极坐标与参数方程基本知识
点
-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
极坐标与参数方程基本知识点
一、极坐标知识点
1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换???>?='>?=').
0(,y y 0),(x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴.
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .
极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.
4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
5．极坐标与直角坐标的互化：
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；
②极轴与x 轴的正半轴重合
③两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
6.曲线的极坐标方程：
1．直线的极坐标方程：若直线过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：sin()sin()ρθ-α=ρθ-α
几个特殊位置的直线的极坐标方程
（1）直线过极点 （2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴 （3）直线过(,)2
M b π且平行于极轴 方程：（1）)R (∈=ραθ 或写成及 （2）a =θρcos （3）ρsinθ=b 2．圆的极坐标方程： 若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为：
2222cos()0r ρρρθθρ--+-=
几个特殊位置的圆的极坐标方程
（1）当圆心位于极点，r 为半径 （2）当圆心位于)0,(a C (a>0),a 为半径 （3）当圆心位于)2
,(π
a C )0(>a ，a 为半径 方程：(1)r =ρ (2)θρcos 2a = (3)θρsin 2a =
7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.
二、参数方程知识点
1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点(,)P x y 满足()()x f t y f t =??=?
，该方程叫曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。
（在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数???==),
(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线)0(n t ,sin ,cos ,222≠===+=x x y a y x y x θθρθρρ
上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。）
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
2．曲线的参数方程
（1）圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.
sin ,cos 为参数θθθ???+=+=r b y r a x . （2）椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.
sin ,cos 为参数??????==b y a x . （3）抛物线px y 22
=的参数方程可表示为)(.2,22为参数t pt y pt x ???==. （4）经过点),(o o O y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为??
?+=+=.
sin ,cos o o ααt y y t x x （t 为参数）. 3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使y x ,的取值范围保持一致.
规律方法指导：
1、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：代入消法 ；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等.
2、把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范围。