常
广东广州 华南师范大学
（郑海珍20052201323 李璇20052201333）
『摘要』：常系数非齐次线性微分方程是微分方程中典型的一类，它
在自然科学领域里有比较广泛的应用。本文收集并归纳了求非齐次线性微分方程特解的几种方法，包括常数变易法、化为高维线性微分方程组的方法、代换降阶法、比较系数法，以及在比较系数法的基础上推广而出的简易待定系数法。以求更多地收集并掌握求非齐次线性微分方程特解的方法。
『关键词』：常系数非齐次线性微分方程； 特解； 通解；
『正文』：
常系数非齐次线性微分方程形如：
)()2(2)1(1)(t f x p x p x p x n n n n =++++-- (1)
的求解步骤一般是：先求方程(1)对应齐次方程的基本解组
)(),(),(21t x t x t x n ，
再设法求出方程（1）的一个特解
)
(~t x ，则方程（1）的通解易得为
),(~)()(1
t x t x c t x n
i i i +=∑=
n i c i ,,2,1, =为任意常数。一般来说，求齐次线性微分方程的基本解组比较容
易，问题在于怎样求解方程(1)的特解)(~t x 。下面将一一介绍几种求方程(1)
的特解的方法。
首先给出本文常用符号：
n n n p p F +++=- )1(1)()(λλλ
为方程（1）的特征方程。k λλλ,,,21 是特征根，其对应的重数分别为
k u u u ,,21。)(,),(),(21t x t x t x n 是方程（1）对应齐方程的基本解组。
一、 常数变易法 [ 1 ]
可设方程（1）的特解形如：
)()()()()()()(~2211t x t c t x t c t x t c t x n n +++= ………………… （1.1）
其中n i c i ,,2,1, =是待定常函数。将其代入方程（1），并附加n-1个条件，便可得方程组（*）
???????
??='++'+'='++'+'=''++''+''='++'+'------)()()()(0)()()(0)()()(0)()()()1(2)1(21
)1(1)2(2)2(21
)2(122
112211t f t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x n n n n n n n n n n n n n n
………………（*）
解方程组（*）得到)(,),(),(21
t c t c t c n ''' 的表达式，对它们分别进行积分，从而得n i c i ,,2,1, =，再将它们代入（1.1）式中，继而得到了方程（1）的一个特解
)(~t x 。
此法对于自由项)(t f 的形式没有限制，故使用范围较广。但求解的工作量
大。
二、 将方程（1）化成为高维线性方程组的方法 [ 1 ]
令 ,
,,,)
1(21-='==n n
x
x x x x x 则
,,,,)1(13221
n n n x x x x x x x x x =='=''='='='-- )
()(121)2(2)1(1)(t f x p x p x p t f x p x p x p x x n n n n n n n n
+----=+----=='---
这时可写?
??
?????????'''=????????????=n n x x x x x 21
21x ,x x ，则方程（1）等价于
?
?????
??????+?????????
???----='--f(t)00
x x 12
1
01000010
p p p p n n n
，记
?
?????
??????=??
???????
???----=--)(00)(,01000010
12
1
t f p p p p n n n
t F A ，写成F (t)Ax +='x ……
…………（2.1）
那么，现在要求方程（1）的特解，只要知道方程组（2.1）所对应的线形方程组的基解矩阵)(t Φ及其特解)(t ?就可以求得。
若方程（1）满足0)(,,0)(0(0)
1(00=='=-t x
t x ，）t x n ，则其特解可由
常数变易公式[][]ds s f s x s x s x W s x s x s x W t x t n
k t
t n n k k )()(,),(),()(,),(),()()(121210∑?=?
??
??
?= ?给出。其中[])(,),(),(21s x s x s x W n 是)(),(),(21s x s x s x n 的朗斯基行列式，
[][])(,),(),()(,),(),(2121s x s x s x W s x s x s x W n n k 是在中以第k 列代
入
()
T
1,0,,0,0 后得到的行列式。
三．比较系数法 [ 1 ]
对于常系数非线性方程（1），我们更常用的是比较系数法，它是把求解微分方程的问题转化成某代数问题，在自由项为
[]t n t m e t t t p t f e t p t f ?+==ββλsin )(p t cos )()()()(s 或，
（其中
)(),(),(t p t p t p s n m 分别为m 次，n 次，s 次多项式。βαλ,,为
实常数）时，可预见确定特解x ~的形式，即分别令)((,)(~t Q e t Q t x m t m
k λ=为一待定m 次多项式，k 是方程（1）的特征方程有根λ时λ的次数）或
[]
t m m k e t t Q t t Q t x αββsin )(cos )(~)2()1(+=，（其中
[])(),(.,max )
2()1(t Q t Q s n m m m =位两个代定
m 次项式，k 为方程含根
t βα±的次数。
然后将其代入方程（1），并利用比较左右两边t 同次幂系数的方法确定代定系数多项式。再根据线性微分方程解的结构定理就可求方程的通解。
四、简化待定系数法 [ 2 ]
比较系数法只用了代数方法，不经过积分，相对于算子法、常数变易法来说具有易掌握，有好记忆的优点。但同学们在解题过程中也不难发现，比较系数法的计算量比较大，尤其当方程为高阶时，算起来相当麻烦，稍不小心就很容易出错。下面介绍第四种方法——简化待定系数法，从而改进了原待定系数法。现作如下介绍： 定理4.1 方程t m n n n n e t p x p x p x p x λ)()2(2)1(1)
(=++++-- （2）其
中
λ,,,,21n p p p 为常数，)(t p m 为m 次多项式。则可设方程（2）的一
个特解t t k m
m k m k e t Q e t b t b t b x λλ)()(~110=+++=-++ （4.2）其中).2,1,0(m i b i =是待定系数，由恒等式
)()()(1)()
(t p t Q t F j m j j m k =∑
+=k
j !
