2019年高三数学下期末模拟试卷及答案
一、选择题
1．已知二面角l αβ--的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，且,b c αβ⊥⊥，则b 与
c 所成的角的大小为（ ）
A ．120°
B ．90°
C ．60°
D ．30°
2．设函数()()21,04,0x log x x f x x ?-<=?≥?
，则()()233f f log -+=（ ）
A ．9
B ．11
C ．13
D ．15
3．设向量a r ，b r
满足2a =r ，||||3b a b =+=r r r ，则2a b +=r r （ ）
A ．6
B ．32
C ．10
D ．42
4．若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ） A ．sin(+
)2
π
α B ．s(+
)2
co π
α C ．sin()πα+ D ．s()co πα+
5．若,αβv
v 是一组基底,向量γv
=x αu v
+y βu v
(x,y ∈R),则称(x,y)为向量γv
在基底αu v ,βu
v 下的坐标,
现已知向量αu v 在基底p u v =(1,-1), q v =(2,1)下的坐标为(-2,2),则αu v 在另一组基底m u v
=(-1,1), n v
=(1,2)下的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(0,-2) C ．(-2,0) D ．(0,2)
6．已知a r 与b r
均为单位向量，它们的夹角为60?，那么3a b -r r 等于（ ）
A ．7
B ．10
C ．13
D ．4
7．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ：sin B 的值是（ ） A ．
53
B ．
35
C ．
37
D ．
57
8．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ） A ．假设至少有一个钝角
B ．假设至少有两个钝角
C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角
D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
9．当1a >时， 在同一坐标系中，函数x
y a
-=与log a y x =-的图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥ C ．若a b a b αβ??P ，，，则αβ∥ D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥r r
11．设,a b ∈R ，数列{}n a 中，2
11,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ）
A ．当101
,102
b a =
> B ．当101
,104
b a =
> C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =->
12．在△ABC 中，AB=2，AC=3，1AB BC ?=u u u r u u u r
则BC=______ A ．3
B ．7
C ．2
D ．23
二、填空题
13．i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 . 14．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1
()tan 2
g x x =
的图象交于,,A B C 三点，则ABC ?的面积为__________．
15．函数()2
3s 34f x in x cosx =+-
（0,2x π??
∈????
）的最大值是__________． 16．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．
17．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________． 18．高三某班一学习小组的,,,A B C D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活
动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D 在_________. 19．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则
b
a
的取值范围是__________． 20．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ．
三、解答题
21．已知()11f x x ax =+--.
（
1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围. 22．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos(θ-)=2.
(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
23．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，
90BAF ∠=?，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.
（1）求证：AF ⊥平面ABCD ； （2）若二面角D AP C --的余弦值为
6
3
，求PF 的长度. 24．若不等式2520ax x +->的解集是122x x ??
<
，求不等式22510ax x a -+->的解集． 25．
在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,
,x t y kt =??=?（t 为参数），直线l 2的参数方程为
2,
,x m m m y k =-+??
?
=??
（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设
()3:cos sin 20l ρθθ+-=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.
26．如图，边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，将AED V ，
DCF V 分别沿DE ，DF 折起，使得A ，C 两点重合于点M ．
(1) 求证：MD EF ⊥； (2) 求三棱锥M EFD -的体积．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
,b c αβ⊥⊥，直线,b c 的方向向量,b c r r
分别是平面,αβ的法向量，根据二面角与法向量
的关系，即可求解. 【详解】
设直线,b c 的方向向量,b c r r
，,b c αβ⊥⊥，
所以,b c r r
分别是平面,αβ的法向量，
二面角l αβ--的大小为60°，
,b c r r
的夹角为060或0120，
因为异面直线所的角为锐角或直角， 所以b 与c 所成的角为060. 故选:C. 【点睛】
本题考查二面角与二面角平面的法向量的关系，属于基础题.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.
【详解】 ∵函数2log (1),0
()4,0x
x x f x x -
≥?
， ∴()2l 23
og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=11．
故选B ． 【点睛】
本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
3=，求得2a b ?=-r r
，再根据向量模的运算，即可求解． 【详解】
∵向量a r ，b r 满足2a =r ，3b a b =+=r r r 3=，解得2a b ?=-r r ．
则2a b +==r r ．故选D ．
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算，及向量的模的运算问题，其中解答中熟记向量的数量积的运算和向量的模的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用诱导公式化简选项，再结合角α的终边所在象限即可作出判断. 【详解】
解：角α的终边在第二象限，sin +
2πα??
??
?
＝cos α＜0，A 不符； s +2co πα?
? ???＝sin α-＜0，B 不符；
()sin πα+＝sin α-＜0，C 不符； ()s co πα+＝s co α-＞0，所以，D 正确
故选D 【点睛】
本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关
键．
5．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
由已知αu r
=-2p u r +2q r =(-2,2)+(4,2)=(2,4), 设αu r =λm u r +μn r
=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),
则由224λμλμ-+=??
+=?解得0
2λμ=??=?
