对“解决问题”中数量关系教学的再思考
[内容摘要] 本文从当前“解决问题”教学过程中教师们热议的话题着手，理性地分析了传统应用题中数量关系教学的优势与不足，结合当前新课改对解决问题教学的价值取向，对解决问题教学过程中数量关系的剖析、数量关系的提炼与概括以及分析数量关系的基本方法这三个环节结合自己的实践谈了自己的观点和思考。
[ 关键词]解决问题数量关系数学教学
从最近对不少一线教师的访谈中笔者发现，对于传统
“应用题”教学与新课程“解决问题”教学两者关系的认识不清是他们深感困惑的问题。一方面，从过去我们熟悉的以培养学生解题能力为目的的“应用题”教学到新课程以发展学生综合数学能力为核心的“解决问题”的教学，许多教师面对教学目标、内容体系、编排呈现方式的巨大变化而感到无所适从；另一方面，由于没有准确把握教材的编排体系，不少教师在“解决问题”的教学中缺乏全局意识，导致了教学的“脱节”、学生解题能力的下降。而作为曾经是“应用题”教学核心的“数量关系” 教学，自课改开始就备受关注，“解决问题要不要突出‘数量关系' ?”“在解决问题教学中如何看待数量关系的作用?”“传统数
量关系教学的优势如何在当前的教学中发挥其应有的功能?”笔者就这些问题，进行了以下思考：
一、对数量关系的剖析——数学化的必由之路
《数学课程标准》强调：数学教学要“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程” 。这个过程就是数学化的过程，而让学生具有数学化的能力便是“解决问题”教学所要达成的目标之一。
1 重视解决问题过程中的两次转化。
《小学数学教育》(2009.3) 刊登了北京师范大学周玉仁教授关于“解决问题”教学若干问题的思考，其中第一个观点就足以让我们静下心来认真审视当前的教学。文中指出，小学生在解决问题的过程中，实质上是完成了两次认识上的转化，第一个转化是指从纷乱的实际问题中收集、观察、比较、筛选出有用的信息从而抽象出数学问题；第二个转化是根据已经抽象出的数学问题，全面分析其中的数量关系，从而探索出解决问题的方法，进而在实践中进行检验和运用。这两个转化是相辅相成、缺一不可的。传统应用题教学的一大弊端就是过于重视第二次转化而忽视了学生发现问题、提出问题的过程；而课改后的教学又将关注的重心过多地放在对信息的收集、整理上，对数量关系的形成与
分析显得比较单薄，导致教学从“生活情境”直接走向“应
用” ，忽视了“数量关系形成”这个重要的数学建模的过程。这样的教学，势必会削弱学生解决问题时的思考过程，缩小学生的数学理解的空间，这与新课程要求“解决问题”教学所要达到的目标相去甚远。因此，作为一线的教师，我们应该清晰地看到，新课程中对解决问题的教学改革，数量关系的教学仍是重要环节，它承载着学生的认知“由表及里” 、“由浅入深”的质的飞跃。
2 重视数量关系形成过程和运用过程的有机统一。在以往的数量关系教学中，由于教师过于重视学生对运用数量关系解决问题的牢固掌握，就把课堂教学的大部分时间让学生进行辨认题型以及解决问题的操练，以使学生在短期内形成熟练的解题技巧。但是，现实生活中，不可能出现问题情境正好与应用题体系的某个题型完全匹配的现象，也正是基于现实的需要，新课程才将“解决问题”渗透于数学教学始终，并降低了对信息素材的加工程度，还原数学问题的生活原貌，力求通过让学生经历对新情境中数学问题的解决过程，发展他们的数学意识和数学能力。因此，传统应用题教学留下“熟悉类型――识别类型――套用解题方法”的基本模式，以现在的眼光来看，是有很大局限性的，类似这样机械的数量关系教学并不可取。很多研究表明，在良好的教学情境下，学生解决问题时不是把问题和类型相联系，而是将
情境中的问胚与运算意义相联系。因而。我们必须将数量关系的形成过程和运用过程有机地结合起来，在从“现实情境”抽象出“数学问题”的数量关系形成过程中，不必要求学生在语言表述上作过多精致的表述，而应该提供相对真实的现实情境，让学生在解决实际问题的过程中动态探索、理解感悟数量关系。这种明显带有个体“数学思考”成分的数学活动是学生运用数量关系解决问题的关键所在，理应被广大教师所重视。因此，数量关系的教学不能厚此薄彼，重“运用”轻“形成” 。而应将它们有机地统一在解决问题的教学过程中。
二、对数量关系的提炼与概括一一结构化迁移的重要环
节
1 注重基本数量关系的原始积累。
