7大学物理习题及综合练习答案详解
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
库仑定律
7-1 把总电荷电量为Q 的同一种电荷分成两部分，一部分均匀分布在地球上，另一部分均匀
分布在月球上，使它们之间的库仑力正好抵消万有引力，已知地球的质量M ＝
5.98l024kg ，月球的质量m =7.34l022kg 。（1）求 Q 的最小值；（2）如果电荷分配与质量成正比，求Q 的值。 解：（1）设Q 分成q 1、q 2两部分，根据题意有 2
221r
Mm
G r q q k
=，其中041πε=k 即 2221q k q GMm q q Q +=
+=。求极值，令0'=Q ，得 0122=-k
q GMm
C 1069.5132?==
∴k GMm q ，C 1069.51321?==k q GMm q ，C 1014.11421?=+=q q Q （2）21q m q M =
，k GMm q q =21 k
GMm m q mq Mq ==∴2122 解得C 1032.6122
2?==k
Gm q ， C 1015.51421?==m Mq q ，C 1021.51421?=+=∴q q Q 7-2 三个电量为 –q 的点电荷各放在边长为 l 的等边三角形的三个顶点上，电荷Q （Q ＞0）放
在三角形的重心上。为使每个负电荷受力为零，Q 值应为多大？
解：Q 到顶点的距离为 l r 33=
，Q 与-q 的相互吸引力为 20141r
qQ F πε=， 两个-q 间的相互排斥力为 2
2
0241l q F πε=
据题意有 10
230cos 2F F =，即 2
022041300cos 41
2r
l q πεπε=?，解得：q Q 33= 电场强度
7-3 如图7-3所示，有一长l 的带电细杆。（1）电荷均匀分布，线密度为+λ，则杆上距原点x 处的线元d x 对P 点的点电荷q 0 的电场力为何？q 0受的总电场力为何（
2）若电荷线密度λ=kx ，k 为正常数，求P 点的电场强度。
解：（1）线元d x 所带电量为x q d d λ=，它对q 0的电场力为
200200)(d 41
)(d 41
d x a l x q x a l q q F -+=-+=
λπεπε
q 0 图7-3
a
λ
l P x
q -q
-q
-l
l r Q r
r
q 0受的总电场力 )(4)(d 4000200a l a l q x a l x
q F l
+=-+=
?πελπελ
00>q 时，其方向水平向右；00 （2）在x 处取线元d x ，其上的电量x kx x q d d d ==λ，它在P 点的电场强度为 2 020)(d 41)(d 41 d x a l x kx x a l q E P -+=-+= πεπε )ln (4)(d 40020a l a a l k x a l x x k E l P ++=-+= ∴?πεπε 方向沿x 轴正向。 7-4一半径为R 的绝缘半圆形细棒，其上半段均匀带电量+q ，下半段均匀带电量-q ，如图7-4 所示，求半圆中心处电场强度。 解：建立如图所示的坐标系，由对称性可知，+q 和-q 在O 点电场强度沿x 轴的分量之和为 零。取长为d l 的线元，其上所带电量为 θπ θππλd 2d 2d 2 1 d d q R R q l R q l q === =，2 0d 41d R q E πε=∴ 方向如图 y 方向的分量 θεπθ θπεcos 2d cos d 41 d 2 0220R q R q E y -=- = j R q j R q E 2 0220 2 02d cos 22επθθεππ - =? -=∴? 7-5一半径为R 的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为σ ，求球心处电场强度。 解：沿半球面的对称轴建立x 轴，坐标原点为球心O 。 在球面上取半径为r 、宽为d l 的环带，如图，其面积为 θππd 2d 2d R r l r S ?==，所带电荷 θπσσd 2d d R r S q ??== d q 在O 处产生的电场强度为，2 3 2202 3220)(d 2)(d 41d r x xr R r x q x E += += θ εσπε 图7-4 θsin R r = ，θcos R x = θθθεσ d cos sin 2d 0 = ∴E 因为球面上所有环带在O 处产生的电场强度方向相同， i i E 20 4d cos sin 2εσθθθεσπ == ∴? 7-6一无限大均匀带电薄平板，面电荷密度为σ ，平板中部有一半径为R 的圆孔, 如图7-6所示。求圆孔中心轴线上的场强分布。（提示：利用无穷大板和圆盘的电场及场强叠加原理） 解：利用补偿法，将圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，即等效为 一个 完整的带电无穷大平板和一个电荷面密度相反的圆盘叠加而成。 