则 5.AF BF +=
（1） 设(22,)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠
2
2
1
322322
22223()(1)6
63
t t
t
t
t t t
-?
=-÷+
=
=
≤
++，
当6t =时，3303
tan EPF EPF ∠=
?∠=
6．（14分）已知数列{}n a 中，113
a =
，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足2
221
n
n n S a S =
-，
（2） 求n S 的表达式及2
lim
n n n
a S →∞
的值；
（3） 求数列{}n a 的通项公式； （4） 设3
3
11(21)
(21)
n b n n =
-
+-，求证：当n N ∈且2n ≥时，n n a b <.
解：（1）2
1111
21122(2)21
n
n n n n n n n n n
n S a S S S S S S n S S S ----=-=
?-=?
-
=≥-
所以1n S ??????是等差数列.则1
21n S n =+.
2
22lim
lim
221
2lim 1
n n n n
n n n a S
S S →∞
→∞
→∞
==
=---.
（2）当2n ≥时，12
11221
21
41
n n n a S S n n n --=-=
-=+--，
综上，()()2
113
2214n n a n n
?
=??=??≥?-?.
（3）令11,21
21
a b n n =
=
-+，当2n ≥时，有103
b a <<≤
（1）
法1：等价于求证
()
()
3
3
11
11
21
21
2121n n n n -
>-
-+-+.
当2n ≥时，110,21
3
n <
≤-令()2
3
1,0,3
f x x x x =-<≤
()2
3313232(1)2(1)2(1)02
2
2
3
f x x x x x x x '=-=-
≥-
?
=->，
则()f x 在1(0,
]3
递增.
又11102121
3
n n <
<
≤
+-，
所以3
3
1
1
(
)(
),21
21
g g n n <+-即n n a b <.
法（2）2233
3
3
1111(
)()21
21
(21)
(21)
n n a b b a b a n n n n -=
-
--
=---+-+-
22
()()a b a b ab a b =-++-- （2） 2
2
()[()()]2
2
ab ab a b a a b b =-+
-++
- ()[(1)(
1)]2
2
b a a b a a b b =-+
-++- （3）
因3331111102
2
2
2
23
a b a b a +
-<+
-<
-<
-=
-<，所以(1)(1)02
2
b a a a b b +-++-<
由（1）（3）（4）知n n a b <.
法3：令()2
2
g b a b ab a b =++--，则()12102
a g
b b a b -'=+-=?=
所以()()(){}{}220,,32g b max g g a max a a a a ≤=--
因10,3
a <≤
则()2
10a a a a -=-<，2
214323()3()03
3
9
a a a a a -=-
≤-<
所以()2
2
0g b a b ab a b =++--< （5）
由（1）（2）（5）知n n a b <
7． (本小题满分14分)
设双曲线
2
22
2b
y a
x -
=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A ，
P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.
(1) 证明：无论P 点在什么位置，总有|→
--OP |2
= |→-OQ ·→
--OR | ( O 为坐标原点)；
(2) 若以OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围； 解：(1) 设OP ：y = k x, 又条件可设AR: y =
a
b (x – a ),
解得：→
--OR = (
b
ak ab --,
b
ak kab --), 同理可得→
-OQ = (b
ak ab +,
b
ak kab +),
∴|→
-OQ ·→
--OR | =|
b ak ab
--b ak ab
++
b ak kab
--b
ak kab
+| =
|
b k
a |)k 1(
b a 2
2
2
2
2
2
-+. 4分
设→
--OP = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP 方程联立解得:
m 2
=
2
2
2
22k
a b b
a -, n 2
=
2
2
2
222k a b b
a k -,
∴ |→
--OP |2 = :m 2 + n 2
=
2
2
2
22
k
a b b
a -+
2
2
2
222k
a b b
a k -=
2
2
2
2
22k
a b )k 1(b a -+ ,
∵点P 在双曲线上，∴b 2 – a 2k 2 > 0 .
