点、线、圆与圆的位置关系一：点与圆的位置关系：
1.点与圆的位置关系的判断
点与圆的位置关系
设O
⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：
点在圆外?d r>；点在圆上?d r=；点在圆内?d r<.如下表所示：
2.三角形外接圆的圆心与半径
三角形的外接圆
⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
⑵三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.
二：直线与圆的位置关系：
1.直线与圆的位置关系
设O
⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
2.切线的性质
定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
3.切线的判定
距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
4.切线长定理及三角形内切圆
⑴切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
三：圆与圆的位置关系：
一：点与圆的位置关系：
1.点与圆的位置关系的判断：
例题1：⑴【易】一点到圆周上点的最大距离为18，最短距离为2，则这个圆的半径为___________
【答案】10或8
【解析】当点在圆内时，圆的直径为18+2=20，所以半径为10．当点在圆外时，圆的直径为18-2=16，所以半径为8．
⑵【易】已知如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB的中点为点M．
①以点C为圆心，4为半径作⊙C，则点A、B、M分别与⊙C有怎样的位置关系
②若以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内，且至少有一点在圆外，求⊙C的半径r的取值范围．
【答案】①∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB的中点为点M ∴22162541
AB AC BC，
141
CM AM，
22
∵以点C为圆心，4为半径作⊙C，
∴AC=4，则A在圆上，414
CM，则M在圆内，BC=5＞4，
2
则B在圆外；
②以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C 内时，41
r，
2
当至少有一点在⊙C外时，r＜5，
故⊙C的半径r的取值范围为：415
r．
2
测一测1：【易】在△ABC中，90,45,
，以点C为圆心，
∠=?==
C AC AB
以r为半径作圆，请回答下列问题，并说明理由.
⑴当r_____时，点A在⊙C上，且点B在⊙C内部
⑵当r取值范围_______时，点A在⊙C外部，且点B在⊙C的内部
⑶是否存在这样的实数，使得点B在⊙C上，且点A在⊙C内部
【答案】在Rt△ABC中，90,45,
C AC AB
，
∠=?==
根据勾股定理得，2222
BC AB AC
=-=-=
543
⑴当=4
r时，AC=4=r, 点A在⊙C上，BC=3 ⑵当34 r <<时，AC=4>r, 点A在⊙C外部，BC=3 2. 三角形外接圆的圆心与半径 例题2：⑴【易】已知直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，则这个直角三角形的外接圆的半径为____________cm． 【答案】 【解析】∵直角三角形的两直角边分别为3cm和4cm， 5cm， ∴它的外接圆半径为5÷2=． ⑵【易】在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求其外接圆的半径_______【答案】作AD⊥BC，垂足为D，则O一定在AD上， ∴22 AD； 1068 设OA=r，222 OB OD BD， 即222 r r， (8)6 解得25 r． 4 测一测1：【易】若△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=24cm，则它的外接圆的直径____________cm 【答案】26 【解析】∵△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=24cm， ∴2222 AB AC BC cm 102426 二：直线与圆的位置关系 1. 直线与圆的位置关系判断： 例题3:【易】如图,在矩形ABCD中， AB=6 , BC=4 , ⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是( ) A. 相交 B . 相切 C. 相离D. 无法确定 【答案】C 【解析】解：∵矩形ABCD中，BC=4， ∴圆心到CD的距离为4． ∵AB为直径，AB=6， ∴半径是3． ∵4＞3 测一测1：【中】如图，以点O为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦长AB的取值范围是（） A．8≤AB≤10 B．AB≥8 C．8＜AB≤10 D．8＜AB＜10 【答案】Ｃ 【解析】当AB与小圆相切时，OC⊥AB， 则22259248 AB AC； 当AB过圆心时最长即为大圆的直径10． 则弦长AB的取值范围是8＜AB≤10 2.切线的性质： 例题4：⑴【易】如图， AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D．若18 C，则∠CDA=______________ 【答案】126° 【解析】连接OD 则∠ODC=90°，∠COD=72°； ∵OA=OD， ∴1 ODA A COD， 2 ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+36°=126°． ⑵【易】如图，点Ａ,Ｂ在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥ＯB，连接AB交Ｏ于点Ｄ. ①AC与CD相等吗为什么 ②若AC=2，5 AO，求OD的长度_______. 【答案】①证明：∵AC是⊙O切线， ∴OA⊥AC， ∴∠OAC=90° ∴∠OAB+∠CAB=90° ∵OC⊥OB， ∴∠COB=90° ∴∠ODB+∠B=90° ∵OA=OB ∴∠OAB=∠B ∴∠CAB=∠ODB ∵∠ODB=∠ADC ∴∠CAB=∠ADC ∴AC=CD ②解：在Rt△OAC中，223 OC OA AC, ∴OD=OC-CD=OC-AC= 3-2=1 测一测1：【易】如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，若 ∠P=20°，则∠A=____________ 【答案】35° 【解析】∵PC与⊙O相切于点C， ∴OC⊥CP， ∵∠P=20°， ∴∠COB=70°， ∵OA=OC， ∴∠A=35°． 【易】如图所示，AP为圆O的切线，AO交圆O于点B,若40测一测2： A,则_______ APB 【答案】25° 【解析】如图，连接OP， ∵AP为圆O的切线，P为切点， ∴∠OPA=90°， ∴∠O=90°-∠A=50°， ∵OB=OP， ∴∠OPB=∠OBP=（180°-∠O）÷2=65° ∴∠APB=90°-∠OPB=25°． 故答案为25° 3.切线的判定 例题5：⑴【中】如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD 恰使∠ADC=∠B. ①求证：直线CD是⊙O的切线； ②过点A作直线AB的垂线BD交BD的延长线于点E，且5 AB ，BD=2，求线段AE=______ 【答案】①证明：如图，连接OD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠1+∠2=90°； 又∵OB=OD， ∴∠2=∠B， 而∠ADC=∠B， ∴∠1+∠ADC=∠ADO=90°，即CD⊥OD． 又∵OD是⊙O的半径， ∴直线CD是⊙O的切线； ②解：∵在直角△ADB中，5 AB，BD=2， ∴根据勾股定理知，221 AD AB BD ∵AE⊥AB， ∴∠EAB=90°． 又∠ADB=90°， ∴△AED∽△BAD， ∴AD BD AE BA ，即1 5 AE ， 5． 解得，5 AE，即线段AE的长度是 ⑵【中】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为F. ①求证：DF是⊙O的切线； ②若AE DE，DF=2，求⊙O的半径______. 【答案】①证明：连接OD，如图， ∵AB=AC， ∴∠C=∠B， ∵OD=OB， ∴∠B=∠1， ∴∠C=∠1， ∴OD∥AC． ∴∠2=∠FDO， ∵DF⊥AC， ∴∠2=90°， ∴∠FDO=90°， ∵OD为半径， ∴FD是⊙O的切线； ②解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，即AD⊥BC， ∵AC=AB， ∴∠3=∠4． ∴ED DB 而AE DE， ∴DE DB AE， ∴∠B=2∠4， ∴∠B=60°， ∴∠C=60°，△OBD为等边三角形， 在Rt△CFD中，DF=2，∠CDF=30°， ∴3 CF 23 DF， ∴43 2 CD CF， ∴43 DB， ∴43 OB DB，即⊙O的半径为 3 ． ⑶【易】如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切． 【答案】证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于E点， 则∠OEC=90°， ∵AB切⊙O于D， ∴OD⊥AB， ∴∠ODB=90°， ∴∠ODB=∠OEC 又∵O是BC的中点， ∴OB=OC，
相关主题
文本预览