乘法的平方差公式
平方差公式的推导
两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，22
(a+b)(a-b)=a-b，平方差公式结构特征：
左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
①右边是乘式中两项的平方差。即用相同项的平方减去相反项的平方
熟悉公式：公式中的a和b既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。
22
(a+b)(a-b)=a-b
(5+6x)(5-6x)中是公式中的a，是公式中的b
(5+6x)(-5+6x)中是公式中的a，是公式中的b
(x-2y)(x+2y)中是公式中的a，是公式中的b
(-m+n)(-m-n)中是公式中的a，是公式中的b
（a+b+c）(a+b-c)中是公式中的a，是公式中的b
（a-b+c）(a-b-c)中是公式中的a，是公式中的b
（a+b+c）(a-b-c)中是公式中的a，是公式中的b
填空：
1、(2x-1)( )=4x2-1
2、(-4x+ )( -4x)=16x2-49y2
第一种情况：直接运用公式
1.（a+3）(a-3)
2..( 2a+3b)(2a-3b)
3. (1+2c)(1-2c)
4. (-x+2)(-x-2)
5. (2x+1
2)(2x-1
2
) 6. (a+2b)(a-2b) 7. (2a+5b)(2a-5b) 8. (-2a-3b)(-2a+3b)
第二种情况：运用公式使计算简便
1、1998×2002
2、498×502
3、999×1001
4、1.01×0.99
5、30.8×29.2
6、（100-1
3）×（99-2
3
）7、（20-1
9
）×（19-8
9
）
第三种情况：两次运用平方差公式
1、（a+b）(a-b)(a2+b2)
2、(a+2)(a-2)(a2+4)
3、(x- 1
2)(x2+ 1
4
)(x+ 1
2
)
第四种情况：需要先变形再用平方差公式
1、（-2x-y）(2x-y)
2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1)
5.(b+2a)(2a-b)
6.(a+b)(-b+a)
7.(ab+1)(-ab+1)
第五种情况：每个多项式含三项
1.（a+2b+c ）(a+2b-c)
2.(a+b-3)(a-b+3)
3.x-y+z)(x+y-z)
4.(m-n+p)(m-n-p)
平方差公式（1）
变式训练：1、
2、填空：
（1）()()=-+y x y x 3232 （2）()(
)116142
-=-a
a
（3）
(
)94913712
2-=??
? ?
?-b a ab （4）
(
)(
)
229432y x y x
-=-+
② 拓展：
1计算：（1）2
2
)()(c b a c b a +--++ （2）()()
()()()
42212122
2
2
4
++---+-x x x x x x
2．先化简再求值()()()
2
2
y x y x y x +-+的值，其中2,5==y x
3．（1）若22
12,6,x y x y x y -=+=-则的值是多少？
（2）已知63)122)(122(=-+++b a b a ，则=+b a _的值是多少？
平方差公式（2）
2．下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？若可以，请用平方差公式解出 （1）))((c b a c b a +-++ （2）))((c b a c b a -+--
（3）()()c b a c b a --+- （4）(22)(22)a b c a b c +++-
变式训练：
1、2
4
8
(21)(21)(21)(21)1+++++ 2、2
2
2222(24100)(1399)+++-+++
完全平方公式（1）
1．完全平方公式
(a+b)2
=a 2
+2ab+b
2
(a-b)2=a 2-2ab+b
2
特点：两个公式的左边都是一个二项式的完全平方，仅有一个符号不同； 右边都是二次三项式，其中第一项与第三项是公式左边二项式中的一项的平方；中间一项是二项式中两项
乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同. 注意：公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。
公式变形
1、a 2+b 2=(a+b)2 =(a-b)2
2、（a-b ）2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)2
3、(a+b)2 +（a-b ）2=
4、(a+b)2 --（a-b ）2= 一、计算下列各题：
1、2)(y x +
2、2)23(y x -
3、2)2
1
(b a + 4、2)12(--t
5、2)313(c ab +-
6、2)2332(y x +
7、2)12
1(-x 8、(0.02x+0.1y)2
二、利用完全平方公式计算：
（1）1022 （2）1972 （3）982 （4）2032
三、计算：
（1）22)3(x x -+ （2）22)(y x y +- （3）()()2
()x y x y x y --+-
四、计算：（1）)4)(1()3)(3(+---+a a a a （2）
22)1()1(--+xy xy （3）)4)(12(3)32(2+--+a a a
五、计算：（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-y x y x （3）)3)(3(+---b a b a
（4）()()2323x y z x y z +-++
六、拓展延伸 巩固提高
1、若22)2(4+=++x k x x ，求k 值。
2、 若k x x ++22是完全平方式，求k 值。
3、已知1
3a a
+
=，求221a a +的值
1．应用完全平方公式计算：
（1）2
(4)m n + （2）21()2
y -
（3）2()a b -- （4）2
(2)x y -+
变式训练：
1．下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 ，把它计算出来 （1）()()x y y x +-+ （2）()()a b b a -- （3）()()ab x x ab +--33 （4）()()n m n m +--
2．计算：（1）2
(12)x -- （2）2
(21)x -+ （3）()()n m n m +--22 （4）??