……………………（4.3） 来确定，)(t F 为方程（2）的特征方程，k 为由特征方程0)(=λF 的根λ的
重数（λ是单根时k=1，λ不是特征根时k=0）
证明：设t t k m
m k m k e t Q e t b t b t b x λλ)()(110=+++=-++ 为方程 （2）的解，则
))()((t Q t Q e x t
'+='λλ ))()(2)((2t Q t Q t Q e x t ''+'+='λλλ
))
()()()(()1(3
21
2111)1(t Q t Q C t Q C t Q e x n n n n n t n ------++''+'+=
λλλλ
))
())()()()(()
()
1(1
221
111)(t Q t Q
C t Q C t Q C t Q e x n n n n
n n n n n t n +++''+'+=------λλλλλ
将)
(,,,n x x x x '''代入方程（2）的左端
x p x p x p x n n n n ++++-- )2(2)1(1)(
t
n t n t n n n n n t n n n n n n n n n t e t Q p t Q t Q e p t Q t Q t Q e p t Q t Q C t Q e p t Q t Q
C t Q C t Q C t Q e λλλλλλλλλλλλλλ)())()(())()(2)(())()()(())())()()()((122)1(2
11
1
1)()
1(1
221111+'++''+'+++++
'++++''+'+=------------ t
m n j t n n t
e t p j F t j Q j e F t Q n F t Q F t Q F t Q e λλλλλλλλ)())(())((!
1)]()
(!1)()(!21)()(!11)()([0)()
(==++''+''+=∑=
于是得到
)()()(1)
()(t p t Q t F j m j j m
=∑
=0
j !
……（4.4） 其中1)(!
1),()(F 01,)()
((0)2
21
1==++++=--λλλλλλλn n n n n
F n F p p p F ！记
由于λ是F （λ）的k 重特征根，可得
0)(,0)()()()()()1(≠===''='=-λλλλλk k F F F F F 而
于是由（4.4）得（4.5）。
反之，如果对于方程（1）恒等式（4.5）成立，那么函数t e t Q x λ)(=
是方程（1）当是它相应特征方程的k 重根时的特解。
当
λ时，0)(a t p m =是特征方程的k 重根，则方程（1）有形如
t
k k e t F a x λλ)
(~)
(0=
。 特例 对于方程t e a x p x p x λ021=+'+
''
<1>当λ不是特征方程时，有特解t
e F a x λλ)
(~
=
<2>当λ是特征方程的单根时，有特解t te F a x λλ)
(~
'=
<3>当λ时特征方程的重根时，有特解t e t F a x λλ20
)
(~
''=
当
10)(a t a t p m +=，λ是特征方程的k 重根，则方程（1）有特解
)
()
(,)()1(,)(~)()1(011)
(0011
0λλλλk k k t
k
k F F b a b F k a b e t b t
b x ++-=+=+= 而形如
t
n n n n e t t p t t p x p x p x p x λββ)sin )(cos )((21)2(2)1(1)(+=++++-- （
)(),(21t p t p 分别为m 次和n 次多项式，β
,?为常数），则可利
用Euler 公式化为指数形式，便得上述结果仍有效。 例1：求方程t e x x x -=-'-''32的通解。
解：特征方程由032)(2=--=λλλF 可得1.321-==λλ 所以
齐次方程的通解为t t e c e c x -+=231。
因为1)(,04)1(,0)
1(=≠-=-'=-t p F F m ，
所以依据<1>知原方程有一个特解t t te te F x ---=-'=
4
1
)1(1~
故原方程的通解为
t
t
t
te e c e c x ---+=4
1231
例2：求方程t e t x x x x x
)1(464)
4(+=+'-''+'''-的一个特解。
解：因为
,01464)(2
34=+-+-=λλλλλF 可得 1)(,024)1(,0)1(,0)1(,0)1(,0)1(+=≠==''='='=t t p F F F F F
所以根据<2>
0)(,24
1
24011,120124)14(1)5(10≠=?-==?+=
λF b b
故原方程有一个特解
t t e t t e t t x )24
11201()2411201(~4414+=+=+
五、 代换降阶法 [ 3 ]
由一阶常系数非齐次线性微分方程
)(t f px x =+'
的通解为))((c dt e t f e x pt
pt +=?
