1.（2013?雅安）如图，在?ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=
2.（2013?恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE 并延长交DC于点F，则DF：FC=（）
3.（2013?自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）
4.（2013?新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）
A． 2 B．或C．或D． 2或或
5.（2013?孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，
∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）
A．B．C．D．
6.（2013安顺）在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：BE= ．
7.（2013?牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8.（2013东营中考）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（）
A. 只有1个
B. 可以有2个
C. 可以有3个
D. 有无数个
9.（2013台湾、33）如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？（）
A．甲＞乙，乙＞丙B．甲＞乙，乙＜丙C．甲＜乙，乙＞丙D．甲＜乙，乙＜丙
10、（2013?黔东南州）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是．
11、（2013?牡丹江）劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为．
12.（2013?天津）如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长为 7 ． 13.（2013?苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，顶点A 、C 分别在x ，y 轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且QO=OC ，连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P ．则点P 的坐标为 ．
14.（2013?眉山）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC ，AD=AF ，点D 、E 为BC 边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF 、BF ，则下列结论：
①△AED ≌△AEF ；②△ABE ∽△ACD ；③BE+DC ＞DE ；④BE 2+DC 2=DE 2， 其中正确的有（ ）个．
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
15.（2013年潍坊市）如图，直角三角形ABC 中，?=∠90ACB ，10=AB ， 6=BC ，在线段AB 上取一点D ，作AB DF ⊥交AC 于点F .现将ADF ?沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为1A ；AD 的中点E 的对应点记为1E .若11FA E ?∽BF E 1?，则AD =__________.
16（2013?巴中）如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF ∽△DEC ；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE 的长．
17（2013?昆明）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD 相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当
△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有（）
A．5个B．4个C．3个D．2个
18.（2013聊城）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）
A．a B．C．D．
19.（2013菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）
A．16 B．17 C．18 D．19
20.（2013?咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）
C．D．
A．B．1
2
21、（13年安徽省4分、13）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，ΔPEF、ΔPDC、ΔPAB的面积分别为S、S1、S2。若S=2，则S1+S2=
22.（2013?株洲）已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q 作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．
（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
23.（2013?苏州）如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．
（1）求证：△APB≌△APD；
（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x=6时，求线段FG的长．
24.（2013泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB?AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
25. （2014?福建泉州，第7题3分）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m与y =（m≠0）的图象可能是（）
A．B．C．D．
26.（2014?菏泽，第17题7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b的图象经过
点A（1，0），与反比例函数y= （x＞0）的图象相交于点B（2，1）．
①求m的值和一次函数的解析式；
②结合图象直接写出：当x＞0时，不等式kx+b＞的解集．
27．(2014年天津市，第9 题3分)已知反比例函数y =，当1＜x＜2时，y的取值范围是（）A．0＜y＜5 B．1＜y＜2 C．5＜y＜10 D．y＞10
28．（2014年山东泰安，第26题）如图①，△OAB中，A（0，2），B（4，0），将△AOB向右平移m 个单位，得到△O′A′B′．
（1）当m=4时，如图②．若反比例函数y =的图象经过点A′，一次函数y=ax+b的图象经过A′、B′两点．求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）若反比例函数y =的图象经过点A′及A′B′的中点M，求m的值．
29．（2014?四川自贡，第9题4分）关于x 的函数y =k （x +1）和y =（k ≠0）在同一坐标系中的图象大致是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
30．（2014?德州，第21题10分）如图，双曲线y =（x ＞0）经过△OAB 的顶点A 和OB 的中点C ，AB ∥x 轴，点A 的坐标为（2，3）．
（1）确定k 的值；（2）若点D （3，m ）在双曲线上，求直线AD 的解析式；（3）计算△OAB 的面积．
31.（2014·云南昆明，第8题3分）左下图是反比例函数)0(≠=
k k x
k
y 为常数，的图像，
A．3B．4C．5D．6
33.（2014?襄阳）如图，一次函数y1=﹣x+2的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C．已知tan∠BOC=，点B的坐标为（m，n）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出当x＜m时，y2的取值范围．
