专题天体运动的“四个热点”问题
双星或多星模型
1.双星模型
(1)定义:绕公共圆心转动的两个星体组成的系统,我们称之为双星系统。如图1所示。
图1
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供,即
Gm1m2
L2＝m1ω
2
1
r1,
Gm1m2
L2＝m2ω
2
2
r2
②两颗星的周期及角速度都相同,即T1＝T2,ω1＝ω2
③两颗星的半径与它们之间的距离系为r1＋r2＝L
(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比,即
m1
m2＝
r2
r1。
2.多星模型
模型
三星模型(正三角形排
列)
三星模型(直线等间距
排列)
四星模型
图示
向心力
的来源
另外两星球对其万有
引力的合力
另外两星球对其万有
引力的合力
另外三星球对其万有
引力的合力
合并的引力波。根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s 时,它们相距约400 km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体,由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A.质量之积
B.质量之和
C.速率之和
D.各自的自转角速度
【试题解析】由题意可知,合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈,则两中子
星的周期相等,且均为T ＝112 s,两中子星的角速度均为ω＝2πT ,两中子星构成了双
星模型,假设两中子星的质量分别为m 1、m 2,轨道半径分别为r 1、r 2,速率分别为v 1、
v 2,则有G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1、G m 1m 2L 2＝m 2ω2r 2,又r 1＋r 2＝L ＝400 km,解得m 1＋m 2＝
ω2L 3
G ,A 错误,B 正确；又由v 1＝ωr 1、v 2＝ωr 2,则v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωL ,C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度,D 错误。
【参考答案】BC
1.(2019·吉林模拟)我国发射的“悟空”号暗物质粒子探测卫星,三年来对暗物质的观测研究已处于世界领先地位。宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心匀速转动时,理论计算的周期与实际观测周期不符,且T 理论T 观测
＝k (k ＞1)。因此,科学家认为,在两星球之间存在暗物质。假设以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质(已知质量分布均匀的球体对外部质点的作用,等效于质量集中在球心处对质点的作用),两星球的质量均为m 。那么暗物质的质量为( ) A.k 2－28m
B.k 2－14m
C.(k 2－1)m
D.(2k 2－1)m
【试题解析】双星均绕它们连线的中点做匀速圆周运动,令它们之间的距离为L ,
由万有引力提供向心力得G m 2L 2＝m 4π2T 2理论·L 2
,解得T 理论＝πL 2L Gm 。根据观测结果,星体的运动周期T 理论T 观测
＝k ,这种差异可能是由双星之间均匀分布的暗物质引起的,又均
匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m ′(位于球心处)的质点对双星系统的作用相同,有G m 2L 2＋G mm ′（L 2）2
＝m 4π2T 2观测·L 2,解得T 观测＝πL 2L G （m ＋4m ′）
,所以m ′＝k 2－14m 。选项B 正确。 【参考答案】B
2.(多选)为探测引力波,中山大学领衔的“天琴计划”将向太空发射三颗完全相同的卫星(SC1、SC2、SC3)构成一个等边三角形阵列,地球恰处于三角形的中心,卫星将在以地球为中心、离地面高度约10万公里的轨道上运行,针对确定的引力波源进行引力波探测。如图2所示,这三颗卫星在太空中的分列图类似乐器竖琴,故命名为“天琴计划”。已知地球同步卫星距离地面的高度约为
