2013年高考压轴题之零点问题破解
陈崇荣 福建省宁德市柘荣一中 邮编355300
杨苍洲 福建省泉州市泉州五中 邮编362000
2013年高考压轴题中，有许多省份涉及到零点问题，如安徽卷第10题、四川卷第10题、江苏卷第20题、福建卷第20题等，这些题目新颖、抽象，所考查的知识面广，试题难度大，给考生带来了很大的困难.如何有效准确的解决这类题目呢，笔者认真研究，并有些反思成文，希望能为考生解答函数零点问题找到突破口以达到有效备考.
1解决函数零点问题的“武器”
★函数零点存在性定理：如果函数()y f x =在闭区间[,]a b 上的图象是连续曲线，并且有()()0f a f b <，那么, 函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点．
★等价关系：函数()()()F x f x g x =-有零点?方程()()()0F x f x g x =-=有实数
根?方程组12
()()y f x y g x =??=?有实数根?函数1()y f x =与2()y g x =的图象有交点. ★数学思想方法：数学思想方法是数学科的灵魂，函数零点中要特别注意函数与方程思想，数形结合思想和化归思想在解题中的指导作用！
2.2013年高考压轴题之零点问题探析
2013年高考压轴题中的零点问题，主要考查了两类，一类是判断方程根的个数；另外一类是求参数的范围.主要出现在选择题和解答题中，选择题中以灵活、新颖的面貌展示，而解答题通常与其它知识交汇后闪亮登场，可以说“零点”成为了2013年高考函数模块中的热点、亮点和生长点(其实2013年高考中涉及零点的试题除了下面分析的外，还有天津卷第7题、重庆卷第6题，北京卷第18题、山东卷第21题，陕西卷第21题等).
2.1判断方程根的个数 例1（2013年高考安徽卷第10题）若函数32
()=++b +f x x ax x c 有极值点1x ，2x ，且 11()=f x x ，则关于x 的方程23(())+2()+=0f x af x b 的不同实根个数是（ ）.
（A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）6
解析：因为2()32f x x ax b '=++，所以23[()]2()0f x af x b ++=的根满足1
()f x x =或2()f x x =，下面转化为求1()f x x =或2()f x x =的根的个数问题.又11()f x x =，所以1x 是极大值或极小值，于是函数32
()f x x ax bx c =+++与函数1y x =或者2y x =的草图有如下两种可能：
由图像可知，不管是哪种图像都有3个根.所以选择A .
解题方法破解:解答该题的“武器”是等价关系和数学思想方法，把问题转化为求1()f x x =或2()f x x =的根的个数问题，再转化为函数()y f x =的图象与12()y x y x ==的图象有几个交点问题.
例2（2013年高考江苏卷第20题）设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x -=)(，其中a 为实数.
（1）若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的取值范围；
（2）若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论. 解：（1）a 的取值范围为),(+∞e .
（2）因为)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，所以()0x g x e a '=-≥，即x e a ≤对),1(+∞-∈x 恒成立，所以[]m i n x
e a ≤.而当),1(+∞-∈x 时，x e ＞e 1,所以e a 1≤.由()0
f x =，得ln (0)x a x x =>.令ln ()x h x x =，2
1ln ()(0)x h x x x -'=>. 当0x e <<时，()0h x '>，()h x 单调递增且连续不断；当x e >时，()0h x '<，()h x 单调递减增且连续不断.
所以当x e =时,max 1()h x e
=. 另一方面，01x <<时，ln ()0x h x x =
<； 当1x >时，ln ()0x h x x
=>.在(,)e +∞上，()h x 连续不断地单调递减. 且当x →+∞时，ln ()0x h x x
=→，所以，()h x 的图像以x 的正半轴为渐近线.据此作出ln ()x h x x =的简图(图3)，)(x f 的零点个数就是直线y a =与函数ln ()x h x x
=图像交点的个数.
由图像知:当0a ≤或1a e =时，)(x f 有一个零点；当10a e
<<时，)(x f 有两个零点.
解题方法破解:解答该题的“武器”还是等价关系和数学思想方法（数形结合、转化与 化归等）.把()f x 的零点个数转化为图像交点个数问题，通过作图解决，形象直观，简便可 行，比官方提供的答案简洁多了.
2.2求参数的范围
例3（2013年高考四川卷第10题）设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是（ ）.