无穷大平板的电场为 n e E 012εσ= 圆盘激发的电场为 n e R x x E )1(22 20 2+--=εσ ，其中n e 为平板外法线的单位矢量。 圆孔中心轴线上的电场强度为 n e R x x E E E 2 20 212+= +=εσ 电通量 7-7电场强度为E 的匀强电场，其方向与半径为R 的半球面的对称轴平行，如图7-7所示， 求通过该半球面的电场强度通量。 解：作半径为R 的平面S ’与半球面S 构成一个闭合曲面，由于该闭合曲面内无电荷，由高 斯定理 0d d d ' ' =?+?=?=Φ??? +S S S S S E S E S E E R R E S E S E S S S 22' cos d d πππ=?-=?-=?=Φ∴?? 7-8一边长为a 的立方体置于直角坐标系中，如图7-8所示。现空间中有一非均匀电场 j E i kx E E 21)(++=，E 1、E 2为常量，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。 解：0=z E 0=Φ=Φ∴DEFG OABC ??==?++=?=ΦS S ABGF a E S E j S j E i kx E S E 22221)(d ])[(d ??-=-?++=?=ΦS S CDEO a E j S j E i kx E S E 2221)d (])[(d ??-=-?+=?=ΦS S AOEF a E i S j E i E S E 2121)d ()(d ??+=?++=?=ΦS S BCDG a ka E i S j E i ka E S E 2121)()(d ])[(d 整个立方体表面的电场强度通量 3ka i i =Φ=Φ∑ 高斯定理 7-9有两个同心的均匀带电球面，内外半径分别为R 1和R 2，已知外球面的电荷面密度为 +σ ，其外面各处的电场强度都是零。试求：（1）内球面上的电荷面密度；（2）外球面以内空间的电场分布。 解：作一半径为r 的同心球面为高斯面。设内球面上的电荷面密度为'σ。 （1）2R r >处：因为外球面外的电场强度处处为零，由高斯定理有 0)4'4(1 1d 212 20 3=?+?= = ?∑? R R q S E i i S πσπσεε ，得 σσ2 1 2)( 'R R -= （2）由高斯定理 011 = 21R r R << 21024'1d R S E S πσε?=?? 即 210 224'1 4R r E πσεπ?=? 2 02 2202121220212)(44'r R r R R R r R E εσ εσπεπσ-=?-=?=∴ 方向沿径向反向 图7-8 7-10一对无限长的均匀带电共轴直圆筒，内外半径分别为R 1和R 2，沿轴线方向单位长度的 电量分别为λ1和λ2。（1）求各区域内的场强分布；（2）若λ1＝-λ2，情况如何？画出此情形下的E ～ r 的关系曲线。 解：（1）作一半径为r 、长为h 的共轴圆柱面为高斯面，由高斯定理有 011 = 21R r R << h S E S 1021d λε=?? h rh E 10 212λεπ=?∴，得 r r E ?2012 πελ= 2R r > h S E S )(1d 2103λλε+=?? 得 r r E ?2021 3 πελλ+= （2）21λλ-=时，01=E ，r r E ?2012 πελ= ，03=E 7-11设半径为R 的球体，电荷体密度 ρ ═ kr （r ≤ R ），其中k 为常量，r 为距球心的距离。 求电场分布，并画出E ～ r 的关系曲线。 解：作一半径为r 的同心球面为高斯面。根据高斯定理 R r < 40 20 11 d 41 d 1d kr r r kr V S E r V S πεπερε= ?= = ?? ? ? 即 4 02 11 4kr r E πεπ=? 得 r kr E ?40 21 ε= R r > 40 20 21 d 41d kR r r kr S E R S πεπε= ?= ?? ? 即 4 02 21 4kR r E πεπ=? 得 r r kR E ?42 042 ε= 7-12一厚度为d =0.5cm 的无限大平板，均匀带电，电荷体密度 ρ ═ 1.0?10-4C/m 3，求（1）平 板内外的电场分布；（2）讨论平板中央以及平板内与其表面相距0.1cm 处的电场强度。 12 解：（1）设中心平面为S 0。根据对称性，在距S 0处为x 处对称地取两面积均为S ?的底面 作一圆柱形高斯面，其侧面与板面垂直（如图所示），即侧面的电通量为零。 2 d x < 时 S x S E S E S ??= ?=??ρε212d 011 ， x E 01ερ=∴ 2d x >时 S d S E S E S ???= ?=??2212d 022ρε ， 0 2ερd E =∴ （2）平板中央 0=x ，00=∴E 平板内与表面相距0.1cm 处，cm 15.0=x 412 3 401069.11085.8105.1100.1?