3.6万公里,以下说法正确的是( )
图2
A.若知道引力常量G 及三颗卫星绕地球的运动周期T ,则可估算出地球的密度
B.三颗卫星具有相同大小的加速度
C.三颗卫星绕地球运动的周期一定大于地球的自转周期
D.从每颗卫星可以观察到地球上大于13的表面
【试题解析】若知道引力常量G 及三颗卫星绕地球的运动周期T 根据万有引力
提供向心力G Mm r 2＝m 4π2T 2r ,得到M ＝4π2r 3
GT 2
,因地球的半径未知,也不能计算出轨道半径r ,不能计算出地球体积,故不能估算出地球的密度,选项A 错误；根据G Mm r 2＝
ma ,由于三颗卫星到地球的距离相等,则绕地球运动的轨道半径r 相等,则它们的
加速度大小相等,选项B 正确；根据万有引力等于向心力,G Mm r 2＝m 4π2
T 2r 解得T ＝2π
r 3GM ,由于三颗卫星的轨道半径大于地球同步卫星的轨道半径,故三颗卫星绕
地球运动的周期大于地球同步卫星绕地球运动的周期,即大于地球的自转周期,选
项C正确；当等边三角形边与地球表面相切的时候,恰好看到地球表面的1
3,所以
本题中,从每颗卫星可以观察到地球上大于1
3的表面,选项D正确。
【参考答案】BCD、
赤道上的物体、同步卫星和近地卫星
赤道上的物体、近地卫星、同步卫星的对比
比较内容赤道上的物体近地卫星同步卫星向心力来源万有引力的分力万有引力
向心力方向指向地心
重力与万有引力的关系重力略小于万有
引力
重力等于万有引力
角速度ω1＝ω自ω2＝GM
R3
ω3＝ω自＝
GM
（R＋h）3
ω1＝ω3＜ω2
线速度v1＝ω1R v2＝GM
R
v3＝ω3(R＋h) ＝
GM
R＋h v1＜v3＜v2(v2为第一宇宙速度)
向心加速度a1＝ω21R a2＝ω22R＝
GM
R2
a3＝ω23(R＋h) ＝
GM
（R＋h）2
a1＜a3＜a2
物体,随地球自转做匀速圆周运动,b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径),c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是()
图3 A.b 卫星转动线速度大于7.9 km/s
B.a 、b 、c 做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为a a ＞a b ＞a c
C.a 、b 、c 做匀速圆周运动的周期关系为T c ＞T b ＞T a
D.在b 、c 中,b 的速度大
【试题解析】b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星,根据万有引力定律
有G Mm R 2＝m v 2R ,解得v ＝GM R ,代入数据得v ＝7.9 km/s,故A 错误；
地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度,所以ωa ＝ωc ,根据a ＝rω2知,c 的向心加速度
大于a 的向心加速度,根据a ＝GM r 2得b 的向心加速度大于c 的向心加速度,即a b
＞a c ＞a a ,故B 错误；卫星c 为同步卫星,所以T a ＝T c ,根据T ＝2π
r 3GM 得c 的周期大于b 的周期,即T a ＝T c ＞T b ,故C 错误；在b 、c 中,根据v ＝
GM r ,可知b 的
速度比c 的速度大,故D 正确。
【参考答案】D
1.有a 、b 、c 、d 四颗卫星,a 还未发射,在地球赤道上随地球一起转动,b 在地面附近近地轨道上正常运行,c 是地球同步卫星,d 是高空探测卫星,设地球自转周期为24 h,所有卫星的运动均视为匀速圆周运动,各卫星排列位置如图4所示,则下列关于卫星的说法中正确的是( )
图4
A.a 的向心加速度等于重力加速度g
B.c 在4 h 内转过的圆心角为π6
C.b 在相同的时间内转过的弧长最长
D.d 的运动周期可能是23 h
【试题解析】同步卫星的运行周期与地球自转周期相同,角速度相同,则a 和c 的
角速度相同,根据a ＝ω2r 知,c 的向心加速度大,由GMm r 2＝ma 知,c 的向心加速度小
于b 的向心加速度,而b 的向心加速度约为g ,故a 的向心加速度小于重力加速度g ,选项A 错误；由于c 为同步卫星,所以c 的周期为24 h,因此4 h 内转过的圆心
