第4章 连续时间傅里叶变换
4.1.1 非周期信号傅里叶变换表示的导出
为了对傅里叶变换表示的实质求得更深入地了解，我们还是先由在例3.5中所研究过的连续时间周期方波的博里叶级数表示入手。在—个周期内
?????<<<=2
/,0,1)(11
T t T T t t x
以周期T 周期重复，如图4．1所示。
在例3．5曾求出，该方波信号的傅里叶级数系数k a 是
0,)
s i n (2010≠=
k T
k T k a k ωω
式中T /20πω=，如下图所示，展示出了对于固定的1T 值和不同的T 值时，这些系数的
条状图。
理解(4 .1)式的另一种方式是把它当作一个包络函数的样本，即
1
s i n 2ωωω
ωk k T Ta ==
这就是，若将ω看作一个连续变量，则函数
ω
ω1
sin 2T 就代表k Ta 的包络，这些系数就是
在此包络上等间隔取得的样本。而且，若1T 固定，则k Ta 的包络就与T 无关。在下图中，再次表明了该周期方波的傅里叶级数系数，不过，这次是按上式作为k Ta 包络的样本给出
的，从该图可以看到，随着T 增加(或等效地，基波频T /20
πω=减小)，该包络就被以愈
来愈密集的间隔采样。随着T 变得无穷大，原来的周期方波就趋近于一个矩形脉冲 (也就是说，在时域所保留下的是一个非周期信号，它对应于原方波的一个周期)。与此同时，博里叶级数系数(乘以T 后)作为包络上的样本也变得愈来愈密集，这样从某种意义上说(稍后将说明)，随着∞→T ，博里叶级数系数就越来越趋近于这个包络函数。
这个例子说明了对非周期信号建立傅里叶表示的基本思想。这就是在建立非周期信号的博里叶变换时，可以把非周期信号当作—个周期信号在周期任意大时的极限来看待，并且研究这个周期信号博里叶级数表不式的极限特性。现在，我们来考虑一个信号)(t x ，它具有有限持续朗，即对某个1T ，当1T t
>时，0)(=t x ，如图
4．3(a)所示。从这个非周期
信号出发，可以构成一个周期信号)(t z ，使)(t x 就是)(t z 的一个周期，如图4．3(b)所示。当随着∞→T
，对任意有限时间t 值断言，)(t z 就等于)(t x 。
现在来考察一下在这种情况下)(t z 的傅里叶级数表达式的变化。这里，为方便起见，将综合公式和分析公式重写如下，并将分析公式的积分区间取为如下：
t jk k k
e a t z 0)(ω∑+∞
-∞
==
?--=2/2
/0)(1T T t
jk k dt e t z T a ω 以重新写成
??∞∞
----==dt e t x T dt e t x T a t jk T T t jk k 00)(1)(12/2/ωω 定义k Ta 的 包络为)(ωj X
?
∞
∞
--=
dt e t x j X t
jk 0)()(ωω 这时，系数k a 可以写为
)(1
0ωjk X T
a k =
综合上述，将(4．6)式和式(4。3)式结合在一起，就可以用表示为
t jk k e jk X T
t z 0)(1
)(0ωω∑+∞
-∞==
因为T /20
πω=又可表示为
000
)(21)(ωωπ
ωt jk k e jk X t z ∑+∞
-∞
==
随着∞→T
，00→ω，)(t z 趋近于)(t x ，结果上式的极限就变成)(t x 的表示式。
而且式的右边就过渡为—个积分。
?
+∞
∞-=
ωωπωd e j X t x t
j )(21)( (4．8) ?+∞∞
--=
dt e
t x j X t
j ωω)()( (4．9)
(4．8)式和(4．9)式称为傅里叶变换对。函数)(ωj X 称为)(t x 的傅里叶变换或傅里叶积分，而(4．8)式称为傅里叶反变换式。综合公式(4．8)对非周期信号所起的作用与(3．38)
式对周期信号的作用相同，因为两者部相当于把一个信号表示为一组复指数信号的线性组合。一个非周期信号)(t x 的变换)(ωj X 通常称为)(t x 的频谱，因为)(ωj X 告诉我们将
)(t x 表示为不同频率正弦信号的线性组合(就是积分)所需要的信息。
4．1．2 傅里叶变换的收敛
也和周期信号一样，傅里叶变换要收敛，必须满足一组条件，这组条件也称为狄里赫利条件，它们是：
1.
)(t x 绝对可积，即
?-∞∞
+∞
2．在任何有限区间内，)(t x 只有有限个最大值和最小值。
3．在任何有限区间内，)(t x 有有限个不连续点，并且在每个不连续点都必须是有限值。因此，本身是连续的或者只有有限个不连续点的绝对可积信号都存在傅里叶变换。
尽管这两组条件都给出了一个信号存在傅里叶变换的充分条件，但是下一节将会看到，
倘若在变换过程中可以使用冲激函数，那么，在一个无限区间内，既不绝对可积，又不具备平方可积的周期信号也可以认为具有傅里叶变换。这样，就有可能把傅里叶级数和傅里叶变换纳入到一个统一的框架内。在以后的各章讨论中将会发现这样做是非常方便的。
3.5 典型非周信号的傅里叶变换
例1：考虑信号
)()(t u e t x at -=，0>a ，求其傅里叶变换。
解：由分析公式，有
∞+-∞
--+-==?0
)(0
1
)(t
j a t
j at e j a dt e
e
j X ωωω
ω
ω
ωj a j X +=1
)(，0>a
这个傅里叶变换是复数，要画出作为ω的函数，就需要利用它的模和相位来表示)(ωj X
2
2
1)(ω
ω+=
a j X
)(tan )(1a
j X ω
ω--=∠
该傅里叶变换的相位谱和幅度谱如上图所示。
例2： 设)(t x 为t
a e
t x -=)(，0>a ，现在该信号的傅里叶变换
解：该信号的傅里叶变换是
dt e e dt e
e dt e
e
j X t j at t
j at t
j t
a ωωωω-+∞--∞--+∞∞--?