=????== ∴---ερx E V/m 7-13一个电荷体密度为 ρ（常量）的球体。（1）证明球内距球心r 处一点的电场强度为 r E 0 3ερ=；（2）若在球内挖去一个小球，如图7-13所示，证明小球空腔内的电场是匀 强电场a E 03ερ=，式中a 是球心到空腔中心的距离矢量。 证：（1）作与球体同心的球面为高斯面，根据高斯定理 ? ?= ?V S V S E d 1d 0 ρε 即 3 023 44r r E περπ?= ? r E 03ερ=∴ 矢量式 r E 3ερ= 得证 （2）填充法：设在空腔中填充电荷密度分别为ρ和-ρ的电荷球体，形成电荷密度分别为ρ和-ρ的大球体和小球体。 对腔内任一点P （如图），由（1）的结果有 大球 r E P 013ερ=； 小球 '302r E P ερ-= a r r E E E P P 0213)'(3ερερ=-=+= 得证 静电场的环路定理 S ? 7-14若电场中某一部分电场线的形状是以O 点为中心的同心圆弧。证明该部分上各点的电 场强度都应与该点离O 点的距离成反比，即E 1 r 1 = E 2 r 2 。 证：作一回路abcd ，如图。根据静电场环路定理 0d d d 221121=-=?+?=????l E l E l E l E l E da bc 即 2211l E l E = θ11r l = θ22r l =，2211r E r E =∴ 得证 7-15证明：在静电场中，凡电场线都是平行直线的地方，电场强度的大小必定处处相等。 （提示：利用环路定理和高斯定理） 证：设电场方向水平向右。在一电场线上任取两点1和2，作两底面足够小的圆柱面，如 图。由高斯定理 0d d d 1212=??-??=?+?=??????S E S E S E S E S E S S S 12E E =∴ 即同一电场线上任意两点的电场强度相等。 作一矩形回路abcd ，其中ab 、cd 与电场线垂直，bc 、da 与电场线平行，即有 c b d a E E E E ==， 由静电场环路定理 ??????+?+?+?=?da cd bc ab l E l E l E l E l E d d d d d ?? ?+?=da bc l E l E d d 0=?-?=l E l E a b a b E E =∴ 即不同电场线上任意两点的电场强度相等。所以命题成立。 电场力的功和电势能 7-16边长为a 的正三角形, 三个顶点上各放置q ，-q 和-2q 的点电荷，求此三角形重心上的电 势。将一电量为+Q 的点电荷由无限远处移到重心上，外力做功多少？ 图7-14 d l E 12 E a b c d 解：顶点到重心的距离a r 33= ，重心的电势为 a q r q r q r q U 0000234244πεπεπεπε-=-+-+= 外力所做的功 a qQ QU U U Q A 00023)(πε- ==-=∞外 7-17如图7-17所示，三个点电荷Q 1、Q 2、Q 3沿一直线等距放置，且Q 1=Q 3=Q ，其中任一点 电荷所受合力均为零。求Q 1、Q 3固定情况下，（1）Q 2在O 点时的电势能；（2）将Q 2从O 点推到无穷远处，外力所做的功。 解：（1）Q 1和Q 3在O 点产生的电势为 d Q d Q d Q U 003010244πεπεπε= + = 因为Q 1所受合力为零，即 0) 2(442 031202 1=+d Q Q d Q Q πεπε， 解得 Q Q Q 414132-==-=，Q 2在O 点的电势能 d Q QU U Q W 02 002841πε-=-== （2）将Q 2从O 点推到无穷远处，外力所做的功 a qQ U Q U U Q A 0020283)(πε=-=-=∞外 7-18一半径为R 的无限长带电棒，其内部的电荷均匀分布，电荷体密度为ρ 。（1）求电场 分布；（2）如图7-18所示（沿棒轴向俯视），若点电荷q 0由a 点运动到b 点，则电场力做功为多少？ 解：（1）取长为l 、半径为r 且与带电棒同轴的圆柱面为高斯面。由高斯定理 R r < ? ? ?= = ?V V S r rl V S E d 21 d 1d 0 1πρερε 图7-17 O Q 3 图7-18 即 l r rl E 2 011 2ρπεπ=? 得 r E 12ερ= R r > l R rl E 2 021 2ρπεπ=? 得 r r R E ?2022 ερ= （2）半径相同处的电势相等 ????? +=?+?=?=21d 2d 2d d d 0 200020100r R R r b R R a b a ab r r R q r r q l E q l E q l E q A ερερ R r R q r R q 20202 1200ln 2)(4ερερ+-= 电势 7-19题7-18中，若取棒的表面为零电势，求空间的电势分布。 