广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编
导数及其应用
一、填空题
1、（潮州市2015届高三）曲线在点处的切线方程为
2、（揭阳市2015届高三）函数()1x f x e =-的图象与x 轴相交于点P ，则曲线在
P 处的切线方程是
3、（深圳市2015届高三）设P 是函数x y ln =图象上的动点，则点P 到直线x y =的距离的最小值为
4、（珠海市2015届高三）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足3
()=(2)f x x x f '-?，则函数()f x 在点（2，
(2)f ）处的切线方程为
二、解答题
1、（潮州市2015届高三）已知函数，（）． 若，求函数的极值；
设函数，求函数的单调区间；
若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围．
2、（佛山市2015届高三）已知函数()()
ln x a f x x
-=
. (Ⅰ) 若1a =-,证明:函数()f x 是()0,+∞上的减函数；
(Ⅱ) 若曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线与直线0x y -=平行,求a 的值； (Ⅲ) 若0x >,证明:()ln 1e 1
x x x
x +>-(其中e 2.71828=???是自然对数的底数).
3、（广州市2015届高三）已知函数()2ln a
f x x x x
=--，a ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性;
（2）若函数()f x 有两个极值点1x ,2x , 且12x x <, 求a 的取值范围;
3
2
3y x x =-+1x =()ln f x x a x =-()1a
g x x
+=-
R a ∈()11a =()f x ()2()()()h x f x g x =-()h x ()3[]1,e 2.718e =???0x ()()00f x g x （3）在（2）的条件下, 证明:()221f x x <-. 4、（惠州市2015届高三）已知函数()(0)t f x x x x =+>，过点(1,0)P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ． （1）当2t =时，求函数()f x 的单调递增区间； （2）设()g t MN =，求函数()g t 的表达式； （3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间642,n n ?? + ???? 内，总存在1m +个数121,,,,,m m a a a a +使 得不等式121()()()()m m g a g a g a g a ++++<成立， 求m 的最大值． 5、（江门市2015届高三）已知函数32()1f x x ax =+-恒谦网（R a ∈是常数）． ⑴设3-=a ，1x x =、2x x =是函数)(x f y =的极值点，试证明曲线)(x f y =关于点 ) )2 ( , 2 (2 121x x f x x M ++对称； ⑵是否存在常数a ，使得] 5 , 1 [-∈?x ，33|)(|≤x f 恒成立？若存在，求常数a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由． （注：曲线)(x f y =关于点M 对称是指，对于曲线)(x f y =上任意一点P ，若点P 关于M 的对称点为Q ，则Q 在曲线 )(x f y =上．） 6、（揭阳市2015届高三）若实数、、满足||||-≤-x m y m ，则称比更接近. （1）若2 3-x 比1更接近0，求的取值范围； （2）对任意两个正数、，试判断2()2+a b 与22 2 +a b 哪一个更接近ab ？并说明理由； （3）当2≥a 且1≥x 时，证明：e x 比+x a 更接近ln x . 7、（清远市2015届高三）设函数()ln(1),()ln(1)1x f x a x g x x bx x = -+=+-+. (1)若函数()f x 在0x =处有极值，求函数()f x 的最大值； x y m x y m x a b （2）①若b 是正实数，求使得关于x 的不等式()0g x <在()0,+∞上恒成立的b 取值范围； ②证明：不等式.)*(2 1 ln 1 1 2N n n k k n k ∈≤ -+∑= 8、（汕头市2015届高三）已知函数， （1）求函数的定义域（用区间表示）， （2）当时，求函数的单调递增区间。 9、（汕尾市2015届高三）已知函数2()()x f x x bx b e =++的极值点为2 3 x =- 和1x = （1）当1b =时，求函数()f x 的增区间 （2）当02b <≤时，求函数()f x 在[2,]b b -上的最大值。 10、（韶关市2015届高三）已知函数()ln f x x a x =-，1 ()g x x =- ，a R ∈； （1）设()()()h x f x g x =+，若()h x 在定义域内存在极值，求a 的取值范围； （2）设'()f x 是()f x 的导函数，若120x x <<，0a ≠，2121 ()() ()f x f x f t x x -'= - 12()x t x <<，求证：12 2 x x t +< . 11、（深圳市2015届高三）已知定义在]2,2[-上的奇函数)(x f 满足：当]2,0(∈x 时，)2()(-=x x x f ． （1）求)(x f 的解析式和值域； （2）设a ax x x g 2)2ln()(--+=，其中常数0>a ． ①试指出函数))(()(x f g x F =的零点个数； ②若当1 1k +是函数))(()(x f g x F =的一个零点时，相应的常数a 记为k a ，其中1,2,,k n =． 证明：1276 n a a a +++<（* N ∈n ）． 12、（珠海市2015届高三）已知函数2 1()ln (1)2 f x a x x a x =+-+． (1) 求函数()f x 的单调区间； R k k x x k x x x f ∈-+++++=]2)()[(log )(2222)(x f D 2- (2) 证明：m n N +∈、时，111 1 ()[]ln()ln(1)ln(2) ln(1) m m n n m n m n m n m ++++ + >++-+-+． 参考答案 一、填空题 1、 2、y x =- 3、 2 4、6160x y --= 二、解答题 1、解：（1） 的定义域为 ． …………………1分 当时，， ． ………………2分 由，解得. 当时，，单调递减； 当时， ， 单调递增； 所以当 时，函数 取得极小值，极小值为 ；……..4分 （2），其定义域为． 又．…………..5分 ①当，即 时，在上， 所以，函数在 上单调递增.…………6分 ②当，即 时，在 上 ， 在上， 所以 在上单调递减，在 上单调递增；……………..……7分 综上所述：当时，的递减区间为；递增区间为 ． 当 时， 只有递增区间为 ．…………………………….8分 （3）若在 上存在一点 ，使得成立，即在上存在一点， 使得 ． 则函数在上的最小值小于零．…………………9分 ①当，即时，由（2）可知在上单调递减． 故在上的最小值为，由，可得． 因为．所以； …………………………………10分 ②当，即时，由（2）可知在上单调递增． 故在 上最小值为 ，由 ， 可得（满足）；……………………………………………………..…11分 ③当 ，即 时，由（2）可知可得在 上最小值为 ． 因为，所以， ． ，即 不满足题意，舍去．…..…………13分 综上所述得，或． 实数的取值范围为．……………………….……14分 2、【解析】(Ⅰ)当1a =-时,函数()f x 的定义域是()()1,00,-+∞,………………1分 对()f x 求导得()() 2ln 11x x x f x x -++'=,………………………………………………2分 令()()ln 11x g x x x = -++,只需证:0x >时,()0g x ≤. 