∴无论P 点在什么位置，总有|→
--OP |2
= |→-OQ ·→
--OR | . 4分 （2）由条件得：
2
2
2
2
2
2
k a b )k 1(b a -+= 4ab, 2分
即k 2
= 2
2
a
4ab ab
b
4+-> 0 , ∴ 4b > a, 得e >
4
17 2分
8. (本小题满分12分)
已知常数a > 0, n 为正整数，f n ( x ) = x n
– ( x + a)n
( x > 0 )是关于x 的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ≥ a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) 解: (1) f n `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,
∵a > 0 , x > 0, ∴ f n `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分 （2）由上知：当x > a>0时, f n ( x ) = x n
– ( x + a)n
是关于x 的减函数,
∴ 当n ≥ a 时, 有：(n + 1 )n – ( n + 1 + a)n ≤ n n – ( n + a)n . 2分
又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [x
n
–( x+ a )n
] ,
∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ n n – ( n + a)n ] = ( n + 1 )[ n n – ( n
+ a )( n + a)n – 1 ] 2分
( n + 1 )f n `(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分 ∵( n + a ) > n ,
∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) . 2分
9. (本小题满分12分)
已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v ∈[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .
(1) 判断函数p ( x ) = x 2 – 1 是否满足题设条件？
(2) 判断函数g(x)=1,[1,0]1,[0,1]x x x x +∈-??-∈?
，是否满足题设条件？
解： (1) 若u ,v ∈ [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u 2 – v 2
|=| (u + v )(u – v) |，
取u =
4
3∈[–1，1]，v =
2
1∈[–1，1],
则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 4
5| u – v | > | u – v |，
所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论：
10. 若u ,v ∈ [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件； 20
. 若u ,v ∈ [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件； 30. 若u ∈[–1，0]，v ∈[0，1]，则：
|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件; 40 若u ∈[0，1]，v ∈[–1，0], 同理可证满足题设条件.
综合上述得g(x)满足条件.
10. (本小题满分14分)
已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = 1
x x +(x ≠ –1)的图象上，且有t 2 – c 2at + 4c 2 = 0 ( c ≠ 0 ).
(1) 求证：| ac | ≥ 4;
(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证：(1) ∵ t ∈R, t ≠ –1,
∴ ⊿ = (–c 2
a)2
– 16c 2
= c 4a 2
– 16c 2
≥ 0 ， ∵ c ≠ 0, ∴c 2a 2 ≥ 16 , ∴| ac | ≥ 4. (2) 由 f ( x ) = 1 –
1
x 1+,
法1. 设–1 < x 1 < x 2, 则f (x 2) – f ( x 1) = 1– 1
x 12+–1 + 1
x 11+= )
1x )(1x (x x 1221++-.
∵ –1 < x 1 < x 2, ∴ x 1 – x 2 < 0, x 1 + 1 > 0, x 2 + 1 > 0 ,
∴f (x 2) – f ( x 1) < 0 , 即f (x 2) < f ( x 1) , ∴x ≥ 0时，f ( x )单调递增. 法2. 由f ` ( x ) =
2
)
1x (1+> 0 得x ≠ –1,
∴x > –1时，f ( x )单调递增.
（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ≥
|
a |4 > 0 ,
∴f (| c | ) ≥ f (
|
a |4) =
1
|
a |4|a |4
+=
4|a |4+
f ( | a | ) + f ( | c | ) =
1
|a ||a |++
4
|a |4
+>
4
|a ||a |++
4
|a |4+=1.
即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.
11．（本小题满分15分）
设定义在R 上的函数43201234()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i=0,1,2,3,4），当 x= －1时，f (x)取得极大值23
，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称．
（1） 求f (x)的表达式；
（2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间
2,
2??-?
?上； （3） 若+212(13),(N )2
3
n
n
n n n
n
x y n --==
∈，求证：4()().3
n n f x f y -<
解：（1）3
1().3
f x x x =
-…………………………5分
（2）()20,0,2,3?
?-
?
??
?或()20,0,2,.3??
- ? ??
?…………10分 （3）用导数求最值，可证得4()()(1)(1).3
n n f x f y f f -<--<……15分
12．（本小题满分13分）
设M 是椭圆2
2
:
112
4
x
y
C +
=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭
圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．
解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠
则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分
22
11
22
221,(1)124
1.(2)124
x y x y ?+=????+=?? ………………………………………………………3分
由（1）－（2）可得1.3
M N Q N k k ?=-
………………………………6分
又MN ⊥MQ ，11
1,,M N M Q M N x k k k y ?=-=-
所以11
.3Q N y k x =
直线QN 的方程为1111
()3y y x x y x =
+-，又直线PT 的方程为11
.x y x y =-
……10分
从而得1111,.2
2
x x y y =
=-所以112,2.x x y y ==-
代入（1）可得2
2
1(0),3
x
y xy +=≠此即为所求的轨迹方程.………………13分
13．（本小题满分12分）
过抛物线y x 42=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=?PB PA （1）求点P 的轨迹方程；
（2）已知点F （0，1），是否存在实数λ使得0)(2=+?FP FB FA λ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由. 解法（一）：（1）设)(),4
,
(),4
,
(212
222
11x x x x B x x A ≠
由,42
y x =得：2
'
x y =
2
,2
21x k x k PB PA =
=
∴
4,,021-=∴⊥∴=?x x PB PA PB PA ………………………………3分
直线PA 的方程是：)(2
4
112
1x x x x y -=
-
即4
2
2
11x x x y -
=
①
同理，直线PB 的方程是：4
2
2
22x x x y -=
②
由①②得：??