34.(2014年重庆市)如图，反比例函数y=﹣在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为﹣1，﹣3，直线AB与x轴交于点C，则△AOC的面积为（）
A．8 B．10 C．12 D．24
35.（2014年山东烟台）如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x 轴于点C，DC=5．
（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
（2）连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
36.(2014年广东深圳)如图，双曲线y=经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足=，与BC交于点D，S△BOD=21，求k=．
37.（2014?呼和浩特）如图，已知反比例函数y=（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），
点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．
（1）写出反比例函数解析式；
（2）求证：△ACB∽△NOM；
（3）若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．
38．（2014?浙江湖州，第20题分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y=的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．
（1）求k和b的值；
（2）求△OAB的面积．
39．（2014?四川自贡，第22题12分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A （m，6），B（3，n）两点．（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．
40．(2014年四川资阳，第20题8分)如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？
41.（2014?广西贺州）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，
则sinA=．
42. （2014?泰州）图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为，CD与地面DE 的夹角∠CDE为12°，支架AC长为，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到）（参考数据：sin12°=cos78°≈，sin68°=cos22°≈，tan68°≈）
43.（2014?福建泉州）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于
点P（2，1）．
（1）求该反比例函数的关系式；
（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′,求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；
44.（2014?扬州）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）
A 3
B 4
C 5
D 6
45.（2014年江苏南京，第23题）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．
（参考数据：sin51°18′≈，cos51°18′≈，tan51°18′≈）
身高米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上，在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上），经测量，兵兵与建筑物的距离BC=5米，建筑物底部宽FC=7米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A据地面的高度AB=米，风筝线与水平线夹角为37°。
（1）求风筝据地面的告诉GF；
（2）在建筑物后面有长5米的梯子MN，梯脚M在距离3米处固定摆放，通过计算说明；若兵兵充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？[来源：17教育网]
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
如图，小山顶上有一信号塔AB ，山坡BC 的倾角为30°，现为了测量塔高AB ，测量人员选择山脚C 处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E 处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高
AB.（结果保留整数
）
如图,在正方形网格中,sin ∠ABC=_____
已知，如图，在坡顶A 处的同一水平面上有一座古塔BC ，数学兴趣小组的同学在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B 的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1∶的斜坡AP 攀行了26米，在坡顶A 处又测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．
求：（1）坡顶A 到地面PQ 的距离；
（2）古塔BC 的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈，cos76°≈，tan76°≈）
4、如图，已知直线12y x =与双曲线(0)k
y k x
=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；
（2）若双曲线(0)k
y k x
=
>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k
y k x
=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点
A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．
O
x A
y
B
初三数学培优班习题
1.如图，直线y=kx+k（k≠0）与双曲线交于C、D两点，与x轴交于点A．
（1）求n的取值范围和点A的坐标；
（2）过点C作CB⊥y轴，垂足为B，若S△ABC=4，求双曲线的解析式；
（3）在（1）（2）的条件下，若AB=，求点C和点D的坐标，并根据图象直接写出反比例函数的值小于一次函数的值时，自变量x的取值范围．
2. 如图，已知一次函数y ＝2x ＋2的图象与y 轴交于点B ，与反比例函数1
k y x
=的图象的一个交点为A(1，m) ．过点B 作AB 的垂线BD ，与反比例函数2
k y x
= (x ＞0)的图象交于点D(n ，－2)． （1）求k 1和k 2的值；
（2）若直线AB 、BD 分别交x 轴于点C 、E ，试问在y 轴上是否存在一点F ，使得△BDF ∽△ACE ．若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
3．已知反比例函数
的图象与一次函数y=k 2x+m 的图象交于A （﹣1，a ）、B （，﹣3）两点，连结
AO ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）设点C 在y 轴上，且与点A 、O 构成等腰三角形，请直接写出点C 的坐标．
4．如图，直线l ：y=x+1与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 与原点O 关于直线l 对称．反比例函数y=的图象经过点C ，点P 在反比例函数图象上且位于C 点左侧，过点P 作x 轴、y 轴的垂线分别交 直线l 于M 、N 两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求AN?BM 的值．
5．如图，已知正比例函数y=2x 和反比例函数的图象交于点A （m ，﹣2）． （1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x 的取值范围；