??+==0
)( 2
2
211ωωω+=++-=a a j a j a
例3： 现在求单位冲激函数的傅里叶变换 解：
)()(t t x δ=
由分析公式得
1)()(==?+∞
∞--dt e t j X t j ωδω
也就是说，单位冲激函数的频谱在所有频率上都是相同的。
例4： 现考虑下面矩形脉冲信号
?????><=1
1
,0,1)(T t T t t x
如图所示，求它的博里叶变换为
ω
ωωω1
s i n 2
)(1
1
T dt e j X T T t j ==?--
例5： 现考虑一信号)(t x ，其傅里叶变换为：
?????><=W
W
j X ωωω,0,1)(
现求其)(t x 的表达式。 解： 利用傅里叶反变换公式有
t
WT d e t x W
W
t j πωω1
sin 2
)(==?-
将图4．8和图4．9相比较，或者将(4．16)式和(4．17)式与(4．18)式和(4．19)式相比
较，可以发现一个很有意义的关系。在每种情况下，傅里叶变换对都是由抽样函数和一个矩形脉冲所组成，只是一个是时域，一个是频域。很显然是傅里叶变换具有对偶性的一个直接结果。
4.3 连续时间傅里叶变换性质
这一节以及后面两节将讨论傅里叶变换的几个重要性质。再者，正如上一节所指出的，由于一个周期信号的傅里叶级数和傅里叶变换表示之间存在着密切的关系，利用这一关系就能够把傅里叶变换的性质直接转移到对应的傅里叶级数性质中去，而傅里叶级数性质已在前面单独讨论过。
对傅里叶变换用下列符号表示
)()(ωj X t x F
?→←
1、 线性
若)()(ωj X t x F ?→←
，)()(ωj Y t y F
?→← 则)()()()(ωωj bY j aX t by t ax F
+?→←
+ 线性性质很容易推广到任意多个信号的线性组合中去。
2、 时移特性
若)()(ωj X t x F
?→←
则)()(00ωωj X e t t
x t j F -?→←-
证明：
3、 共轭及共轭对称性： 共扼性质是说，若 )()(ωj X t x F
?→←
则
)()(**ωj X t x F
-?→←
我们对傅里叶正变换式取共轭可得
[]
dt e t x dt e t x j X t j t
j ??
∞
+∞--∞
+∞
--==
ωωω)()()(**
*
以ω-代替ω，就得到
dt e t x j X t
j ?
+∞∞
--=-ωω)()(**
上式的右边就是对)(*
t x
的傅里叶变换的分析公式，于是证。
共轭性质就能证明．若)(t x 为实函数，那么)(ωj X 就具有共轭对称性，即
)()(*ωωj X j X =-
作为该性质的进一步的结果，若)(t x 为实且为偶函数，那么)(ωj X 也一定为实、偶函数。
同样可以证明，若)(t x 是时间的实值奇函数，而有)()(t x t x -=，那么)(ωj X 就是纯虚且为奇函数。
4、微分与积分特性
共扼性质是说，若
)()(ωj X t x F
?→←
则
)()(ωωj X j dt
t dx F
?→← 证明： 令)(t x 的傅里叶变换是)(ωj X ，将傅里叶反变换公式两边对t 进行微分可得
ωωωπ
ωd e
j X j dt t dx t
j ?∞
+∞-=)(21
)(
这是一个特别重要的性质，因为它将时域内的微分用频域内乘以
ωj 所代替。将会发
现，在以后利用傅里叶变换来分析微分方程所描述的LTI 系统时，将很有用处。
)()0()(1
)(ωδπωω
ττX j X j d x t
F
+?→←
?∞- 上式右边的冲激函数项反映了由积分所产生的直流或平均值。
5、时间与频率的尺度变换 若 )()(ωj X t x F
?→←
则
)(1)(a
j X a at x F
ω?→←
看一个特殊情况：a=1
)()(ωj X t x F
-?→←-
尺度变换性质又一次说明了前面例题5中时间和频率之间的相反关系。
6、 对偶性
比较一下正变换和反变换的关系式，可以看到，这两个式子在形式上是很相似的，但不是完今一样的。这一对称性就导致了傅里叶变换的一个性质称之为对偶性。
对偶性也能用来确定或联想到傅里叶变换的其它性质。具体说来就是，如果一个时间函数有某些特性，而这些特性在其傅里叶变换中隐含着一些别的付么东西的活，那么与频率函数有关的同一特性也会在时域中隐含着对偶的东西。
频域微分特性：
dt e t jtx d j dX t j ?∞
+∞---=ωω
ω)()(
ω
ωd j X t jtx F
)
()(?→
←- 频移特性：
[])(0)(0ωωω-?→←j X e F
t tx j
4 卷积性质
在第3章巴经知道，如果一个周期信弓用一个博里叶级数来表示，也就是按傅里叶级数展开式作为成谐波关系的复指数信号的线件组合来表示．那么，一个LTI 系统对这个输入的响加也能够用一个傅里叶级数来表示。
在这一节将把这一结论推广到非周期信号的情况。 时域卷积定理：
)()()(*)()(ωωX H t x t h t y F
?→←=
频域卷积定理：
[])(*)(21
)()()(ωωπ
P S t p t s t r F ?→
←= 时域卷积定理在信号与系统分析中十分重要。如同该式所表达的，它将两个信号的卷积映射为它们傅里叶变换的乘积。
举例：
例9：为了说明傅里叶变换线性和时移性质的用处，现考虑对下图的信号)(t x 求其傅里叶变换。
解：首先看出，)(t x 可以表示成如下信号的线性组合
)5.2()5.2(2
1
)(21-+-=t x t x t x
利用例4的结果，有
ω
ωω)
2/sin(2)(1=X
ω
ωω)
2/3sin(2)(2=
X
最后，利用傅里叶变换的线性和时移性质，可得
?
??
