第２７卷第１期２０１０年１月
计算物理
ＣＨＩＮＥＳＥＪＯＵＲＮＡＬＯＦＣＯＭＰＵＴＡＴｌ０ＮＡＬＰＨＹＳＩＣＳ
Ｖ０１．２７，Ｎｏ．１
Ｊａｎ．。２０１０
文章编号：１００１—２４６Ｘ（２０１０）Ｏｌ－００８２－０７
高阶辛算法的稳定性与数值色散性分析
黄志祥１，沙威２，吴先良１’３，陈明生３，况晓静１
（１．安徽大学计算智能与信号处理教育部重点实验室，安徽合肥２３００３９；
２．香港大学电机电子工程系，香港；３．合肥师范学院物理电子工程系，安徽合肥２３０６０１）
摘要：利用Ｍａｘｗｅｌｌ方程的哈密尔顿函数，导出对应的欧拉一哈密尔顿方程．利用辛积分技术与高阶交错差分技术，建立求解三维时域Ｍａｘｗｅｌｌ方程的高阶辛算法；结合电磁场中的物理概念，借助矩阵分析和张量分析理论，获得高阶时域方法及高阶辛算法的稳定性和数值色散性的统一处理新方法．用数值结果证实方法的正确性，与ＦＤＴＤ算法和其它时域高阶方法相比，高阶辛算法具有较大的计算优势，为电磁计算提供了新的途径．
关键词：哈密尔顿函数；辛积分技术；稳定性和数值色散性；高阶辛算法
中图分类号：ＴＮ８文献标识码：Ａ
Ｏ引言
时域有限差分…（ＦＤＴＤ）法以其简单直观的特点已成为电磁学数值计算的一种常用方法，它直接求解依赖时间的Ｍａｘｗｅｌｌ旋度方程，利用二阶精度的中心差分近似旋度方程中的时间及空间微分算符，极易处理非均匀媒质的情形．然而，它的计算精度相对较低，计算的时间步长与空间离散网格的大小必须满足Ｃｏｕｒａｎｔ．Ｆｒｉｅｄｒｉｅｈｓ．Ｌｅｖｙ（ＣＦＬ）稳定性条件，并且随着计算时间步的增加，误差将会累积．为克服ＦＤＴＤ方法的这些缺点，国内外学者进行了一系列的改进，主要分为时间离散方式和空间差分格式．时间离散方式主要有交替方向隐式时间步进法（ＡＤＩ）［２１、四阶龙格库塔法（Ｒ—Ｋ）∞１及辛积分技术Ｈ圳；空间差分格式的改进主要为高阶交错差分技术＂‘８】、四阶隐式紧差分技术”］，多分辨扩展方法ｐ’及伪谱近似方法¨叫等．本文利用辛积分技术与高阶交错差分技术，建立了求解时域Ｍａｘｗｅｌｌ方程的高阶辛时域有限差分算法，结合电磁场中的物理概念，借助矩阵分析和张量分析理论，将文［１１］中二维高阶辛算法的稳定性分析推广至三维情形，得到了常见高阶时域方法及高阶辛时域差分算法的数值稳定性和色散性的统一处理新方法，为电磁计算提供了新的理论与计算方法．
１理论
无源、均匀、无耗媒质中的Ｍａｘｗｅｌｌ方程的哈密尔顿函数可定义如下：
宣，（日，日）：了１－【—１—日．ｖ×Ｈ＋ｊ二Ｅ．ｖ×层），
厶８斗
其对应的欧拉一哈密尔顿方程为
ＯＨａｇＯＥａ毫
～＝一一．一＝——．
ＯｔＯＥ’ＯｔＯＨ’通过变分法，式（２）可以改写为
击（日）刈川㈣（２）（３）
收藕日期：２００８—０９—０４；修回日期：２００９一０２—１８