? ??-??? ??+
b a b a 21312131
变式议练计算：
（1）])2()2)[(4(2
2
2
2
y x y x y x -++-； （2）2
22
2
2
)()()(y x y x y x ++-（3）))((z y x z y x +--+。
拓展：1.已知31=+
x x ，则=+221
x x ________________ 2.（2008·）已知131-=x y ，那么2323
1
22-+-y xy x 的值是________________
3、已知2216)1(2y xy m x +-+是完全平方公式，则m =
4、若22
()12,()16,x y x y xy -=+=则= 变式训练：
（1）2)3(-+b a （2）)2)(2(-++-y x y x （3）)3)(3(+---b a b a （4）（x+5）2
–（x-2）（x-3）
拓展：1、（1）已知2,4==+xy y x ，则2
)(y x -=
（2）已知3)(,7)(2
2
=-=+b a b a ，求=+22b a ________，=ab ________
（3）不论b a 、为任意有理数，72422++-+b a b a 的值总是（ ）
A.负数
B.零
C.正数
D.不小于2 2、（1）已知0132=+-x x ，求221x x +和44
1x
x +的值。
（2）已知1,3-=-=-c b b a ，求ca bc ab c b a ---++2
22的值。
（3）.已知096622
2
=++--+y x xy y x ，求y x -的值
平方差公式和完全平方 公式练习题 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
一、选择题1．平方差公式（a+b）（a－b）=a － b 中字母a，b表示（） A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式 D．以上都可以 2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a－b） C．（ a+b）（b－a） D．（a2－b）（b2+a） 3．下列计算中，错误的有（） ①（3a+4）（3a－4）=9a －4；②（2a －b）（2a +b）=4a －b ； ③（3－x）（x+3）=x －9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x －y ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若x －y =30，且x－y=－5，则x+y的值是（） A．5 B．6 C．－6 D．－5 二、填空题 5．（－2x+y）（－2x－y）=______． 6．（－3x +2y ）（______）=9x －4y ． 7．（a+b－1）（a－b+1）=____________ 8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____． 9．利用平方差公式计算： （1）2009×2007－2008 ．（2）． 10. 解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）
11．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3， （1－x）（?1+x+x2+x3）=1－x4． （1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+x n）=______．（n为正整数）（2）根据你的猜想计算： ①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______． ②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）． ③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______． （3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①（a－b）（a+b）=_______． ②（a－b）（a2+ab+b2）=______． ③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______． 12，判断正误 （1）（a-b）=a - b ( ) （2）（-a-b）=（a+b） =a+2ab+b ( ) （3）（a-b）=（b-a） =b-2ab+a （） ( 4) （1）（2x+5y）（2）（ m - n） (3) (x-3) (4)(-2t-1) (5)( x+ y) (6)(-cd+ ) （7）（a+b+c）（8）（a+b+c+d） （1）代数式2xy-x -y =( ) A、（x-y） B、（-x-y） C、（y-x） D、-（x-y） （2）（）-（）等于（） A、xy B、2xy C、 D、0
设计思路： 教师是学习活动的引导者和组织者，学生是课堂的主人。教师在教学中要充分体现教师的导向作用，尊重学生的个体差异，选择适合自己的学习方式，鼓励学生自主探索与合作交流，让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生的直觉并且运用基本方法进行相关的验证，指导学生注重数学知识之间的联系，不断提高解决问题的能力。 教学过程： 师生问好，组织上课。 师：我们在初一第二学期就已经学习了乘法完全平方公式,请一位同学用文字语言来描述一下这个公式的内容？ 生1：（答略） 师：你能用符号语言来表示这个公式吗？ 生1：（a＋b）2=a2＋2ab＋b2（a－b）2=a2－2ab＋b2 师：不错，请坐。由此我们可以看出完全平方公式其实包含几个公式？ 生齐答：两个。 师：接下来有两道填空题，我们该怎么进行填空？ a2＋＋1=(a＋1)24a2－4ab＋=(2a－b)2 生2：（答略） 师：你能否告诉大家，你是根据什么来进行填空的吗？ 生2：根据完全平方公式，将等号右边的展开。 师：很好。（将四个式子分别标上○1○2○3○4） 问题：○1、○2两个式子由左往右是什么变形？ ○3、○4两个式子由左往右是什么变形？ 生3：（答略） 师：刚才的○1和○2是我们以前学过的完全平方公式，那么将这两个公式反过来就有：