∴αu r =0m u r +2n r ,∴αu r
在基底m u r , n r 下的坐标为(0,2).
6．A
解析：A 【解析】
本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知
=
=
，所以应选A ．
7．A
解析：A 【解析】 由正弦定理可得：sin 5
sin 3
A a
B b == . 本题选择A 选项.
8．B
解析：B 【解析】
用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选B ．
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项. 【详解】
由于1a >，所以1x
x
a y a
-=??
= ???
为R 上的递减函数，且过()0,1；log a y x =-为()0,∞+
上的单调递减函数，且过()1,0，故只有D 选项符合. 故选：D. 【点睛】
本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断，考查函数图像的识别，属于基础题.
10．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误； 故选D.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】 对于B ，令2
14x λ-+
=0，得λ12=，取112a =，得到当b 1
4
=时，a 10＜10；对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a 1＝2，得到当b ＝﹣2时，a 10＜10；对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0
，得λ=
1a =，得到当b ＝﹣4时，a 10＜10；对于A ，221122a a =+
≥，223113()224a a =++≥，4224319117
()14216216
a a a =+++≥+=＞，当n ≥4时，1n n a a +=a n 12n a +＞11322+=，由此推导出104a a ＞（32）6，从而a 10729
64＞
＞10． 【详解】
对于B ，令2
14x λ-+=0，得λ12
=， 取112a =
，∴211
1022n a a ==L ，
，＜， ∴当b 1
4
=
时，a 10＜10，故B 错误； 对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1， 取a 1＝2，∴a 2＝2，…，a n ＝2＜10，
∴当b ＝﹣2时，a 10＜10，故C 错误； 对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0
，得λ=
取1a =
，∴2a =
，…，n a =10， ∴当b ＝﹣4时，a 10＜10，故D 错误； 对于A ，2
21122a a =+
≥，223113
()224
a a =++≥， 4224319117
()14216216
a a a =+++≥+=＞，
a n +1﹣a n ＞0，{a n }递增，
当n ≥4时，1
n n
a a +=a n 1
2n
a +＞11322+=， ∴54
45109323232
a a a a a
a ???????????
???????＞＞＞，∴
104a a ＞（32）6，∴a 1072964＞＞10．故A 正确． 故选A ． 【点睛】
遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.
12．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
2222149||||cos ()122BC AB BC AB BC B AB BC AC +-?=-?=-+-=-=u u u r u u u r Q
|BC ∴
故选：A 【点评】
本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等
价转化思想等数学思想方法.
二、填空题
13．【解析】试题分析：由复数的运算可知是纯虚数则其实部必为零即所以考点：复数的运算 解析：2-
【解析】
试题分析：由复数的运算可知，()()12i a i -+是纯虚
数，则其实部必为零，即，所以
.
考点：复数的运算.
14．【解析】【分析】画出两个函数图像求出三个交点的坐标由此计算出三角形的面积【详解】画出两个函数图像如下图所示由图可知对于点由解得所以【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像考查三角函数图像交点坐 解析：
3π 【解析】 【分析】
画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积. 【详解】
画出两个函数图像如下图所示，由图可知()()0,0,π,0A C ，对于B 点，由sin 1
tan 2y x y x =??
?=??
，解得π3,3B ?? ? ???，所以133π
π22
4
ABC
S ?=??=.
【点睛】
本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题.
15．1【解析】【详解】化简三角函数的解析式可得由可得当时函数取得最大值1
解析：1 【解析】 【详解】
化简三角函数的解析式，
可得()2
2311cos cos 44
f x x x x x =--
=-++=
2
(cos 1x -+， 由[0,]2
x π∈，可得cos [0,1]x ∈，
当cos 2
x =
时，函数()f x 取得最大值1． 16．8【解析】分析：先判断是否成立若成立再计算若不成立结束循环输出结果详解：由伪代码可得因为所以结束循环输出点睛：本题考查伪代码考查考生的读图能力难度较小
解析：8 【解析】
分析：先判断6I <是否成立，若成立，再计算I S ，，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S =
点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.
17．【解析】【分析】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知求出的垂直平分线方程令可得圆心坐标从而可得圆的半径进而可得圆的方程【详解】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知的垂直平分线为令
解析：22(2)10x y -+=. 【解析】 【分析】
由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，求出AB 的垂直平分线方程，令0y =，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】
由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，AB 的垂直平分线为
24y x =-，令0y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径
=22
(2)10x y -+=.
本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 18．画画【解析】以上命题都是真命题∴对应的情况是：则由表格知A在跳舞B 在打篮球∵③C在散步是A在跳舞的充分条件∴C在散步则D在画画故答案为画画解析：画画
【解析】
以上命题都是真命题，
∴对应的情况是：
则由表格知A在跳舞，B在打篮球，
∵③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件，
∴C在散步，
则D在画画，
故答案为画画
19．【解析】【分析】【详解】因为为锐角三角形所以所以所以所以所以
解析：2,3)
【解析】
【分析】
因为ABC ?为锐角三角形，所以022
02B A A B πππ?