新教材编写的一大特色就是将“数与运算”融入生活问题情境中，在解决问题过程中引导学生理解运算意义，掌握算法。同时，又通过对解决问题过程的回顾，进一步促进学
生对运算意义的内化。因此，四则运算的意义在解决问题中的作用是举足轻重的，是数量关系最为基本的模型。教师要充分领会教材编写循序渐进的原则。引导学生将情境中的问题与运算意义相联系，充分经历思考与体验的过程。例如，同样是教学加法，
一年级教材通过多种不同的呈现方式让学生感知：一上教材40 页“3 个男生和2 个女生在浇花，浇花的一共有多少人？” 一一两部分合并（静态）,“ 3个人在浇花，又来了2个人，现在有多少人？” 一一在原有的基础上增加一部分（动态）；二上教材26 页的“红花片有11 个，绿花片比红花片多3个，绿花片有几个？” 一一在“比较”情境中求较大的量等。只有以各种方式不断拓展对运算本质的理解，才能逐步完善学生对运算意义的建构。在此过程中，学生也会有意识地思考情境中的问题与数学意义的联系。基本数量关系的教学也得到潜移默化的渗透，
如：部分量+部分量=总量、较小量+相差量=较大量等，这种原始的积累，为学生解决问题能力的发展奠定了坚实的基础。
2 注重常见数量关系的抽象概括。数量关系除了有按加、减、乘、除意义的基本数量关系，也有密切结合某些实际素材的常见数量关系。如“单价X数量=总价”、“工作效率X工作时间=工作总量”等。这些数量关系的得出，都必须经过一个梳理和归纳的过程。而运用数
学语言来提炼数量关系是此项过程中不可或缺的重要环节。面对一个问题情境，教师应鼓励学生基于自己已有的知识经验自主构建“原生态”的数量关系，在此基础上，教师可以引导学生进一步转换思维视角，从而获得更为简约、更为概括的数量关系模
型，进而通过对这一数量关系模型的变式运用，实现数量关系结构化迁移。例如面对这样一个问题情境：“做一个长6 厘米、宽 5 厘米、高4 厘米的长方体纸盒，至少需要用多少平方厘米的纸板?”学生在理解长方体的特征基础上独立探索并尝试用自己的语言表述数量关系：长方体相对的两个面面积相等，所以只要先求3 组相对的面的面积，再相加。即长x宽x 2+宽x高x 2+长x高x 2；在教师的进一步引导下，学生可以转换思考角度，将长方体的6 个面分为相同的2组，先可以求出每组相对的面中的一个面的面积，相加后乘上2。由此产生了新的数量关系。即（长x宽+宽x 高+长x高）x 2。两种数量关系的形成都从不同的角度反映了数量之间的本质联系。像这样，让学生经历从多角度思考问题，对发展他们的数学思维、提高思维的灵活性和敏捷性会起到很大的作用。由此可见，新课程并没有舍弃数量关系的抽象，而是要求创新数量关系的教学方法，强调在发展学生数学理解的前提下进行数量关系的抽象概括。
三、分析数量关系的基本方法——解决问题的基本策略
在数学教学中，发现和利用数量关系是解决实际问题的途径，通过整理信息明确把握数量关系。既是可操作的方法，也是解决问题的策略。当然，解决问题的策略是多种多样的，有些适合于解决常规问题，有些适合于解决一些特殊问题。教师应鼓励学生通过感悟、体验不断形成具有个性的解题策略，鼓励学生创
新，但同时也应重视学生对一些基本解题策略的掌握。
1 分析数量关系的基本方法需熟练运用。
对数量关系的分析，传统应用题教学中仍有许多经验值得我们借鉴。例如，分析法、综合法、作图法等等，这些对提高学生思维能力和解决问题能力十分有帮助。并且，这些基本的方法有别于针对解决某类典型题的单项技能技巧，具有广泛的基础性、迁移性和普适性，是解决任何问题都需要具备的最基本的能力。因此，在教学中。我们仍要重视让学生运用“综合思维”及“分析思维”对一些常规问题进行比较完整的“说理训练” ，即结合对数量关系的分析说出解题思路，通过这种“出声的思维”来暴露学生的思维过程、强化思维成果，从而发展思维能力。由于上述两种思维模型都是对事物之间本质联系的把握，为学生指明了思考问题的方向，因此，学生解决问题就有了最基本的方法。
2 分析数量关系的基本方法应与解决问题策略相互渗透。
现实情况的纷繁复杂有时也为学生将具体问题抽象成数学问题设置了不小的障碍，有些问题结构还很特殊。因此，并非所有的问题都能通过上述两种基本方法轻易找到其隐含的数量关系。除了最基本的分析问题的方法之外，学生还很有必要具备相应的解决问题的多种策略。为了发展学生的策略意识，教材也在第二学段每册均开辟“解决问题的策略” 这一独立单元。通过教材循序渐进的介绍，一些如列表整理、枚举、还原、假设、转