（3）若双曲线上点C （2，n ）沿OA 方向平移个单位长度得到点B ，判断四边形OABC 的形状并证明你的结论．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=m/x（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标）
7．如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），反比例函数y=
的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过点A
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中直线y=x﹣2与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m，2）．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）将直线y=x﹣2向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后的直线的函数关系式．
46（2013?嘉兴）如图，一次函数y=kx+1（k≠0）与反比例函数y=m/x（m≠0）的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积？
47（2013?烟台）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，
点B的坐标为（4，2），直线y=﹣x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y=k
x
的图象经过点M，
N．（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．
48（2013?百色）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=k1x+b交x轴于点A（﹣3，0），交y轴于点
B（0，2），并与y=的图象在第一象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，OB是△ACD的中位线．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点C′是点C关于y轴的对称点，请求出△ABC′的面积．
49. （2014?珠海）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边在AD在x 轴上，点B在第四象限，直线BD与反比例函数y=m/x的图象交于点B、E．
（1）求反比例函数及直线BD的解析式；
（2）求点E的坐标
42. （2014?广东，第23题9分）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
43.（2014?孝感，第17题3分）如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD=9，则S△OBD的值为．
44．（2014?浙江湖州，第15题4分）如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为．
【最新整理，下载后即可编辑】 第一讲 相似三角形 1、已知432z y x ==，且1032=+-z y x ，则z y x ++= 。 2、已知△ABC 中，AB=AC,∠BAC=120°，求AB:BC 的值。 3、若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB=10， 23==BQ AQ BP AP ,求线段PQ 的长。 4、若55432+==+c b a ，且2132=+-c b a ，试求a:b:c 。 5、△ABC 为等边三角形，点E 在BA 的延长线上，点D 在BC 边上，且ED=EC 。若△ABC 的边长为4，AE=2，则BD 的长 为 。 6、点D,E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，DE ∥BC ，点G 在边BC 上，AG 交DE 于点H ，点O 是线段AG 的中点，若 13=DB AD ,则 =OH AO
7、在正方形ABCD 中，P 是CD 的中点，连接AP 并延长交BC 的延长线于点E ，连接DE ，取DE 的中点Q ，连接PQ ，求证： PQ=PC. 8、四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似，相似比为2:3，四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2相似，相似比为5:4，则四边形ABCD 与四边形A 2B 2C 2D 2相似且相似比为 。 9、已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿 AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 处。若 四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD= 10、已知∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE 11、点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形
相似三角形培优专题讲义 知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那 么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n 例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。 2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段 比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。） 例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。 （2）比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =?= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
相似三角形分类提高训练 令狐文艳 一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC 交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点 到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的 面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D 在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q 从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x 为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB 边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从 点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出 发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。 （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t 为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
