1、
证明: ()
n
m
m n i v
v a a -=-;
证明:
11()()
m n
n
m
m n i i i i v v v v a a --
-=-=-
2、化简:n t t n
n
a
s a
s
--
解:
()()()()()()()1
111
1111
1111111t
n t
n
t
t
n t t n n n n
n
n
i i
i
i
i v
i i i a s a
s
v i i n ------+=+=+=----+++++++
3、设2,n n x y a a ==,用x 、y 来表示d; 解:
()()()2222221122111211n n n n n
n v a x xi v x y i x y i
xi yi i d i x x x y v yi v a y
i ?-==??-=--????-=-?=?==??++---=???==??
4、设,m
n x y
a
s ??== 证明:
1m n
vx y
iy a
++=
+;
)
证明:
()()()()()()111111111111m m m m n n
n
n v i a x v xiv
xiv yi xv y i a i iy i s y v yi i -+-?-+?==?=----+?∴==?++-?=
=?=-??
5、证明:2322..
..
..
1
..
..
..
n
n
n
n
n n
s
s
s s
s
s
+
-
=;
证明:
()()()()()()()()()()
2323222222111111
111111
111111
11
n n n
n n n
n n n n
n
n n n
n
n
s s s i i i s s s i i i i i i i +-+-+-+
-=+-+-+-+-??+-+??
=+++
=+-
6年金a 的给付情况是:1—10年,每年给付1000;11-20年,每年给付2000元;21-30年,每年给付1000元;年金b 在1-10年,每年给付k 元;11-20每年给付0;21-30,每年给付k 元,若a 与 b 相等,知道=,计算k
解:100030a +10001010v a =k 30a -k 1010v a 又因10v = 解答得k=1800
—
7 某人希望采取零存整取的方式累积2000,前n 年,每年末存入50,后n 年,每年末存入100,不足部分在2n+1年末存入,正好达到2000的存款本息和。设年利率为%计算n 及超出或者不足2000的差额
解:50n s 2+50n s =2000 解答得n= 所以n=9
(5018s +509s )()i +1+x=2000 解答得 x=
8 从1998年起,知道1998年底,默认每年一月一号和一月七号在银行存入一笔款项,七月一号的存款要比一月一号的多%,并且与下一年的一月一号相等,每年计息两次且年名义利率为10%。;在1998年十二月三十一号,本息为11000 ,计算第一次存款 解
:
x
(2005.1+10172181025.105.105.11025.105.11025.10519.11025.1?++?+?+? )=11000
因为1025.1=205.1
X (10*2005.1+10*2105.1)=11000 解答得 x= 】
9. ()1.0n Ia =55,1
.0n a =利用近似计算
解;()()()x f x x f x x f '??+≈?+ '??
? ??+=1.01
.0102
.0002.0n n
n a a a ≈
10.某期末付年金付款如下:单数年末,每次付款100元,双数年末每次付款200元,共20年。若在某时间t 一次性付3000元的现值与前面的年金现值相等。若利率i>0,写出t 的表达式。
解:t νννννν?=+++++3000)222(10020432
2222024202020
22020
2022(2)(1)
100()100()10010030001t a a a a a a a νννννννννν??+-+++
+=+=+
=?
=??-???
?
()2
20
2
230t
a a ννν+=
2202(2)ln 30ln a a t ννν??
+?
?
??=
11.某年末付永续年金首次付款额为1,第二次为2,…,直到付款额增加到n ,然后保持不变。计算该永续年金现值。
解:()
()n
n n
n n
n n
n a n a a n I a Ia n a i
i i d ννν∞∞
-=+=
+==
12.*
13.
某n 年期连续年金在t 时刻(
)
0t n ≤≤付款()1kt -,其现值为
f g h --,其中f
为连续支付的每期付款1单位的永续年金的
现值,g 为延续n 年,每年支付()1kn -的连续支付的永续年金的现值,计算h 。
解:
()()()
()
20111ln ln ln 1
1n
n n n
t
n k kn f g h kt dt f kt g νννννννδ
νδ
?
--?--=-=++???=???-=
???
?
()
2
1n k h νδ-=
14.若
11t t δ=
+,写出n a 的表达式。 解:()01ln 11n
n a dt n t ==++?
14.证明 ()()()()1
()()m m m m I a m i d ∞=
-
解:
()()
()()
()()()
()()()1111
()
lim
lim (1)m n
n m m n m m m n m m m m n n a n n I
a i i d i i d m i d υυ∞
→∞
→∞-??-==-==??+??-????
15.甲在2025年1月1日需要50000元资金以及一个期初付、
每半年领取一次的为期十五年的年金,每次领取款项为k 。这些款项需要从2000年1月1日起,每年初存入银行k 元,共25年,存入款项时每年计息2次的年名义利率为4%,领取年金时,每年计息2次的年名义利率为3%,计算k 。
】
解:
0.0250300.0750.02
25000
2605.998
k s k s a k ?=?+?=
16.延期一年连续变化的年金共付款13年,在时刻t 时,年付款率为t 2-1,t 时刻的利息力为(1+t)-1
,计算该年金现值。 解:
14
2
14
142111
1
(0)(1)(1)(1)()84.5
2t V t t dt t dt t -=-+=-=-=??
17.计算:(1)1()
n
t
i Ia =∑ (2) 1
()
n
t
i Da =∑
解:
1
2
2
1
1
(1)(1)2(1).()n
t
t
n
n
n
n t t n t i i n i a ti a t n i a n Ia i
i i υυυ===+---+-+==
=
∑∑∑
12
21
1
11(1)22(1)(2).()t
t n n
n
n
t
i n
t i i i i t a n n i n a t ti Da i
i i i υυ-====-+-+---====∑∑
∑∑