a2＋2ab＋b2=（a＋b）2a2－2ab＋b2=（a－b）2（板书） 问题：这两个式子由左到右的变形又是什么呢？ 生齐答：因式分解。 师：可以看出，我们已将左边多项式写成完全平方的形式，即将左边的多项式分解因式了。 这两个公式我们也将它们称之为完全平方公式，也是我们今天来共同学习的知识（板书课题） 师：既然这两个是公式，那么我们以后遇到形如这种类型的多项式可以直接运用这个公式进行分解。这个公式到底有哪些特征呢？请同学们仔细观察思考一下，同座的或前后的同学可以讨论一下。 （经过讨论之后） 生4：左边是三项，右边是完全平方的形式。 生5：左边有两项能够写成平方和的形式。 师：说得很好，其他同学有没有补充的？ 生6：还有一项是两个数的乘积的2倍。 师：这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的？ 生6：不是，而是刚才两项的底数。 师：刚才三位同学都回答得不错，每人都找出了一些特征。再请一位同学来综合一下。 生7：左边的多项式要有三项，有两项是平方和的形式，还有一项是这两个数的积的2倍。右边是两个数的和或差的平方。 教师在学生回答的基础上总结： 1)多项式是三项式 2)有两项都为正且能够写成平方的形式 3)另一项是刚才写成平方项两底数乘积的2倍，但这一项可以是正，也可以是负 4)等号右边为两平方项底数和或差的平方。
半期复习（3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型 一．公式拓展： 拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+a a a a 拓展二：a b b a b a 4)()(22=--+ ()()22 2222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展四：杨辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二．常见题型： （一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求ab b a ++2 2 2。 (1)1=+y x ，则222 121y xy x ++= (2)已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2 222)()1(则= (二）公式变形 (1)设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= (2)若()()x y x y a -=++22，则a 为 (3)如果2 2)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 (4)已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于 (5)若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是
8.3完全平方公式与平方差公式（公开课） 完全平方公式（第1课时） 教学目标 1、知识目标： 理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会应用公式进行简单的计算。 2、能力目标： 渗透建模、化归、换元、数形结合等思想方法，培养学生的发现能力、求简意识、应用意识、解决问题的能力和创新能力。 3、情感目标： 培养学生敢于挑战，勇于探索的精神和善于观察，大胆创新的思维品质。 教学重点与难点 完全平方公式和平方差公式一样是主要的乘法公式，其本质是多项式乘法，是学生今后用于计算的一种重要依据，因此，本节教学的重点与难点如下： 本节的重点是体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。 本节的难点是从广泛意义上理解公式中的字母含义，判明要计算的代数式是哪两数的和（差）的平 一、复习回顾 1、单项式的乘法法则 2、多项式的乘法法则 二、新课讲授 1、推导两数和的完全平方公式 计算(a+b)2 解：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 2、理解公式特征 ①算式：两数和的平方②结果：两个数的平方和加上这两个数积的2倍 3、语言叙述 (a+b)2=a2+2ab+b2用语言如何叙述 4、公式(a-b)2=a2-2ab+b2教学 ①利用多项式乘法(a-b)2=(a-b)(a-b)②利用换元思想(a-b)2=[a+(-b)]2 ③利用图形 5、公式中的字母含义的理解。（学生回答） (x+2y)2是哪两个数的和的平方？ (x+2y)2=( )2+2( )( )+( )2 (2x-5y)2是哪两个数的差的平方？ (2x+5y)2=( )2+2( )( )+( )2 变式(2x-5y)2可以看成是哪两个数的和的平方？
平方差与完全平方公式教案与答案
15.2.1 平方差公式 知识导学 1．平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2 即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2. 平方差公式的灵活运用：通过变形，转化为符合平方差公式的形式，也可以逆用平方差公式，连续运用平方差公式，都可以简化运算。 典例解悟 例1. 计算：（1）(2x+3y)(2x-3y) (2) (-4m2-1)(-4m2+1) 解：（1）(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x2-9y2 (2) (-4m2-1)(-4m2+1)=(-4m2)2-12=16m4-1 感悟：正确掌握平方差公式的结构，分清“相同项”与“相反项”，再结合已学知识计算本题。其中第（2）题中的相同项是-4m2,不能误以为含有负号的项一定是相反项。 例2.先化简，再求值：(x+2y)(x-2y)-(2x-y)(-2x-y),其中x=8,y=-8. 解：原式=(x2-4y2)-(y2-4x2)=5x2-5y2. 当x=8，y=-8时，原式=5×82-5×(-8)2=0.
