固体物理学题库 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
一、 填空
1. 固体按其微结构的有序程度可分为_______、_______和准晶体。
2. 组成粒子在空间中周期性排列，具有长程有序的固体称为_______；组成粒子在空间中的分布完全无序或仅仅具有短程有序的固体称为_________。
3. 在晶体结构中，所有原子完全等价的晶格称为______________；而晶体结构中，存在两种或两种以上不等价的原子或离子的晶格称为____________。 4晶体结构的最大配位数是____；具有最大配位数的晶体结构包括______________晶体结构和______________晶体结构。
5. 简单立方结构原子的配位数为______；体心立方结构原子的配位数为______。
6．NaCl 结构中存在_____个不等价原子，因此它是_______晶格，它是由氯离子和钠离子各自构成的______________格子套构而成的。
7. 金刚石结构中存在______个不等价原子，因此它是_________晶格，由两个_____________结构的布拉维格子沿空间对角线位移1/4的长度套构而成，晶胞中有_____个碳原子。
8. 以结晶学元胞（单胞）的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为________指数。
9. 满足2,2,1,2,3)0i j ij i j a b i j i j ππδ=??===?≠?
当时
（，当时关系的123,,b b b 为基矢，由
112233h K hb h b h b =++构成的点阵，称为_______。
10. 晶格常数为a 的一维单原子链，倒格子基矢的大小为________。
11. 晶格常数为a 的面心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。
12. 晶格常数为a 的体心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。
13. 晶格常数为a 的简立方晶格的(010)面间距为________
14. 体心立方的倒点阵是________________点阵，面心立方的倒点阵是
________________点阵，简单立方的倒点阵是________________。
15. 一个二维正方晶格的第一布里渊区形状是________________。
16. 若简单立方晶格的晶格常数由a增大为2a，则第一布里渊区的体积变为原来的___________倍。
17. 考虑到晶体的平移对称性后，晶体点群的独立对称素有_______种，分别是________________________________。
18. 按结构划分，晶体可以分为_______大晶系，共_________种布拉维格子。
19. 对于立方晶系，有___________、_________和_________三种布拉维格子。
20. 晶面间距为d，入射X射线波长为 ，则布拉格公式可以表示为
__________。
21. 若几何结构因子F(Kh)=0,则由劳厄方程所允许的衍射极大并不出现，这种现象叫____________。
22.晶体结合有________ 种基本类型，分别是______________________________ _______________________________________其共同吸引力都是_________引力。