-，我们联想到对于二阶以至高阶常系数非齐次线性方程是否也有类似的通解形式。
定理1：设方程
)(t f qx x p x =+'+'' ……………………………（5.1）
对应齐次方程的特征方程为02=++q p λλ，它的两个特征根为21,λλ，则（5.1）与方程组
?
?
?=-''=-'')(121
1t f x x x x x λλ ……………………………（5.2） 是等价的。于是可得（5.1）的通解为
[]
dt c dt e
x f e e e c x t
t
t t ??
++=--2)(121221)(λλλλλ
证明：21,λλ是02=++q p λλ的两个根，
由韦达定理得)(21λλ+-=p ，21λλ=q ，从而（5.2）可化为
)()(2121t f x x =++-''λλλλ
若令x x x 11λ-'=，则)(121
t f x x =-'λ。于是（5.1）与方程组（5.2）是等价的。方程组（5.2）的解为
()
()??
?
?
?+=+=??--211
12212)(c dt e t f e x c dt e x e x t t t t λλλλ
则（5.1）的通解为
[
]??++=--121211))((c dt e c dt e t f e e x t t t t λλλλ
()[
]??++=--dt c dt e
t f e e e c t
t
t t 2
)(121211)(λλλλλ …………………………（5.3）
其中21,c c 为任意常数。
可以看出，这个方法的实质是把一个二阶常系数线性微分方程（5.1）化成两个相继的一阶常系数线性微分方程组（5.2）来求解。 定理2：设方程（5.1）对应的特征根为 21,λλ，则 1. 当21λλ≠时，此方程的通解为
dt e t f e dt e t f e e c e c x t t t t t t ??--++++
+=221121)(1
)(12
12121λλλλλλλλλλ
2.当λλλ==21时，此方程的通解为
t t t t e dt e t tf dt e t f t e c c x λλλλ))()(()(21??---++=
3，当βαλβαλi i -=+=21,时，此方程的通解为
)
cos )(sin 1
sin )(cos 1
()sin c t cos (21tdt e
t f t tdt
e t
f t e t c e x t
t t
t βββ
βββ
ββαααα??--+-++=
定理2的结论仅由21,λλ代入方程（5.3）中再进行简化。
例1、 解方程x
e y y y x
=+'-''2
解：解特征方程022
=+-λλλ得特征根121==λλ。由定理2得到通解
x
x
x x x x x e
x x xln x c c e dx e x e
x dx e x e x e x c c y )()()(2121-++=-++=--??
由定理1我们再进行推广，得到：
定理3：若方程（1）有n 个特征根n λλλ ,,21，则方程（1）与下列方程组等价：
?????????=-'=-'=-'=-'------)(111
212
212111t f x x x
x x x x x x x x n n n
n n n n λλλλ ……………………………（5.4） 且方程（1）的通解为
????-----=dt e t f dt e dt e dt e e x t t t t n n n λλλλλλλλ)()()()(123121
证明：设方程（1）的特征方程n n n p p F +++=- )
1(1
)()(λλλ＝0的根为
n λλλ ,,21。则利用一元高次代数方程根与系数关系有
n n n
i i
n
j i j i n
i i p p p )1(,,,
1
2111
-===∏∑∑=≤<≤=λλλλ 。 于是方程（1）可改写为
)()1(1)1(1)11)
(t f x x x x
n i i n n n j i j i On n i i n =??????-++?
??
? ??+??? ??-∏∑∑=-≤<≤-=λλλλ 即
)()1()1(1
11
)3(1)
2(1
1)1(11
)3(11)
2(11)1(t f y x
x x x x x x
n i i n n n j i j i n n i i n n n i i n n n j i j i n n i i n =???
????
????? ??-+-???? ??+???
??--'???????
????? ??-+-?
??? ??+??? ??-∏∑∑∏∑∑-=--≤<≤--=-=---≤<≤--=-λλλλλλλλλ （5.5）
令x x x x
x n i i n n n j i j i n n i i n n ???? ??-+-?
??
? ??+??? ??-=∏∑∑-=---≤<≤--=--111
)3(11)2(11)
1(1)1(λλλλ （5.6） 则（5.5）可写成 )(11t f x x n n n
=-'--λ。 从而可解出
dt e t f e
x t t
n n n ?
--=λλ)(1。则（5.6）为一个n-1阶常系数线性微分
方程。它的特征根为121,,-n λλλ ，仿照上面过程，令
x x x x
x n i i n n n j i j i n n i i n n ???? ??-+-???
? ??+??? ??-=∏∑∑=---≤<≤--=--12
)4(21)3(21)
2(2)1(λλλλ ，
则（5.6）又可写成 1212----=-'n n n n
x x x λ。 从而可解出dt e x e x t
n t n n n ?-----=1112λλ。依此类推，最后令x x x 11λ-'=，于是
解出
dt e x e
x t
t
11λλ-?=。
故方程（1）与方程组（5.4）同解且其解为
???????