感悟：本题是整式的混合运算，其中两个多项式相乘符合平方差公式的特征。在本题(2x-y)(-2x-y)中，相同项是-y，相反项是2x与-2x，应根据加法的交换律，将此式转化为（-y+2x）（-y-2x）。阶梯训练 A级 1.下列各多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A.(-a-b)(a+b) B.(-a-b)(a-b) C.(-a+b)(a-b) D.(a+b)(a+b) 2.在下列各式中，计算结果是a2 -16b2 的是（） A．（-4b+a）（-4b-a） B.(-4b+a)(4b-a) C．（a+2b）（a-8b） D.(-4b-a)(4b-a) 3.下列各式计算正确的是（） A.（x+3）（x-3）=x2 -3 B．（2x+3）（2x-3）=2x2 -9 C.（2x+3）（x-3）=2x2 -9 D．（2x+3）（2x-3）=4x2 -9 4．（0.3x-0.1）（0.3x+0.1）=_________ 5. (2 3x+3 4 y) (2 3 x-3 4 y) = _________ 6.（-3m-5n）（3m-5n）=_________
乘法公式的拓展及常见题型整理 一．公式拓展： 拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+a a a a 拓展二：a b b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展四：辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二．常见题型： （一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求ab b a ++2 2 2。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222 121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则 = (二）公式组合 例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab
⑴若()()a b a b -=+=22 713，，则a b 22+=____________，a b =_________ ⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++22，则a 为 ⑷如果2 2)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求) )((2222d c b a ++ （三）整体代入 例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。 例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=20 1x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+= ⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++= ⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 b a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是 ．
乘法公式专题 一、平方差公式及公式变形： 公式：()()22a b a b a b +-=- 变形：（1）位置变化： ()()b a b a +-+= ； （2）符号变化： ()()a b a b ---= ； （3）系数变化： ()()2323a b a b +-= ； （4）指数变化： ()()2222a b a b +-= ； （5）增项变化： ()()a b c a b c -+--= ； （6）逆用公式： 22a b -= ； （7）连用公式： ()()()()2244a b a b a b a b -+++= ； 1、下列运用乘法公式计算错误的是（ ） A ．2111111339x x x ????-++=- ??????? B ．22111224 a b a b b a ????---=- ??????? C ．22212410.131039100m n n m m n ????-+-=- ??????? D ．()()222313191m m m +-=-
2、计算下列各式 (1)(2)(2)x y x y -+ (2)(2)(2)a b b a --- ()()()()223242a b a b a b ++- ()()()22455m n n m +- ()221115224x y x y x y ??????+-+ ??????????? ()()()6x y z x y z +--+ 2、简单计算 ()1499501? ()22201620172015-? 二、完全平方公式 1、()2 222a b a ab b ±=±+ （1）()22a b += ； （2）() 223m n --= ；
数学教案的运用完全平方公式法 1。使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法； 2。理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力。 3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力． 4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。 1。问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解。我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法。 2。把下列各式分解因式： (1)ax4－ax2 (2)16m4－n4。 解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1) (2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2 =(4m2+n2)(4m2－n2) =(4m2+n2)(2m+n)(2m－n)。 问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?