23. Lennard-Jones（勒纳—琼斯）势描述的是______________晶体的势能。
24. 共价键结合的两个基本特征是___________和___________。
25. 金属键结合的基本特征是____________________。
26. 晶格振动的能量量子称为______，其能量和准动量表示为_______和
______。
27. Si、Ge等具有金刚石结构，每个元胞中含有_______个原子，它有_______支格波，其中声学波______支，光学波______支。
28. 元胞中有n个原子，那么在晶体中有______支声学波和______支光学波。
29. 由N个原子组成的一维单原子链，第一布里渊区中的独立波矢数目为
________。
30. 由N个元胞构成的晶体，元胞中有n个原子，晶体共有____个独立振动模式。
31. 晶体中的典型非谐效应是________________。
32. 描述晶体中长光学波的基本方程—黄昆方程的形式_______________。
33. 能带论建立在三个基本近似的基础上，分别是_____________、
____________和______________________。
34. 布洛赫定理表明：处在晶格周期性势场中运动的电子，其波函数满足：
______________________________，且本征函数描述的是___________________调幅平面波。
35. 晶体中电子能谱在布里渊区边界处发生_____________。
36. 能带顶部电子的有效质量为______，能带底部电子的有效质量为______（正，或负）。
37. 在所有晶体中，不考虑能带交叠，处于_______带的电子，无论有无外场，均对宏观电流的产生没有贡献。
38. 德·哈斯-范·阿尔芬效应是研究金属____________的有力工具。
39. 自由电子系统的费米能为E F，则T=0 K时每个电子的平均能量为
_________。
40. 0=T K 时，在0
F E E ≤区域内费米分布函数()E f 等于__________。
二、 选择
1. 晶体结构的最基本特征是（ ）
A 、各向异性
B 、周期性
C 、自范性
D 、同一性 2. 氯化铯晶体的布拉伐格子是（ ）
A. 面心立方
B. 体心立方
C. 底心立方
D. 简单立方 3. 下列晶体的晶格为复式晶格的是（ ） A. 钠 B. 金 C. 铜 D. 磷化镓 4.布里渊区的特点不包括（ ） A 、各个布里渊区的形状都是相同的
B 、各布里渊区经过适当的平移，都可以移到第一布里渊区且与之重合
C 、每个布里渊区的体积都是相同的
D 、无论晶体是由哪种原子组成，只要布拉维格子相同，其布里渊区形状就相同
5. 晶格常数为的简立方晶格的(210)面间距为（ ）
A. B. C. D.
6. 三维晶格的原胞体积与倒格子的原胞体积
之积等于（ ）
A. （2π）3
B. （2π）2
C. 2π
D. 1 7. 一个立方体的宏观对称操作共有（ ） A. 230个 B. 320个 C. 48个 D. 32个
8. 晶体结构的实验研究方法是（）
A. X射线衍射
B. 中子非弹性散射
C. 回旋共振
D. 霍耳效应
9. 不属于晶体独立对称素的是（）
A、 1
B、 3
C、 5
D、i
10. 下列不属于晶体基本结合类型的是（）
A、共价键结合
B、离子键结合
C、氢键结合
D、混合键结合
11. Lennard-Jones Potentia（勒纳—琼斯势）是描述的是（）结构的势能A．非极性晶体分子 B．金属晶体 C．原子晶体 D．离子晶体
12. 晶格振动的能量量子称为（）
A、极化子
B、激子
C、声子
D、光子
13. 利用德拜模型对于二维晶体其热容在低温时随温度是按（）变化的。A．不变 B．T C．T2 D．T3
14. 有N个初基元胞的二维简单正方形晶格，简约布里渊区中的分立波矢状态有（）
A. N种
B. 2N种
C. N/2种
D. N2种
15. 对于一维单原子链晶格振动，如果最近邻原子之间的力常数β增大为4β，则晶格振动的最大频率变为原来的（）
A. 2倍
B. 4倍
C. 16倍
D. 不变
16. 下列哪一种物理量体现了晶体的简谐效应（）
A、晶体热容
B、晶体热传导
C、晶体热膨胀
D、晶体电导
17. 能带论是建立在（）的基本假设之上的。
A、周期性势场
B、恒定势场
C、无势场
D、无序势场
18. 三维自由电子的能态密度与能量E 的关系是正比于（ ） A 、 E -1/2 B 、 E 0 C 、 E 1/2 D 、E
19. N 个原子组成晶格常数为a 的简立方晶体，单位空间可容纳的电子数为（ ）
A. N
B. 2N
C. Na 3/(2π)3
D. 2Na 3/(2π)3 20. 某种晶体的费米能决定于（ ）
A.晶体的体积
B.晶体中的总电子数
C.晶体中的电子浓度
D. 晶体的形状 21. 晶格常数为的一维晶体电子势能
的傅立叶展开式前几项(单位为eV)
为
在近自由电子近似下, 第一个禁带的宽度为（ ） A. 0eV B. 1eV C. 2eV D. 4eV 22. 具有不满带的晶体，一定是（ ）
A 、 半导体
B 、绝缘体
C 、导体
D 、超导体 23. 不属于计算布洛赫电子能谱方法的是（ ）
A 、 近自由电子近似
B 、紧束缚近似
C 、 准经典近似
D 、平面波法 24. 在0 T K 时，F
E 上电子占有几率为（ ） A ．0 B ．1 C ．
2
1
D ．随T 而变 25. 碱金属的费米面具有什么形状（ ）
A ．球形
B ．畸变很大的球，某些方向上形成圆柱形颈
C．稍稍变形的球形 D．分布在多个布里渊区的复杂形状
三、简答
1.考虑到晶体的平移对称性后，晶体点群的独立对称素有哪些？
2.晶体结合的基本类型有哪几种？
3.试述晶体、非晶体、准晶体、多晶和单晶的特征性质。
4.晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？
5.金刚石晶体的基元含有几其晶胞含有几个碳原子原胞中有几个碳原子是复式
格子还是简单格子
6.分别指出简单立方、体心立方、面心立方倒易点阵类型
7.按对称类型分类，布喇菲格子的种类有几种，晶格结构的点群类型有
几种，空间群有几种？
8.三维晶格包括哪七大晶系？并写出各晶系包含的布喇菲格子。
9.画出边长为a的二维正方形正格子的倒格子和前三个布里渊区。
10.试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。
11.试述半导体材料硅（锗）是如何形成晶体结合的，它们的键有些什么
特点？
12.什么是声子对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子
13.