角为θ＝π3,选项B 错误；由四颗卫星的运行情况可知,b 运行的线速度是最大的,
所以其在相同的时间内转过的弧长最长,选项C 正确；d 的运行周期比c 要长,所以其周期应大于24 h,选项D 错误。
【参考答案】C
2.如图5所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图,已知a 、b 、c 三颗卫星均做圆周运动,a 是地球同步卫星,a 和b 的轨道半径相同,且均为c 的k 倍,已知地球自转周期为T 。则( )
图5
A.卫星b 也是地球同步卫星
B.卫星a 的向心加速度是卫星c 的向心加速度的k 2倍
C.卫星c 的周期为1
k 3T
D.a 、b 、c 三颗卫星的运行速度大小关系为v a ＝v b ＝k v c
【试题解析】卫星b 相对地球不能保持静止,故不是地球同步卫星,A 错误；根据
公式G Mm r 2＝ma 可得a ＝GM r 2,即a a a c ＝r 2c r 2a ＝1k 2,B 错误；根据开普勒第三定律r 3a T 2a ＝r 3c T 2c
可得T c ＝r 3c r 3a T 2a ＝1k 3T a ＝1k 3T ,C 正确；根据公式G Mm
r 2＝m v 2r 可得v ＝GM
r ,
故v a ＝v b ＜v c k
,D 错误。 【参考答案】C
卫星(航天器)的变轨及对接问题
考向卫星的变轨、对接问题
1.卫星发射及变轨过程概述
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道,如图6所示。
图6
(1)为了节省能量,在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
(2)在A点点火加速,由于速度变大,万有引力不足以提供向心力(G Mm
r2＜m
v2
r),卫星
做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2.对接
航天飞船与宇宙空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体追赶问题,本质仍然是卫星的变轨运行问题。
3.航天器变轨问题的三点注意事项
(1)航天器变轨时半径的变化,根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定
在新圆轨道上的运行速度由v＝GM
r判断。
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同,轨道半径越大,机械能越大。
(3)航天器经过不同轨道的相交点时,加速度相等,外轨道的速度大于内轨道的速度。
【例3】我国发射的“天宫二号”空间实验室,之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动,为了实现飞船与空间实验室的对接,下列措施可行的是()
图7
A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速,加速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接
D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速,减速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接
【试题解析】若使飞船与空间站在同一轨道上运行,然后飞船加速,所需向心力变大,则飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道,不能实现对接,选项A错误；若使飞船与空间站在同一轨道上运行,然后空间站减速,所需向心力变小,则空间站将脱离原轨道而进入更低的轨道,不能实现对接,选项B错误；要想实现对接,可使飞船在比空间实验室半径较小的轨道上加速,然后飞船将进入较高的空间实验室轨道,逐渐靠近空间实验室后,两者速度接近时实现对接,选项C正确；若飞船在比空间实验室半径较小的轨道上减速,则飞船将进入更低的轨道,不能实现对接,选项D错误。
【参考答案】C
考向变轨前、后各物理量的比较