解：取棒表面为零电势，即0=U R R r < 时，)(4d 2d 220011r R r r l E U R r R r -==?=? ?ερ ερ R r > 时，r R R r r R l E U R r r R ln 2d 2d 020222? ?=-=?=ερερ 7-20如图7-20所示，电荷面密度分别为 +σ 和 -σ 的两块“无限大”均匀带电平行平面，分别与 x 轴相交于x 1= a 和x 2= -a 两点。设坐标原点O 处电势为零，求空间的电势分布。 解： a x -<：01=E ；a x a <<-：i E εσ0 2=；a x >：03=E 。 ∴ a x -<：a l E l E U a x 0201d d εσ=?=?=??- a x a <<-：x l E l E U x x 2022d d εσ -=?-=?=?? a x >：a l l E l E U a a x 00203d d d εσ εσ-=-=?=?=??? 图7-20 7-21两根半径分别为R 1=3.0?10-2m 和R 2=0.10m 的长直同轴圆柱面，带有等量异号的电荷， 两者的电势差为450V 。求圆柱面单位长度上所带电荷λ 。 解：由高斯定理可求得两柱面间的电场强度 r E επλ 02= V 450ln 2d 2d 1 20012 21 21===?=∴??R R r r R R R R l E U πελπελ ，解得 m c 101.218??=--λ 7-22如图7-22所示的带电细棒，电荷线密度为λ，其中BCD 为半径为R 的半圆， AB =DE =R ，求（1）半圆上的电荷在半圆中心O 处产生的电势；（2）直细棒AB 和DE 在半圆中心O 处产生的电势；（3）O 处的总电势。 解：（1）取电荷元 l q d d λ=，0 001444d ελ πελππε= = =∴? R R R q U （2）在AB 上距O 点为r 处，取电荷元 l q d d λ= 2ln 44d 4d 0 2002πελ πελπε== =∴?? R R r r r q U 。同理DE 在O 点产生的电势 2ln 403επλ=U （3）)2ln 2(40 3210+= ++=πεπλ U U U U 7-23半径分别为R 1和R 2的两个同心球面，分别带有电荷q 1和q 2。求：（1）各区域电势分 布，并画出分布曲线；（2）两球面间电势差；（3）若R 1=10cm 、R 2=30cm 、q 1=10-8 C 、q 2=1.5?10-8C ，离球心20cm 和50 cm 处的电势为多少？ 解：（1）由高斯定理可得电场分布为 R r 1<：01=E ； R r R 21<<：e r q E r 2 01 24επ= ； R r 2>：e r q q E r 20122 4επ+=。 电势分布为 R r 1<： ???? ∞∞∞ ?+?+?=?=2 21 d d d d 3211R R R r r l E l E l E l E U O A 图7-22 B D E R q R q R q q R R q 2 02 10120212 1 01 444)11 ( 40επεπεπεπ+=++ - + = R r R 21<<： 2 020132244d d d 2 2R q r q l E l E l E U R R r r πεπε+ = ?+?=?=???∞∞ R r 2>： r q q l E U r 021334d πε+=?=?∞ (2) )11( 4d 2 10 212 21 R R q l E U R R -= ?=?πε (3) cm 20=r 即在两球面之间 V 900)3 .0105.12.010(109)(41 88 9 221020=?+??=+= --R q r q U επ cm 50=r 即在两球面之外 V 450)5 .0105.110(109)(41 8 8921050=?+??=+= --r q q U επ 电场强度与电势的关系 7-24已知一电场的电势函数为U = 2x 3 +y ，求电场强度E 。 解：x x U E x 2 6-=??-=，1-=??-=y U E y ，j i x j E i E E y x --=+=∴26 或 )6()(2 j i x k z U j y U i x U E +-=??+??+??-= 7-25试计算半径为R 、电荷线密度为λ的均匀带电细圆环轴线上的电势分布，并由电势分布 求出轴线上的电场强度分布。 解：在圆环上任取一线元，带电量为l Q d d λ=，Q d 在轴线上距圆环中心为x 点产生的电势 为 2 2004d 4d d x R l r Q U +== πελπε， 2 2 02 2 0242d x R R x R R U U += += =? ελπεπλ 2/3220)(2x R Rx x U E x +=??- =ελ，i x R Rx i E E x 2 /3220)(2+==ελ
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