相似三角形培优专题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D． 求证：(1)△ACD∽△ABC； (2)AC2＝AD?AB； (3)CD2＝AD?DB． A 证明：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°＝∠ACB， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC. (2)∵△ACD∽△ABC， ∴AC AD AB AC =， ∴AC2＝AD?AB； (3)∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90° ∴∠A+∠B＝90° ∴∠ACD＝∠B ∴△ACD∽△BCD， ∴CD AD BD CD =， ∴CD2＝AD?DB．
2．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证： (1)△ACP∽△PDB， (2)CD2＝AC?BD． 证明：(1)∵△PCD是等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°， ∴∠ACP＝∠PDB＝120°， ∵∠APB＝120°， ∴∠APC+∠BPD＝60°， ∵∠CAP+∠APC＝60° ∴∠BPD＝∠CAP， ∴△ACP∽△PDB； (2)由(1)得△ACP∽△PDB， ∴， ∵△PCD是等边三角形， ∴PC＝PD＝CD， ∴， ∴CD2＝AC?BD．
3. 如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC 的边BC＝15，高AH＝10， (1)求证：△ADG∽△ABC； (2)求这个正方形的边长和面积． 解：(1)∵四边形形DEFG是正方形， ∴DG∥BC ∴△ADG∽△ABC； (2) 如图，高AH交DG于M，设正方形DEFG的边长为x，则DE＝MH＝x， ∴AM＝AH﹣MH＝10﹣x， ∵ADG∽△ABC， ∴DG AM BC AH =， ∴ 10 1510 x x - =， ∴x＝6， ∴x2＝36． 答：正方形DEFG的边长和面积分别为6，36．
(3题图）E D C B A D B C A N M O 相似三角形练习题 1、如图1，当四边形PABN 的周长最小时，a = ． 2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（ ） A ．只有1个 B ．可以有2个 C ．有2个以上但有限 D ．有无数个 3、如图3，等腰ABC ?中，底边BC=a ,A ∠=0 36,ABC ∠的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于E ，设k = DE=( ) A 、2 K a B 、3 K a C 、2a k D 、 3 a k 4、如图4，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接 OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形 B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形 C ．四边形AMON 与四边形ABC D 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形 5、如图5将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕O 点顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB =30°，∠B =90°，AB =1，则B′点的坐标为( ) A ．3)22 B ．3(22 C ．1(22 D ．1)22 x （1题图） 图 4 图 5
F E D C B A E F A D C B 6、如图小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与AB C △相似的是（ ） 7、如图7，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 在BC 上，AE BE =，点F 是CD 的中点，且AF AB ⊥， 若 2.746AD AF AB ===，，，则CE 的长为 A ． 1 C. 2.5 D. 2.3 (7题图) 8、如图8，在ABC △中，AB AC =，点E F 、分别在AB 和AC 上，CE 与BF 相交于点D ，若AE CF D =，为BF 的中点，AE AF :的值为___________. 9、如图9，已知ABC ?，延长BC 到D ，使CD=BC 取AB 的中点F,连接FD 交AC 于点E 。 （1）求AE AC 的值；（2）若AB=a ，FB=EC ，求AC 的长。
九年级培优试题(五） 一．选择题： 1.下面四组线段中，不能成比例的是（ ） A.a=4,b=6,c=5,d=10 B 、a=3,b=9,c=5,d=12 C 、a=2,b=2,c=6,d=3 D 、a=2,b=3,c=4,d=5 2.如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ） A ．AD BC DF CE = B ．B C DF CE AD = C ．CD BC EF BE = D ．CD AD EF AF = 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝2，则△ADE 与四边形DBCE 的面积比是 （ ） （A ）3︰2； （B ）3︰5； （C ）9︰16； （D ）9 ︰4． 4.如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1， （2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4.其中正确的有：（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5.如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角 B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形 C ．四边形AMON 与四边形ABC D 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形 6.等边三角形的中线与中位线长的比值是（ ） A 、1:3 B 、2:3 C 、23:21 D 、1：3 7.如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC=（ ） A.1:4 B.1:3 C.2:3 D.1:2 . 8（2013?牡丹江）如图，在△ABC 中∠A=60°，BM ⊥AC 于点M ， CN ⊥AB 于点N ，P 为BC 边的中点， 连接PM ，PN ，则下列结论：①PM=PN ；②；③△PMN 为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC ．其中正确的个数是（ ） A,1个 B.2个 C.3个 D.4 9如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB ，则下列关系式中正确的是（ ） A 、 AE BC AD A B = B 、AD B C AE AC = C 、AE BC DE AB = D 、AD AB AE AC = 10.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（） D B C A N M O B C A D E