基金项目：国家自然科学基金重点项目（Ｎｏ．６０９３１００２），国家自然科学基金（Ｎｏ．６０６７１０５１），高校博士点基金（Ｎｏ．２００６０５５７００４）及安徽省教育厅重点项目（ＫＪ２００８Ａ１００＆ＫＪ２００８Ａ０３６）资助项目
作者简介：黄志祥（１９７９一），男，安徽广德，教授，博士，主要从事计算电磁学、散射与逆散射、雷达成像的研究．
第１期黄志祥等：高阶辛算法的稳定性与数值色散性分析８３
Ｕ＝一ｐ’１男３ｘ３、
ｔ０１，。，）６ｘ６９
男＝
０
ａ
０ｚ
ａ
０ｙ
ｙ：ｆＩｏ‰
＼８－１男３。３
ａ
Ｏｚ
０
ａ
ａｘ
ａ
ａｙ
ａ
ａｘ
０
（４）
（５）
其中占和ｐ是媒质的介电常数和磁导率．
式（３）从ｔ＝０到ｔ＝△。的时间演化为
（：）（△。）＝ｅｘｐ（△。（Ｕ＋矿））（：）（０），（６）其中ｅｘｐ（Ａ。（Ｕ＋ｙ））为麦克斯韦方程的时间演化矩阵．
１．１时间演化矩阵的近似
利用ｍ级Ｐ阶显式辛积分技术Ｈ’５１近似时间演化矩阵ｅｘｐ（ｄ，（Ｕ＋ｙ）），即
ｅｘｐ（Ａ。（Ｕ＋Ｖ））＝丌ｅｘｐ（ｄｌＡ。Ｖ）ｅｘｐ（ｃｔＡ。Ｕ）＋ｏ（△∥），（７）这里Ｃ，和ｄ，为辛算子或者辛传播子．注意到无论对于连续的微分矩阵或者离散后的差分矩阵，总可以证明Ｕ７＝∥＝Ｏ（∥≥２）．使用泰勒展开技术，（７）式可以写成
ｅｘｐ（Ａ。（Ｕ＋ｙ））＝兀（，＋ｄｌＡ。Ｖ）（，＋ｃａＡ。Ｕ）＋Ｄ（∥１），（８）可以看出，该方法具有显式逐级递推的特点．因而，同Ｒ－Ｋ和其它一些隐式算法相比，大大节约了内存，提高了计算的效率．
１．２空间近似
由于算符ｕ，ｙ中含有三维旋度算符男，为了得到Ｍａｘｗｅｌｌ方程的数值解，必须在空间方向上对方程进行进一步的离散．在此，我们基于交错差分近似算符Ｒ中一阶偏导数，引入记号厂州”（ｉ，．『，ｋ）＝八讼，，ｊＡ，，ｋＡ：；（ｒｔ＋下。）△；）为近似离散点（１ａｘ，ｊＡｙ，ｋＡｚ）在第儿时间步的第Ｚ级真实解，这里，每个时间步需要ｍ级时间步进，且第ｚ级步进对应的时间增量为下。△。．
利用ｑ阶交错差分离散空间一阶偏导数
了ａＦｎ＋ｔｌｍＩ：兰Ｅ坐型生土盟≠竺暨业＋ｏ（△ｍ（９）
ａ孝Ｉｆ：船，鲁’△ｆ。‘
其中手＝茹，Ｆ，Ｚ，皿ｉ，ｊ，ｋ，Ｗ，是空间差分系数，其定义如下：
ｑ／２
Ｅ＝２∑Ｉ形，Ｉ
ｒ。１
表１给出了常见的矽，和Ｅ之值．
表１ｑ阶交错差分系数
Ｔａｂｌｅ１Ｓｔａｇｇｅｒｅｄｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｏｆｏｒｄｅｒ口
（１０）
本文主要研究四阶交错差分，对于四阶以上差分算法分析方法类似．经过空间ｑ阶交错差分、时间Ｐ阶辛积分离散后，我们建立了Ｍａｘｗｅｌｌ方程的离散辛框架，即ＳＦＤＴＤ（ｐ，ｑ）算法．
计算物理第２７卷２数值稳定性、色散性分析
警一茎Ｅ弛世上堕产业三业
：芝Ｅ型丛生丝坠＃业止型Ｆ
其中叩，：兰Ｅ竺丛二丛生二旦型生垒丢二＿竺丛型三二型．
击（≥）：ｆ一三旦一言啬］（≥），ｃ－５，