<=
3A A πππ?<
??，
所以(
,)64A ππ
∈，所以sin 2cos sin b B A a A
==
，所以b
a ∈. 20．【解析】试题分析：设等比数列的公比为由得解得所以于是当或时取得最大值考点：等比数列及其应用 解析：64
【解析】
试题分析：设等比数列的公比为q ，由132410{5a a a a +=+=得，2121(1)10
{(1)5
a q a q q +=+=，解得18
{12
a q ==.所
以2(1)
1712(1)222121
18()22n n n n n n n
n a a a a q
L L --++++-==?=，于是当3n =或4时，12n
a a a L 取得最大值6264=. 考点：等比数列及其应用
三、解答题
21．（1）12x x ??
>
????
；（2）(]0,2 【解析】
分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化
为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-??
=-<
，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集
为12x x
??????
； (2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为
()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.
详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-??
=-<
故不等式()1f x >的解集为12x x
??????
．
（2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥； 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以2
1a
≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]
0,2．
点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果. 22．(1) x 2+y 2-2x-2y-2=0 (2) ρsin(θ+)= 【解析】
(1)∵ρ=2,∴ρ2=4,即x 2+y 2=4. ∵ρ2-2ρcos(θ-)=2,
∴ρ2-2
ρ (cosθcos +sinθsin )=2.
∴x 2+y 2-2x-2y-2=0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,即ρsin(θ+)=. 23．（1）见解析；（2）53
【解析】 【分析】
（1）先证明AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，即得AF ⊥平面ABCD ；（2）
以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题
得2
6
cos ,21411m AB m AB m AB
λλ?===
??
?++ ?
-??
u u u v
u u u v u u u v ，解方程即得解.
【详解】
（1）证明：∵90BAF ∠=?，∴AB AF ⊥，
又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF I 平面ABCD AB =，AF ?平面ABEF ， ∴AF ⊥平面ABCD .
（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D
，()0,0,1F ，
∴()0,2,1FD u u u v =-，()1,2,0AC =u u u v
，()1,0,0AB =u u u r
由题知，AB ⊥平面ADF ，
∴()1,0,0AB =u u u r
为平面ADF 的一个法向量， 设()01FP FD λλ=≤
，
设平面APC 的一个法向量为(),,x y z =m ，则0
m AP m AC ??=??=?u u u v u u u v ， ∴()21020y z x y λλ?+-=?+=?
，令1y =，可得22,1,1m λλ??
=- ?-??， ∴26cos ,321411m AB m AB m AB λλ?===???++ ?
-??
u u u v
u u u v u u u v ，得13λ=或1λ=-（舍去）， ∴5PF =
.
【点睛】
本题主要考查空间垂直关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
24．132x x ??-<
?
【解析】 【分析】
由不等式的解集和方程的关系，可知
1
2
，2是方程520ax x +-=的两根，利用韦达定理求出a ，再代入不等式22510ax x a -+->，解一元二次不等式即可. 【详解】
解：由已知条件可知0a <，且方程520ax x +-=的两根为
1
2
，2； 由根与系数的关系得552
21a a
?-=????-=??解得2a =-．
所以原不等式化为2530x x +-<解得1
32
x -<<
所以不等式解集为132x x ??-<<
????
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查一元二次不等式解集与一元二次方程的关系以及利用韦达定理求值.
25．（1）()22
40x y y -=≠（2
【解析】
（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程
()21
:2l y x k
=
+. 设(),P x y ,由题设得()()21
2y k x y x k ?=-??=+??
，消去k 得()22
40x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()2
2
40x y y -=≠.
（2）C 的极坐标方程为()()2
2
2
cos sin 402π,πρ
θθθθ-=<<≠.
联立()
(
)222
cos sin 4,cos sin 0
ρθθρθθ?-=??+=??得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+.
故1
tan 3
θ=-
， 从而2
291cos ,sin 1010
θθ==. 代入()2
2
2
cos sin 4ρ
θθ-=得2
5ρ
=，
所以交点M
【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 26．（1）见解析；（2）1
3
【解析】 【分析】
（1）在正方形ABCD 中，有AB AD ⊥，CD BC ⊥，在三棱锥M DEF -中，可得
MD MF ⊥，MD ME ⊥，由线面垂直的判定可得MD ⊥面MEF ，则MD EF ⊥； （2）由E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，可得1BE BF ==，求出三角形MEF 的面积，结
合()1及棱锥体积公式求解． 【详解】
（1）证明：Q 在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，CD BC ⊥，
∴在三棱锥M DEF -中，有MD MF ⊥，MD ME ⊥，且ME MF M ?=，
MD ∴⊥面MEF ，则MD EF ⊥；
（2）解：E Q 、F 分别是边长为2的正方形ABCD 中AB 、BC 边的中点， 1BE BF ∴==，
11
1122MEF BEF S S V V ∴==??=，
由（1）知，1111
23323
M DEF MEF V S MD -=?=??=V ．
【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的应用，考查棱锥体积的求法，是中档题．