??
?∈-==+=),(,
142212
121R x x x x y x x x ∴点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分
（2）由（1）得：),14
,
(2
11-=x x FA ),14
,
(2
22-=x x FB )1,2
(
2
1-+x x P
4),2,2
(
212
1-=-+=x x x x FP
4
2)14
)(
14
(
2
2
2
12
22
121x x x x x x FB FA +-
-=--+=? …………………………10分
24
44
)
()(2
2
2
12
212
++=
++=
x x x x FP
所以0)(2=+?FP FB FA
故存在λ=1使得0)(2=+?FP FB FA λ…………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA 、PB 与抛物线相切，且,0=?PB PA ∴直线PA 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ⊥ 设PA 的直线方程是)0,,(≠∈+=k R m k m kx y
由???=+=y
x m kx y 42得：0442
=--m kx x 016162=+=?∴m k 即2
k m -=…………………………3分
即直线PA 的方程是：2
k kx y -= 同理可得直线PB 的方程是：2
11k
x k y -
-
=
由??
???--=-=2211k x k y k kx y 得：?????
-=∈-=11y R k
k x 故点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分 （2）由（1）得：)1,1(),1
,
2
(),,2(2
2
---
k
k P k
k B k k A
)11
,
2
(),1,2(2
2
--
=-=k
k FB k k FA
)2,1(--
=k
k FP
)1(2)11)(1(42
2
2
2
k
k k
k FB FA +
--=--+-=?………………………………10分
)1(24)1(
)(2
2
2
2
k
k k k
FP +
+=+-=
故存在λ=1使得0)(2=+?FP FB FA λ…………………………………………12分
14．（本小题满分14分）
设函数x ax
x x f ln 1)(+-=
在),1[+∞上是增函数.
（1） 求正实数a 的取值范围； （2） 设1,0>>a b ，求证：
.ln
1b
b a b
b a b
a +<
+<+
解：（1）01)(2
'≥-=
ax
ax x f 对),1[+∞∈x 恒成立，
x
a 1≥
∴对),1[+∞∈x 恒成立
又
11≤x
1≥∴a 为所求.…………………………4分
（2）取b
b a x +=，1,0,1>+∴
>>b
b a b a ，
一方面，由（1）知x ax
x x f ln 1)(+-=
在),1[+∞上是增函数，
0)1()(
=>+∴f b
b a f
0ln 1>+++?
+-
∴
b b a b b a a b b
a
即b a b b a +>+1
ln ……………………………………8分 另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G
)1(0111)('
>>-=
-
=x x
x x
x G
∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G ∴当1>x 时，0)1()(>>G x G ∴x x ln > 即b b a b b a +>+ln
综上所述，.ln
1b
b
a b
b a b
a +<
+<+………………………………………………14分
15．(本小题满分12分)
如图，直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，90C ∠= ，
B
、C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，3BD D C =，
ABC
!的周长为12．若一双曲线E 以B 、C 为焦点，且经过A 、
D
两点．
(1) 求双曲线E 的方程；
(2) 若一过点(,0)P m （m 为非零常数）的直线l 与双曲线E
相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且M P P N λ=
，问在x 轴上是否存在定点G ，使
()
BC G M G N λ⊥-
？若存在，求出所有这样定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1) 设双曲线E 的方程为
222
2
1(0,0)x y a b a
b
-
=>>，
则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -．
由3BD D C =，得3()c a c a +=-，即2c a =．
∴2
2
2
||||16,||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ?-=?
+=-??-=?