???+=-ωωωωω)2/sin(2)2/sin()(2/5j e X
例14：考虑一LTI 系统对输入)(t x 的响应，系统的单位冲激响应
)()(t u e t h at -=，0>a )()(t u e t x bt -=，0>b
求该系统的输出响应。
解：不采用直接去计算时域卷积积分)(*)()(t h t x t y =，而是将问题先变换到频域。对输
入和冲激响应分别求傅里叶变换
ω
ωj b j X +=
1)(
ω
ωj a H +=
1
)(
因此，输出的傅里叶变换由卷积定理可得
()??
?
???+-+-=++=
ωωωωωj b j a a b j a j b Y 111)(1)( 当a b ≠时，利用傅里叶反变换有
[])
()(1
)(t u e t u e a
b t y bt at ----=
当a b =时，有
2
)
(1)(ωωj a Y +=???
???+=ωωj a d d j 1 利用微分特性的对偶性，有
ωj a t u e F
at +?→
←-1)(推出()
2
11)(ωωωj a j a d d j t u te F at
+=??????+?→←-
所以，输出)()(t u te t y at
-=
4.3 周期信号的傅里叶变换
其实对于周期信号也能够建立博里叶变换表示。这样一来就可以在统一框架内考虑周
期和非周期信号。事实上将会看到，可以直接由周期信号的傅里叶级数表示构造出一个周期信号的傅里叶变换；所得到的变换在领域是由一串冲激所组成，各冲激的面积正比于博里叶级数系数。这是一个非常有用的表示。
为了得到一般性的结果，考虑一个信号，其博里叶变换为
)(2)(0ωωπδω-=j X
它所对应的)(t x 为
t j t
j e d e t x 0)(221)(0ωωωωωπδπ
=-=
?∞
+∞
- 将上面结果再加以推广，如果)(ωj X 是在频率上等间隔的一组冲激函数的线性组合，即
∑+∞
-∞
=-=
k k k a j X )(2)(0ωωδπω
那么所对应的)(t x 为
∑+∞
-∞
==
k t jk k e a t x 0
)(ω
可以看出．(4．23)式就是一个周期信号如(3．38)式所给山的博里叶级数表示。因此，一个周期信号的傅里叶交换，可以看成是出现在成谐波关系的频率上的一串冲激函数
例15： 再次考虑周期性方波信号
?????<<<=2
/,0,1)(11
T t T T t t x
其傅里叶级数系数为
π
ωk T k a k )
sin(10=
因此，该信号的傅里叶变换是
∑+∞
-∞
=-=
k k k T k j X )()
sin(2)(010ωωδωω 如图4．12所示。
例16： （见书P/147例3-10）
2 的
由此可见，在时域周期为T的周期冲激串的傅里叶变换在领域是一个周期为T/
周期冲激串。如图4.14(b)所示。这里，再次看到了时域和频域之间相反关系的另一个例证：随着时域冲激之间间隔（也就是周期)的增大，在频域各冲激之间的间隔（即基波频率）就变小。
4.7 由线性常系数微分方程表征的系统
在几种场合都曾经时论过，一类特别重要而有用的连续时间UI 系统是其输入输出满足 如下形式的线性常系数微分方程的系统
∑∑===M k k k k N
k k k k dt t x d b dt t y d a 0
0)()(
根据卷积性质
)()()(ωωωj X j H j Y =
则频率响应为
)
()
()(ωωωj X j Y j H =
对第一式求傅里叶变换并利用微分特性有
∑∑===M
k k k N
k k
k j X j b j Y j a 0
)()()()
(ωωωω
则频率响应可写为
∑∑===
=N k k
k M
k k
k
j a j b j X j Y j H 0
0)()()
()
()(ωωωωω
例18：有一稳定的LTI 系统，由如下微分方程表示：
)(2)
()(3)(4)(2
2t x dt t dx t y dt t dy dt
t y d +=++，求其单位冲激响应。 解： 容易得频率响应为
2
)()(432)(ωωω
ωj j j j H +++=
利用部分分式展开，得
3
2
/112/1)1)(3(2)(++
+=+++=ωωωωωωj j j j j j H 求傅里叶反变换得)(2
1)(21)(3t u e t u e t h t
t --+=
例18：对上题中，假设系统的输入是
)()(t u e t x t -=
求系统的输出。
解：
)3()1(2
11)3)(1()()()(2
+++=??????+???????++==ωωωωωωωωωωj j j j j j j X H Y 令3
)1(1)(21
2
1211+++++=ωωωωj A j A j A Y 利用部分分式法求得待定系数的值
4/111=A ，2/111=A ，4/111-=A
于是有3
4
/1)1(2/114/1)(2
+-+++=
ωωωωj j j Y 那么利用傅里叶反变换公式有
)()4
1
2141()(3t u e te e t y t t t ----+=
傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T 上满足狄里克莱条件：1o
)(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T - 上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2= ， ),2,1,0(,cos )(2 22Λ==?-n dt t n t f T a T T n ω， （2） ),3,2,1(,sin )(2 22 Λ==?-n dt t n t f T b T T n ω， （3） 根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为 ∑∞=--?? ????-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-?? ? ???++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令 dt t f T c T T ?-=22 0)(1 Λ,3,2,1,)(1 ]sin )[cos (1 sin )(1cos )(1222 2222 22==-=-=-=????-----n dt e t f T dt t n j t n t f T dt t n t f T j dt t n t f T jb a c T T t jn T T T T T T n n n ωωωωω Λ,3,2,1,)(1 22 ==?--n dt e t f T c T T t jn n ω 综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子 Λ,2,1,0,)(1 22 ±±==?--n dt e t f T c T T t jn n ω， （5）