答：有完全平方公式。 请写出完全平方公式。 完全平方公式是： (a+b)2=a2+2ab+b2， (a－b)2=a2－2ab+b2。 这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解。 和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2。 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。式子 a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式。运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式。 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式。 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2； (3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1。
平方差公式 一、选择题 1．下列各式能用平方差公式计算的是：（） A． B． C． D． 2．下列式子中，不成立的是：（） A． B． C． D． 3．，括号内应填入下式中的（）． A． B． C． D． 4．对于任意整数n，能整除代数式的整数是（）．A．4 B．3 C．5 D．2 5．在的计算中，第一步正确的是（）． A． B． C． D． 6．计算的结果是（）． A．B．C．D． 7．的结果是（）． A．B．C．D． 二、填空题 1．． 2．． 3．．
4．． 5．． 6．． 7．． 8．． 9．，则 10．． 11．（1）如图（1），可以求出阴影部分的面积是_________．（写成两数平方差的形式） 12．如图（2），若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是________，长是________，面积是___________．（写成多项式乘法的形式） 13．比较两个图阴影部分的面积，可以得到乘法公式__________．（用式子表达） 三、判断题 1．．（） 2．．（） 3．．（） 4．．（） 5．．（） 6．．（） 7．．（） 四、解答题 1．用平方差公式计算： （1）；（2）；
（3）； （4）； （5）；（6）． 2．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 3．先化简，再求值，其中 4．解方程：． 5．计算：． 6．求值：． 五、新颖题 1．你能求出的值吗？ 2．观察下列各式： 根据前面的规律，你能求出的值吗？
参考答案： 一、1．B 2．B 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 二、1．x ，4； 2 ； 3． 4． 5． 6． 7． ； 8． ； 9． ； 10．0.9999 11． 12． 13． 三、1．× 2．√ 3．× 4．× 5．× 6．× 7．√ 四、1．（1） ；（2） ；（3） ；（4） ； （5）8096（提示： ）；（6） ． 2．（1）1；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ． 3．原式= ． 4． ． 5．5050． 6． ． 五、1． ．提示：可以乘以 再除以 ． 2． 完全平方公式 【知识要点】 1．完全平方公式：①()2 222a b a ab b +=++；②()2 222a b a ab b -=-+．即：两数 和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，这个公式叫做乘法的完全平方公式． 2．完全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．
运用公式法 教学设计示例――完全平方公式(1) 教学目标1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．4．通过分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式. 难点：灵活运用完全平方公式公解因式.教学过程设计一、复习1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法. 2.把下列各式分解因式：(1)ax4－ax2 (2)16m4－n4. 解(1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2=(4m2+n2)(4m2－n2)=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式? 答：有完全平方公式.请写出完全平方公式. 完全平方公式是：(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2. 这节1 ————来源网络整理，仅供供参考
课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解. 二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2；a2－2ab+b2=(a－b)2. 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式. 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式. 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；(3)25x4－10x2+1；(4)16a2+1. 答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=(x+3) . (2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy. (3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以25x －10x +1=(5x－1) . (4)不是完全平方式.因为缺第三部分. 请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=? 答：完全平方公式为：其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y. ————来源网络整理，仅供供参考 2