击（≥）＝［一圣仇一言仇］（≥），ｃ－６，记ｕ＝［三一言仇］，ｙ＝［一；仇三］，时间上采用高阶辛积分技术逼近Ｍａｘｗｅｕ的时间演化矩阵，则稳定
ｓ＝ｎ［一了叩１，ｄ，△。。ｌ／：一石１１：７，ｆ△‘］．ｃ?７，
ｓ２Ｈｌ一了叩，ｄ，△。：ｐ：７，‘△‘』‘１７’
ｓ：ｐｓｔ：１，（１８）
第１期黄志祥等：高阶辛算法的稳定性与数值色散性分析
其解Ａｍ：型
次相乘，可得
稳定性条件要求ＩＡ，．：Ｉ＿１，所以只需ｔｔｒ（Ｓ）Ｉ≤２即可．将（１７）式中矩阵依
ｔｒ（Ｓ）＝２＋∑ｇｌ（Ｆ。２△Ａ２。仉２，Ｘ‘，
反，。。。秒。嘭叱。。。；。…。。ｉｒＵｈ。ｉＩ１２＜１２ｉｌ¨ｚ％…‰，
ｌ‘‘＾‘ｌ｝２‘丘‘…‘ｍｌ‘‘ｊｌ‘‘…‘‘Ｊｌ‘ｍ
其中ｖｏ＝圭为介质中的波速．
ｑ雌
去（：）＝［÷。叼，口，＋二，＋叩，口，，×吾（，７，Ｐ＃＋：Ｐｙ＋叩ｚＰｊ）×］（：），
一如型丛型型等—业生堕巡，
＂如巫丛型型笔—业生丝幽，
旦严＼一ＯｔＩＥＪ＿
ｏ二［豆ｊ匾
ｐ
［亟ｊ匾。
占
（２１）
（２２）
（２３）
（２４）
（２５）
（２６）
这里，露是由球面角定义的张量矩阵…１．虽然形式上式（２６）是６Ｘ６的矩阵，但它只有两个独立的本征值．因此，式（１６）和（２６）本质上是同构的．采用类似于一维的分析方法，可求出
ｔｒ（Ｓ）＝２＋∑ｇ。｛移。２△２。（’７：＋叼；＋田：）｝１．（２７）一般而言，时域算法的最大稳定度ＣＦＬ。。可以写成时空分离的形式
ＣＦＬ…＝竿，（２８）
＾Ｓ
这里Ａ。为空间稳定度因子，可以表示为
Ａｓ＝ｄｖ厮Ｗ，，（２９）ｄｉｍ＝Ｉ，２，３为空间维数，形，的定义已经在式（１０）中给出，为所有空间差分系数之和．Ａ，为时间稳定度因子，可以通过空间稳定度因子和Ｉｔｒ（Ｓ）ｌ≤２的约束求出．这种时空分离的形式，对分析任意ＳＦＤＴＤ（Ｐ，ｇ）算法的稳定度是很方便的，尤其适用于时间方向或空间方向其中一个离散方式固定而另外一种改变的情况．表２列出了传统的ＦＤＴＤ（２，２）方法，高阶ＦＤＴＤ（２，４）
方法，Ｊ－Ｆａｎｇ（４，４）方法¨４１，龙格库塔（４，４）方法和高阶辛ＦＤＴＤ（４，４）方法的最大稳定度．这里，所有的空间差分均采用显式交错差分．其中ＳＦＤＴＤ（４，４）方法使用的辛算子可参考文［４］．
２．２色散性分析
由于ＩＡ¨Ｉ－Ｉ，该算法是无耗散的．根据反余弦求出特征值的相角，则色散方程可表述为
ｔｏＡｔ＝ａｒｃｃｏｓ［ｔｒ（Ｓ）／２］，（３０）定义相对相速度误差
裘２各种算法的最大稳定度比较Ｔａｂｌｅ２ＭａｘｉｍｉｚａｔｌＯｎｓｔａｂｉｌｉｔｉｅｓ
Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ
０．５７７
０．４９５
０．５７７
Ｏ．７∞
０．７４３
ｍ朋朋”∽
但＠””水
似
似
哪脚珊
ｍ
阳
＂
ｍ
辱；
计算物理第２７卷这里％２若为数值相速度?