1.速度:如考向中图6所示(以下均以图6为例),设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3,在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为v A、v B。因在A点加速,则v A＞v1,因在B点加速,则v3＞v B,又因v1＞v3,故有v A＞v1＞v3＞v B。
2.加速度:因为在A点,卫星只受到万有引力作用,故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点,卫星的加速度都相同。同理,从轨道Ⅱ和轨道Ⅲ上经过B点时加速度也相同。
3.周期:设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3,轨道半径分别为
r1、r2(半长轴)、r3,由开普勒第三定律a3
T2＝k可知T1＜T2＜T3。
4.机械能:在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3,则E1＜E2＜E3。
【例4】(2019·河南郑州模拟)2018年12月8日2时23分,“嫦娥四号”探测器搭乘长征三号乙运载火箭,开始了奔月之旅。12月12日16时45分,探测器成功实施近月制动,顺利完成“太空刹车”,被月球捕获,进入了距月球100 km的环月圆轨道,如图8所示,则下列说法正确的是()
图8
A.“嫦娥四号”的发射速度大于第二宇宙速度
B.“嫦娥四号”在100 km环月圆轨道运行通过P点时的加速度和在椭圆环月轨道运行通过P点时的加速度相同
C.“嫦娥四号”在100 km环月圆轨道运动的周期等于在椭圆环月轨道运动的周期
D.“嫦娥四号”在地月转移轨道经过P点时和在100 km环月圆轨道经过P点时的速度大小相同
【试题解析】若“嫦娥四号”的发射速度大于第二宇宙速度,则“嫦娥四号”将脱离地球的引力范围,就不会被月球捕获,因此“嫦娥四号”的发射速度应大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度,选项A错误；“嫦娥四号”通过同一点时所受的万有引力相等,根据牛顿第二定律,“嫦娥四号”在100 km环月圆轨道运行通过P 点时的加速度和在椭圆环月轨道运行通过P点时的加速度相同,选项B正确；“嫦娥四号”在100 km环月圆轨道运行的轨道半径大于在椭圆环月轨道运行轨道的半长轴,根据开普勒第三定律可知,“嫦娥四号”在100 km环月圆轨道运行的周期大于在椭圆环月轨道运行的周期,选项C错误；“嫦娥四号”在地月转移轨道经过P点时需要“太空刹车”(即减小速度)才能被月球捕获从而在环月圆轨道上运行,选项D错误。
【参考答案】B
1. (多选)牛顿在1687年出版的《自然哲学的数学原理》中设想,物体抛出的速度很大时,就不会落回地面,它将绕地球运动,成为人造地球卫星。如图9所示,将物体
从一座高山上的O点水平抛出,抛出速度一次比一次大,落地点一次比一次远,设图中A、B、C、D、E是从O点以不同的速度抛出的物体所对应的运动轨道。已知B是圆形轨道,C、D是椭圆轨道,在轨道E上运动的物体将会克服地球的引力,永远地离开地球,空气阻力和地球自转的影响不计,则下列说法正确的是()
图9
A.物体从O点抛出后,沿轨道A运动落到地面上,物体的运动可能是平抛运动
B.在轨道B上运动的物体,抛出时的速度大小为7.9 km/s
C.使轨道C、D上物体的运动轨道变为圆轨道,这个圆轨道可以过O点
D.在轨道E上运动的物体,抛出时的速度一定等于或大于第三宇宙速度
【试题解析】将物体从一座高山上的O点水平抛出,且物体速度不大时,物体沿轨道A运动落到地面上,若水平位移不大,则物体的运动是平抛运动,选项A正确；在轨道B上运动的物体,做匀速圆周运动,抛出时的速度大于第一宇宙速度7.9 km/s,选项B错误；使轨道C、D上物体的运动轨道变为圆轨道,可以在物体经过O点时减小物体的速度,此时的圆轨道可以过O点,选项C正确；在轨道E上运动的物体,将会克服地球的引力,抛出时的速度一定等于或大于第二宇宙速度
11.2 km/s,选项D错误。
【参考答案】AC
2.(多选)我国探月工程“绕、落、回”三步走的最后一步即将完成,即月球探测器实现采样返回,探测器在月球表面着陆的过程可以简化如下,探测器从圆轨道1上A点减速后变轨到椭圆轨道2,之后又在轨道2上的B点变轨到近月圆轨道3,示意图如图10所示。已知探测器在轨道1上的运行周期为T1,O为月球球心,C为轨道3上的一点,AC与AO之间的最大夹角为θ,则下列说法正确的是()