§1．6 完全平方公式（2） 班级： 姓名： 【学习重点、难点】 重点： 1、弄清完全平方公式的结构特点； 2、会进行完全平方公式恒等变形的推导． 难点：会用完全平方公式的恒等变形进行运算． 【学习过程】 ● 环节一：复习填空 ()2_____________a b += ()2_____________a b -= ● 环节二： 师生共同推导完全平方公式的恒等变形 ①()222_______a b a b +=+- ②()222_______a b a b +=-+ ③()()22_______a b a b ++-= ④()()22_______a b a b +--= ● 典型例题及练习 例1、已知8a b +=，12ab =，求22a b +的值 变式训练1：已知5a b -=，22=13a b +，求ab 的值 变式训练2：已知6ab =-，22=37a b +，求a b +与a b -的值 方法小结：
提高练习1：已知+3a b =，22+30a b ab =-，求22a b +的值 提高练习2：已知210a b -=，5ab =-，求224a b +的值 例2、若()2=40a b +，()2=60a b -，求22a b +与ab 的值 小结： 课堂练习 1、（1）已知4x y +=，2xy =，则2)(y x -= （2）已知2()7a b +=，()23a b -=，求=+22b a ________，=ab ________ （3）()()2222________a b a b +=-+ 2、（1）已知3a b +=，4a b -=，求ab 与22a b +的值 （2）已知5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。 （3）已知224,4a b a b +=+=，求22a b 与2()a b -的值。
因式分解基础习题 （公式法） 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.24x - 2.2 9y - 3.21a - 4.224x y - 5.2125b - 6.222 x y z - 7.2240.019m b - 8.2219 a x - 9.2236m n - 10.2249x y - 11.220.8116a b - 12.222549p q - 13.2422a x b y - 14.41x - 15. 44411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1.22()()x p x q +-+ 2. 22 (32)()m n m n +-- 3.2216()9()a b a b --+ 4.22 9()4()x y x y --+ 5.22()()a b c a b c ++-+- 6.22 4()a b c -+ 题型(三)：把下列各式分解因式 1.53x x - 2.22 4ax ay - 3.322ab ab -
4.316x x - 5.2433ax ay - 6.2 (25)4(52)x x x -+- 7.324x xy - 8.343 322x y x - 9.4416ma mb - 10.238(1)2a a a -++ 11.416ax a -+ 12.2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1.证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2.计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷222221 1111(1)(1)(1)(1)(1) 234910---???-- 专题训练二：利用完全平方公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.221x x ++ 2.2441a a ++ 3. 2169y y -+ 4.2 14m m ++ 5. 221x x -+ 6.2816a a -+
半期复习（3）——完全平方公式变形公式及常见题型一．公式拓展： 2a2b2(a b)22ab 22 拓展一：a b(a b)2ab 11211 2 2 2 a(a)2a(a)2 22 a a a a 2a b2a b22a22b2 2 拓展二：(a b)(a b)4ab 22(a b)2(a b)24ab (a b)(a b)4ab 2222 拓展三：a b c(a b c)2ab2ac2bc 拓展四：杨辉三角形 33232 33 (a b)a a b ab b
444362243 4 (a b) a a b a b ab b 拓展五：立方和与立方差 3b a b a ab b 3223b3a b a ab b 22 a()()a()() 第1页（共5页）
二．常见题型： （一）公式倍比 。 2 2 a b 例题：已知 a b =4，求ab 2 1 1 (1) x y 1，则 2 2 x xy y = 2 2 2 2 x y 2 ) 2 (2) 已知x x x y ，xy ( 1) ( 则= ２ ( 二）公式变形 (1) 设（5a＋3b）2=（5a－3b）2＋A，则A= 2 2 (2) 若( x y) ( x y) a ，则a 为 (3) 如果 2 ( ) 2 (x y) M x y ，那么M等于(4) 已知(a+b) 2=m，(a —b) 2=n，则ab 等于 2 (2 3 ) 2 ( ，则N的代数式是(5) 若2a b a b N 3 ) （三）“知二求一” 1．已知x﹣y=1，x 2+y2=25，求xy 的值． 2．若x+y=3 ，且（x+2）（y+2）=12． （1）求xy 的值； 2+3xy+y 2 的值． （2）求x