又()()() 22 110111x g x x x x '=-=-<+++,………………………………3分 故()g x 是()0,+∞上的减函数,所以()()0ln10g x g <=-=…………………………5分 所以()0f x '<,函数()f x 是()0,+∞上的减函数. ………………………………………6分 (Ⅱ)由题意知,()1 1x f x ='=,…………………………………………7分 即 ()1ln 111a a --=-,()ln 101a a a --=-…………………………………8分 令()()ln 1,11a t a a a a =--<-,则()()2 11011t a a a '=+>--,……………………9分 故()t a 是(),1-∞上的增函数,又()00t =,因此0是()t a 的唯一零点, 即方程 ()ln 101a a a --=-有唯一实根0,所以0a =,…………………………………10分 [说明]利用两函数1x y x =-与()ln 1y x =-图象求出0a =(必须画出大致图象),同样给至10分. (Ⅲ)因为()ln e 11ln e e 1e 1e 1x x x x x x -+==---,故原不等式等价于()() ln e 11ln 1e 1 x x x x -++>-,………11分 由(Ⅰ)知,当1a =-时,()() ln 1x f x x +=是()0,+∞上的减函数,………………………12分 故要证原不等式成立,只需证明:当0x >时,e 1x x <-, 令()e 1x h x x =--,则()e 10x h x '=->,()h x 是()0,+∞上的增函数,……………13分 所以()()00h x h >=,即e 1x x <-,故()() 1e x f x f >-, 即()()ln e 11ln 1e 1e 1 x x x x x x -++>= --…………………………………………………………14分 3、 (1)解: 函数()2ln a f x x x x =- -的定义域为()0,+∞, ()222 221a x x a f x x x x -+'=+-=, ………………………………………………1分 令()0f x '=, 得2 20x x a -+=, 其判别式44a ?=-, ① 当0?≤,即1a ≥时, 2 20x x a -+≥,()0f x '≥, 此时,()f x 在()0,+∞上单调递增; ………………………2分 ② 当0?>, 即1a <时, 方程2 20x x a -+= 的两根为11x = 211x =>, ………………………3分 若0a ≤, 则10x ≤, 则()20,x x ∈时, ()0f x '<, ()2,x x ∈+∞时, ()0f x '>, 此时, ()f x 在()20,x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增; ………………………4分 若0a >,则10x >, 则()10,x x ∈时, ()0f x '>,()12,x x x ∈时, ()0f x '<, ()2,x x ∈+∞时, ()0f x '>, 此时, ()f x 在()10,x 上单调递增, 在()12,x x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增. ……5分 综上所述, 当0a ≤时, 函数()f x 在()20,x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增; 当01a <<时, 函数()f x 在()10,x 上单调递增, 在()12,x x 上单调递减, 在 ()2,x +∞上单调递增; 当1a ≥时, 函数()f x 在()0,+∞上单调递增. ………………………6分 (2) 解:由(1)可知, 函数()f x 有两个极值点1x ,2x ,等价于方程2 20x x a -+=在()0,+∞有 两不等实根, 故01a <<. ………………………7分 (3) 证明: 由(1), (2)得01a << , 21x =且212x <<, 2 222a x x =-+. ………8分 ()2 22 22222222 212ln 12ln 1x x f x x x x x x x x -+-+=---+=--, …………………9分 令()2ln 1g t t t =--, 12t <<, 则()221t g t t t -'=- =, ………………………………………………10分 由于12t <<, 则()0g t '<, 故()g t 在()1,2上单调递减. ………………………11分 故()()112ln110g t g <=--=. ………………………………………………12分 ∴()()22210f x x g x -+=<. ………………………………………………13分 ∴()221f x x <-. ………………………………………………14分 4、【解】（1）当2t =时，2(),f x x x =+222 22 ()10x f x x x -'=-=> --------1分 解得(,(2,)x ∈-∞+∞.------------------------------------------2分 因为0x > 所以函数 ()f x 有单调递增区间为) +∞--------------3分 （2）设M ，N 两点的横坐标分别为1x 、2x ， 2 ()1t f x x '=- 所以切线PM 的方程为：11211 ()(1)().t t y x x x x x -+ =-----------------4分 所以切线PM 过点(1,0)P ，所以有112110()(1)(1).t t x x x x -+=-- 即2 1120.x tx t +-=……① 同理，由切线PN 过点(1,0)P ，，得2 2220.x tx t +-=…… ②---------------5分 由（1）、（2），可得2 12,20x x x tx t +-=是方程的两根， 1212 2.x x t x x t +=-?∴??=-?…… ③ -------------------------------------------------------------7分 ||MN == =分 把③式代入，得||MN = 因此，函数()g t 的表达式为()g t =----------------9分 （3）易知()g t 在区间642,n n ?? + ???? 上为增函数， (2)()(1,2,,1).i g g a i m ∴≤=+则12(2)()()().m m g g a g a g a ?≤+++ 121()()()()m m g a g a g a g a +++ + 所以不等式64 (2)()m g g n n ?<+ n ?恒成立， 即m < n ?恒成立，--------------------------------12分 6416,n n + ≥= m ∴< m 为正整数，6m ∴≤. --------------------------------------13 分 又当6m =，存在1212,16,m m a a a a +== ===任意的正整数n 满足条件 因此，m 的最大值为6. --------------------------------------------------------14分 5、证明与求解：⑴13)(23--=x x x f ，x x x f 63)(2/-=……1分 解0)(/=x f 得01=x ，22=x ……2分， ) )2 ( , 2 (2121x x f x x M ++即) 3 , 1(-M ……3分 曲线)(x f y =上任意一点)13 , (20300--x x x P 关于M 对称的点为) 53 , 2(20300-+--x x x Q ……4分 直接计算知，531)2(3)2()2(203020300-+-=----=-x x x x x f ，点Q 在曲线)(x f y =上，所以，曲线)(x f y =关于点M 对称……5分 ⑵（方法一）33|)(|≤x f 即33|1|23≤-+ax x ，3313323≤-+≤-ax x ……6分 0=x 时，不等式恒成立……7分； 0≠x 时，不等式等价于2 3 233432x x a x x -≤≤+-……8分 作22313232)(x x x x x g --=+-=，2 232 3434)(x x x x x g +-=-=，3/1641)(x x g +-=，3/ 2681)(x x g --=……9分，解0)(/1=x g 、0)(/2=x g 得41=x 、3268-=x ……10分 x )0 , 1 [- )4 , 0( 4 ] 5 , 4( )(/ 1x g － ＋ 0 － )(1x g ↘ ↗ 极大值 ↘ )(/ 2x g ＋ － － － )(2x g ↗ ↘ ↘ ……12分 31)1(1-=-g ，6)4(1-=g ，2 3 132)(x x x g +- =在]5 , 0()0 , 1[ -的最大值为6-；35)(2=-g ，2591)5(2-=g ，2 3234)(x x x g -=在]5 , 0()0 , 1[ -的最小值为2591 -……13分 综上所述，a 的取值范围为]25 91 , 6[- -……14分 （方法二）ax x x f 23)(2/+=，0=a 时，1)(3-=x x f 不符合题意，∴0≠a ，解0)(/=x f 得01=x ， 3 22a x - =……6分 当]5 , 1[3 22-?-=a x 时，)(x f 在]5 , 1[-内的极值点为1x ……7分，33|)(|≤x f 当且仅当 ???? ???? ?≤≤-≤-<->-33|)5(|33|)1(|33 |)0(|132532f f f a a 或……8分，即???????