相似三角形培优题 1、如图,在正方形ABCD 中，点P 是ＡＢ上一动点(不与A,B 重合),对角线AC ，ＢD 相交于点O,过点Ｐ分别作A Ｃ，BD 的垂线，分别交AC,BD 于点E ，F ，交ＡＤ,BC 于点M,Ｎ.下列结论: ①△A ＰE ≌△AM Ｅ；②PM+ＰＮ=AC ；③PE 2+PF ２ =PO 2;④△POF ∽△BN Ｆ；⑤当△PMN ∽△A ＭP 时,点P 是A Ｂ的中点. 其中正确的结论有( ）A ．5 Ｂ.４ C ．３ Ｄ.2 2、如图，Rt △AB Ｃ中，∠A ＣB=90°，∠ＡB Ｃ=60°,BC=2ｃm ，D 为BC 的中点，若动点Ｅ以１c ｍ/s 的速度从A 点出发,沿着A →B →Ａ的方向运动,设E 点的运动时间为t 秒(0≤t<6),连接D Ｅ，当△BDE 是直角三角形时,t 的值为( ） 3、如图，△ABC 中，ＤE ∥BC ，DE=１,AD=２,DB ＝３，则BC 的长是（ ) 4、如图，在?ABC Ｄ中,E 为ＣＤ上一点，连接A Ｅ、ＢD ，且AE 、BD 交于点Ｆ，S △DEF ：Ｓ△ABF =4:25,则D Ｅ:EC ＝( ） A ． 2:5 Ｂ． 2：3 C . 3:5 Ｄ． 3：2 5、如图，在平行四边形A ＢCD 中,AB=6,AD=９，∠BAD 的平分线交ＢＣ于E ，交ＤC 的延长线于F ，B Ｇ⊥AE 于G ，ＢG=,则△EFC 的周长为( ） A ． 1１ B ． 10 C ． 9 Ｄ． ８ 6、如图,在?ABCD 中，Ｅ在AB 上，CE 、ＢD 交于F ，若AE:BE=4:3,且BF ＝2，则DF= .. 7、如图,DE 是△ABC 的中位线，延长DE 至F 使E Ｆ=DE ，连接CF,则S △ＣＥF ：S 四边形BCED 的值为( ) A . 1:3 B ． 2:3 C ． １：4 D ． ２:5 8、如图,D 是△ABC 的边BC 上一点,已知ＡB=4,A Ｄ=２.∠ＤAC=∠B,若△ＡBD 的面积为ａ,则△ＡCD 的面积为( ) Ａ．a ? B. ? C. D ． 9、如图，边长为６的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1,S 2,则S 1+S ２的值为( ）A ．16 B ．1７?C ．18?D ．19 １0如图,在△ABC 中,ＡB ＝ＡC=a ，BC=ｂ（a ＞ｂ).在△ABC 内依次作∠ＣBD=∠A ，∠DCE=∠CBD ，∠E ＤＦ=∠DC Ｅ．则E Ｆ等于（ ) １1、如图,点A ，Ｂ,C ，D 的坐标分别是(1，7）,（1,１），(4，1),（6,1）,以C,D,Ｅ为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是（ ) A ． (6，0） B ． （6，3) C . （6，５） D ． （4,２) 1２、如图,正方形ＡB ＣD 是一块绿化带,其中 阴影部分EO ＦＢ,GHM Ｎ都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上,则小鸟在花圃上的概率为（ ） A . B ． 12 C ． D ． １3、如图所示,在平行四边形ABCD 中,ＡＣ与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交ＤＣ于点F,则ＤＦ：F Ｃ＝（ ） A.２ B ． ２.5或３．5 C. 3．5或4.５ D ． ２或3．5或４.５ A ． B ． C . D ．
1、（本题满分7分） 如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ． 求证：（1）CG AE =； （2）.MN CN DN AN ?=? 2、(本题满分7分) 如图11，已知△ABC 的面积为3，且AB=AC ，现将△ABC 沿CA 方向平移CA 长度得到△EFA ． （1）求四边形CEFB 的面积； （2）试判断AF 与BE 的位置关系，并说明理由； （3）若 15=∠BEC ，求AC 的长． 3、如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， 连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC (2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长. 4、如图（4），在正方形ABCD 中，E F 、分别是边 AD CD 、上的点，1 4AE ED DF DC ==，，连结EF 并延长交BC 的延长线于点G ． （1）求证：ABE DEF △∽△； （2）若正方形的边长为4，求BG 的长． 5．如图（15），在梯形ABCD 中，906DC AB A AD ∠==∥，°，厘米，4DC =厘米，BC 的坡度34i =∶，动点P 从A 出发以2厘米/秒的速度沿AB 方向向点B 运动，动点Q 从点B 出发以3厘米/秒的速度沿B C D →→方向向点D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t 秒． （1）求边BC 的长； （2）当t 为何值时，PC 与BQ 相互平分； （3）连结PQ ，设PBQ △的面积为y ，探求y 与t 的函数关系式，求t 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？ 6．（本题满分9分） 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图1，乙设计方案如图2． 你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由．（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数） 7、如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 、OE=2OD ，连接EF ．将△EOF 绕点O 逆时针旋转α角得到△E1OF1（如图2）． （1）探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明； A E D F B C 图（4） C B Q P 图（5） Ｅ Ｂ D Ｃ E
相似三角形求值问题难点突破 题一：（2012?孝感）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（） A．B．C．﹣1 D．+1 题二：（2012年四川省德阳市）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP//BE（点 P、E在直线AB的同侧），如果AB BD 4 1 ，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（） A. 4 1 B. 5 3 C. 5 1 D. 4 3 P G F E D C B A 题三：如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF． 题四：如图所示．△ABC中，E，D是BC边上的两个三等分点，AF=2CF，BF=12厘米．求：FM，MN，BN的长． 题五：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝3AB，EF∥CD，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则AE：ED等于（）
A B E F D C A. 2 B. 32 C. 512+ D. 512 - 题六：（2012河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整. 原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若3=EF AF ，求CD CG 的值. （1）尝试探究 在图1中，过点E 作EH AB ∥交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是，CG 和EH 的数量关系是，CD CG 的值是 （2）类比延伸 如图2，在原题的条件下，若 )0( m m EF AF =则CD CG 的值是（用含m 的代数式表示），试写出解答过程. （3）拓展迁移 如图3，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ，若 ,(0,0)AB BC a b a b CD BE ==>>，则AF EF 的值是（用含,a b 的代数式表示）. 题七：（2010 武汉）已知线段OA ⊥OB ，C 为OB 上中点，D 为AO 上一点，连AC 、BD 交于P 点． （1）如图1，当OA=OB 且D 为AO 中点时，求 PC AP 的值； （2）如图2，当OA=OB ，AO AD =4 1时，求tan ∠BPC ； （3）如图3，当AD ∶AO ∶OB=1∶n ∶n 2时，直接写出tan ∠BPC 的值．