??===???----dt e t f e x dt
e x e x dt e x e x t t n t t t t n n λλλλλλ)(1
2112211 这里dt e x e x t
t 111λλ-?= 表示全体原函数。故方程（1）的通解为
dt e t f dt e dt e dt e e x t t t t t n n n ????-----=λλλλλλλλ)()()()(123121 。
由此可见，根据方程（1）的特征根，总可以通过适当的代换逐步降阶，化
为相继的n 个一阶常系数线性微分方程来求解。因此它的通解总可以经过n 次积分而求得。
『参考文献』：
[ 1 ] 《常委分方程》第三版 高等教育出版社
[ 2 ] 卢绍莹 《简化待定系数法》
汤光宋 《关于高阶常系数非齐次线性微分方程特解的简捷求
法》 南都学坛
[ 3 ] 吴亚敏 《谈常系数非齐次线性微分方程的求解》 王健生 《常系数线性微分方程的一个求解公式》 上海海运学院学报
常系数线性微分方程复习 一、常系数线性微分方程的形式和名词解释 1. n 阶常系数线性微分方程的标准形式为： ) (1)1(1)(t f y a y a y a y n n n n =+′+++??L 其中 a 1，a 2，L ，a n 是常数，f (t )为连续函数 2. n 阶微分方程的含有n 个独立的任意常数的解，叫做一般解（通解）。 3. 微分方程不含任意常数的解，叫做特解。 4. 把微分方程与初始条件合在一起叫做微分方程的初值问题。初值问题的解是即满足 微分方程又满足初始条件的特解。 二、常系数线性齐次微分方程的解法 01)1(1)(=+′+++??y a y a y a y n n n n L 其中a 1，a 2，L ，a n 是常数，等号右端自由项为零 1. 求齐次线性微分方程的特征方程（只要将齐次线性微分方程式中的 y (k )换写成 λk ， k = 0，1，L ，n ，即得其特征方程）。 011 1=++++??n n n n a a a λλ λL 2. 求特征方程的根（称为微分方程的特征根）。 3. 求得了方程的 n 个特征根，就可得到微分方程的n 个线性无关的一般解（根的形 式不同，解的形式也不同）。 (1) 特征方程有n 个互异的实根 λ1， λ2 ，L ，λn 。 方程的通解为 t n t t c c c y n 21e e e 21λλλ+++=L 例 求齐次微分方程032=?′?′′y y y 的通解 特征方程 0322=??λλ 求出特征方程的根3121=?=λλ 方程的通解 t t c c y ?+=e e 231 (2) 特征方程有n 个实根，但存在重根（设λ0是方程的k 重根）。 方程的通解为 t n t k t k k c c t c t c c y k n 10e e )e (1121λλλ++++++=++?L L 例 求齐次微分方程043=?′′+′′′y y y 的通解 特征方程0432 3 =?+λλ 求出特征方程的根21 321?===λλλ
高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根
常 广东广州 华南师范大学 （郑海珍20052201323 李璇20052201333） 『摘要』：常系数非齐次线性微分方程是微分方程中典型的一类，它 在自然科学领域里有比较广泛的应用。本文收集并归纳了求非齐次线性微分方程特解的几种方法，包括常数变易法、化为高维线性微分方程组的方法、代换降阶法、比较系数法，以及在比较系数法的基础上推广而出的简易待定系数法。以求更多地收集并掌握求非齐次线性微分方程特解的方法。 『关键词』：常系数非齐次线性微分方程； 特解； 通解； 『正文』： 常系数非齐次线性微分方程形如： )()2(2)1(1)(t f x p x p x p x n n n n =++++-- (1) 的求解步骤一般是：先求方程(1)对应齐次方程的基本解组 )(),(),(21t x t x t x n ， 再设法求出方程（1）的一个特解 ) (~t x ，则方程（1）的通解易得为 ),(~)()(1 t x t x c t x n i i i +=∑= n i c i ,,2,1, =为任意常数。一般来说，求齐次线性微分方程的基本解组比较容 易，问题在于怎样求解方程(1)的特解)(~t x 。下面将一一介绍几种求方程(1) 的特解的方法。 首先给出本文常用符号：
n n n p p F +++=- )1(1)()(λλλ 为方程（1）的特征方程。k λλλ,,,21 是特征根，其对应的重数分别为 k u u u ,,21。)(,),(),(21t x t x t x n 是方程（1）对应齐方程的基本解组。 一、 常数变易法 [ 1 ] 可设方程（1）的特解形如： )()()()()()()(~2211t x t c t x t c t x t c t x n n +++= ………………… （1.1） 其中n i c i ,,2,1, =是待定常函数。将其代入方程（1），并附加n-1个条件，便可得方程组（*） ??????? ??='++'+'='++'+'=''++''+''='++'+'------)()()()(0)()()(0)()()(0)()()()1(2)1(21 )1(1)2(2)2(21 )2(122 112211t f t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x n n n n n n n n n n n n n n ………………（*） 解方程组（*）得到)(,),(),(21 t c t c t c n ''' 的表达式，对它们分别进行积分，从而得n i c i ,,2,1, =，再将它们代入（1.1）式中，继而得到了方程（1）的一个特解 )(~t x 。 此法对于自由项)(t f 的形式没有限制，故使用范围较广。但求解的工作量 大。 二、 将方程（1）化成为高维线性方程组的方法 [ 1 ] 令 , ,,,) 1(21-='==n n x x x x x x 则 ,,,,)1(13221 n n n x x x x x x x x x =='=''='='='-- ) ()(121)2(2)1(1)(t f x p x p x p t f x p x p x p x x n n n n n n n n +----=+----=='---
常系数线性微分方程的解法 摘要：本文对常系数线性方程的各种解法进行分析和综合，举出了每个方法的例题，以便更好的掌握对常系数线性微分方程的求解. 关键词：特征根法；常数变易法；待定系数法 Method for solving the system of differential equation with Constant Coefficients Linear Abstract: Based on the linear equations with constant coefficients of analysis and synthesis method, the method of each sample name, in order to better grasp of the linear differential equation with constant coefficients of the solution. Key Words: Characteristic root ；Variation law ；The undetermined coefficient method 前言：常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构已研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采用哪种方法比较适宜，我们往往感到困难。本文通过对一般教材中涉及的常系数线性微分方程的主要解法进行分析和比较，让我们能更好的解常系数线性微分方程。 1．预备知识 复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复值()()()z t t i t ?ψ=+与它对应，其中()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数，1i =-是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?，()t ψ当t 趋于 0t 时有极限，我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数 非齐次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为