肪蚴?ｇＩ警』，（３１）
３数值结果
首先，我们将ＳＦＤＴＤ（４，４）方法同高阶ＦＤＴＤ（２，４）方法和传统的ＦＤＴＤ（２，２）方法相比较．从图１（ａ），（ｂ）可以看出，与这些算法相比，ＳＦＤＴＤ（４，４）算法有明显的优势．
霍
耄．
重
麦
ＰＰＷ
（ａ）相对相速度误差随空间分辨率的变化。＋ＳＦＤＴＤ（４，４）
＋ＦＤＴＤ（２，∞
?－?一ＦＤＴＤ（２，２）
．ｒ
ｒｒｒ，ｒｒｒｒｒｒｒｒｒ—ｒｒｒｒ
ｒｒｅ＝６｛妒。ＰＰｗ一８．ｃＦｌ商．４
０４０８０１２０１６０
母严
（ｂ）相对相速度误差随球面角妒的变化
图１高阶ＳＦＤＴＤ（４，４），ＦＤＴＤ（２，４），ＦＤＴＤ（２，２）方法的色散性比较
Ｆｉｇ．１ＤｉｓｐｅｒｓｉｏｎｓｉｎＳＦＤＴＤ（４，４），ＦＤＴＤ（２，４）ａｎｄＦＤＴＤ（２，２）
其次，我们将ＳＦＤＴＤ（４，４）方法同高阶Ｒ—Ｋ（４，４）方法和高阶Ｊ－Ｆａｎｇ（４，４）方法相比较．其中，Ｒ—Ｋ（４，４）方法使用４阶龙格库塔时间步进和４阶空间交错差分．从图２（ａ），（ｂ）可以看出，ＳＦＤＴＤ（４，４）算法的色散性优于Ｒ－Ｋ（４，４）方法但比Ｊ－Ｆａｎｇ（４，４）方法略差．虽然如此，一方面由于Ｊ－Ｆａｎｇ（４，４）方法有幅度耗散，另一方面该方法使用了空间高阶偏导数，极难处理复杂边界，因而在电磁场工程中很少应用．
鼍
窘喜
莹耋
晕
５
量
喜
＞
蓍
甚
譬
要
蛊
ＰＰｗｍｆ
（ａ）相对相速度误差随空间分辨率的变化（ｂ）相对相速度误差随球面角矿的变化图２高阶ＳＦＤＴＤ（４，４），Ｒ—Ｋ（４，４）方法，高阶Ｊ－Ｆａｎｇ（４，４）方法的色散性比较
Ｆｉｇ．２ＤｉｓｐｅｒｓｉｏｎｓｉｎＳＦＤＴＤ（４，４），Ｒ—Ｋ（４，４）ａｎｄＪ－Ｆａｎｇ（４，４）
接下来，我们用１０ＧＨｚ的余弦源进行试验，分析区域中心（２０，２０，２０）处的时域场值．余弦波经过２００个
５
Ｏ
５
Ｏ
５
Ｏ
５
ｏ
呻
。
巧
弓
咱
吒
第１期黄志祥等：高阶辛算法的稳定性与数值色散性分析８７
周期的迭代后，我们记录其一个周期的波形如图３所
示．计算中稳定度常数ＣＦＬ＝０．５，空间分辨率每波长
６个采样点，算法采用ＦＤＴＤ（２，２）方法和
ＳＦＤＴＤ（４，４）方法．从图中可以看出，高阶辛算法较传统的ＦＤＴＤ法有明显的优势．
４结论
本文导出了基于辛积分技术的高阶时域计算方法的统一辛框架，利用矩阵分析，首次系统探讨了常见高阶时域方法的稳定性与数值色散性方程，详细地讨论了ＣＦＬ、时间步长以及传播方向对数值色散误差的影响，并且比较了不同高阶算法的数值色散特性．从结果中可以看出：
Ｉ）ＳＦＤＴＤ（４，４）与ＦＤＴＤ相比稳定性与色散性都有无可比拟的优势，ＳＦＤＴＤ（４，４）方法在每波长取６个甲
昌
之
‘一
Ｒｅａｌｔｉｖｅｔｉｍｅｓｔｅｐ（ｎ）
图３区域中心的Ｅ，场迭代２００个周期后的波形Ｆｉｇ．３ＷａｖｅｆｏｒｍｏｆＥ＃ａｔｃｅｎｔｒｅｏｆｔｈｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｄｏｍａｉｎｗｉｔｈ２００ｐｅｒｉｏｄｓｉｔｅｒａｔｉｏｎ
点时，误差可达到一６０ｄＢ的效果；ＦＤＴＤ（２，２）在每波长取１２个点时，误差仅达到一４０ｄＢ的效果；ＦＤＴＤ（２，４）在每波长取１２个点时，误差仅达到一５０ｄＢ的效果；
２）ＳＦＤＴＤ（４，４）与Ｒ．Ｋ（４，４）及Ｊ－Ｆａｎｇ（４，４）相比具有更好的稳定性，ＳＦＤＴＤ（４，４）较Ｒ－Ｋ（４，４）的数值色散性更为优越，计算量也相对较少些；而较Ｊ－Ｆａｎｇ（４，４）数值色散性差，但是Ｊ－Ｆａｎｇ（４，４）不仅有幅度误差，同时也难以应用于电磁工程实际．
