2020高考数学模拟考试
（理科）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{}
0x x >，则A I B ＝ ． 答案：{1，2}
考点：集合的交集运算
解析：∵集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{}
0x x >， ∴A I B ＝{1，2}． 2．已知复数z 满足i 2i
z
=+（i 为虚数单位）
，则复数z 的实部为 ． 答案：﹣1 考点：复数 解析：∵
i 2i
z
=+ ∴2
i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，则复数z 的实部为﹣1．
3．已知向量a r ＝(x ，2)，b r ＝(2，﹣1)，且a r ⊥b r
，则实数x 的值是 ．
答案：1
考点：平面向量数量积坐标运算
解析：∵a r ＝(x ，2)，b r
＝(2，﹣1)， ∴a r ·b r ＝2x ﹣2 ∵a r ⊥b r
∴a r ·b r
＝2x ﹣2＝0，解得x ＝1．
4．函数
y =
的定义域为 ． 答案：(1，2)
考点：函数的定义域 解析：由题意得：10
20x x ->??
->?
，解得1＜x ＜2，即原函数定义域为(1，2)．
5．等比数列{}n a 中，11a =，48a =，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S = ．
答案：31
考点：等比数列前n 项和 解析：由题意，3
418
81
a q a =
==，解得q ＝2， ∴5521
3121
S -=
=-． 6．已知tan 2α=，则
sin cos 2sin α
αα
+的值为 ．
答案：
25
考点：同角三角函数关系式
解析：sin sin tan 22cos cos 2sin cos 2sin 12tan 1225
cos α
ααααααααα
====++++?． 7．“2x >”是“1x >”的 条件．（在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充
分又不必要”选一填写．） 答案：充分不必要
考点：充分条件、必要条件、充要条件的判断
解析：因为“2x >”一定能推出“1x >”，但“1x >”不能推出“2x >”， 故“2x >”是“1x >”的充分不必要条件． 8．已知函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移?(π
02
?<<
)个单位长度得到函数y ＝π
sin(2)6
x +的图象，则?的值为 ．
答案：
12
π 考点：三角函数的图像与性质
解析：函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移?(π
02?<<)个单位 则得sin 2()y x ?=+，即sin 2()y x ?=+＝π
sin(2)6
x +
求得12
π
?=
．
9．设函数,0()21,0
x e x f x x x ?≥=?+
(2)()f x f x +>的解集为 ．
答案：(﹣1，2)
考点：函数的单调性
解析：根据题意可得函数()f x 是R 上的单调递增函数，又2
(2)()f x f x +> 2
2x x +>，2
20x x --<，解得﹣1＜x ＜2，∴原不等式解集为(﹣1，2)． 10．已知函数()ln m
f x x x
=-的极小值大于0，则实数m 的取值范围为 ． 答案：(-∞，1e
-
) 考点：利用导数研究函数极值 解析：∵函数()ln m f x x x
=-， ∴221()m x m f x x x x
+'=
+=， 当m ≥0时，()f x '＞0，()f x 在(0，+∞)单调递增；
当m ＜0时，当x ＝﹣m 时，()f x 有极小值()ln()10f m m -=-+>， 解得：1
m e
<-
． 11．已知各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =，则37a a 的最大值为 ． 答案：9
考点：等差数列的性质，基本不等式
解析：∵各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =， ∴37526a a a +== ∴2
3737(
)92
a a a a +≤=，当且仅当37a a =＝3时取“＝”． 12．已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足CE 2ED =u u u r u u u r ，若AE EB 6?=-u u u r u u u r
，
则cosC ＝ ． 答案：
13
考点：平面向量数量积
解析：∵AE EB 6?=-u u u r u u u r
，
∴(AD DE)(CB CE)6+?-=-u u u r u u u r u u u r u u u r
12(CB CD)(CB CD)633--?-=-u u u r u u u r u u u r u u u r
，
2221CB CD CB CD 693
-++?=-u u u r u u u r u u u r u u u r
，
∵菱形ABCD 的棱长为3，
求得CB CD ?u u u r u u u r ＝3，∴CB CD 31
cos C 93
CB CD ?===u u u r u u u r u u u r u u u r ．
13．若方程π3
cos(2)65
x -=在(0，π)的解为1x ，2x ，则12cos()x x -= ． 答案：35
-
考点：三角函数的图像与性质，诱导公式 解析：根据题意，令函数()cos(2)6f x x π
=-
，当3
()5
f x =时，在(0，π)上有两个零点1x ，2x ，一方面13cos(2)65x π-=，另一方面可得两个零点1x ，2x 关于直线12
x π
=对称，
则2176x x π=
-，则1211177cos()cos[()]cos(2)66
x x x x x ππ
-=--=- 113