14.由N个原胞所组成的复式三维晶格，每个原胞内有r个原子，试问晶格振动
时能得到多少支色散关系其波矢的取值数和模式的取值数各为多少
15.
16.在绝对零度时还有格波存在吗若存在, 格波间还有能量交换吗
17. 什么是固体比热的德拜模型？简述其计算结果的意义。 18. 简述爱因斯坦模型及其成功、不足之处。 19. 在较低温度下，德拜模型为什么与实验相符？ 20. 能带论作了哪些基本近似？
21. 简述近自由电子近似模型、方法和所得到的的主要结论。 22. 简述紧束缚近似模型的思想和主要结论。 23. 近自由电子近似与紧束缚近似各有何特点 24.
25. 什么情况下必须考虑电子对固体热容的贡献为什么 26.
27. 简述金属接触电势的形成过程。
28. 试讨论金属费米面是如何构造的，碱金属和贵金属的费米面都是什么样的？ 29. 请分析未满带电子为什么在有外场时会导电的原因？
(注：同样一个问题，简答题的问法可能不限于一种) 四、 证明
1. 试证明体心立方点阵和面心立方点阵互为正倒点阵。
2. 证明立方晶系的晶列[hkl ]与晶面族(hkl )正交。
3.矢量a ，b ，c 构成简单正交系，试证明晶面族(hkl)的面间距为
4.证明在晶体中由于受到周期性的限制，只能有64321、、、、重旋转对称轴，5重和大于6重的对称轴不存在。
5. 带±e 电荷的两种离子相间排成一维晶格，设N 为元胞数，0/n n A r 为排斥势，
0r 为正负离子间距。求证，当N 有很大时有：
（a ）马德隆常数2ln 2α= ；
（b ）结合能2002ln 2114Ne W r n πε??=- ???
6. 试证明：如果NaCl 结构中离子的电荷增加一倍，晶体的平衡距离
()()110024
n
r e r e -=。
7. 已知原子间相互作用势为n
m
r r r u β
α
+
-
=)(，其中n m ,,,βα均为大于0
的常数，试证明此系统可以处于稳定平衡态的条件是m n >。
8. 设某三维晶体光频声子的色散关系为()2
0q Aq ωω=-，试证明，其声子谱密
度为
()()1
20min 0322
0min ,40, 0, V
A ωωωωωπρωωωωω?-<
??=>??
式中22
3min 06N A V πωω??=- ???,N 为晶体的元胞数. 9. 证明频率为的声子模式的自由能为ln 2sinh 2B B k T k T ω??
???? ????
?
10. 在单原子组成的一维点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如下图所示相间变化，且12ββ>.试证明：在这样的系统中，格波仍存在着
声频支和光频支，其格波频率为()1
22112122
124sin ()211qa M ββββωββ????????+??=±-????+??
???
?????