≤+≤->-<33|12425|33|2|23215a a a a 或……9分，解集为空集φ……10分 当]5 , 1[3 22-∈- =a x )(x f 在]5 , 1[-内的极值点为1x 、2x ……11分，33|)(|≤x f 当且仅当?????? ???????≤≤-≤-≤≤-≤-33 |)5(|33|)1(|33|)32(|33 |)0(|5321f f a f f a ……12分，即??? ????? ?≤+≤-≤-≤≤-33 |12425|33|2|33 |1274|232153a a a a ……13分，解集为]2591 , 6[--，∵]2591 , 6[]2591 , 6[--=--φ ，∴a 的取值范围为]25 91 , 6[- -……14分 6、解：（1）依题意可得2 |3|1x -≤ ------------------------------------------------1分 2131x ?-≤- ≤2x ?-≤≤ 2≤≤x ∴ 的取值范围为[2,-?---------------------------------------------3分 （2）解法一：∵222|()|||22a b a b ab ab ++---2 2 ()()||||42a b a b --=----------------5分 22()()42a b a b --=-2 ()0,4a b -=-≤---------------------------------------------6分 即22 2|()|||,22 ++-≤-a b a b ab ab ∴2()2+a b 比22 2 +a b 更接近ab ；--------------------------------------------------7分 【解法二：∵对任意两个正数a 、b ，有2 (),2+≥a b ab 222+≥a b ab ，------------------4分 ∴22222 22()|()|||()0,22224 ++++----=-=-≤a b a b a b a b a b ab ab x 即22 2|()|||,22++-≤-a b a b ab ab ------------------------------------------------6分 ∴2()2+a b 比222 +a b 更接近ab ；-------------------------------------------------7分】 （3）令()ln ,()ln ,= -=+-e p x x q x x a x x 则()p x 在区间[1,)+∞上单调递减，且()0,=p e 由11()1,-'=- =x q x x x 得当1x ≥时，()0,q x '≥ ∴()q x 在[1,)+∞上单调递增，且当1x ≥时，有()(1)0.q x q ≥=-----------------------8分 ①当1≤≤x e 时，∵()p x ≥0，2a ≥， ∴|()||()|ln (ln )120.e e p x q x x x a x x a e x x -=--+-=--≤--< ∴ e x 比+x a 更接近ln x .--------------------------------------------------------10分 ②当>x e 时， 解法一：∵()p x <0，()0.q x >, ∴|()||()|ln (ln )2ln 2ln 2.-=- -+-=---<--e e p x q x x x a x x x a x x x x ----------12分 令()2ln 2,=--f x x x 则22()1.-'=-= x f x x x 当>x e 时，()0.' x x a x x ∴ e x 比+x a 更接近ln x .--------------------------------------------------------14分 【解法二：当>x e 时，∵()p x <0，()0.q x > ∴|()||()|ln (ln )2ln .-=- -+-=---e e p x q x x x a x x x a x x -----------------------11分 令()2ln =---e f x x x a x ，则222 22()1.--'=-+=-e x x e f x x x x 令'()0f x =，解得1211x x == ∵>x e ∴21x =-------------------------------------------12分 ∵2(1)1,e e -<+ ∴1e -< ∴1x e > ∵当1e x x <<时，()0.'>f x 当1x x >时，()0.' ∴()f x 在区间1(,)e x 单调递增，在1(,)x +∞单调递减，又13e x << ∴当>x e 时，1111 ()()2ln 2ln 320.e f x f x x x a e x ≤=---<--<------------------13分 综上可知，当1≥x 时，|ln ||ln |0.--+-≤e x x a x x 即|ln ||ln |.-≤+-e x x a x x ∴ e x 比+x a 更接近ln x .-------------------------------------------------------14分】 7、解：（1）由已知得：() 2 1 ()11a f x x x '= - ++， ………1分 又∵函数()f x 在0x =处有极值 ∴() 2 1 (0)010 10a f '= - =++，即1a = ……2分 ∴()ln(1),1x f x x x = -++ ()() 22 11()111x f x x x x -'=-=+++ ………3分 ∴,当()1,0x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；………4分（或者列表） ∴函数()f x 的最大值为(0)0f =………5分 （2）①由已知得：1 ()1g x b x '= -+………6分 (i)若1b ≥，则[)0,x ∈+∞时，1 ()01g x b x '= -≤+ ∴()ln(1)g x x bx =+-在[)0,+∞上为减函数， ∴()ln(1)(0)0g x x bx g =+-<=在()0,+∞上恒成立； ………7分 (ii)若0b ≤，则[)0,x ∈+∞时，1 ()01g x b x '= ->+ ∴()ln(1)g x x bx =+-在[)0,+∞上为增函数， ∴()ln(1)(0)0g x x bx g =+->=，不能使()0g x <在()0,+∞上恒成立；…8分 (iii)若01b <<，则1()01g x b x '= -=+时，11x b =-， 当10,1x b ?? ∈-???? 时，()0g x '≥，∴()ln(1)g x x bx =+-在10,1b ?? -???? 上为增函数， 此时()ln(1)(0)0g x x bx g =+->=，∴不能使()0g x <在()0,+∞上恒成立；9分 综上所述，b 的取值范围是[)+∞,1. ………10分 ②由以上得：ln(1)(0)1x x x x x <+<>+, ………11分 取1 x n =得： 111ln(1)1n n n <+<+ ………12分 令2 1ln 1 n n k k x n k == -+∑， ………13分 则112x = ，()1222 111ln 101111n n n n x x n n n n n n -? ?-=-+<-=-< ?+-++??. 因此111 2 n n x x x -< )*(21 ln 1 1 2N n n k k n k ∈≤-+∑= ………14分 8、解：（Ⅰ）由题意可知： 令，则原不等式可以化为：，解得：或 即原不等式可以化为不等式① 或 不等式②……1分 对于不等式①、②分别有:与 现做如下分类讨论： （1） 当时，，，此时不等式①、②对应的方程分别有不等根： 与； 与；不难证明： 所以不等式①的解集为 …………2分 R k k x x k x x ∈>-+++++0 2)()(222k x x t ++=2022 >-+t t 2- >-++k x x 741--=?k 542+-=?k 4 7 - k x 2 7 412--+-=k x 25413+---= k x 2 5 414+-+-=k x 4213x x x x <<<(, 2 741----∈k x )27 41--+-k 所以不等式②的解集为…..3分 所以当时，函数的定义域 ………….4分 （2）当时，，，结合（1）可知：不等式①的解集为分 …………..5分 不等式②的解集为 所以当时，函数的定义域 …………..6分 （3）当时，，，结合（1）可知： 不等式①的解集为；不等式②的解集为 所以当时，函数的定义域 …………..7分 综上所述： （1）当时，函数的定义域 （2）当时，函数的定义域 （3）当时，函数的定义域 …………..8分 ()2 5 41, +---∞-∈k x ( )∞++-+-,2 5 41k 47 - 541,+---∞-k ( , 2 741----k )2741--+-k ( )∞++-+-,2 5 41k 4 5 47≤≤- k 01≤?02≥?