cos(2)cos(2)665
x x π
ππ=--=--=-． 14．已知函数2
3
()3f x x x =-，1
()ln x g x e
a x -=--，若对于任意1x ∈(0，3)，总是存在
两个不同的2x ，3x ∈(0，3)，使得123()()()f x g x g x ==，则实数a 的取值范围为 ． 答案：[1，2
ln34e --) 考点：函数与不等式
解析：根据23
111()3f x x x =-，1x ∈(0，3)，求得1()f x 的值域为(0，4]， 1
()ln x g x e
a x -=--，
1
1
()x g x e
x
-'=-，可以判断()g x '在(0，3)上单调递增 又(1)0g '=，故当0＜x ＜1时，()g x '＜0，()g x 在(0，1)单调递减 当1＜x ＜3时，()g x '＞0，()g x 在(0，1)单调递增 计算得(1)1g a =-，2
(3)ln 3g e a =--，
要使任意1x ∈(0，3)，总是存在两个不同的2x ，3x ∈(0，3)，使得
123()()()f x g x g x ==，
则210ln 34
a e a -≤??-->?，求得1≤a ＜2
ln34e --．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．
内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，c ＝7，a ﹣b ＝2．
（1）求a ，b 的值； （2）求sin(A ＋C)的值．
16．（本题满分14分）
已知向量a r ＝(cos x 3x )，b r
＝(cos x ，sin x )．
（1）若a r ∥b r ，x ∈[0，2
π
]，求x 的值；
（2）若()f x a b =?r r ，x ∈[0，2
π
]，求()f x 的最大值及相应x 的值．
17．（本题满分14分）
已知等比数列{}n a 满足22a =，且2a ，31a +，4a 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设21n n b a n =-+，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．
18．（本题满分16分）
如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD，下部是一个矩形ABCD，圆弧CD所在圆
的圆心为O．经测量AB＝4米，BC＝
3
3
米，∠COD＝120°，现根据需要把此窑洞窗口形
状改造为矩形EFGH，其中E，F在边AB上，G，H在圆弧CD上．设∠OGF＝θ，矩形EFGH 的面积为S．
（1）求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；
（2）求cosθ为何值时，矩形EFGH的面积S最大？
19．（本题满分16分）
已知函数()f x x x
=
-
． （1）求()f x 的图像在1x =处的切线方程；
（2）求函数()()F x f x x =-的极大值；
（3）若()ln af x x ≤对x ∈(0，1]恒成立，求实数a 的取值范围．
20．（本题满分16分）
已知数列{}n a 满足11(1)n n n a na a +-=-，n *
∈N ．
（1）证明：数列{}n a 为等差数列；
（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211a a -=，且对任意的正整数n ，都有
1113S <2311143
n S S S +++???+<，求整数1a 的值； （3）设数列{}n b 满足310
n n b a =+，若211
5a a -=，且存在正整数s ，t ，使得s t
a b +是整数，求1a 的最小值．
附加题（共40分）
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（本题满分10分）
已知二阶矩阵13a M b ??=????
的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-??
??
??． （1）求矩阵M ；
（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2
y x =，求曲线C 的方程．
B ．（本题满分10分）
已知曲线C 的极坐标方程为2cos 23ραα=+（α为参数），直线l 的参数方程
为1cos sin x t y t ββ
=+??
=?（t 为参数，π
02β<<），若曲线C 被直线l 13求β的
值．
C ．（本题满分10分）
设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：
3
2
a b c b c c a a b ++≥+++．
22．（本题满分10分）
某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是3
4
，甲、丙二人都没有击中目标的概率是
112，乙、丙二人都击中目标的概率是1
4
．甲乙丙是否击中目标相互独立． （1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；
（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．
23．（本题满分10分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=?，AB AC a ==，1AA b =，点E ，
F 分别在棱1BB ，1CC 上，且113BE BB =，1113
C F CC =．设b a λ=．
（1）当3λ=时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小； （2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值．