（A ）[1,]e （B ）1[,-11]
e -， （C ）[1,1]e + （D ）1[-1,1]e e -+ 解：因为()0
f x ≥，00(())f f y y =，所以00y ≥.又因为00(,)x y 在函数sin y x =上，所以01y ≤，所以问题转化为方程(())f f x x =在[0,1]上有解.
若()f x x >在[0,1]上恒成立，则(())()f f x f x x >>，(())f f x x =在[0,1]上无解； 若()f x x <在[0,1]上恒成立，则(())()f f x f x x <<，(())f f x x =在[0,1]上无解； 所以，(())f f x x =在[0,1]有解等价于方程()f x x =在[0,1]有解.
由x [0,1]x ∈，得2x a x x e =-++，[0,1]x ∈. 令2()x g x x x e =-++，[0,1]x ∈，则()21x g x x e '=-++；令()21x h x e x =-+，则()2x h x e '=-.当(0,ln 2)x ∈时，()0h x '<；当(ln 2,1)x ∈，()0h x '>，故[0,1]x ∈时，()(ln 2)3ln 40h x h ≥=->，即()0g x '>，[0,1]x ∈.故2()x
g x x x e =-++在[0,1]x ∈上单调递增，简图如图4.所以(0)(1)g a g ≤≤，即[1,]a e ∈.故选A.
解题方法破解:本题难点在于把问题转化为方程()f x x =在[0,1]上有零点，接着分离出 参数，再转化为两个函数1y a =与2()y g x =的图像交点问题.考查了函数及其性质，导数有 关知识；考查了函数知识的综合运用能力，利用导数研究函数性质的能力；考查了转化与化 归的数学思想，函数与方程思想.
例4（2013年高考福建卷第20题）已知函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+><<的 周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π
，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原
来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移
2π个单位长度后得到函数()g x 的图像． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式；
（2）是否存在0(,)64
x ππ∈，使得0()f x ，0()g x ，00()()f x g x 按照某种顺序成等差数 列？若存在，请确定0x 的个数；若不存在，说明理由．
（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点． 解：（Ⅰ）()cos 2f x x =，()sin g x x =；
（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 22x <<，10cos 22
x <<，所以s i n c o s 2s x x x x >
>，问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解.
设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64
x ππ
∈，则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++-.因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x
在(,)64ππ内单调递增.又1()064
G π=-<，()04G π=>，且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ，即存在唯一的0(,)64x ππ
∈满足题意. （Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=.当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos 21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程
()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin x a x
=-
，()x k k Z π≠∈. 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况.令cos 2()sin x h x x =-，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情
况.22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32
x π=.当x 变化时，()h x 和()h x '
变化情况如下表:
当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞；当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞；
当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞；当
2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞.
所以函数()h x 的简图如图5所示.
故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在
(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点；
当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点； 当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点.
由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=?，所以67121342n =?=.
综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点.
解题方法破解:此题中第(2)、(3)问都是函数零点问题.其中第(2)问难度中等，第(3)问较难，是属于零点问题中求参数范围，方法还是分离出参数，转化为两个函数y a =与cos 2()sin x h x x
=-的图像交点个数.本题考查了函数与导数、函数的单调性、极值、零点等相关知识；在求解极值时，考查了极限思想、数形结合思想、分类讨论思想等；求最值时，考查了推理论证能力、运算求解能力及函数与方程思想、转化与化归思想等.
至此，通过分析2013年高考压轴题之零点问题，可以发现零点问题往往和函数、导数等知识相结合，在知识的交汇处命题，考查函数的图像与性质，考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，考查各种数学思想方法，考查运用数学知识解决问题的能力，难度较大，但也不是毫无章法，通过上面研究，不管是判断方程根的个数还是求参数的范围，所用“武器”无非是函数零点存在性定理、等价关系及数学思想方法，先把函数零点问题恰当地转化为方程()0F x =或()F x m =的根的个数问题，再利用导数画出函数()y F x =的图像
及(0)
==的图像，观察两个函数图像的交点个数，求出零点个数或者参数m的取值范y m y
围.
陈崇荣福建省宁德市柘荣一中邮编355300
电话138******** 邮箱68121629@https://www.doczj.com/doc/2b455628.html,
杨苍洲福建省泉州市泉州五中邮编362000