Φ∈x ()2 5 41, +---∞-∈k x ( )∞++-+-,2 5 41k 4 5 47≤≤- k )(x f D =()2 541,+---∞-k ( )∞++-+-,2 5 41k 4 5 > k 01 5 > k )(x f D =R 4 7 - 541,+---∞-k (,2 741----k )2 741--+-k ( )∞++-+-,2 5 41k 4 5 47≤≤- k )(x f D =()2 541,+---∞-k ( )∞++-+-,2 5 41k 4 5 > k )(x f D =R （Ⅱ）由（Ⅰ）知道：当时，函数的定义域 ………….9分 令（）, 则函数，显然函数在对应的定义域区间为单调递增函数，要求的单调递增区间，我们只需要求出函数在上的单调递增区间。…………10分 现在求解如下：当时， 由可得： 不等式组 或不等式组………….11分 对于方程有：，当时，显然有， 此时方程有两个不相等的实数根： 或；显然， 所以不等式组（1）的解集为 不等式组（2）的解集为 ………….12分 结合（Ⅰ），不难得到：，又因为 所以在上有 2- 5 41,+---∞-k ( , 2 741----k )27 41--+-k ( )∞++-+-,2 5 41k =)(x u 0 2)()(2 2 2 >-+++++k x x k x x 2- /++++=x k x x x u )2 1 )(21(42++ ++=x k x x 0>???????<+++<+021021)1(2k x x x ??? ???? >+++>+0 2102 1)2(2k x x x 02 1 2 =+ ++k x x 143--=?k 2- 1 2 =+ ++k x x 21415----= k x 2 1 416--+-=k x 6521x x <-<( ∈x 2 141----k )21 ,-( ∈x 2 1 41--+-k ),+∞4621532 1 x x x x x x <<<- << 541,+---∞-k (,2 741----k )2 741--+-k ( )∞++-+-,2 5 41k D 不等式组（1）的解集为 不等式组（2）的解集为 ………….13分 所以函数的单调递增区间为与 ………….14 9 、 ( ∈x 2 7 41----k )21,-( ∈x 2 5 41+-+-k ),+∞)(x f ( 2 7 41----k )21,-(2541+-+-k ), +∞ 10、 11、解：（1） ()f x 为奇函数，(0)0f ∴=． 当时，，则()()()(2)(2)f x f x x x x x =--=----=-+， ∴ ………………………………………2分 [0,2]x ∈时，，，， ()f x ∴的值域为． …………………………………………………3分 （2）①函数()f x 的图象如图a 所示，当0t =时，方程 有三个实根；当1t =或1t =-时，方程只有一个实 根；当(0,1)t ∈或(1,0)t ∈-时，方程有两个实根． （法一）：由()0g x =，解得ln(2) 2 x a x +=+， ()f x 的值域为，∴只需研究函数ln(2) 2 x y x += +在上的图象特征． 设ln(2) ()([1,1])2x h x x x +=∈-+，(1)0h -=，2 1ln(2)()(2)x h x x -+'=+， 令()0h x '=，得e 2(0,1)x =-∈，1 (e 2)h -=． [)2,0x ∈-(]0,2x -∈[][)(2)0,2, ()(2)2,0, x x x f x x x x ?-∈?=? -+∈-??[]()1,0f x ∈-[)2,0x ∈-[]()0,1f x ∈[]1,1-()f x t =()f x t =()f x t =[]1,1-[]1,1- 又 32ln 2ln3<，即 ln 2ln 323<，由ln 2(0)2h =，ln 3 (1)3 h =，得(0)(1)h h <， ()h x ∴的大致图象如图b 所示． 根据图象b 可知，当ln 2ln 2ln 31 0223a a a e <<<<=、、时， 直线y a =与函数()y h x =的图像仅有一个交点，则函数()g x 在[1,1]-上仅有一个零点，记零点为t ，则t 分别在区间(1,0)-、 (0,1)、(0,1)上，根据图像a ，方程()f x t =有两个交点，因此 函数()(())F x g f x =有两个零点． …………………………………………5分 类似地，当ln 2 2 a =时，函数()g x 在[1,1]-上仅有零点0，因此函数()F x 有1-、0、1这三个零 点． ………………………………………………………………6分 当时，函数()g x 在[1,1]-上有两个零点，一个零点是1，另一个零点在(0,1)内，因此函数()F x 有三个零点． …………………………………………………………7分 当 时，函数()g x 在[1,1]-上有两个零点，且这两个零点均在(0,1)内，因此函数()F x 有四个零点． ……………………………………………………………8分 当时，函数()g x 在上没有零点，因此函数()F x 没有零点． ………9分 （法二）：1()2g x a x '= -+ ，令0()0g x '=，得01 2x a =-， 0a >，()02,x ∴∈-+∞． 当1(1, 2)x a ∈--时，，当1 (2,)x a ∈-+∞时，， ∴当0x x =时，()g x 取得极大值01 ()ln 1g x a =-． （Ⅰ）当()g x 的极大值，即时，函数在区间上无零点，因此函数 ln 3 3 a = ln 31 3e a <<1 e a > []1,1-()0g x '>()0g x '<1 ln 10-<1a >()g x []1,1- 零点． （Ⅳ）当()g x 的极大值且01 21x a =-<，即时： 由(0)ln 220g a =-=，得ln 22a =，由(1)ln330g a =-=，得ln 3 3 a =， 根据法一中的证明有1ln 2ln 31 323e <<<． （ⅰ）当1ln 2 32 a <<时，(0)ln 220g a =->， (1)ln330g a =->，函数的图像如图e 所示， 函数在区间[1,1]-有唯一零点2t ，其中2(1,0)t ∈-． 由图a 可知方程2()f x t =有两不等的实根，因此 函数有两个零点． （ⅱ）当ln 22 a =时，(0)ln 220g a =-=， (1)ln330g a =->，函数的图像如图f 所示， 函数在区间[1,1]-有唯一零点0． 由图a 可知方程()0f x =有三个不等的实根，因此函数 （ⅲ）当ln 2ln 3 23 a <<时，(0)ln 220g a =-<，(1)ln330g a =->，函数图像如图g 所示，函数在区间[1,1]-有唯一零点3t ，其中3(0,1)t ∈． 由图a 可知方程3()f x t =有两个不等的实根，因此函数 有两个零点． （ⅳ）当ln 3 3 a =时，(0)0g <，(1)ln330g a =-=， 函数的图像如图h 所示，函数在区间[1,1]-有 两个零点，分别是1和4t ，其中4(0,1)t ∈． 由图a 可知方程()1f x =有一个实根1-，方程4()f x t = 有两个非1-的不等实根，因此函数有三个零点． （ⅴ）当时，(0)0g <，(1)ln330g a =-<， 函数的图像如图i 所示，函数在区间[1,1]-有两个 零点5t 、6t ，其中56,(0,1)t t ∈． 由图a 可知方程5()f x t =、6()f x t =都有两个不等的实根， 且这四个根互不相等，因此函数有四个零点． 综上可得： 当ln 2ln 2ln 31 0223a a a e <<<<=、、时，函数()F x 有两个零点；………………当ln 2 2 a =、时，函数()F x 有三个零点； ……………………………… 当时，函数()F x 有四个零点； ……………………………………1ln 10a ->113e a <<()g x ()g x ()(())F x g f x =()g x ()g x ()(())F x g f x =(g x ()g x ()(())F x g f x =()g x ()g x ()(())F x g f x =ln 313e a <<()g x ()g x ()(())F x g f x =ln 33a =ln 313e a << 2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数 2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一． 选择题： 1.（全国一1 ）函数y =的定义域为（ C ） A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥ D ．{}|01x x ≤≤ 2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ） 3.