傅里叶变换光学系统 组号 4 09光信 王宏磊 （合作人： 刘浩明 杨纯川） 一、实验目的和内容 1、了解透镜对入射波前的相位调制原理。 2、加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。 3、观察透镜的傅氏变换（FT ）图像，观察4f 系统的反傅氏变换（IFT ）图像，并进行比较。 4、在4f 系统的变换平面（T ）插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。 二、实验原理 1、透镜的FT 性质及常用函数与图形的关学频谱分析 力。图1 在该点的厚度。设原复振幅分布为(,)L U x y 其复振幅分布受到透镜的位相调制，附加了一个位相因(,)x y ?后变为(,)L U x y '： 图1 (,)(,)exp[(,)]L L U x y U x y j x y ?'= （1） 若对于任意一点（x ，y ）透镜的厚度为(,)D x y ，透镜的中心厚度为0D 。光线由该点通过透镜时在透镜中的距离为(,)D x y ，空气空的距离为0D －(,)D x y ，透镜折射率为n ，则该点的总的位相差为： 00(,)[(,)](,)(1)(,)x y k D D x y knD x y kD k n D x y ?=-+=+- （2） （2）中的k ＝2π/λ，为入射光波波数。 用位相延迟因子(,)t x y 来表示即为： 0(,)exp()exp[(1)(,)]t x y jkD jk n D x y =- （3） 由此可见只要知道透镜的厚度函数(,)D x y 就可得出其相位调制。在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，可以得到球面透镜的厚度函数为：
22012 111(,)()()2D x y D x y R R =-+- （4） 其中1R 、2R 是构成透镜的两个球面的曲率半径。公式（4）对双凹、双凸、或凹凸透镜都成立。引入焦距f ，其定义为： 12 111(1)()n f R R =-- （5） 代入（3）得： 220(,)exp()exp[()]2k t x y jknD j x y f =-+ （6） 式（6）即是透镜位相调制的表达式，它表明复振幅(,)L U x y 通过透镜时，透镜各点都发生位相延迟。 从式（6）容易看出第一项位相因子0exp()jknD 仅表示入射光波的常量位相延迟，不影响位相的空间分布，即波面形状，所以在运算过程中可以略去。第二项22exp[()]2k j x y f -+是具有调制作用的因子，它表明光波通过透镜的位相延迟与该点到透镜中心的距离的平方成正比。而且与透镜的焦距有关。当考虑透镜孔径后，有： 22(,)exp[()](,)2k t x y j x y p x y f =-+ （7） 其中的(,)p x y 为透镜的光瞳函数，表达式为： 1(,)0p x y ?=?? 孔径内 其 它 （8） 2、透镜的傅里叶变换性质 在单色平面波垂直照射下，夫琅和斐衍射光场的复振幅分布正比于衍射屏透射系数的傅里叶变换。衍射图像的强度分布正比于衍射屏的功率谱分布。一般情况下，我们是将夫朗和斐衍射图像成像到透镜的像方焦平面出，这就是说，作为成像元件的透镜，就相当于傅里叶变换器。 如图2所示，设单位振幅的单色平面光垂直照射一透射系数为(,)t x y 的衍射屏，与衍射屏相距Z 处放置一焦距为f 的薄透镜L ，先观察其像方平面L 的光场分布。为了讨论方便，这里我们忽略透镜材料的吸收、散射、透镜表面的反射以及透镜孔径大小等因素的影响。
附录A拉普拉斯变换及反变换 419
2 420
3.用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F(S)是S的有理真分式 Ff ) _ B(S) b m S m?b m」S m-…?bιS ?b o A(S) a n s n+a n∕S n'+ …+a1s + a0 式中系数a o,a i,...,a n」，a n，b°,b1,…b m」，b m都是实常数；m,n是正整数。按代数定理可 将F(S)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ①A(S)=G无重根 这时，F(S)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。 C l C2 S-S S-S n n C C i 4 S -' S i (F-1) 式中，S1,S2,…，S n是特征方程A(S) = G的根。C i为待定常数，称为按下式计算：F(S)在S i处的留数，可 式中, 式中, C i= Iim (s _ S i)F(S) S T i C _ B(S) C i A(S) A(S)为A(S)对S的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式( -n C l L*(S)1=L?J∣Σ旦 S — $ 一 f(t)二 C i n -S i t = C i e i i吕 (F-2) (F-3) F-1)可求得原函数 (F-4) A(S)= G有重根 设A(S)=G有r重根S1 , F(S)可写为 B(S) F S-(S-S 1) r(S-S r J (S-S n) C i C r + C r4 + …+C1 + C r 出十… (S-S1)r(S-S1)r4 (S-Sj S-S r?1 -- C i ?.? . C n S — S S-S n S i为F(S)的r重根，S r十,…,S n为F(S)的n-r个单根; 421
第2章信号分析 本章提要 信号分类 周期信号分析--傅里叶级数 非周期信号分析--傅里叶变换 脉冲函数及其性质 信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量信号分析：从信号中提取有用信息的方法 和手段 §2－1 信号的分类 两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定的。 进一步分为：周期信号， 非周期信号。
质量M 弹簧 刚度K t x (t ) o x 0 质量－弹簧系统的力学模型 x (t ) ? ?? ? ??+=0cos )(?t m k A t x 非确定性信号（随机信号）：给定条件下取值是不确定的 按取值情况分类：模拟信号，离散信号 数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。 信号描述方法 时域描述 如简谐信号
频域描述 以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。
?- = 2 2 0)(1T T dt t x T a ?- = 2 2 0cos )(2T T n tdt n t x T a ω ? - = 2 2 0sin )(2T T n tdt n t x T b ω 式中 Ｔ--周期；0--基频, 0=2 /T 。 三角函数展开式的另一种形式： ) cos()(1 00∑∞ =++=n n n t n A a t x ?ωN 次谐波 N 次谐波的相角 N 次谐波的频率 N 次谐波的幅值 信号的均值，直流分量
信号与系统的基本思想：把复杂的信号用简单的信号表示，再进行研究。 怎么样来分解信号？任何信号可以用Delta 函数的移位加权和表示。只有系统是线性时不变系统，才可以用单位冲激函数处理，主要讨论各个单位冲激函数移位加权的响应的叠加能得到总的响应。 线性系统（齐次性，叠加定理） 时不变系统 对一个系统输入单位冲激函数，得到的响应为h(t).表征线性时不变系统的非常重要的东西，只要知道了系统对单位冲击函数的响应，就知道了它对任何信号的响应，因为任何信号都可以表示为单位冲激函数的移位加权和。 例如：d(t)__h(t) 那么a*d(t-t0)__a*h(t-t0) -()= ()(t-)d f t f τδττ∝∝? 的响应为-y()=()(-)t f h t d τττ∝ ∝ ? 记为y(t)=f(t)*h(t),称为f(t)和h(t)的卷积 总结为两点：对于现行时不变系统，任何信号可以用单位冲激信号的移位加权和表示，任何信号的响应可以用输入函数和单位冲激函数响应的卷积来表示 连续时间信号和系统的频域分析 时域分析的重点是把信号分解为单位冲激函数的移位加权和，只讨论系统对单位冲激函数的响应。而频域的分析是把信号分解为各种不同频率的正弦函数的加权和，只讨论系统对sinwt 的响应。都是把信号分解为大量单一信号的组合。