（3分）
解之得1a =，∴2,3c b ==． ∴双曲线E 的方程为2
2
13
y
x -
=． （5分）
(2) 设在x 轴上存在定点(,0)G t ，使()
BC G M G N λ⊥-
．
设直线l 的方程为x m ky -=，1122(,),(,)M x y N x y ．
由MP PN λ=
，得120y y λ+=．
x
y
D
O
C
A
B
x
y
D
O C
A
B B
C
O
y
x
G
P
即12
y y λ=-
① （6分）
∵(4,0)BC =
，
1212(,)GM GN x t x t y y λλλλ-=--+-
， ∴()BC G M G N λ⊥-
12()
x t x t λ?-=-． 即12()ky m t ky m t λ+-=+-． ② （8分）
把①代入②，得
12122()()0ky y m t y y +-+=
③ （9分）
把x m ky -=代入2
2
13
y
x -
=并整理得
2
2
2
(31)63(1)0k y kmy m -++-=
其中2310k -≠且0?>，即213
k ≠且2231k m +>． 2
1212
2
2
63(1),31
31
km m y y y y k k --+=
=--．
（10分）
代入③，得
2
22
6(1)6()031
31
k m km m t k k ---
=--，
化简得 km t k =． 当1t m
=
时，上式恒成立．
因此，在x 轴上存在定点1(
,0)G m
，使()
BC G M G N λ⊥-
． （12分）
16．(本小题满分14分)
已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*n ∈N 都有(1)n n p S p pa -=-（p 为大于1的常数），记1
2
121C C C ()2n
n n n n
n
n
a a a f n S ++++=
．
(1) 求n a ；
(2) 试比较(1)f n +与
1()
2p f n p
+的大小（*n ∈N ）；
(3) 求证：21
11(21)()(1)(2)(21)
112n p p n f n f f f n p p -??
??++-+++--?? ?-?????
?
剟，（*n ∈N ）． 解：(1) ∵(1)n n p S p pa -=-，
① ∴11(1)n n p S p pa ++-=-．
②
②－①，得
11(1)n n n p a pa pa ++-=-+，
即1n n a pa +=．
（3分）
在①中令1n =，可得1a p =．
∴{}n a 是首项为1a p =，公比为p 的等比数列，n n a p =． （4分）
(2) 由(1)可得(1)(1)11
n
n
n p p p p S p
p --=
=
--．
1
2
121C C C n
n n n n a a a ++++ 1
2
2
1C C C (1)(1)n
n
n
n
n n n p p p p p =++++=+=+ ．
∴12121C C C ()2n
n n n n
n
n
a a a f n S ++++=
1(1)
2(1)
n
n
n
p p p
p -+=
?
-， （5分）
(1)f n +1
1
1
1(1)2
(1)
n n n p p p
p
+++-+=
?
-．
而
1()2p f n p
+1
1
1
1(1)2
()
n n n p p p
p
p +++-+=
?
-，且1p >，
∴1110n n p p p ++->->，10p ->． ∴(1)f n +<
1()
2p f n p +，（*n ∈N ）．
（8分）
(3) 由(2)知 1
(1)2p f p +=
，(1)f n +<
1()2p f n p
+，（*n ∈N ）．
∴当2n …时，2
1
1111()(1)(
)(2)(
)
(1)(
)
2222n n
p p p p f n f n f n f p
p
p
p
-++++<
-<-<<= ．
∴221
1
11(1)(2)(21)222n p p p f f f n p p p -????
++++++-+++ ? ?????
…
21
11112n p p p p -??
??++=-?? ?-??????
， （10分）
（当且仅当1n =时取等号）．
另一方面，当2n …，1,2,,21k n =- 时，
2221(1)(1)
()(2)2(1)2(1)k n k
k k n k n k
p p p f k f n k p p p ---??-+++-=+??--??
2221(1)
(1)
2
2(1)2
(1)
k
n k
k
k
n k
n k
p p p p
p p
----++??
--…
212(1)1
2
(1)(1)
n
n
k
n k
p p p p p
--+=?--
2212(1)1
2
1
n
n
n
k n k
p p p p
p p
--+=?--+．
∵22k n k n p p p -+…，∴2222121(1)n k n k n n n p p p p p p ---+-+=-…． ∴12(1)
()(2)2()
2(1)
n
n
n
p p f k f n k f n p
p -++-?
=-…
，（当且仅当k n =时取等号）．（13分）
∴21
21
21
1
1
1
1()[()(2)]()(21)()
2
n n n k k k f k f k f n k f n n f n ---====
+
-=-∑∑∑…．（当且仅当1n =时取等号）．
综上所述，21
21
1
11(21)()()
112n n k p p n f n f k p p --=?