（全国一6）若函数(1)y f x =- 的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ B ） A ．21x e - B ．2x e C ．21x e + D ．22x e + 4.（全国一7）设曲线11x y x += -在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 5.（全国一9）设奇函数()f x 在(0)+∞， 上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ D ） A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-， ， C ．(1)(1)-∞-+∞， ， D ．(10)(01)-，， 6.（全国二3）函数1()f x x x = -的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 A B C D C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称 8.（全国二4）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，， ，，，则（ C ） A ．a > B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 10.（北京卷3）“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ B ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11.（四川卷10）设()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f = （Ｄ）()'00f = 12.（四川卷11）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213 13.（天津卷3）函数1y =04x ≤≤）的反函数是A （A ）2(1)y x =-（13x ≤≤） （B ）2(1)y x =-（04x ≤≤） （C ）21y x =-（13x ≤≤） （D ）21y x =-（04x ≤≤） 14.（天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为B （A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3} 15.（安徽卷7）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-， 2011-2017新课标(文科)导数压轴题分类汇编 【2011新课标】21. 已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 （1）求a 、b 的值； （2）证明：当0x >，且1x ≠时， f (x )> ln x x -1 【解析】 （1）22 1 ( ln ) '()(1)x x b x f x x x α+-= -+ 由于直线230x y +-=的斜率为1 2 - ，且过点(1,1)， 故(1)1,1'(1),2f f =???=-?? 即1,1,22 b a b =???-=-?? 解得1a =，1b =。 （2）由（1）知f (x )=x x x 1 1ln ++，所以f (x )-ln x x -1=11-x 2 (2ln x -x 2-1x )， 考虑函数，则2 2 222)1()1(22)(x x x x x x x h -- =---='， 所以x ≠1时h ′(x )＜0，而h (1)=0 故)1,0(∈x 时，h (x )>0可得，),1(+∞∈x 时，h (x )<0可得， 从而当，且时，. 【2012新课标】21. 设函数f (x ) = e x -ax -2 （1）求f (x )的单调区间 （2）若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x -k ) f ′(x )+x +1>0，求k 的最大值 【解析】 （1） f (x )的定义域为(,)-∞+∞，()x f x e a '=-， 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增. 若0a >，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(l n ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增. （2）由于1a =，所以()()1()(1)1x x k f x x x k e x '-++=--++. 故当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1(0) (1) x x k x x e +<+>-①. 令1()(1) x x g x x e +=+-，则221(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+= --. 由（1）知，函数()2x h x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >， ln ()1x f x x > -ln ()1x f x x >-0x >1x ≠ln ()1 x f x x >- 2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题,20创新题 精心校对版 △注意事项： 1.本系列试题包含2017年-2018年北京高考一模和二模真题的分类汇编。 2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。 3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本 4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科 一 、解答题（本大题共22小题，共0分） 1.（2017北京东城区高三一模数学(文)）设函数ax x x x f +-=232131)(，R a ∈． (Ⅰ)若2=x 是)(x f 的极值点，求a 的值，并讨论)(x f 的单调性； (Ⅱ)已知函数3221)()(2+-=ax x f x g ，若)(x g 在区间)1,0(内有零点，求a 的取值范围； (Ⅲ)设)(x f 有两个极值点1x ，2x ，试讨论过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线能否过点)1,1(，若能，求a 的值；若不能，说明理由． 2.（2017北京丰台区高三一模数学(文)） 已知函数1()e x x f x +=，A 1()x m ,，B 2()x m ,是曲线()y f x =上两个不同的点. （Ⅰ）求()f x 的单调区间，并写出实数m 的取值范围； （Ⅱ）证明：120x x +>. 3.（2017北京丰台区高三二模数学(文)） 已知函数ln ()x f x ax =(0)a >. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程； 姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封------------ --线------ --------内------ ------- -请------- -------不-------------- 要--------------答--------------题-------------------------● 2012年高考真题理科数学解析汇编：导数与积分 一、选择题 1 ．（2012年高考（新课标理））已知函数1 ()ln(1)f x x x = +-;则()y f x =的图像大致为 2 ．（2012年高考（浙江理））设a >0,b >0. （ ） A ．若2223a b a b +=+,则a >b B ．若2223a b a b +=+,则a b D ．若2223a b a b -=-,则a 5 ．（2012年高考（山东理））设0a >且1a ≠,则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”,是 “函数3 ()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6 ．（2012年高考（湖北理））已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴 所围图形的面积为 （ ） A ． 2π 5 B ． 43 C ． 32 D ． π2 7 ．