非线性电路混沌实验
混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象
，它也是非线性系统所特有的一种复杂状态。
混沌研究最先起源于 1963年洛伦兹（E.Lorenz ）研究天气预报时用到的三个动力学方程 ,后
来又从数学和实验上得到证实。无论是复杂系统
，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟
摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无轨、 但实际是非周期有序运动，即混沌 现象。由于电学量（如电压、电流）易于观察和显示，因此非线性电路逐渐成为混沌及混沌同 步应用的重要途径，其中最典型的电路是美国加州大学伯克利分校的蔡少棠教授 1985年提 出的著名的蔡氏电路（Chua ' s Circuit ）。就实验而言，可用示波器观察到电路混沌产生的全 过程,并能得
到双涡卷混沌吸引子。
本实验所建立的非线性电路包括有源非线性负阻、 LC 振荡器和RC 移相器三部分；采用 物理实验方法研究 LC 振荡器产生的正弦波与经过 RC 移相器移相的正弦波合成的相图（李萨
如图），观测振动周期发生的分岔及混沌现象。
【实验目的】
观测振动周期发生的分岔及混沌现象； 测量非线性单元电路的电流一电压特性；
了解非
线性电路混沌现象的本质； 学会自己制作和测量一个使用带铁磁材料介质的电感器以及测量
非线性器件伏安特性的方法。
【实验原理】
1. 非线性电路与非线性动力学
实验电路如图1所示，图1中只有一个非线性元件 R ，它是一个有源非线性负阻器件。 电感器L 和电容C 2组成一个损耗可以忽略的谐振回路； 可变电阻R V 和电容器C 串联将振荡
器产生的正弦信号移相输出。 本实验中所用的非线性元件 R 是一个三段分段线性元件。 图2
所示的是该电阻的伏安特性曲线， 从特性曲线显示中加在此非线性元件上电压与通过它的电
流极性是相反的。由于加在此元件上的电压增加时，
通过它的电流却减小， 因而将此元件称
为非线性负阻元件。
图1电路的非线性动力学方程为:
C 2
dU C L
二 G (U C 1 -U C 21)I L
(1)
dt
1
21
C 1
du e ’ dt
=G (U C 2 -Uq) _g Uq
Ld L
实际非线性混沌实验电路如图
式中，导纳G =1/R/ , U c.和U c2分别为表示加在电容器C和C2上的电压，i L表示流过电
感器L的电流，G表示非线性电阻的导纳。
2. 有源非线性负阻元件的实现
有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用的是一种较简单的电路，采用两个运算放大器（一个双运放TL082）和六个配置电阻来实现其电路如图4所示，实验所要研究的是
该非线性元件对整个电路的影响，而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。
5所
示。
3. 名词解释
本名词解释的定义是描述性的，并非是标准数学定义，但有助于初学者对这些词汇的理解。这些词汇定义多数是按相空间作出的。
（1）分岔：在一族系统中，当一个参数值从某一临界值以下变到该临界值以上时，系统长期行为的一个突然变化。
（2）混沌：①表征一个动力系统的特征，在该系统中大多数轨道显示敏感依赖性，即完
全混沌。②有限混沌，表征一个动力系统的特征，在该系统中某些特殊轨道是非周期的，但
大多数轨道是周期或准周期的。
【实验仪器】
实验用仪器如图6所示。非线性电路混沌实验仪由四位半电压表（量程0?20V，分辨
率1 mV）; -15 V?0?+15V稳压电源和非线性电路混沌实验线路板三部分组成。观察倍周期分岔和混沌实验线路板三部分组成。观察倍周期分岔和混沌现象用双踪示波器。
图6实验装置
【实验步骤】
测量一个铁氧体电感器的电感量，观测倍周期分岔和混沌现象。
1. 按图5所示电路接线，其中电感器L由实验者用漆包铜线手工缠绕。可在线框上绕
70-75圈，然后装上铁氧体磁心，并把引出漆包线端点上的绝缘漆用刀片刮去，使两端点导电性能良好。也可以用仪器附带的铁氧体电感器。