函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111 =++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e (i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e (i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 2 2ie x sin x )(21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 y e x (C 1cos x C 2sin x )
第二讲§4.2 n 阶常系数线性齐次方程的解法(2学时) 教学目的: 本节主要讨论n 阶常系数线性齐次方程的解法。 教学要求: 掌握n 阶常系数线性齐次方程的一些解法，了解复值函数与复值解的有关结论。 教学重点: n 阶常系数齐次线性方程的特征根法和待定系数法 教学难点: 特征根法和待定系数法 教学方法: 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段: 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 上一节我们已详细地讨论线性方程通解的结构问题,但是如何求通解的方法还没有具体给出,事实上,对一般的线性方程是没通用的解法.本节介绍求解常系数齐次线性方程通解的方法,是在线性方程基本理论上化为解一个相应的代数方程,而不必进行积分运算.进而介绍可化为常系数齐次线性方程的解法. 讨论常系数线性方程的解法时,需要涉及到定变量的变值函数及复指数函数的问题.为此首先作一介绍. 一. 复值函数与复值解 1. 复值函数 若)()(t t ψ?和是区间b t a ≤≤上定义的实函数,我们称) 1(),()()(2 -=+=i t i t t z ψ?为区间b t a ≤≤上的复值函数. 若)(),(t t ψ?在b t a ≤≤上连续，则称z(t)在b t a ≤≤上连续. 若)(),(t t ψ?在b t a ≤≤上可微，则称z(t)在b t a ≤≤上可微. 且z(t)的导数为: ,dt d i dt d dt dz ψ?+= 复函数求导法则与实函数相同. 2．复指数函数 ()()(cos sin )i t t z t e e t i t αβαββ+==+， 欧拉公式:cos sin i e i θθθ=+ 3．复值解 定义 定义在区间a t b ≤≤上的实变量复值函数)(t z x =称为方程(4.5)的复值解，如果 ()(1)11()()()()n n n n z p t z p t z p t z f t --'++++= 对于a t b ≤≤恒成立。 对线性方程的复值解有下面的两个结论：
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程 方程 dy dx P x y Q x += ()() 1 叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。 如果 Q x()≡0，则方程称为齐次的； 如果 Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。 a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程 dy dx P x y += ()0 2 的通解问题。 分离变量得dy y P x dx =-() 两边积分得ln()ln y P x dx c =-+ ? 或 y c e P x dx =?-?() 其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。 将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换 y u e P x dx =?-?() 两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()() ?=-? 两边求导得dy dx u e uP x e P x dx P x dx ='- -?-? ()() () 代入方程1得
'=-?u e Q x P x dx ()() ， '=?u Q x e P x dx ()() u c Q x e dx P x dx =+??()() 于是得到非齐次线性方程1的通解 []y e c Q x e dx P x dx P x dx =?+-???()()() 将它写成两项之和 y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =?+?--????()()()() 【例1】求方程 dy dx y x x -+=+21 132() 的通解。 解：] 23)1([1212dx e x c e y dx x dx x ??++??=+-+-- ] 23)1([22)1(ln )1(ln dx e x c e x x +-+??++?= =+?++-?()[()]x c x dx 1121 2 =+?++()[()]x c x 12121 2 由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
常系数线性微分方程的解法 摘 要：本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法.着重讨论利用代数运算和微分运算来求常系数齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的通解. 关键词：复值函数与复值解；欧拉方程；比较系数法；拉普拉斯变换法 The Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients Abstract ：The solutions of linear differential equation with constant coefficients are introduced in this article. And using the algebraic operation and differential operation to solv the general solution of homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation are discussed emphatically. Key Words ：complex flnction and complex answer; euler equation;the method of coefficients comparison; the method of laplace transformation. 