12.5.3因式分解 （完全平方公式法） 教学目标： 1、能熟练运用公式将多项式进行因式分解. 2、能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底. 3、提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力. 重点： 掌握公式法进行因式分解. 难点： 找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底. 学习过程: 一、课前导入： 1、分解因式学了哪些方法? ⑴提取公因式法：ma +mb +mc =m (a +b +c ) ⑵运用公式法： ①a 2－b 2=(a +b )(a －b ) 练习 把下列各式分解因式 ① ② x 4－16 2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？ 完全平方式: 用公式法正确分解因式关键是什么？ 仔细观察，试着发现以上式子所具有的特征： 从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数 (或整式)的乘积的2倍. 从符号看：平方项符号相同（即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项） 二、讨论探究： 填一填 四、巩固提高 练习填空： （1）a 2+ +b 2=(a +b )2 （2）a 2－2ab + =(a －b ) 2 （3）m 2+2m + =( ) 2 （4）n 2－2n + =( ) 2 （5）x 2－x +0.25=( ) 2 （6）4x 2+4xy +( ) 2=( ) 2 例题（先观察再因式分解） ① x 2＋14x ＋49 ② ③ 3ax 2＋6axy ＋3ay 2 ④ －x 2－4y 2＋4xy ⑤ ⑥ 16x 4－8x 2＋1 判断因式分解正误，并写出正确过程 (1） －x 2－2xy －y 2= －(x －y )2 （2）a 2+2ab －b 2 2 4ax ax -9)(6)(2 ++-+n m n m 229124b ab a ++2)(b a -=
14.3.2公式法教案（第2课时） 教学目标：1．理解并掌握完全平方公式法分解因式的意义，灵活用完全平方公式进行因式分解。 2．了解运用完全平方公式因式分解的一般步骤。 3．在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力,通过综合运用提公因式法、完全平方公式法分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力。 教学重点：运用完全平方公式法分解因式。 教学难点：完全平方式的特点、识别及运用完全平方公式法分解因式。 教学方法：采用“情境——探究”教学方法，让学生掌握完全平方公式法因式分解。 教学过程： 一、创设情境导入新课 上节课我们利用整式的乘法与因式分解互逆的关系得到了因式分解的平方差公式， 即 x2–y 2 =(x+y)(x-y)。 利用平方差公式分解因式要注意多项式是否符合平方差公式的特点（即：多项式一定是两项，并且是 两个数的平方的差的形式）。 1、【做一做】把下列各式分解因式： （1）x2－9 （2）x3－x （3）9a－ab2（4）(a+b)3－4(a+b) 请同学们独立完成上面两题，完成后互相校对你们的结果。在上面的因式分解中，你都用了哪些 因式分解的方法？并且你认为还要注意什么？ 从上面的第（4）题我们知道公式中的a,b可以是单项式也可以是多项式。 2、请大家思考：你会分解多项式a2+2a+1吗？这就是我们这节课所要研究的内容 二、探索新知： 你能否类似上面的平方差公式写出因式分解中的完全平方公式呢？ a2+2ab+b2=（a+b）2； a2－2ab+b2=（a－b）2. 一般地形如a2+2ab+b2和a2－2ab+b2的式子称为完全平方公式因式分解，完全平方式具备什么特点呢？ 学生小组内合作交流：（代表发言） （1）这个多项式都有三项；（2）三项中都有两数的平方和，加或减这两个数的乘积的2倍。 多项式x2–4xy+4y2是完全平方式吗？ x2 - 2 x (2y) + (2y)2 a2 - 2 a b + b2 是一个完全平方式。 1、【做一做】1.下列哪些式子是完全平方式？ （1）x 2 +4xy–4y 2（2）4m2–6mn+9n 2（3）m2 +6mn+9n 2 2、在下面的空线上填上一项，使之构成一个完全平方式。 (1)4x 2–_____+9y 2 (2) x 2 +_____+4 3、（1）例5、利用完全平方公式分解因式： （1）16x2 +24x+9 （2）- x2 +4xy -4y2 分析：在（1）中，16x2=（4x）2 9=32 24x=2·4x·3所以16x2 +24x+9是一个完全平方公式，即：
完全平方公式的变形与应用 提高培优完全平方公式 222222()2,()2a b a a b b a b a a b b 在使用时常作如下变形： (1) 222222()2,()2a b a b a b a b a b a b (2) 2222()()4,()()4a b a b a b a b a b a b (3) 2222 ()()2()a b a b a b (4) 2222 1 [()()]2a b a b a b (5) 22 1 [()()]2a b a b a b (6) 222222 1 [()()()]2a b c a b b c ca a b b c c a 例1 已知长方形的周长为 40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？ 解设长方形的长为α，宽为b ，则α+b=20，αb=75. 由公式(1)，有： α2+b 2=(α+b)2-2αb=202-2×75=250. (答略，下同) 例2 已知长方形两边之差 为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积. 解设长方形长为 α，宽为b ，则α-b=4，αb=12.由公式(2)，有：(α+b)2=(α-b)2+4αb=42+4×12=64. 例3 若一个整数可以表示为两个整数的平方和， 证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和 . 证明设整数为x ，则x=α2+b 2(α、b 都是整数).
由公式(3)，有2x=2(α2+b 2)=(α+b)2+(α-b)2.得证 例4 将长为64cm 的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形面积之和最小？ 解设绳被分成的两部分为x 、y ，则x+y=64. 设两正方形的面积之和为 S ，则由公式(4)，有：S=(x 4)2+(y 4)2=116 (x 2+y 2) =132 [(x+y)2+(x-y)2] =132 [642+(x-y)2]. ∵(x-y)2 ≥０，∴当x=y 即(x-y)2=0时，S 最小，其最小值为 64232=128(cm 2). 例5 已知两数的和为 10，平方和为52，求这两数的积. 解设这两数分别为α、b ，则α+b =10，α2+b 2 =52. 由公式(5)，有： αb=12 [(α+b)2-(α2+b 2)] =12 (102-52)=24. 例6 已知α=x+1,b=x+2,c=x+3. 求：α2+b 2+c 2-αｂ-bc-c α的值. 解由公式(6)有： α2+b 2+c 2-αｂ-bc-αｃ =12 [(α-b)2+(b-c )2+(c-α）2] =12 [(-1)2+(-1)2+22] =12×(1+1+4)=3.