图10 A.探测器要从轨道2变轨到轨道3需要在B 点点火加速
B.探测器在轨道1上的速度小于在轨道2上经过B 点的速度
C.探测器在轨道2上经过A 点时速度最小,加速度最大
D.探测器在轨道3上运行的周期为sin 3 θT 1
【试题解析】探测器要从轨道2变轨到轨道3需要在B 点减速,选项A 错误；探测器在轨道1上的速度小于在轨道3上的速度,探测器在轨道2上经过B 点的速度大于在轨道3上的速度,故探测器在轨道1上的速度小于在轨道2上经过B 点的速度,选项B 正确；探测器在轨道2上经过A 点时速度最小,A 点是轨道2上距离月球最远的点,故由万有引力产生的加速度最小,选项C 错误；由开普勒第三定
律可知T 21r 31＝T 23r 33,其中r 3r 1
＝sin θ,解得T 3＝sin 3 θT 1,选项D 正确。 【参考答案】BD
卫星的追及与相遇问题
1.相距最近
两卫星的运转方向相同,且位于和中心连线的半径上同侧时,两卫星相距最近,从运动关系上,两卫星运动关系应满足(ωA －ωB )t ＝2n π(n ＝1,2,3,…)。
2.相距最远
当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时,两卫星相距最远,从运动关系上,两卫星运动关系应满足(ωA －ωB )t ′＝(2n －1)π(n ＝1,2,3,…)。
3.“行星冲日”现象
在不同圆轨道上绕太阳运行的两个行星,某一时刻会出现两个行星和太阳排成一条直线的“行星冲日”现象,属于天体运动中的“追及相遇”问题,此类问题具有周期性。
【例5】 (多选)地球位于太阳和行星之间且三者几乎排成一条直线的现象,天文学上称为“行星冲日”。火星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动。不考虑火星与地球的自转,且假设火星和地球的轨道平面在同一个平面上,相关数据见下表。则根据提供的数据可知( )
质量 半径 与太阳间距离
地球m R r
火星约0.1m 约0.5R 约1.5r
A.
B.理论上计算可知,相邻两次“火星冲日”的时间间隔大约为1年
C.火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比约为2∶5
D.火星运行的加速度比地球运行的加速度小
【试题解析】根据Gm0m′
R20＝
m′v2
R0,解得v＝
Gm0
R0,则
v火
v地＝
m火
R火
×
R地
m地
＝0.2＜1,则
v火＜v地＝7.9 km/s,即在火星表面附近发射飞行器的最小速度小于7.9 km/s,选项
A错误；根据开普勒第三定律,可得（1.5r）3
T2火
＝
r3
T2地
,则T火≈1.84T地＝1.84年,相邻
两次“火星冲日”的时间间隔t里,地球多公转一周,则
t
T地
－
t
T火
＝1,解得t≈2.2年,
选项B错误；行星对表面物体的万有引力等于物体在行星表面时受到的重力,即
Gm0m物
R20＝m物g,解得g＝Gm0
R20,则
g火
g地
＝
m火
R2火
×
R2地
m地
＝
2
5,选项C正确；太阳对行星的万有
引力充当行星做圆周运动的向心力,即GMm0
r20＝m0a,解得a＝
GM
r20,则
a火
a地
＝
r2地
r2火
＝
1
1.52＜
1,可知火星运行的加速度比地球运行的加速度小,选项D正确。
【参考答案】CD
1.经长期观测发现,A行星运行轨道的半径近似为R0,周期为T0,其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离,且周期性地每隔t0(t0＞T0)发生一次最大的偏离,如图11所示,天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知行星B,已知行星B与行星A同向转动,则行星B的运行轨道(可认为是圆轨道)半径近似为()
图11
A.R ＝R 03t 20（t 0－T 0）2
B.R ＝R 0t 0t 0－T 0
C.R ＝R 0t 30（t 0－T 0）3
D.R ＝R 0t 0t 0－T 0 【试题解析】A 行星运行的轨道发生最大偏离,一定是B 对A 的引力引起的,且B 行星在此时刻对A 有最大的引力,故此时A 、B 行星与恒星在同一直线上且位于恒