周期函数可以展开为傅里叶级数，将矩形脉冲展开成傅里叶级数，得到傅里叶级数的系数 n A sin F = T x x τ 其中0=2 nw x τ。 取样函数sin ()=x S a x 。产生一种震荡，0点的值最大，然后渐渐衰减直至0 第一：对于傅里叶级数的系数，n 是离散的，所以频谱也是离散状的每条谱线都出现在基波频率的整数倍上，其包络是取样函数。 第二：谱线的间距是0w .。零点是0=2nw x τ，02w =T π是谱的基波频率。如果τ不变，T 增大，那么0w 减小，当T 非常大的时候，0w 非常小，谱线近似连续，越来越密，幅度越来越小。 傅里叶变换：非周期函数 正变换：--F jw)= ()iwt f t e dt ∝ ∝?（ 反变换：-1()=()2jnwt f t F jw e dw π ∝∝ ? 常用函数的傅里叶变换（典型非周期信号的频谱）
在数学与信号处理的领域中，一个实数值函数的希尔伯特转换(Hilbert transform)——在此标示为——是将信号与做卷积，以得到。因此，希尔伯特转换结果可以被解读为输入是的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出，而此一系统的脉冲响应为。这是一项有用的数学， 用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope)，出现在通讯理论（应用方面的详述请见下文。） 希尔伯特转换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。 希尔伯特转换定义如下： 其中 并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在以及 等处的奇点。 另外要指出的是： 若，则可被定义，且属于；其中。频率响应 希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出： , 其中 ?是傅立叶变换， ?i (有时写作j )是虚数单位， ?是角频率，以及
? 即为符号函数。 既然： , 希尔伯特转换会将负频率成分偏移+90°，而正频率成分偏移?90°。 反（逆）希尔伯特转换 我们也注意到：。因此将上面方程式乘上，可得到： 从中，可以看出反（逆）希尔伯特转换 傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。 ?傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的[1]。 ?傅里叶变换属于谐波分析。 ?傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。 ?正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。
龙岩学院学年论文（设计） 论文题目用傅里叶变换计算衍射的光强分布 学院物理与机电工程学院 专业物理学（光电子技术方向） 年级 2011级 姓名徐武童 学号 2011042526 指导教师兑自强 二0一三年四月十二日
用傅里叶变换计算衍射的光强分布 物理与机电工程学院 11物本 2011042526徐武童指导老师：兑自强 【摘要】：利用傅里叶变换式计算光的单缝和圆孔衍射的光强分布，根据计算结果利用MATLAB软件仿真模拟单缝和圆孔衍射及光强分布，分析计算和模拟结果得知衍射图样取决于缝宽或孔径的大小 【关键词】：傅里叶变换；单缝；圆孔；衍射；光强分布
目录 前言1 1.傅里叶变换式 1 1.1一维变换式 2 1.2二维变换式 3 1.3三维傅里叶变换式 3 2. 用傅里叶变换计算衍射的光强分布 4 2.1计算圆孔衍射的光强分布 6 2.2计算单缝衍射的光强分布 7 3.光强分布曲线 8 3.1单缝衍射的光强分布曲线 8 3.2圆孔衍射的光强分布曲线 9 4.讨论10 4.1单缝衍射 10 4.2圆孔衍射 10 总结11 致谢11
0 前言 衍射现象是波动光学中的重要知识，光的衍射的定义从广义上说是光在传播过程中，遇到障碍物时产生的偏离几何光学规律从而引起光强重新分布的现象，也称为绕射。该定义指出光的衍射是一种区别于几何光学规律的光的传播现象。当所选光学元件的尺度与波长相当时，光的传播现象明显不同于几何光学所描述的。它也明确给出了产生衍射现象的条件“光波遇到障碍物”，对于任何一束光都会因在空间传播过程中遇到障碍物而使自由波面受损，从而改变波前后振幅，使光表现出衍射行为。 而傅里叶变换是一种特殊的积分变换，它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。 在现代光学发展的今天，如何运用傅里叶方法解决干涉、衍射和成像等问题成了至关重要的部分。
中山大学光信息专业实验报告：傅里叶光学变换系统 一、实验目的和内容 1、了解透镜对入射波前的相位调制原理。 2、加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。 3、观察透镜的傅氏变换（FT ）图像，观察4f 系统的反傅氏变换（IFT ）图像，并进行比较。 4、在4f 系统的变换平面（T ）插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。 二、实验原理 1、透镜的FT 性质及常用函数与图形的关学频谱分析 透镜由于本身厚度的不同，使得入射光在通过透镜时， 图1 点的厚度。设原复振幅分布为(,)L U x y 的光通过透镜后，幅分布受到透镜的位相调制，附加了一个位相因子(,)x y ?为(,)L U x y '： 图1 (,)(,)exp[(,)]L L U x y U x y j x y ?'= （1） 若对于任意一点（x ，y ）透镜的厚度为(,)D x y ，透镜的中心厚度为0D 。光线由该点通过透镜时在透镜中的距离为(,)D x y ，空气空的距离为0D －(,)D x y ，透镜折射率为n ，则该点的总的位相差为： 00(,)[(,)](,)(1)(,)x y k D D x y knD x y kD k n D x y ?=-+=+- （2） （2）中的k ＝2π/λ，为入射光波波数。 用位相延迟因子(,)t x y 来表示即为： 0(,)exp()exp[(1)(,)]t x y jkD jk n D x y =- （3） 由此可见只要知道透镜的厚度函数(,)D x y 就可得出其相位调制。在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，可以得到球面透镜的厚度函数为：
时域信号 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移, 变换2的频域对应4 如果值较大，则会收缩 到原点附近，而会扩 散并变得扁平. 当 | a | 趋向 无穷时，成为 Delta函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过 交换时域变量和频域变量 得到. 6 傅里叶变换的微分性质 7 变换6的频域对应 8 表示和的卷积—这
9 矩形脉冲和归一化的sinc 函数 10 变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc 函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。 11 tri 是三角形函数 12 变换12的频域对应 13 高斯函数 exp( ? αt 2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当 Re(α) > 0时，这是可积的。 14 15 16 a>0 17 变换本身就是一个公式