2. 串联谐振法测电感器电感量。测量方法请阅附录，要求测量通过电阻的电流值I=5mA（有效值）时电感器电感量。
3. 把自制电感器接入图5所示的电路中，调节R1+R2阻值。在示波器上观测图5 所示
的CH1-地和CH2-地所构成的相图（李萨如图），调节R计R2电阻值由大到小时，描绘相图周期的分岔及混沌现象。将一个环形相图的周期定为P，那么，要求观测并记录2P、4P、
阵发混沌、3 P、单吸引子（混沌）、双吸引子（混沌）共六个相图和相应的CH1-地和CH2-地两个输出波形。（用李萨如图观测周期分岔与直接观测波形分岔相比有何优点?）
【实验结果】
倍周期分岔和混沌现象的观测结果：
(a) —倍周期(b)两倍周期(c)四倍周期(d)阵发混沌(e)三倍周期(f)奇异吸引子(g)双吸引子((h)双吸引子2
【结果分析】
混沌现象的本质：
混沌是一种确定系统中出现的貌似不规则的有序运动。这种有序是乱中有序
，是有序与
无序的结合，是非线性序 ------ 混沌序。变是混沌的本性。分岔是进入混沌的途径。随着时 间的推移，系统运动状态在不断变化。当控制参量
入(入=0对应于平衡态)由小到大变化时，
系统由稳定有序逐渐失稳，开始分岔，随着分岔按几何级数的不断增长 ，系统由有序到无序。
当控制参量达到一个临界值时系统进入混沌区
，当再增大时又会遇到一个个的周期窗口 ，一
个个混沌区……当控制参量不断减少时系统又会由混沌逐渐向有序演化。 现已知道在倍周期
分岔进入混沌的过程中存在一个普适常数 ------- 费根鲍姆常数
(Feige nbaum con ta nt)， 即
A . X ,
fi 二曲 ------ 〒=4 669201609102...............
打—*■ co 几
■ J A>
JT + I
Tf
上式中入n 是第n 次分岔出现的参数值，3是相继分岔的间距之比的极限 ，是一个类似n 、e 和普朗克常数
的无理数。这是美国物理学家费根鲍姆利用计算机在 1978年计算发现的。现
已有数学家用泛函方法得到证明。费根鲍姆常数的存在反映了混沌演化过程中的有序性。
【实验小结】
本实验的有点在于结果易于观察， 但缺点在于原理难以掌握，
很多情况下，学生只是记
录下了实验的现象， 拍到几张图片，但并不能理解实验原理。 在以下实验中为了让学生更深 刻地理解非线
性电路混沌实验的原理
，笔者利用 Matlab 软件，数值模拟了李萨如图的形成
且在课堂上讲解此数值模拟过程，同时让学生实际操作，并且让他们和示波器中观察到的李 萨如图进行比较，从而使学生加深对混沌实验的理解。
数值模拟过程 非线性动力方程组：
经变量代换可写为:
(y - x - f(x)) f
= JOO nE C 2 = 100 nF p L = 10 mH, E = I
- Q 76 m s G,=-仃
41 fns.
下面是非线性电路混沌实验的 值如下：
Matlab 数值模拟结果。本实验的非线性混沌仪的参数取
方程组(2)中的系数表达式如下
G d
=伉略=-Q 76 Tty T 0
G
在范围0?2.5 k Q 内改变参数RV,采用M atlab 对方程组(2)进行求解，并对蔡氏电路进 行数值模拟,得到各种李萨如图形,如图3?图8所示。
C
2
c\
图3 一倍周期(R =203 S5 )
IM 4 倍側期(R -408 □)
閤5三倍丹期(R =?43 $ )
图6用倍周期(R =75<1^ I
「IW
图7岱并吸引f I ( R - I |
从数值模拟的结果来看, 与示波器上观察的李萨如图形完全吻合,这样使得学生在数值
模拟的过程中对非线性电路动力学方程有深刻的理解, 更加清晰地明确了动力学方程解的物理意义。利用示波器观察李萨如图形能让学生在动手过程中感性地了解非线性混沌现象, 而利用Matlab 数值模拟观察李萨如图形能让学生理性地理解非线性混沌现象。只有让学生在课堂上同时利用这2种方法观察李萨如图形, 才能取得满意的授课效果。Matlab 数值模拟也可以指导学生在实验中更加有效地调节非线性电路混沌仪, 更容易地找到在不同电阻值下各
种李萨如图形。