?
??++--??∑ ?-?????
?
剟，（*n ∈N ）．（14分）
17．（本小题满分13分）
如图，已知双曲线C ：x
a y
b
a b 2
22
2100-=>>()，的右准线l 1与一
条渐近线l 2交于点M ，F 是双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点.
（I ）求证：O M M F
→⊥→
； （II ）若||M F →=1且双曲线C 的离心率e =
62
，求双曲线C 的方程；
（III ）在（II ）的条件下，直线l 3过点A （0，1）与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q 且P 在A 、Q 之间，满足A P A Q →=→
λ，试判断λ的范围，并用代数方法给出证明.
解：（I ） 右准线l 12
：x a
c
=
，渐近线l 2：
y b a
x =
∴=+M a c a b c F c c a b ()()2222
0，，，， ，∴→=O M a c a b c
()2，
M Fc a c a b c b c a b
c
→=--=-()()
22，， O M M F a b c a b
c
O M M F
→?→=-=∴→⊥→
222222
0 ……3分
（II ） e b a
e a b
=∴=-=∴=6212
2
2222
，， ||()
M F b c a b c bb a c
b a →=∴+=∴+=∴==11111
422222222
22
，，， ∴双曲线C 的方程为：
x
y 2
2
2
1-=
……7分 （III ）由题意可得01
<<λ
……8分
证明：设l 31：y k x =+，点P xy Q x y ()()1122，，， 由x y y kx 22221
-==+???得()1244022
--+=
k x k x l 3与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q
∴-≠=+->+=->=-->??????
?
??∴≠±<<-
?
??
??
?1201616120412041202
2101202
22122
122
2
2
k k k x x k k x x k k k k k ?() ∴
-<<-122
k ……11分
A P A Q x y x y →=→
∴-=-λλ
，，，()()112211，得x x 12
=λ
∴+=-=--∴+=--=-=+-()()()141241211641242122
21
2222
2
2
2
22
22
λλλλx k k x k
k k k k k ，
-<<-∴<-<∴+>122
02111422
k k ，，()λλ
1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；
（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：．
6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；
专题4.4 立体几何中最值问题 一．方法综述 高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。 二．解题策略 类型一距离最值问题 AB=，若线段DE上存在点P 【例1】如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且2 ⊥，则边CG长度的最小值为（） 使得GP BP A. 4 B. 43 C. D. 23 【答案】D
又22002B G a （，，），（，，），所以2,2,,,2,.2 2ax ax BP x GP x a ???? =--=-- ? ?????u u u r u u u r () 24022ax ax PB PG x x a ?? =-++-= ??? u u u n r u u u r .显然0x ≠且2x ≠.所以22 1642a x x =--. 因为()0,2x ∈，所以(]2 20,1x x -∈.所以当221x x -=， 2a 取得最小值12.所以a 的最小值为23. 故选D. 【指点迷津】利用图形的特点，建立空间直角坐标系，设CG 长度为a 及点P 的坐标，求BP GP u u u r u u u r 与的坐标， 根据两向量垂直，数量积为0，得到函数关系式22 16 42a x x = --，利用函数求其最值。 举一反三 1、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是_____。 【答案】 3254 2?? ??
高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i
专题4.2 与球相关的外接与内切问题 一．方法综述 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体。 与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积来求球的半径。 二．解题策略 类型一构造法（补形法） 【答案】 9 【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方体）来解。长方体的外接球即为该三棱锥的外接球。 【例2】一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（） 【答案】A 【解析】
【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时，可以构造正方体，在正方体中构造三棱锥或四面体，利用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可。 【举一反三】 1、如图所示，设A，B，C，D为球O上四点，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝AC＝3，若AD＝R(R为球O的半径)，则球O的表面积为( ) A．πB．2πC．4πD．8π 【答案】D 【解析】因为AB，AC，AD两两垂直，所以以AB，AC，AD为棱构建一个长方体，如图所示，则长方体的各顶点均在球面上，AB＝AC＝3，所以AE＝6，AD＝R，DE＝2R，则有R2＋6＝(2R)2，解得R＝2，所以球的表面积S＝4πR2＝8π.故选D。 2、如图所示，已知三棱锥A-BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC＝3，BC＝2，CD＝5，则球O的表面积为( ) A．12π B．7π C．9π D．8π 【答案】A
放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i