（2012年高考（福建理））如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点 P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ） A ． 14 B ． 15 C ． 16 D ． 17 8 ．（2012年高考（大纲理））已知函数3 3y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个 公共点,则c = （ ） A ．2-或2 B ．9-或3 C ．1-或1 D ．3-或1 二、填空题 9 ．（2012年高考（上海理））已知函数 )(x f y =的图像是折线段ABC ,若中 A (0,0), B (21,5), C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ . 10．（2012年高考（山东理））设0a >.若曲线y x = 与直线,0x a y ==所围成封闭图形 的面积为2 a ,则a =______. 11．（2012年高考（江西理））计算定积分 1 21 (sin )x x dx -+=? ___________. 12．（2012年高考（广东理））曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为 ___________________. 三、解答题 13．（2012年高考（天津理））已知函数 ()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a . (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2 ()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值; 1-y x O 第3题图 1 1 导数及其应用 1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+= 【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-' 则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=． 故选C ． 2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -=，1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ． 3．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0 【答案】C 【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点； 当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2﹣b ， 2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共10小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知函数2()sin cos f x x x x x （1）若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切，求a 与b 的值。（2）若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知函数2()1(0)f x ax a ，3()g x x bx ．（Ⅰ）若曲线()y f x 与曲线()y g x 在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（Ⅱ）当3a ，9b 时，若函数()()f x g x 在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围．3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知函数()()x f x x k e . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值. 4.（2009年北京高考真题数学(文)）姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------● 2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一． 选择题： 1.（全国一1 ）函数y = C ） A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥ D ．{}|01x x ≤≤ 2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ） 3.（全国一6）若函数(1)y f x =- 的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ B ） A ．21x e - B ．2x e C ．21x e + D ．22x e + 4.（全国一7）设曲线11x y x += -在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 5.（全国一9）设奇函数()f x 在(0)+∞， 上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ D ） A ．(10)(1)-+∞ ，， B ．(1)(01)-∞- ， ， C ．(1)(1)-∞-+∞ ，， D ．(10)(01)- ， ， 6.（全国二3）函数1()f x x x = -的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 A ． B ． C ． D ． C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称 8.（全国二4）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ C ） A ．a > B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 10.（北京卷3）“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ B ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11.（四川卷10）设()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f = （Ｄ）()'00f = 12.（四川卷11）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213 13.（天津卷3）函数1y =04x ≤≤）的反函数是A （A ）2(1)y x =-（13x ≤≤） （B ）2(1)y x =-（04x ≤≤） （C ）21y x =-（13x ≤≤） （D ）21y x =-（04x ≤≤） 14.（天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时 a 的取值集合为B （A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3} 15.（安徽卷7）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-， 2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围． 5．设函数f（x）=（1﹣x2）e x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x （x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 8．已知函数f（x）=e x cosx﹣x． （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值． 9．设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数． （Ⅰ）求g（x）的单调区间； （Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且 ∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥． 10．