18 δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这 个变换展示了狄拉克δ函数的重要 性：该函数是常函数的傅立叶变换 19 变换23的频域对应 20 由变换3和24得到. 21 由变换1和25得到，应用了欧拉公 式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 22 由变换1和25得到 23 这里, n是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这 个变换是根据变换7和24得到的。 将此变换与1结合使用，我们可以变 换所有多项式。 24 此处sgn(ω)为符号函数；注意此变 换与变换7和24是一致的. 25 变换29的推广. 26 变换29的频域对应. 27 此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换 根据变换1和31得到.
快速傅里叶变换的原理及其应用 摘要 快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换. 虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系统的运算负担过于庞大，使得一些对于耗电量少，运算速度慢的系统对其敬而远之，然而，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用，对于学习掌握都有着非常大的意义。 关键词快速傅氏变换；快速算法；简化；广泛应用
Abstract Fast Fourier Transform (FFT), is a discrete fast Fourier transform algorithm, which is based on the Discrete Fourier Transform of odd and even, false, false, and other characteristics of the Discrete Fourier Transform algorithms improvements obtained. Its Fourier transform theory has not found a new, but in the computer system or the application of digital systems Discrete Fourier Transform can be said to be a big step into. Fourier transform theory and methods in the "mathematical equation" and "linear systems analysis" and "signal processing, simulation," and many other areas have a wide range of applications, as the computer can only handle a limited length of the sequence of discrete, so true On the computer's operation is a discrete Fourier transform. Fourier Although all aspects of computing in the calculation has an important role, but its calculation was too complicated, a lot of computing system for calculating the burden is too large for some Less power consumption, the slow speed of operation of its system at arm's length, however, have the fast Fourier transform, Fourier transform greatly simplifying the making, not in power at the expense of the conditions to increase the speed of computing systems, and enhance the system The comprehensive ability to improve the speed of operation, the Fast Fourier Transform in the production and life have a very important role in learning to master all have great significance. Key words Fast Fourier Transform; fast algorithm; simplified; widely used
第2 章信号分析 本章提要 ?信号分类 ?周期信号分析--傅里叶级数 ?非周期信号分析--傅里叶变换 ?脉冲函数及其性质信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段 §2 －1 信号的分类 ?两大类：确定性信号，非确定性信号确定性信号：给定条件下取值是确定的。 进一步分为：周期信号，非周期信号。
质量－弹簧系 统的力学模型x(t) = A cos k t +0 非确定性信号(随机信号：给定条件下取值是不确定的 ?按取值情况分类：模拟信号，离散信号数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。 ?信号描述方法 时域描述如简谐信号
简谐信号及其三个要素 频域描述 以信号的频率结构来描述信号的方法: 将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。
T ：周期。注意n 的取值：周期信号“无始无 终” # ? 傅里叶级数的三角函数展开式 x (t ) = a + (a cos n t + b sin n t ) n =1 （n =1, 2, 3 ，…） 傅立叶系数： T a 0 = 1 x (t )dt - 2 T x (t )cos n tdt 2 T 2 x (t ) sin n tdt 2 式中 Ｔ--周 期；0--基频, 0=2/T 。 ? 三角函数展开式的另一种形式： 2 a n = b n =2