前言 为了让我们更多的认识和计算常系数线性微分方程，本文通过对复值函数和复值解以及常系数线性微分方程和欧拉函数的简单介绍，进而简单讨论了常系数线性微分方程的解法,以此来帮助我们解决常系数线性微分方程的解. 1. 预备知识 1.1复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一个实数t ,有复数()()()z t t i t ?ψ=+与它对应,其中 ()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数,i =是虚数单位,我们就说在区间 a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?,()t ψ当t 趋于0t 时有极限,我们 就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限,并且定义 lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t t ?ψ→→→=+. 如果0 0lim ()()t t z t z t →=,我们就称()z t 在0t 连续.显然,()z t 在0t 连续相当于()t ?,()t ψ在0 t 连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每点都连续时,就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续.如果极
1 第二讲一阶微分方程 【教学内容】 齐次微分方程、一阶线性微分方程 【教学目的】 理解齐次微分方程的概念，掌握齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法。 【教学重点与难点】 齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法 【教学过程】 、齐次微分方程: 形如 凹f （-）的微分方程；叫做齐次微分方程 dx x u ■y 原方程便化为可分离变量的微分方程来求解。 x 此方程是可分离变量的微分方程。按可分离变量微分方程的解法，求出方程的通解，再将变量 为y ，所得函 数就是原方程的通解。 x 解：方程可化为 1 C)2 X 2(乂) x 分离变量，则有 u 1 u 2 两边积分，得 例1、 求微分方程（x )dx 2xydy ，满足初始条件y x 1 0的特解。 它是齐次方程。令u ，代入整理后，有 du dx 2xu 对它进行求解时，只要作变换 于是有 dy y ux,亠 u dx du dx du x 一 dx f(u) u x pl ，从而原方程可化为 u x —— f （u ）， dx u 还原 dy dx 2 x_ 2xy du 2x dx
(2)ln(1 u 2) (2)ln x (1 )ln c cx(1 u 2) 1 将u y 代入上式，于是所求方程的通解为 x x 2 二、一阶线性微分方程 形如 的方程称为一阶线性微分方程，其中 P （x ）、Qx ）都是连续函数。 当Qx ） = 0时，方程 y P (x)y 0 称为一阶线性齐次微分方程; 当Qx ）工0，方程称为一阶线性非齐次微分方程。 1. 一阶线性齐次微分方程的解法 将方程 P(x)y 0 分离变量得 两边积分得 方程的通解为 求微分方程 y 2xy 0的通解。 c(x 2 y 2 ) x 2 把初始条件y 0代入上式，求出c 1，故所求方程的特解为 y P (x)y Q(x) dy P(x)dx In y P(x)dx InC Ce P （x ）dx （C 为任意常数） 解法1 （分离变量法）
§12.4 线性微分方程 一、 线性方程 线性方程: 方程)()(x Q y x P dx dy =+叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )≡0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dx dy =+的齐次线性方程. 下列方程各是什么类型方程？ (1)y dx dy x =-) 2(?021=--y x dx dy 是齐次线性方程. (2) 3x 2+5x -5y '=0?y '=3x 2+5x , 是非齐次线性方程. (3) y '+y cos x =e -sin x , 是非齐次线性方程. (4)y x dx dy +=10, 不是线性方程. (5)0)1(32=++x dx dy y ?0)1(23=+-y x dx dy 或3 2)1(x y dy dx +-, 不是线性方程. 齐次线性方程的解法: 齐次线性方程 0)(=+y x P dx dy 是变量可分离方程. 分离变量后得 dx x P y dy )(-=, 两边积分, 得 1)(||ln C dx x P y +-=? , 或 )( 1)(C dx x P e C Ce y ±=?=-, 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）. 例1 求方程y dx dy x =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得 2 -=x dx y dy ,
两边积分得 ln|y |=ln|x -2|+lnC , 方程的通解为y =C (x -2). 非齐次线性方程的解法: 将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把 ?=-dx x P e x u y )()( 设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得 )()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dx x P dx x P dx x P =?+?-?'---, 化简得 ?='dx x P e x Q x u )()()(, C dx e x Q x u dx x P +?=?)()()(, 于是非齐次线性方程的通解为 ])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +??=? -, 或 dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ? ??+?=--)()()()(. 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和. 例2 求方程25)1(1 2+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程. 先求对应的齐次线性方程 012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得 1 2+=x dx y dy , 两边积分得 ln y =2ln (x +1)+ln C , 齐次线性方程的通解为 y =C (x +1)2. 用常数变易法. 把C 换成u , 即令y =u ?(x +1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得