已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R， （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x） =e x f（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0； （ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围． 导数大题分类 一、含参数单调区间的求解步骤： ① 确定定义域（易错点） ②求导函数 f ' (x) ③对 f ' ( x) 进行整理，能十字交叉的十字交叉分解，若含分式项，则进行通分整理 . ④ f ' ( x) 中 x 的最高次系数是否为 0，为 0 时求出单调区间 . 例 1： f ( x) a x 3 a 1 x 2 x ，则 f ' ( x) (ax 1)( x 1) 要首先讨论 a 0 情况 3 2 ⑤ f ' ( ) 最高次系数不为 0，讨论参数取某范围的值时， 若 f ' (x) 0 ，则 f ( x) 在定义域内单调递增； x 若 f ' (x) 0 ，则 f ( x) 在定义域内单调递减 . 例 2： f (x) a x 2 ln x ，则 f ' ( x) = ax 2 1 , ( x 0) ，显然 a 0时 f ' ( x) 0 ，此时 f (x) 的 2 x 单调区间为 (0, ) . ⑥ f ' ( ) 最高次系数不为 0，且参数取某范围的值时，不会出现 f ' (x) 0 或者 f ' ( x) 0 的情况 x 求出 f ' ( x) =0 的根，（一般为两个） x 1 , x 2 ，判断两个根是否都在定义域内 . 如果只有一根在定义域 内，那么单调区间只有两段 . 若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数 . 则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间， 即 x 1 x 2 , x 1 x 2 , x 1 x 2 . 例 3: 若 f ( x) a x 2 (a 1)x ln x, (a 0) ，则 f ' ( x) ( ax 1)( x 1) ， (x 0) 解方程 f ' ( x) 2 1 x 0 得 x 1 1, x 2 a a 0时，只有 x 1 1 在定义域内 . a 0 时 , 比较两根要分三种情况： a 1,0 a 1, a 1 用所得的根将定义域分成几个不同的子区间，讨论 f ' ( x) 在每个子区间内的正负，求得 f (x) 的单调区间。 导数大题 1 ．已知函数()b ax x x f ++=2 3的图象在点P (1,0)处的切线与直线03=+y x 平行? (1)求常数a 、b 的值; (2)求函数()x f 在区间[]t ,0上的最小值和最大值(0>t )? 2 ．已知函数R a ax x x f ∈+-=,)( 3 (1)若)(x f 在),1[+∞上为单调减函数,求实数a 取值范围; (2)若,12=a 求)(x f 在[-3,0]上的最大值和最小值? 3 ．设函数x e x x f 22 1)(=. (1)求函数)(x f 的单调区间; (2)若当]2,2[-∈x 时,不等式m x f <)(恒成立,求实数m 的取值范围. 4 ．已知函数.),2,1()(3)(3 l P P x f y x x x f 作直线过点上一点及-=-= (1)求使直线)(x f y l =和相切且以P 为切点的直线方程; (2)求使直线)(x f y l =和相切且切点异于P 的直线方程)(x g y =? ()I 求()f x 的单调区间; ()II 若()f x 在1x =-处取得极大值,直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点,求m 的取值范围? 7 ．已知函数2 ()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为22ln 23++-=x y . (Ⅰ)求b a ,的值; (Ⅱ)若方程()f x m +=m 的取值范围(其中e 为自然对数的底数); 8 ．已知函数21 2 ()()ln f x a x x =-+.(R a ∈) (1)当a =1时,求()f x 在区间[1,e ]上的最大值和最小值; (2)若在区间(1,+∞)上,函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方,求a 的取值范围。 10．已知函数2 ()sin 2(),()()2f x x b x b R F x f x =+-∈=+,且对于任意实数x ,恒有(5)(5)F x F x -=-? ⑴求函数)(x f 的解析式; ⑵已知函数()()2(1)ln g x f x x a x =+++在区间(0,1)上单调,求实数a 的取值范围; ⑶讨论函数21()ln(1)()2 h x x f x k =+- -零点的个数? 导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：分离变量法： ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三：变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围. 2019年高考数学理科数学 导数及其应用 1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -=，1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ． 2．【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1, ()ln , 1.x ax a x f x x a x x ?-+≤=?->?若关于x 的不等式()0 f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[] 0,1 B ．[] 0,2 C ．[]0,e D ．[] 1,e 【答案】C 【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立； 当1x <时，2 2 ()22021 x f x x ax a a x =-+≥?≥-恒成立， 令2 ()1 x g x x =-， 则222(11)(1)2(1)1 ()111x x x x g x x x x -----+=-=-=- --- 11122(1)2011x x x x ???? =--+-≤--?= ? ? ?--???? ， 当1 11x x -= -，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >. 当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln x a x ≤恒成立， 令()ln x h x x = ，则2ln 1()(ln )x h x x -'=， 当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =， ∴min ()e a h x ≤=， 综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C. 3．（2019浙江）已知,a b ∈R ，函数32 ,0 ()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0 【答案】C 【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点； 当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2﹣b ， 2(1)y x a x =+-'， 当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意； 当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点. 根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点?函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图： 2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． ） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围． 导数 一．基础题组 1. 【2010新课标，理3】曲线y ＝ 在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2 【答案】A 2. 【2008全国1，理6】若函数的图像与函数的图像关于直线 对称，则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B. 【解析】由. 3. 