实验六 傅里叶变换及其反变换 6.1实验目的 １．学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶变换； ２．学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶反变换； 3．学会运用MATLAB 求连续时间信号的频谱图。 6.２实验原理及实例分析 1．连续时间信号傅里叶变换----CTFT 傅里叶变换在信号分析中具有非常重要的意义，它主要是用来进行信号的频谱分析的。傅里叶变换和其逆变换定义如下： ?∞ ∞--= dt e t x j X t j ωω)()( 6.1 ?∞∞-=ωωπωd e j X t x t j )(21)( 6.2 连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。按照教材中的说法，任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，那么，它可以被看作是由无穷多个不同频率（这些频率都是非常的接近）的周期复指数信号e j ωt 的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号e j ωt 称为频率分量（frequency component ），其相对幅度为对应频率的|X(j ω)|之值，其相位为对应频率的X(j ω)的相位。 X(j ω)通常为关于的复函数，可以按照复数的极坐标表示方法表示为： X(j ω)=| X(j ω)|e j ∠ X(j ω) 其中，| X(j ω)|称为x(t)的幅度谱，而∠X(j ω)则称为x(t)的相位谱。 给定一个连续时间非周期信号x(t)，它的频谱也是连续且非周期的。对于连续时间周期信号，也可以用傅里变换来表示其频谱，其特点是，连续时间周期信号的傅里叶变换时有冲激序列构成的，是离散的——这是连续时间周期信号的傅里叶变换的基本特征。 ２．用MATLAB 实现CTFT 的计算 MATLAB 进行傅里叶变换有两种方法，一种利用符号运算的方法计算，另一种是数值计算。 1） MATLAB 符号运算求解法 MATLAB 符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函数fourier( )及ifourier( )。常用的是：F=fourier(f) 默认返回值是关于ω的函数。 f=fourier(F,t) 返回值是关于t 的函数 例：利用MATLAB 求单边指数信号f(t) = e -2t u(t)的傅里叶变换，画出f(t)及其幅度谱和相位谱图。 syms t v w x phase im re ; %定义符号变量 f = exp(-2*t)*sym('Heaviside(t)'); %f(t)=exp(-2*t)*u(t) Fw = fourier(f); %求傅里叶变换 subplot(311); ezplot(f); %绘制f(t)的时域波形 axis([-1 2.5 0 1.1]); subplot(312); ezplot(abs(Fw)); %绘制幅度谱 im = imag(Fw); %计算F(w)的虚部
中山大学光信息专业实验报告：傅里叶光学变换系统 一、实验目的和内容 1、了解透镜对入射波前的相位调制原理。 2、加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。 3、观察透镜的傅氏变换（FT ）图像，观察4f 系统的反傅氏变换（IFT ）图像，并进行比较。 4、在4f 系统的变换平面（T ）插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。 二、实验原理 1、透镜的FT 性质及常用函数与图形的关学频谱分析 力。图1 在该点的厚度。设原复振幅分布为(,)L U x y 其复振幅分布受到透镜的位相调制，附加了一个位相因(,)x y ?后变为(,)L U x y '： 图1 (,)(,)exp[(,)]L L U x y U x y j x y ?'= （1） 若对于任意一点（x ，y ）透镜的厚度为(,)D x y ，透镜的中心厚度为0D 。光线由该点通过透镜时在透镜中的距离为(,)D x y ，空气空的距离为0D －(,)D x y ，透镜折射率为n ，则该点的总的位相差为： 00(,)[(,)](,)(1)(,)x y k D D x y knD x y kD k n D x y ?=-+=+- （2） （2）中的k ＝2π/λ，为入射光波波数。 用位相延迟因子(,)t x y 来表示即为： 0(,)exp()exp[(1)(,)]t x y jkD jk n D x y =- （3） 由此可见只要知道透镜的厚度函数(,)D x y 就可得出其相位调制。在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，可以得到球面透镜的厚度函数为：
22012 111(,)()()2D x y D x y R R =-+- （4） 其中1R 、2R 是构成透镜的两个球面的曲率半径。公式（4）对双凹、双凸、或凹凸透镜都成立。引入焦距f ，其定义为： 12 111(1)()n f R R =-- （5） 代入（3）得： 220(,)exp()exp[()]2k t x y jknD j x y f =-+ （6） 式（6）即是透镜位相调制的表达式，它表明复振幅(,)L U x y 通过透镜时，透镜各点都发生位相延迟。 从式（6）容易看出第一项位相因子0exp()jknD 仅表示入射光波的常量位相延迟，不影响位相的空间分布，即波面形状，所以在运算过程中可以略去。第二项22exp[()]2k j x y f -+是具有调制作用的因子，它表明光波通过透镜的位相延迟与该点到透镜中心的距离的平方成正比。而且与透镜的焦距有关。当考虑透镜孔径后，有： 22(,)exp[()](,)2k t x y j x y p x y f =-+ （7） 其中的(,)p x y 为透镜的光瞳函数，表达式为： 1(,)0p x y ?=?? 孔径内 其 它 （8） 2、透镜的傅里叶变换性质 在单色平面波垂直照射下，夫琅和斐衍射光场的复振幅分布正比于衍射屏透射系数的傅里叶变换。衍射图像的强度分布正比于衍射屏的功率谱分布。一般情况下，我们是将夫朗和斐衍射图像成像到透镜的像方焦平面出，这就是说，作为成像元件的透镜，就相当于傅里叶变换器。 如图2所示，设单位振幅的单色平面光垂直照射一透射系数为(,)t x y 的衍射屏，与衍射屏相距Z 处放置一焦距为f 的薄透镜L ，先观察其像方平面L 的光场分布。为了讨论方便，这里我们忽略透镜材料的吸收、散射、透镜表面的反射以及透镜孔径大小等因素的影响。
连续时间周期信号傅里叶级数：?= T dt t x T a )(1 ??--= = T t T jk T t jk k dt e t x T dt e t x T a π ω2)(1 )(1 离散时间周期信号傅里叶级数：[][]()∑∑= - =-= = N n n N jk N n n jkw k e n x N e n x N a /21 1 0π 连续时间非周期信号的傅里叶变换：()? ∞∞ --=dt e t x jw X jwt )( 连续时间非周期信号的傅里叶反变换：()dw e jw X t x jwt ? ∞ ∞ -=π 21 )( 连续时间周期信号傅里叶变换：∑+∞ -∞ =??? ? ? ? -=k k k w a jw X T 22)(πδπ 连续时间周期信号傅里叶反变换：()dw e w w t x jwt ? ∞ ∞ --=0221 )( πδπ 离散时间非周期信号傅里叶变换：∑∞ -∞ =-= n n j e n x e X ωω j ][)( 离散时间非周期信号傅里叶反变换：? = π 2d e )(e π 21][ωωωn j j X n x 离散时间周期信号傅里叶变换：∑+∞ -∞ =-= k k k a X )(π2)e (0 j ωωδω 离散时间周期信号傅里叶反变换：[]ωω ωδωd e n n j ?--=π 20 πl)2(π2π 21][x 拉普拉斯变换：()dt e t s X st -∞ ∞ -? =)(x 拉普拉斯反变换：()()s j 21 t x j j d e s X st ?∞ +∞ -= σσ π Z 变换：∑∞ -∞ =-=n n z n x X ][)z ( Z 反变换： ??-== z z z X r z X n x n n d )(πj 21d )e ()(π21][1j π2ωω