星的同一侧,设B 行星的运行周期为T ,运行的轨道半径为R ,根据题意有2πT 0
t 0－2πT t 0＝2π,所以T ＝t 0T 0t 0－T 0,由开普勒第三定律可得R 30T 20
＝R 3
T 2,联立解得R ＝R 03t 20（t 0－T 0）2
,故A 正确,B 、C 、D 错误。 【参考答案】A
2.(多选)(2019·四川成都七中4月检测)如图12所示,质量相同的三颗卫星a 、b 、c 绕地球沿逆时针方向做匀速圆周运动。其中a 为遥感卫星“珞珈一号”,在半径为R 的圆轨道上运行,经过时间t ,转过的角度为θ；b 、c 为地球的同步卫星,某时刻a 、b 恰好相距最近。已知地球自转的角速度为ω,引力常量为G ,则( )
图12
A.地球质量为M ＝θ2R 3
Gt 2
B.卫星a 的机械能小于卫星b 的机械能
C.若要卫星c 与b 实现对接,直接让卫星c 加速即可
D.卫星a 和b 下次相距最近还需的时间为2πt θ－ωt
【试题解析】卫星a 绕地球做匀速圆周运动,则有G Mm R 2＝m (θt )2R ,解得地球质量为
M ＝θ2R 3
Gt 2,选项A 正确；卫星从低轨道到高轨道需要外力做正功,卫星a 、b 质量相同,所以卫星a 的机械能小于卫星b 的机械能,选项B 正确；卫星c 加速,所需的向心力增大,由于万有引力小于所需的向心力,卫星c 会做离心运动,离开原轨道,所
以不能与b 实现对接,选项C 错误；由于b 为地球的同步卫星,所以卫星b 的角速
度等于地球自转的角速度,对卫星a 和b 下次相距最近还需要的时间T ,有θt T －ωT
＝2π,解得T ＝2πt θ－ωt
,选项D 正确。 【参考答案】ABD
课时作业
(时间:25分钟)
基础巩固练
1.宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,而不会因为万有引力的作用而吸引到一起。如图1所示,某双星系统中A 、B 两颗天体绕O 点做匀速圆周运动,它们的轨道半径之比r A ∶r B ＝1∶2,则两颗天体的( )
图1
A.质量之比m A ∶m B ＝2∶1
B.角速度之比ωA ∶ωB ＝1∶2
C.线速度大小之比v A ∶v B ＝2∶1
D.向心力大小之比F A ∶F B ＝2∶1
【试题解析】双星绕连线上的一点做匀速圆周运动,其角速度相同,周期相同,两者之间的万有引力提供向心力,F ＝m A ω2r A ＝m B ω2r B ,所以m A ∶m B ＝2∶1,选项A 正确,B 、D 错误；由v ＝ωr 可知,线速度大小之比v A ∶v B ＝1∶2,选项C 错误。
【参考答案】A
2.关于环绕地球运动的卫星,下列说法正确的是( )
A.分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星,不可能具有相同的周期
B.沿椭圆轨道运行的一颗卫星,在轨道不同位置可能具有相同的速率
C.在赤道上空运行的两颗地球同步卫星,它们的轨道半径有可能不同
D.沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星,它们的轨道平面一定会重合
【试题解析】环绕地球运动的卫星,由开普勒第三定律R 3
T 2＝k ,当椭圆轨道半长轴与圆形轨道的半径相等时,两颗卫星周期相同,故A 错误；沿椭圆轨道运行的卫星,只有引力做功,机械能守恒,在轨道上相互对称的地方(到地心距离相等的位置)速率相同,故B 正确；所有地球同步卫星相对地面静止,运行周期都等于地球自转周
期,由G Mm R 2＝m 4π2R T 2,解得R ＝3GMT 24π2,轨道半径都相同,故C 错误；
同一轨道平面、不同轨道半径的卫星,相同轨道半径、不同轨道平面的卫星,都有可能(不同时刻)经过北京上空,故D 错误。
【参考答案】B
3.2018年5月9日,夜空上演了“木星冲日”的精彩天象。火星、木星、土星等地外行星绕日公转过程中与地球、太阳在一条直线上且太阳和地外行星位于地球两侧称为行星“冲日”,如果行星与太阳位于地球同侧称为行星“合日”。现将木星和地球近似看成在同一平面内沿相同方向绕太阳做匀速圆周运动,已知木星的轨道半径r 1＝7.8×1011 m,地球的轨道半径r 2＝1.5×1011 m,根据你所掌握的知识,估算出木星从本次“冲日”到下一次“合日”的时间大约为( )