【2012全国，理21】已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1 －f (0)x ＋ x 2 ． (1)求f (x )的解析式及单调区间； (2)若f (x )≥ x 2 ＋ax ＋b ，求(a ＋1)b 的最大值． 【解析】(1)由已知得f ′(x )＝f ′(1)e x －1 －f (0)＋x . 所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′(1)e －1 ，所以f ′(1)＝e. 从而f (x )＝e x －x ＋ x 2 . 2 x + x (1)y f x = -1y =y x =()f x =21 x e -2x e 21 x e +22 x e +() ()()()212121,1,y x x y x e f x e f x e --=?=-==12 12 12 由于f ′(x )＝e x －1＋x ， 故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0. 从而，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)由已知条件得e x －(a ＋1)x ≥b .① (ⅰ)若a ＋1＜0，则对任意常数b ，当x ＜0，且时，可得e x －(a ＋1)x ＜b ，因此①式不成立． (ⅱ)若a ＋1＝0，则(a ＋1)b ＝0. 所以f (x )≥ x 2 ＋ax ＋b 等价于 b ≤a ＋1－(a ＋1)ln(a ＋1)．② 因此(a ＋1)b ≤(a ＋1)2 －(a ＋1)2 ln(a ＋1)． 设h (a )＝(a ＋1)2 －(a ＋1)2 ln(a ＋1)， 则h ′(a )＝(a ＋1)(1－2ln(a ＋1))． 所以h (a )在(－1，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减， 故h (a )在处取得最大值． 从而，即(a ＋1)b ≤. 当，时，②式成立， 11 b x a -< +12 12 e 1-12 e 1-12 =e 1a -e ()2h a ≤ e 2 1 2 =e 1a -12 e 2 b = 导数压轴 一．解答题（共20小题） 1．已知函数f（x）＝e x（1+alnx），设f'（x）为f（x）的导函数． （1）设g（x）＝e﹣x f（x）+x2﹣x在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围； （2）若a＞2时，函数f（x）的零点为x0，函f′（x）的极小值点为x1，求证：x0＞x1． 2．设． （1）求证：当x≥1时，f（x）≥0恒成立； （2）讨论关于x的方程根的个数． 3．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1（a∈R）． （1）当a＝1时，判断g（x）＝e x f（x）的单调性； （2）若函数f（x）无零点，求a的取值范围． 4．已知函数． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若存在成立，求整数a的最小值．5．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+ax（a∈R）． （Ⅰ）当a＝﹣e+1时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）当a≥﹣1时，求证：f（x）＞0． 6．已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax﹣1． （Ⅰ）若f（x）在定义域内单调递增，求实数a的范围； （Ⅱ）设函数g（x）＝xf（x）﹣e x+x3+x，若g（x）至多有一个极值点，求a的取值集合．7．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx﹣a（x﹣1）2（a∈R）． （2）若对?x∈（0，+∞），f（x）≥0，求实数a的取值范围． 8．设f′（x）是函数f（x）的导函数，我们把使f′（x）＝x的实数x叫做函数y＝f（x）的好点．已知函数f（x）＝． （Ⅰ）若0是函数f（x）的好点，求a； （Ⅱ）若函数f（x）不存在好点，求a的取值范围． 9．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+2（a为常数）． 高考数学文科导数真题汇编答案 一、客观题组 4 5. 7.设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是 8设函数f （x ）= 2 x +lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=1 2为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点 9、函数y= 12 x 2 -㏑x 的单调递减区间为 （A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞） （D ）（0，+∞） 11(2018年高考1卷) 12(2019年高考1卷) 一、 客观题答案1B ; 2.D; 3.y=x+1; 4.A . 5.y=2x-2 6D ,7C; 8D; 9B; 10.C 11.D; 12.y=3x 二、大题组 【2011新课标】21. 已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 （1）求a 、b 的值； （2）证明：当0x >，且1x ≠时， f (x )>ln x x -1 【解析】 （1）22 1 ( ln ) '()(1)x x b x f x x x α+-= - + 由于直线230x y +-=的斜率为1 2 - ，且过点(1,1)， 故(1)1,1'(1),2f f =???=-?? 即1,1,22 b a b =???-=-?? 解得1a =，1b =。 （2）由（1）知f (x )=x x x 11ln ++，所以f (x )-ln x x -1=11-x 2 (2ln x -x 2-1 x )， 考虑函数，则2 2 222)1()1(22)(x x x x x x x h --=---='， 所以x ≠1时h ′(x )＜0，而h (1)=0 故)1,0(∈x 时，h (x )>0可得，),1(+∞∈x 时，h (x )<0可得， 从而当，且时，. 【2012新课标】21. 设函数f (x ) = e x -ax -2 （1）求f (x )的单调区间 （2）若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x -k ) f ′(x )+x +1>0，求k 的最大值 【解析】 （1） f (x )的定义域为(,)-∞+∞，()x f x e a '=-， 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增. 若0a >，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增. （2）由于1a =，所以()()1()(1)1x x k f x x x k e x '-++=--++. 故当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1(0) (1) x x k x x e +<+>-①. 令1()(1) x x g x x e +=+-，则221(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+= --. 由（1）知，函数()2x h x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >， 所以()h x ，在(0,)+∞存在唯一的零，故()g x '在(0,)+∞存在唯一的零点. 设此零点为a ，则(1,2)a ∈. 当(0,)x a ∈时，()0g x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0g x '>. 所以()g x 在(0,)+∞的最小值为()g a . 又由()0g a '=，可得2a e a =+，所以()1(2,3)g a a =+∈. 由于①式等价于()k g a <，故整数k 的最大值为2 【2013新课标1】20. 已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值； ln ()1x f x x > -ln ()1x f x x >-0x >1x ≠ln ()1 x f x x >-2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数
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