快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式 原理及公式 非周期性连续时间信号x(t)的傅里叶变换可以表示为 式中计算出来的是信号x(t)的连续频谱。但是，在实际的控制系统中能够得到的是连续信号x(t)的离散采样值x(nT)。因此需要利用离散信号x(nT)来计算信号x(t)的频谱。 有限长离散信号x(n)，n=0，1，…，N-1的DFT定义为： 可以看出，DFT需要计算大约N2次乘法和N2次加法。当N较大时，这个计算量是很大的。利用WN的对称性和周期性，将N点DFT分解为两个N／2点 的DFT，这样两个N／2点DFT总的计算量只是原来的一半，即(N／2)2+(N／2)2=N2／2，这样可以继续分解下去，将N／2再分解为N／4点DFT等。对于N=2m点的DFT都可以分解为2点的DFT，这样其计算量可以减少为(N／2)log2N 次乘法和Nlog2N次加法。图1为FFT与DFT-所需运算量与计算点数的关系曲线。由图可以明显看出FFT算法的优越性。 将x(n)分解为偶数与奇数的两个序列之和，即
x1(n)和x2(n)的长度都是N／2，x1(n)是偶数序列，x2(n)是奇数序列，则 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N／2点DFT。由于X1(k)和X2(k)均以N／2为周期，且WN k+N/2=-WN k，所以X(k)又可表示为： 上式的运算可以用图2表示，根据其形状称之为蝶形运算。依此类推，经过m-1次分解，最后将N点DFT分解为N／2个两点DFT。图3为8点FFT的分解流程。 FFT算法的原理是通过许多小的更加容易进行的变换去实现大规模的变换，降低了运算要求，提高了与运算速度。FFT不是DFT的近似运算，它们完全是等效的。 关于FFT精度的说明： 因为这个变换采用了浮点运算，因此需要足够的精度，以使在出现舍入误差时，结果中的每个组成部分的准确整数值仍是可辨认的。为了FFT的舍入误差，应该允许增加几倍log2(log2N)位的二进制。以256为基数、长度为N字节的数
实验10 傅里叶变换光学系统 实验时间：2014年3月20日 星期四 一、 实验目的 1. 了解透镜对入射波前的相位调制原理。 2. 加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。 3. 观察透镜的傅氏变换力图像，观察4f 系统的反傅氏变换的图像，并进行比较。 4. 在4f 系统的变换平面插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。 二、 实验原理 1. 透镜的FT 性质及常用函数与图形的关学频谱分析 透镜由于本身厚度的不同，使得入射光在通过透镜时，各处走过的光程差不同，即所受时间延迟不同，因而具有相位调制能力。假设任意点入射光线在透镜中的传播距离等于改点沿光轴方向透镜的厚度，并忽略光强损失，即通过透镜的光波振幅分布不变，仅产生位相的变化，且其大小正比于透镜在该点的厚度。设原复振幅分布为(,)L U x y 的光通过透镜后，其复振幅分布受到透镜的位相调制后变为(,)L U x y '： (,)(,)exp[(,)]L L U x y U x y j x y ?'= (1) 若对于任意一点（x ，y ）透镜的厚度为(,)D x y ，透镜的中心厚度为0D 。光线由该点通过透镜时在透镜中的距离为(,)D x y ，空气空的距离为0(,)D D x y -，透镜折射率为n ，则该点的位相延迟因子(,)t x y 为： 0(,)exp()exp[(1)(,)]t x y jkD jk n D x y =- (2) 由此可见只要知道透镜的厚度函数(,)D x y 就可得出其相位调制。在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，并引入焦距f ，有： 22012 111(,)()()2D x y D x y R R =-+- (3) 12 111(1)()n f R R =-- (4) 220(,)exp()exp[()]2k t x y jknD j x y f =-+ (5) 第一项位相因子0exp()jknD 仅表示入射光波的常量位相延迟，不影响位相的空间分布，即波面形状，所以在运算过程中可以略去。当考虑透镜孔径后，有： 22(,)exp[()](,)2k t x y j x y p x y f =-+ (6)
傅里叶变换光学系统 组号4 09 光信王宏磊09327004 (合作人：刘浩明杨纯川)、实验目的和内容 1、了解透镜对入射波前的相位调制原理。 2、加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。 3、观察透镜的傅氏变换(FT)图像，观察4f系统的反傅氏变换(IFT )图像，并进行比较。 4、在4f系统的变换平面(T)插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。 二、实验原理 1、透镜的FT性质及常用函数与图形的关学频谱分析透镜由于本身厚度的不同，使得入射光在通过透镜时，各处走过的光程差不同，即所受时间延迟不同，因而具有相位调制能力。图1为简化分析，假设任意点入射光线在透镜中的传播距离等于改点沿光轴方向透镜的厚度，并忽略光强损失，即通过透镜的光波振幅分布不变，仅产生位相的变化，且其大小正比于透镜在该点的厚度。设原复振幅分布为 U L(x, y)的光通过透镜后， 其复振幅分布受到透镜的位相调制，附加了一个位相因子 (x, y)后变为U L (x, y): U L(X, y) U L(X, y)exp[j (x,y)] 若对于任意一点(x, y)透镜的厚度为D(x,y)，透镜的中心厚度为D0。光线由该点 通过透镜时在透镜中的距离为D(x, y)，空气空的距离为D0—D(x, y)，透镜折射率为n, 则该点的总的位相差为： (x, y) k[D°D(x, y)] knD (x, y) kD°k(n 1)D(x, y) (2) (2)中的k = 2 n /入，为入射光波波数。 用位相延迟因子t(x, y)来表示即为： D(x,y) Q i i 1 Q2 D o
从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上 前言 第一部分、DFT 第一章、傅立叶变换的由来 第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT） 从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下 第三章、复数 第四章、复数形式离散傅立叶变换 /***************************************************************************************************/ 这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。 /**************************************************************************************************/ 前言： ―关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解‖---dznlong， 那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列? 傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂： 以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）