相似三角形的培优试题 一、填空题： 1、如图，已知∠ADE=∠B ，则△AED ∽__________ 2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于D ，则△ADE ∽_________ 3、如图；在∠C=∠B ，则_________ ∽_________,__________ ∽_________ 4、Rt △ABC ∽Rt △A ’B ’C ’, ∠C=∠C ’=90°,若AB=3，BC=2，A ’B ’=6, 则B ’C ’=__________, A ’C ’=______________ 5、在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∠B=∠B ’, AB =6, BC=8,B ’C ’=4,则当A ’B ’=______时， △ABC ∽△A ’B ’C ’，当A ’B ’=________时，△ABC ∽△C ’ B ’ A ’ 6、如图；在△ABC 中，DE 不平行BC,当_____=AE AB 时，△ABC ∽△AED ，若AB=8，BC=7,AE=5,则DE=___________ 7、如图；在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AF=4，EF ⊥AC 交AB 于E ，CD ⊥AB ，垂足D ，若CD=6，EF=3，则ED=________,BC=_________,AB=_______ 8、如图；点D 在△ABC 内，连BD 并延长到E ，连AD 、AE ，若∠BAB=20°， AE AC DE BC AD AB ==， 则∠EAC=_________ 9、如图；在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AC=6，AD=3.6，则BC=____ 10、已知；CA ⊥DB ，DE ⊥AB ，AC 、ED 交于F ，BC=3，FC=1， 则AC=_______ 二、选择题； 11、下列各组图形必相似的是----------------------------------------------------（ ） A 、任意两个等腰三角形 D 、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形 C 、两条边成比例的两个直角三角形 B 、两条边之比为2：3的两个直角三角形 12、如图；∠AOD=90°，OA=OB=BC=CD ，那么下列结论正确是------（ ） A 、△OAB ∽△OCA B 、△OAB ∽△ODA C 、△BAC ∽△BDA D 、以上结论都不对 第8题第7题第10题D
相似三角形练习题 一、填空题： 1. 如图1，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ） A ． AD BC DF CE = B ． BC DF CE AD = C ．CD BC EF BE = D ．CD AD EF AF = 2、若b m m a 2,3==，则_____:=b a 。 3、已知6 53z y x ==，且623+=z y ，则__________,==y x 。 4、在Rt △ABC 中，斜边长为c ，斜边上的中线长为m ，则______:=c m 。 5、（2008，上海）如图所示，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，?AE?交BD 于点F ，如果BE BC =2 3 ，那么 BF FD =______． 6、已知三个边长为2，3，5的正方形按图4排列，则图中阴影部分的面积为_______． 10题 11题 12题 7、将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ． 二、选择题： 1、等边三角形的中线与中位线长的比值是（ ） A 、1:3 B 、2:3 C 、2 3:21 D 、1：3 2、△ABC 中，AB ＝12，BC ＝18，CA ＝24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（ ） A 、27 B 、12 C 、18 D 、20 3、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ） A .
文档收集于互联网，已重新整理排版.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 第一讲 相似三角形 1、已知 4 32z y x ==，且1032=+-z y x ，则z y x ++= 。 2、已知△ABC 中，AB=AC,∠BAC=120°，求AB:BC 的值。 3、若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB=10， 23==BQ AQ BP AP ,求线段PQ 的长。 4、若5 5432+==+c b a ，且2132=+-c b a ，试求a:b:c 。 5、△ABC 为等边三角形，点E 在BA 的延长线上，点D 在BC 边上，且ED=EC 。若△ABC 的边长为4，AE=2，则BD 的长为 。 6、点D,E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，DE ∥BC ，点G 在边BC 上，AG 交DE 于点H ，点O 是线段AG 的中点，若13=DB AD ,则=OH AO 7、在正方形ABCD 中，P 是CD 的中点，连接AP 并延长交BC 的 延长线于点E ，连接DE ，取DE 的中点Q ，连接PQ ，求证：PQ=PC. 8、四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似，相似比为2:3，四边形 A 1 B 1 C 1 D 1与四边形A 2B 2C 2D 2相似，相似比为5:4，则四边形ABCD 与 四边形A 2B 2C 2D 2相似且相似比为 。 9、已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 处。若四边形EFDC 与矩形ABCD 相 似，则AD= 10、已知∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE 11、点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形 （1）当AC,CD,DB 满足什么关系时，△ACP 与△PDB 相似？ （2）当△ACP 与△PDB 相似时，求∠APB 的度数。 12、在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC=∠ACB=90°， 点E 为AB 的中点 （1）求证:AD AB AC ?=2 （2）求证：CE ∥AD （3）若AD=4，AB=6，求AF AC 的值。 13、在△ABC 中，3 231==ED AE CD BD ，,试求FC AF 的值。 14、一条直线与△ABC 的三边BC ，CA ，AB （或其延长线）分别交 于 点D ，E ，F 求证：1=??FB AF EA CE DC BD 15、在△ABC 中，三条角平分线交于点O ，过点O 作BO 的垂线， 分别交AB ，BC 于M ，N 两点 求证：△AMO ∽△AOC ∽△ONC
相似三角形培优题 1、如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点（不与A ，B 重合），对角线AC ，BD 相交于点O ，过点P 分别作AC ，BD 的垂线，分别交AC ，BD 于点E ，F ，交AD ，BC 于点M ，N ．下列结论： ①△APE ≌△AME ；②PM+PN=AC ；③PE 2+PF 2=PO 2； ④△POF ∽△BNF ；⑤当△PMN ∽△AMP 时，点P 是AB 的中点． 其中正确的结论有（ ）A.5 B.4 C.3 D.2 2、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A →B →A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜6），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为（ ） 3、如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE=1，AD=2，DB=3，则BC 的长是（ ） 4、如图，在?ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：EC=（ ） A ． 2：5 B ． 2：3 C ． 3：5 D ． 3：2 5、如图，在平行四边形ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于E ，交DC 的延长线于F ，BG ⊥AE 于G ，BG=，则△EFC 的周长为（ ） A ． 11 B ． 10 C ． 9 D ． 8 6、如图，在?ABCD 中，E 在AB 上，CE 、BD 交于F ，若AE ：BE=4：3，且BF=2，则DF= .. 7、如图，DE 是△ABC 的中位线，延长DE 至F 使EF=DE ，连接CF ，则S △CEF ：S 四边形BCED 的值为（ ） A ． 1：3 B ． 2：3 C ． 1：4 D ． 