A.3个月
B.6个月
C.1.1年
D.2.1年
【试题解析】根据开普勒第三定律得T 21T 22＝r 31r 32,木星与地球的运行周期之比T 1T 2＝r 31
r 32＝11.9,由于地球的运行周期为T 2＝1年,则木星的运行周期为T 1＝11.9年,则木星从本次“冲日”到最近一次“合日”两行星转过的角度差为π,所以两次间隔的时间t ＝π
2πT 2－2πT 1＝0.55年,约为6个月,选项B 正确。
【参考答案】B
4.2018年7月10日4时58分,我国在西昌卫星发射中心用长征三号甲运载火箭,成功发射了第三十二颗北斗导航卫星。该卫星属倾斜地球同步轨道卫星,卫星入轨并完成在轨测试后,将接入北斗卫星导航系统,为用户提供更可靠服务。通过百度查询知道,倾斜地球同步轨道卫星是运转轨道面与地球赤道面有夹角的轨道卫
星,它的运转周期也是24小时,如图2所示,关于该北斗导航卫星说法正确的是()
图2
A.该卫星可定位在北京的正上空
B.该卫星与地球静止轨道卫星的向心加速度大小是不等的
C.该卫星的发射速度v≤7.9 km/s
D.该卫星的角速度与放在北京地面上物体随地球自转的角速度大小相等
【试题解析】根据题意,该卫星是倾斜轨道,故不可能定位在北京的正上空,选项A 错误；由于该卫星的运转周期也是24小时,与地球静止轨道卫星的周期相同,故轨道半径、向心加速度大小均相同,故选项B错误；第一宇宙速度7.9 km/s是最小
的发射速度,故选项C错误；根据ω＝2π
T可知,该卫星的角速度与放在北京地面上
物体随地球自转的角速度大小相等,故选项D正确。
【参考答案】D
5.(多选) (2019·云南昆明模拟)2018年12月8日,我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射“嫦娥四号”探测器,“嫦娥四号”经过多次变轨,于2019年1月3日成功降落在月球背面。如图3所示为某次变轨时的示意图,轨道Ⅰ为绕月运行的椭圆轨道,轨道Ⅱ为绕月运行的圆轨道,两轨道相切于P点,下列说法正确的是()
图3
A.“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过Q点时的速度小于在轨道Ⅰ上经过P点时的速度
B.“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过P点时的速度小于在轨道Ⅱ上经过P点时的速度
C.“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过P 点时的加速度等于在轨道Ⅱ上经过P 点时的加速度
D.若已知“嫦娥四号”绕月圆轨道Ⅱ的半径、运动周期和引力常量,可算出月球的密度
【试题解析】“嫦娥四号”围绕月球在椭圆轨道Ⅰ上运行时,机械能守恒,在近月点P 引力势能最小,动能最大,速度最大,所以“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过Q 点时的速度小于在轨道Ⅰ上经过P 点时的速度,选项A 正确；“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过P 点时需要减速才能转移到轨道Ⅱ上做匀速圆周运动,所以“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过P 点时的速度大于在轨道Ⅱ上经过P 点时的速度,选项B 错误；根据万有引力定律可知,“嫦娥四号”经过同一点所受万有引力相等,根据牛顿第二定律可知,“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过P 点时的加速度等于在轨道Ⅱ上经过
P 点时的加速度,选项C 正确；由G Mm r 2＝mr (2πT )2,解得M ＝4π2r 3
GT 2,若已知“嫦娥四号”绕月圆轨道Ⅱ的半径r 、运动周期T 和引力常量G ,可以得出月球的质量M ,但由于不知道月球半径R ,故不能得出月球的密度,选项D 错误。
【参考答案】AC
6.(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图4):一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M ,并设两种系统的运动周期相同,则( )