完全平方公式变形 1.已知 ，求下列各式的值： （1） ； （2） ． （3）4 41x x 2.已知x+y=7，xy=2，求 （1）2x 2+2y 2； （2）（x ﹣y ）2．。 （3）x 2+y 2-3xy 3.已知有理数m ，n 满足（m+n ）2=9，（m ﹣n ）2=1．求下列各式的值． （1）mn ； （2）m 2+n 2
平方差公式的应用 1.（a+b﹣c）（a﹣b+c）=a2﹣（）2． 2.（）﹣64m2n2=（a+）（﹣8mn） 3.已知x2﹣y2=12，x﹣y=4，则x+y=． 4．（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（x4+y4）…（x2n+y2n）=． 5.．（﹣3x+2y）（）=﹣9x2+4y2． 6.记x=（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），且x+1=2128，则n=． 7.计算：=． 8.已知a﹣b=1，a2﹣b2=﹣1，则a4﹣b4=． 9.一个三角形的底边长为（2a+4）厘米，高为（2a﹣4）厘米，则这个三角形的面积为． 10观察下列等式19×21=202﹣1，28×32=302﹣22，37×43=402﹣32，…，已知m，n 为实数，仿照上述的表示方法可得：mn=． 11．正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2，求这两个正方形的边长 12如图，第一个图中两个正方形如图所示放置，将第一个图改变位置后得到第二个图，两图阴影部分的面积相等，则该图可验证的一个初中数学公式 为． 以下为提高题（请班级前20名学生会做） 13．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个这个正整数为“神秘数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“神秘数”．若60是一个“神秘数”，则60可以写成两个连续偶数的平方差为：60=． 14．20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12=． 15．（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）×8+1=． 16.（3a+3b+1）（3a+3b﹣1）=899，则a+b=． 17.化简式子，其结果是．
两数和（差）的平方教案设计 泌阳县春水镇中心学校刘老师 教学内容 教科书P.32——P.34的内容 本节课是华师大八年级（上）义务教育课程标准实验教材第12章第3节第二课时的内容。它是学生在已经掌握整式的加减法、幂的运算、单项式乘法、多项式乘法之后进行学习的。一方面它是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面也是后续学习的基础，不仅对提高学生运算速度、准确率有较大作用，更是今后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、分式运算的知识基础，同时乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端。通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处。 一、教学目标 1．能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示。 2．能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法。 3．通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出，使学生明白数形结合的思想。 二、教学重难点 重点：掌握公式的特点，牢记公式。 难点：对具体问题会运用公式以及理解字母的广泛含义。 关键：引导学生对本节课公式结构特征进行理解，并注意同两数与这两数差的积的公式进行区分。 教学过程 一、创设情景、问题导入 很久很久以前,有一个国家的公主被妖怪抓到了森林里,两个农夫一起去森林打猎时打死了妖怪救出了公主。国王要赏赐他们, 这两个农夫原来各有一块边长为a米的正方形土地, 第一个农夫就对国王说：“您可不可以再给我一块边长为b 米的正方形土地呢？”国王答应了他，国王问第二个农夫：“你是不是要跟他一样啊?”第二个农夫说：“不，我只要您把我原来的那块地的边长增加b米就好了。 国王想不通了，他说：“你们的要求不是一样的吗？” 你认为他们的要求一样吗？ 以小组为单位，讨论交流a2+b2与(a+b)2的大小.思考怎样计算(a+b)2，结果是多少？ 二、探究新知，得出公式 方法一、利用代数方法计算 (a+b)2＝(a+b) (a+b)＝a2＋2ab＋b2 方法二、利用几何图形的面积的两种表示方法验证。如下图
平方差公式和完全平方公式（讲义） ? 课前预习 1. （1）对于多项式(4)x -和多项式(4)x +，完全相同的项是________，只有符号不同的项是________； （2）对于多项式(4)x --和多项式(4)x -，完全相同的项是________，只有符号不同的项是________； （3）对于多项式()a b c +-和多项式()a b c -+-，完全相同的项是_________，只有符号不同的项是__________． 2. 利用幂的运算法则证明22()()a b a b --=+． 证明过程如下： []2 222()()(___)(____)__________ a b a b --=-+=?= 即22()()a b a b --=+ 请你参照上面的方法证明22()()a b a b -+=-． 3. 计算： ①()()a b a b +-； ②2()a b +； ③2()a b -． ? 知识点睛 1. 平方差公式：___________________________．
2. 完全平方公式：_________________________； _________________________． 口诀：首平方、尾平方，二倍乘积放中央． ? 精讲精练 1. 填空： ①22(4)(4)( )( )x x -+=-=_________； ②22(32)(32)( )( )a b a b +-=-=__________； ③22()()( )( )m n m n ---=-=_____________； ④112244x y x y ????--- ??????? =_______-_______=___________； ⑤()() n n a b a b +-=_______-_______=__________； ⑥22(33)(33)( )( )a b a b +++-=-； ⑦22(33)(33) ( )( )a b a b -++-=-； ⑧(m +n )(m -n )(m 2+n 2)=( )(m 2+n 2)=( )2-( )2=_______； ⑨22(23)( )49x y x y +=-； ⑩22(3)( )9x y y x +=-． 2. 计算： ①(8)(8)ab ab +-； ②112233a b b a ????--- ???????； ③22(2)(2)(4)a b a b a b -++； ④10397?； ⑤2201520142016-?． 3. ①222(25)( )2( )( )( )x y +=++=_______________； ②22211( )2( )( )( )32m ??-=-+= ???___________；