常系数线性微分方程的解的结构分析 【 摘要】在参考和总结了许多场系数线性微分方程的解法的基础上，本文总结了一些常系数微分方程的解的解法，并针对一类常系数线性微分方程的已有结论给予证明，以解给予一些结论证明思路，以及一些实例，并向高阶推广。 【关键词 】常系数 线性 微分方程 结构 一阶常系数齐次线性微分方程 0=+ax dt dx ， （1.1） 的求解 上式可以改写为 adt x dx -= ， （1.2） 于是变量x 和t 被分离，再将两边积分得 c at x +-=ln ， （1.3） 这里的c 为常数。又由对数的定义，上式可以变为 at ce x -= ， （1.4） 其中c= , 因为x=0也是方程的解，因此c 可以是任意常数。 这里首先是将变量分离，然后再两边积分，从而求出方程的解。这便要方程式可以分离变量的，也就是变量分离方程。 一阶常系数微分方程 )()(x Q y x P dx dy += ， （2.1） 其中P （x ），Q(x)在考虑的区间上式连续函数，若Q （x ）=0 ,上式就变为 y x P dx dy )(= ， （2.2） 上式为一阶齐次线性微分方程。还是变量分离方程我们可以参考上面变量分离方程的解法，先进行变量分离得到 dx x P y dy )(= ， （2.3） 两边同时积分，得到 ? =dx x p ce y )( ， （2.4） 这里c 是常数。 若Q （x ）≠ 0 , 那么上式就变成了 一阶非齐次线性微分方程。 我们知道一阶齐次线性微分方程是一阶常微分方程的一种特殊情况，那么可以设想将一阶
齐次线性微分方程的解 ? =dx x p ce y )( ， （2.5） 中的常数c 变易成为待定的函数c （x ）,令 ?=dx x p e x c y )()( ， （2.6） 微分之，就可以得到 ?+?=dx x p dx x p e x P x c e dx x dc dx dy )()()()()( ， （2.7） 以（2.7），（2.6）代入2.1，得到 )()()()()()()()()(x Q e x c x p e x P x c e dx x dc dx x p dx x p dx x p +?=?+?，（2.8） 即 ?=-dx x p e x Q dx x dc )()() (， 积分后得到 c （x ）=c dx e x Q dx x p +?? -)()( , (2.9) 这里c 是任意常数，将上式代入（2.6）得到方程（2.1）的通解 ))(()()(c dx e x Q e y dx x p dx x p +? ? =?- (2.91) 在上面的一阶线性微分方程中，是将一阶齐次线性微分方程中的通解中的常数c 变成c(x) ,常数变易法一阶非齐次线性微分方程的解, 感觉这个方法之所以用x 的未知函数u(x)替换任意常数C,是因为C 是任意的，C 与x 形成函数关系，要确定C,需要由初始条件确定，一个x,确定一个C,也就形成一对一或多对多的映射，也就是函数关系，而这里的C 是任意的，也就可以用一个未知的，也就是任意的函数u(x)来代替，进而求得非齐次线性微分方程的解。这种将常数变异为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法。常数变易法实质也是一种变量变换的方法，通过变换（2.6可将方程（2.1）化为变量分离方程。 二阶常系数线性微分方程 （1）二阶常系数线性齐次方程 022=++qy dx dy p dx y d （3.1） 其中p 、q 是常数，我们知道，要求方程（3.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特 解y 1,y ２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程(3.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，
第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)
的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,
第七章常微分方程7.8 高阶齐次线性微分方程 数学与统计学院 赵小艳
1 2 高阶线性微分方程的概念 1 主要内容 3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关 高阶齐次线性微分方程通解的结构
1 2 高阶线性微分方程的概念 1 主要内容 3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关 高阶齐次线性微分方程通解的结构
解 受力分析 1 高阶线性微分方程的概念 例1 （弹簧的机械振动） 如图，弹簧下挂一物体.设在垂直方向有一随时间变化的外力 作用在物体上，物体将受外力驱使而上下振动，求物体的振动规律. pt H t f sin )(1= 以物体的平衡位置为坐标原点，x 轴的方向垂直 向下. x x o )(1t f ;sin )()1(1pt H t f =外力;)2(kx f -=弹性力v f μ-=0)3(介质阻力,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2可得.t x d d μ-= 设振动开始时刻为0，t 时刻物体离开平衡位 置的位移为x (t ).
,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2 可得t t 2d d 物体自由振动的微分方程 .0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：
一般地，称 )()()(2122t F x t P t x t P t x =++d d d d 为二阶线性微分方程， ,0)(时当≡t F 称为二阶齐次线性微分方程, ,0)(时当≠t F 称为二阶非齐次线性微分方程. )()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- n 阶线性(微分)方程 ,0)(时当≡t F n 阶齐次线性微分方程, t t 2d d .0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：物体自由振动的微分方程
§4.2 常系数线性方程的解法 讨论常系数线性方程的解法时，需要涉及实变量的复值函数及复指数函数的问题，我们在4.2.1中预先给以介绍。 4.2.1 复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复数()()()z t t i t ?ψ=+与它对应，其中()t ?和 ()t ψ是区间a t b ≤≤上定义的实函数，i 是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了 一个复值函数()z t 。如果实函数()t ?，()t ψ当t 趋于0t 时有极限， 我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义 lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t i t ?ψ→→→=+ 如果0 0lim ()()t t z t z t →=，我们就称()z t 在0t 连续。显然，()z t 在0t 连续相当于()t ?、()t ψ在 0t 连续。当()z t 在区间a t b ≤≤上每一点都连续时，就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续。