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ＯｏｐｉｃｏＦＭ．ＪｏｈｎｓｏｎＣＲ．Ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙｂａｓｅｓｉｎｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ
ｍａｔｒｉｃｅｓａｎｄａｐｒｏｏｆｔｈａｔｔｈｅｉｒｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｉｓｏｎｅ［Ｊ］．ＬｉｎｅａｒＡｌｇｅｂｒａａｎｄＩｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００６，４１９（２—３）：７７２—７７８．
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计算物理第２７卷
［１４］ＦａｎｇＪ．ＴｉｍｅｄｏｍａｉｎｆｉｎｉｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｆｏｒＭａｘｗｅｌｌ＂ｓｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｄ］．Ｂｅｒｋｅｌｅｙ，ＣＡ：Ｐｈ．Ｄ．ｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎ，Ｕｎｉｖ．Ｃａｌｉｆｏｒｎｉａ，１９８９．
ＳｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄＮｕｍｅｒｉｃａｌＤｉｓｐｅｒｓｉｏｎｏｆＨｉｇｈＯｒｄｅｒＳｙｍｐｌｅｃｔｉｃＳｃｈｅｍｅｓ
ＨＵＡＮＧＺｈｉｘｉａｎ９１，ＳＨＡＷｅｉ２，ｗＵＸｉａｎｌｉａｎ９１”，ＣＨＥＮＭｉｎｇｓｈｅｎ９３，ＫＵＡＮＧＸｉａｏｊｉｎ９１
（１．ＫｅｙＬａｂｏｆｌｍｄｌｉｇｅｍＣｏｍｐｕｔｉｎｇ＆ＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，ＡｎｈｕｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ．
ＭｉｎｉｓｔｒｙｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｈｅｆｅｉ２３００３９，Ｃｈｉｎａ；
２．ＥｌｅｃｔｒｉｃａｌａｎｄＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ，ＨｏｎｇＫｏｎｇ‰如ｅ稻毋，Ｈｏｎｇｋｏｎｇ，Ｃｈｉｎａ；
ａｎｄＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ，ＨｅｆｅｉＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅ，Ｈｅｆｅｉ２３０６０１，Ｃｈｉｎａ）
３．Ｐｈｙｓｉｃａｌ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｅｕｌｅｒ?ＨａｍｉｌｔｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓａｒｅｐｒｏｖｉｄｅｄｕｓｉｎｇＨａｍｉｈｏｎｉａｎｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆＭａｘｗｅｌｌ’Ｓｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｈｉｇｈｏｒｄｅｒｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｓｃｈｅｍｅｓｏｆｔｈｒｅｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｔｉｍｅ－ｄｏｍａｉｎＭａｘｗｅｌｌ’ｓｅｑｕ砒ｉｏｎｓａｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄｗｉｔｈｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｉｎｔｅｇｒａｔｏｒｔｅｃｈｎｉｑｕｅｃｏｍｂｉｎｅｄｗｉｔｈｈｉｓｈｏｒｄｅｒｓｔａｇｇｅｒｅｄｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ．Ｔｈｅｍｅｔｈｏｄｉｓｕｓｅｄｔｏａｎａｌｙｚｉｎｇｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｎｕｍｅｒｉｃａｌｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎｏｆｈｉ【ｓｈｏｒｄｅｒｔｉｍｅ—ｄｏｍａｉｎｍｅｔｈｏｄｓａｎｄｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｓｃｈｅｍｅｓｗｉｔｈｍａｔｒｉｘａｎａｌｙｓｉｓａｎｄｔｅｎｓｏｒｐｒｏｄｕｃｔ．Ｉｔｃｏｎｆｉｒｍｓａｃｃｕｒａｃｙｏｆｔｈｅｓｃｈｅｍｅａｎｄｓｕｐｅｒａｂｉｌｉｔｙｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｏｔｈｅｒｔｉｍｅ．ｄｏｍａｉｎｍｅｔｈｏｄｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｈａｍｉｈｏｎｉａｎｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｉｎｔｅｇｒａｔｏｒｔｅｃｈｎｉｑｕｅ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｎｕｍｅｒｉｃａｌｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ；ｈｉｇｈｏｒｄｅｒｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｓｃｈｅｍｅｓ
Ｒｅｃｅｉｖｅｄｄ曩ｔｅ：２００８一０９—０４；Ｒｅｖｉｓｅｄｄａｔｅ：２０（０—０２一１８
高阶辛算法的稳定性与数值色散性分析
作者：黄志祥， 沙威， 吴先良， 陈明生， 况晓静， HUANG Zhixiang， SHA Wei， WU
Xianliang， CHEN Mingsheng， KUANG Xiaojing
作者单位：黄志祥,况晓静,HUANG Zhixiang,KUANG Xiaojing(安徽大学计算智能与信号处理教育部重点实验室,安徽,合肥,230039)， 沙威,SHA Wei(香港大学电机电子工程系,香港)， 吴先良,WU
Xianliang(安徽大学计算智能与信号处理教育部重点实验室,安徽,合肥,230039;合肥师范学
院物理电子工程系,安徽,合肥,230601)， 陈明生,CHEN Mingsheng(合肥师范学院物理电子
工程系,安徽,合肥,230601)
刊名：
计算物理
英文刊名：CHINESE JOURNAL OF COMPUTATIONAL PHYSICS
年，卷(期)：2010，27(1)
被引用次数：0次
参考文献(14条)
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