2：5 8、如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B ，若△ABD 的面积为a ，则△ACD 的面积为（ ） A ．a B ． C ． D ． 9、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为（ ）A ．16 B ．17 C ．18 D ．19 10如图，在△ABC 中，AB=AC=a ，BC=b （a ＞b ）．在△ABC 内依次作∠CBD=∠A ，∠DCE=∠CBD ，∠EDF=∠DCE ．则EF 等于（ ） 11、如图，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是（ ） A ． （6，0） B ． （6，3） C ． （6，5） D ． （4，2） 12、如图，正方形ABCD 是一块绿化带，其中阴影部分EOFB ，GHMN 都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ） A ． B ． 12 C ． D ． 13、如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC=（ ） 14.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值（ ） A. 只有1个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 有无数个 A ．2 B ． 2.5或3.5 C ． 3.5或 4.5 D ． 2或3.5或4.5 A ． B ． C ． D ．
相似三角形判定提高 相似三角形中几个基本图形 （平行线分线段成比例定理）两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例. 如图，若∥∥，则 定理2 平行于三角形一边的直线截得的对应线段成比例或截得的三角形与原三角形形似. 如图，若∥,则,还有： . 如图，分别是的边上的点，过点的直线交于,若∥,则 定理4（角平分线性质定理）如图，分别是 的内角平分线与外角平分线， 则.
定理5 射影定理 直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角 形与原三角形相似. 练习1．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则 的值是 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为 ． 3、如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18 4、如图，在△ABC中，∠C=900，D是AC上一点，DE⊥AB于点 E，若AC=8，BC=6，AE=4，则AD的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 5、如图，△中，、分别为、边上的点，∥，为边上的中线，若 =5，=3，=4，则的长为（ ） A. B. C. D. 6、（2011?河池）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中 点，F为AD上一点，EF交AC于G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则AC的长为（ ） A．9cm B．14cm C．15cm D．18cm 7．（2013?雅安）如图，在?ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF= . 8．2013年河北）如图4， 菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，
相似三角形分类提高训练 一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A 出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线 AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC 交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速 度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出 发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设 移动的时间为t秒． （1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB 上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD， 垂足为N．
（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似 4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出 发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC （2）△APQ与△CQB能否相似若能，求出AP的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始 向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s 的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t ＜6）。 （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形 （2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似 二、构造相似辅助线——双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的 夹角是45°，求这个正比例函数的表达式． 7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．
2019年江苏中考相似三角形培优汇编 1.（2019扬州）如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，若进行一下操作，在边BC 上从左到右一次取点D 1、D 2、D 3、D 4…；过点D1作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 与点E 1、F 1；过点D 2作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 于点E 2、F 2；过点D 3作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 于点E 3、F 3…，则4（D 1E 1+D 2E 2+…+D 2019E 2019）+5（D 1F 1+D 2F 2+…+D 2019F 2019）= ． 解：∵D 1E 1∥AB D 1F 1∥AC ∴ CB CD AB E D 111= BC BD AC F D 1 1= ∵AB=5 AC=4 ∴ CB CD E D 1115= BC BD F D 1 14= ∴ 14511111==+=+BC BC BC BD CB CD F D E D ∴4D 1E+5D 1F=20 有2019组，即2019×20=40380 2.（2019扬州）如图，平面内的两条直线l 1、l 2,点A 、B 在直线l 2上，过点A 、B 两点分别作直线l 1的垂线，垂足分别为A 1、B 1，我们把线段A 1B 1叫做线段AB 在直线l 2上的正投影，其长度可记作T （AB ，CD ）或T （AB ，l 2）,特别地，线段AC 在直线l 2上的正投影就是线段A 1C 请依据上述定义解决如下问题 （1）如图1，在锐角△ABC 中，AB=5，T （AC ，AB ）=3，则T （BC ，AB ）= ； （2）如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，T （AC ，AB ）=4，T （BC ，AB ）=9，求△ABC 的面积； （3）如图3，在钝角△ABC 中，∠A=60°，点D 在AB 边上，∠ACD=90°， T （AB ，AC ）=2，T （BC ，AB ）=6，求T （BC ，CD ）.
相似三角形培优专题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ ACB＝90°，CD⊥ AB于D． 求证：(1) △ ACD ∽△ ABC； 2 (2)AC2＝AD?AB； 2 (3)CD 2＝AD ?DB ． 证明：(1)∵∠ ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ CDA＝90°＝∠ ACB，∵∠A＝∠A， ∴△ ACD ∽△ ABC. (2)∵△ ACD ∽△ ABC， ∴AC AD ， AB AC ， 2 ∴AC2＝AD?AB； (3)∵CD⊥AB， ∴∠ ADC ＝∠ BDC ＝90°， ∴∠ A+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90° ∴∠ A+∠B＝90° ∴∠ ACD＝∠B ∴△ ACD ∽△ BCD， ∴CD AD ， ∴BD CD ， 2 ∴CD2＝AD?DB．
2．如图，点C，D 在线段AB上，△PCD 是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：(1)△ACP ∽△ PDB， 2 (2)CD 2＝AC ?BD ． 证明：(1)∵△ PCD 是等边三角形，∴∠ PCD ＝∠ PDC ＝∠ CPD ＝60°，∴∠ ACP＝∠PDB ＝120°，∵∠ APB＝120°， ∴∠ APC+∠BPD＝60°， ∵∠ CAP+∠APC＝60° ∴∠ BPD＝∠CAP， ∴△ACP∽△ PDB ；(2)由(1)得△ACP∽△ PDB， ∵△ PCD 是等边三角形， ∴PC＝PD＝CD， ∴， 2 ∴CD2＝AC?BD．
3. 如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D、G 分别在边AB、AC 上，已知 △ABC 的边BC＝15，高AH＝10， (1)求证：△ADG∽△ ABC；(2)求这个正方形的边长和面积． 解：(1)∵四边形形DEFG 是正方形， ∴DG∥BC ∴△ADG ∽△ ABC； (2) 如图，高AH 交DG 于M，设正方形DEFG 的边长为x，则DE＝MH ＝x，∴AM＝AH﹣ MH＝10﹣x， ∵ ADG ∽△ ABC， ∴DG AM ， BC AH ， ∴x 10 x ∴15 10 ， ∴ x ＝6， 2 ∴x2＝36． 答：正方形DEFG 的边长和面积分别为6，36． 4. 如图，有一块三角形的余料△ ABC，它的高AH ＝40mm，边BC＝80mm，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边EF 落在BC 上，其余两个顶点D、G 分别在AB、AC 上．
D E ， = ， = 第十二讲：相似三角形培优专题 【知识梳理】 1、比例线段的有关概念： 在比例式 a = b c (a ：b = c ：d )中，a 、d 叫外项，b 、c 叫内项，a 、c 叫前项， d b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果 b ＝ c ，那么 b 叫做 a 、 d 的比例中项。 2、平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则 AB = DE AB DE BC EF BC EF AC DF AC DF ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 4、相似三角形的判定： ①两角对应相等，两个三角形相似 ②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似 ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似 5、相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例 ③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比 ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方 3、常见三角形相似的基本图形、基本条件和基本结论： （1） 如图 1，当 时， ?ABC ∽?ADE （2） 如图 2，当 时， ?ABC ∽ ?AED 。 （3） 如图 3，当 时， ?ABC ∽ ?ACD 。 A A A E B C B C B C ∽ 1 ∽ 2 ∽ 3 （4） 如图 4，如图 1，当 AB ∥ED 时，则△ ∽△ 。 （5）如图 5，当 时，则△ ∽△ 。 D D ，…
相似三角形培优试题 1、（本题满分7分） 如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ． 求证：（1）CG AE =； （2）.MN CN DN AN ?=? 2、(本题满分7分) 如图11，已知△ABC 的面积为3，且AB=AC ，现将△ABC 沿CA 方向平移CA 长度得到△EFA ． （1）求四边形CEFB 的面积； （2）试判断AF 与BE 的位置关系，并说明理由； （3）若 15=∠BEC ，求AC 的长． 3、如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， 连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC (2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长.
4、如图（4），在正方形ABCD 中， E F 、分别是边AD CD 、上的点，14 AE ED DF DC ==，，连结EF 并延长交BC 的延长线于点G ． （1）求证：ABE DEF △∽△； （2）若正方形的边长为4，求BG 的长． 5．如图（15），在梯形ABCD 中，906DC AB A AD ∠==∥，° ，厘米，4DC =厘米，BC 的坡度34i =∶，动点P 从A 出发以2厘米/秒的速度沿AB 方向向点B 运动，动点Q 从点B 出发以3厘米/秒的速度沿B C D →→方向向点D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t 秒． （1）求边BC 的长； （2）当t 为何值时，PC 与BQ 相互平分； （3）连结PQ ，设PBQ △的面积为y ，探求y 与t 的函数关系式，求t 为何值时，y 有最大值？最大值是 多少？ 6．（本题满分9分） 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图1，乙设计方案如图2． 你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由．（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数） A E D F B C G 图（4） A B 图（5） Ｅ Ｂ A C D Ｃ D