如 果极限0 00 ()() lim t t z t z t t t →--存在，就称()z t 在0t 有导数（可微）。且记此极限为0()dz t dt 或者 0()z t '。显然()z t 在0t 处有导数相当于()t ?、()t ψ在0t 处有导数，且 000()()() dz t d t d t i dt dt dt ?ψ=+ 如果()z t 在区间a t b ≤≤上每点都有导数，就称()z t 在区间a t b ≤≤上有导数。对于高阶导数可以类似地定义。 设12(),()z t z t 是定义在a t b ≤≤上的可微函数，c 是复值常数， 容易验证下列等式成立： []1212()()()()dz t dz t d z t z t dt dt dt +=+ []11()()dz t d cz t c dt dt = []121221()()()()()()dz t dz t d z t z t z t z t dt dt dt ?=?+? 在讨论常系数线性方程时，函数Kt e 将起着重要的作用，这里K 是复值常数，我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。 设K i αβ=+是任一复数，这里,αβ是实数，而t 为实变量，我们定义 ()(cos sin )Kt i t t e e e t i t αβαββ+==+
二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的 连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常 系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是 式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2) 的通解. 2.线性相关、线性无关的概念
设,,,,21n y y y Λ为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k Λ使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k Λ, 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的 两个解,且≠=x y y tan 2 1常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r ,
4-11-常系数高阶线性齐次方程的解法
精品资料 4.2 常系数高阶线性方程基本解组求法 (How to Solve higher order Linear ODE with constant coefficients) [教学内容] 1. 介绍常系数高阶齐次线性微分方程特征方程的概念; 2.介绍如何由常系数高阶齐次线性微分方程特征方程的根来获得原微分方程基本解组; 3. 介绍如何说明常系数齐次线性微分方程一组解能否构成基本解组;4. 介绍欧拉方程及其解法. [教学重难点] 重点是知道并会常系数高阶齐次线性微分方程（或欧拉方程）特征方程来获得原微分方程基本解组；难点是如何由特征方程的特征根来写出原微分方程的基本解组. [教学方法] 预习1、2；讲授3 [考核目标] 1. 能写出常系数高阶齐次线性微分方程或欧拉方程的特征方程的形式 2. 能由常系数高阶齐次线性微分方程或欧拉方程的特征方程的特征根写出原微分方程基本解组; 3. 知道试解法以及微分方程复函数解概念以及其与实函数解关系. 1.认识常系数高阶齐次线性微分方程的试解法. 例45. 考察微分方程?Skip Record If...?，由分离变量法可得其通解为?Skip Record If...?. 现考察常系数齐次线性微分方程?Skip Record If...?. 大胆假定方程具有形如?Skip Record If...?的解，将其代入原方程得到，?Skip Record If...?. 注意到?Skip Record If...?，因此?Skip Record If...?是方程的解?Skip Record If...??Skip Record If...?. 我们称代数方程?Skip Record If...?为微分方程?Skip Record If...?的特征方程. ( 如何由常系数齐次线性微分方程来写出其特征方程？) 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2
目 录 待定系数法 常数变异法 幂级数法 特征根法 升阶法 降阶法 关键词：微分方程，特解，通解， 二阶齐次线性微分方程 常系数微分方程 待定系数法 解决常系数齐次线性微分方程[]21220, (1) d x dx L x a a x dt dt ≡++= 12,. a a 这里是常数 特征方程212()0F a a λλλ=++= (1.1) (1)特征根是单根的情形 设 12,,,n λλλ是特征方程的 (1.1)的2个彼此不相等的根，则相应的方程 (1)有如 下2个解： 12,t t e e λλ (1.2) 如果(1,2)i i λ=均为实数，则 (1.2)是方程 (1)的2个线性无关的实值解，而方程 (1)的通解可表示为 1212t t x c e c e λλ=+ 如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出现。设 i λαβ=+是一特征根，则i λαβ=-也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程 (1)有两个复值解 (i)t (cos t sin ),t e e i t αβαββ+=+
(i)t (cos t sin ).t e e i t αβαββ-=- 它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根 i λαβ=±，我们可求得方程 (1)的两个实值解 cos ,sin .t t e t e t ααββ （2）特征根有重跟的情形 若10λ=特征方程的 k 重零根，对应于方程 (1)的k 个线性无关的解21 1,t,t ,k t -。 若这个 k 重零根10, λ≠设特征根为12,,,,m λλλ其重数为 1212,,,k (k 2)m m k k k k ++ =。方程 (1)的解为 11112222111,t ,t ;,t , t ; ;,t , t ;m m m m t t k t t t k t t t k t e e e e e e e e e λλλλλλλλλ--- 对于特征方程有复重根的情况，譬如假设i λαβ=+是k 重特征根，则i λαβ=-也是k 重特征根，可以得到方程 (1)的2k 个实值解 2121cos ,cos ,cos ,,cos ,sin ,sin ,sin , ,sin .t t t k t t t t k t e t te t t e t t e t e t te t t e t t e t ααααααααββββββββ-- 例1 求方程 220d x x dt -=的通解。 解 特征方程 210λ-=的根为121,1λλ==-有两个实根，均是单根，故方程的通 解为 12,t t x c e c e -=+ 这里12,c c 是任意常数。 例2 求解方程 220d x x dt +=的通解。 解 特征方程 210λ+=的根为12,i i λλ==-有两个复根， 均是单根，故方程的通解 为 12sin cos ,x c t c t =+