图4
A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B.直线三星系统的运动周期T ＝4πR R
5GM
C.三角形三星系统中星体间的距离L ＝3125R
D.三角形三星系统的线速度大小为125GM R
【试题解析】直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同,方向相反,选项A 错
误；直线三星系统中有G M 2R 2＋G M 2（2R ）2＝M 4π2
T 2R ,解得T ＝4πR R 5GM ,选项B 正
确；对三角形三星系统根据万有引力和牛顿第二定律得2G M 2
L 2cos 30°＝
M 4π2T 2·L 2cos 30°,联立解得L ＝3125R ,选项C 正确；三角形三星系统的线速度大小
为v ＝2πr T ＝2π? ????L 2cos 30°T ,代入解得v ＝36·3125·5GM R ,选项D 错误。
【参考答案】BC
综合提能练
7.(多选)如图5,三个质点a 、b 、c 的质量分别为m 1、m 2、M (M 远大于m 1及m 2),在c 的万有引力作用下,a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动,已知轨道半径之比为r a ∶r b ＝1∶4,则下列说法正确的有( )
图5
A.a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b ＝1∶8
B.a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b ＝1∶4
C.从图示位置开始,在b 转动一周的过程中,a 、b 、c 共线12次
D.从图示位置开始,在b 转动一周的过程中,a 、b 、c 共线14次
【试题解析】根据开普勒第三定律r 3T 2＝k 得T a T b ＝r 3a r 3b ＝143＝18,则周期之比为
1∶8,选项A 正确,B 错误；设每隔时间t ,a 、b 共线一次,则(ωa －ωb )t ＝π,所以t ＝
πωa －ωb
,故b 运动一周的过程中,a 、b 、c 共线次数为n ＝T b t ＝14,故在b 转动一周的过程中,a 、b 、c 共线14次,选项D 正确。
【参考答案】AD
8.(多选)(2019·福建3月质检)如图6,把地球与月球视为双星系统,它们均绕连线上的C 点(图上未画出)转动,在该系统的转动平面内有两个拉格朗日点L 2、L 4(位于这两个点的卫星能在地球引力和月球引力的共同作用下绕C 点做匀速圆周运动,并保持与地球、月球相对位置不变),L 2点在地月连线的延长线上,L 4点与地球球心、月球球心的连线构成一个等边三角形。我国已发射的“鹊桥”中继卫星位于L 2点附近,它为“嫦娥四号”成功登陆月球背面提供了稳定的通信支持。假设L 4点有一颗监测卫星,“鹊桥”中继卫星视为在L 2点。已知地球的质量为月球质量的81倍,则( )
图6 A.地球和月球对监测卫星的引力之比为81∶1
B.地球球心和月球球心到C 点的距离之比为1∶9
C.监测卫星绕C 点运行的加速度比月球的大
D.监测卫星绕C 点运行的周期比“鹊桥”中继卫星的大
【试题解析】设地球质量为M 1,地球到监测卫星的距离为r 1,月球质量为M 2(M 1＝81M 2),月球到监测卫星的距离为r 2(r 1＝r 2),则地球和月球对质量为m 的监测卫
星的引力之比为G M 1m r 21∶G M 2m r 22
＝M 1∶M 2＝81∶1,选项A 正确；设地球球心和月球球心到C 点的距离分别为R 1、R 2,地球球心到月球球心的距离为L (R 1＋R 2＝L ),地月双星系统有GM 1M 2L 2＝M 1ω2R 1,GM 1M 2L 2＝M 2ω2R 2,联立解得,R 1＝M 2M 1＋M 2L ,R 2＝M 1M 1＋M 2
L ,则R 1∶R 2＝1∶81,选项B 错误；由题意可知监测卫星和月球绕C 点运行的角速度相等,由几何知识可知,监测卫星的轨道半径比月球的大,结合公式a ＝ω2r 可知监测卫星绕C 点运行的加速度比月球绕C 点运行的加速度大,选项C 正
确；监测卫星绕C点运行的周期与“鹊桥”中继卫星绕C点运行的周期相等,选项D错误。
【参考答案】AC