11. 已知电子浓度为n ，用自由电子模型证明k 空间费米球的半径21/2
(3)F k n π=
五、计算题
1. 求晶格常数为a 的面心立方和体心立方晶体晶面族(321h h h )的面间距。
2. 平面正六角形晶格，六角形2
j i a a a 2321+=；j i a a a 2
322+-=
试求：（1）倒格子基矢； （2）计算第一布里渊区的体积多大
3. 求立方晶系密勒指数为(hkl)的晶面族的晶面间距，并求(111)和(100)的晶面夹角。
4. 若一晶体两个离子间相互作用能可以表示为()m
n
u r r r α
β
=-+
求 1）平衡间距r 0
2）结合能W （单个原子的）
5. 已知有N 个离子组成的NaCl 晶体，其结合能为：)4(2)(02n
r r e N r U β
πεα--=。 若排斥项
n
r
β
由
ρ
r ce
-
来代替，且当晶体处于平衡时，这两者对相互作用势能的贡
献相同。试求出n 和ρ的关系。
6. 质量均为m 的两种原子构成一维线性链，原子间距为a ，力常数交错地为β
和β10。在最近邻近似下求出该一维原子链晶格振动的色散关系。并给出
0=q 和a q /π±=处的()q ω。
7. 若格波的色散关系为2
cq =ω和20cq -=ωω，试导出它们的状态密度表达
式。
8. 试用德拜模型近似讨论单原子组成的一维晶格的热容与温度T 的关系，并说明其物理意义。
9. 由N 个相同原子组成的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并讨论高低温极限。
10. 试用德拜模型近似讨论单原子组成的三维晶格的热容与温度T 的关系，并说明其物理意义。
11. 设晶格中每个振子的零点振动能为
2
ω
，试用德拜模型求二维和三维晶格的总零点振动能。原子总数为N ，二维晶格面积为S ，三维晶格体积为V 。 12. 二维正方格子的晶格常数为a 。用紧束缚近似求S 态电子能谱()k E （只计算最近邻相互作用）、带宽以及带顶和带底的有效质量。
13. 一维晶格中，用紧束缚近似及最近邻近似，求S 态电子的能谱E （k ）的表示式，带宽以及带顶和带底的有效质量。
14.用紧束缚近似方法求出面心立方晶格的s 态电子能带为
01()4(cos
cos cos cos cos cos )222222
y y x z z x s k a k a k a k a k a k a E k E J J =--++ 并求出能带宽度和能带底部的有效质量。（只考虑最近邻原子作用） 15. 用紧束缚近似方法求出体心立方晶格的s 态电子能带
01()8(cos
)(cos )(cos )222
y x z s k a k a k a
E k E J J =-- 并求出能带宽度和能带底部的有效质量。（只考虑最近邻原子作用）
16. 限制在边长为L 的正方形中的N 个自由电子，电子的能量
()()2
22,2μ
=
+x y x
y E k k k
k ，求能量E 到E+dE 间的状态数。
17. 某晶体中电子的等能面是椭球面()
2
2
221232y x z k k k E k m m m ??
=++ ? ???
，求该能谱的电子态密度.
18. 电子在周期场中的势能，
()()2221,2()0,1m b x na na b x na b V x n a b x na b ω???---≤≤+???=??-+≤≤-?
且a=4b ，ω是常数，试画出此势能曲线，并求此势能的平均值和晶体的第一与第二禁带宽度。
19. 已知一维晶格中电子的能带可以写成
)2cos 81
cos 8
7()(2
2ka ka ma k E +-= ，式中a 是晶格常数，m 是电子的质量，求能带宽度，电子的平均速度，能带顶和能带底的电子有效质量。
20. 设一个二维自由电子气系统，每单位面积中的电子数为n ，导出该系统的能态密度N(E)和费米半径（即费米波矢）k F ，并证明在有限温度下的化学势为
2
()ln exp 1B B n T k T mk T πμ??
??=-??
????
?
21. 求出电子浓度为n 的三维金属中自由电子的能态密度和费米能。 22. 限制在边长为L 的正方形中的N 个电子，单电子能量为
(1) 求能态密度()E N n ； (2) 求0K 时的f 费米能F E
23. 一个金属中的自由电子气体在温度为0K 时能级被填充到()a
K F
3
1
20
6π=
。
（3
a 为每个原子占据的体积）
⑴ 计算原子的价电子数目；
⑵ 导出自由电子气体在0=T K 时的费米能的表达式。