第八篇平面解析几何(必修2、选修21)
第1节直线与方程
【选题明细表】
基础巩固(时间:30分钟)
1.如图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则( D )
(A)k1 (B)k3 (C)k3 (D)k1 解析:直线l1的倾斜角α1是钝角,故k1<0,直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角,且α2>α3,所以0 2.直线xsin α+y+2=0的倾斜角的取值范围是( B ) (A)[0,π) (B)[0,]∪[,π) (C)[0,] (D)[0,]∪(,π) 解析:直线xsin α+y+2=0的斜率为k=-sin α, 又|sin α|≤1,所以-1≤k≤1, 所以倾斜角的取值范围是[0,]∪[π,π).故选B. 3.若m∈R,则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1) x-my-1=0平行”的( A ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:由log6m=-1得m=, 若l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行,则直线斜率相等或斜率不存在, 解得m=0或m=,则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x -my-1=0平行”的充分不必要条件.故选A. 4.(2017·浙江温州模拟)直线MN的斜率为2,其中点N(1,-1),点M在直线y=x+1上,则( B ) (A)M(5,7) (B)M(4,5) (C)M(2,1) (D)M(2,3) 解析:设M的坐标为(a,b),若点M在直线y=x+1上, 则有b=a+1.① 若直线MN的斜率为2,则有=2.② 联立①②解可得a=4,b=5,即M的坐标为(4,5).故选B. 5.过点M(-3,2),且与直线x+2y-9=0平行的直线方程是( D ) (A)2x-y+8=0 (B)x-2y+7=0 (C)x+2y+4=0 (D)x+2y-1=0 解析:法一因为直线x+2y-9=0的斜率为-, 所以与直线x+2y-9=0平行的直线的斜率为-, 又所求直线过M(-3,2), 所以所求直线的点斜式方程为y-2=- (x+3), 化为一般式得x+2y-1=0.故选D. 法二由题意,设所求直线方程为x+2y+c=0,将M(-3,2)代入解得c=-1,所以所求直线为x+2y-1=0.故选D. 6.(2017·四川绵阳模拟)若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( C ) (A) (B) (C)(D) 解析:因为=≠,所以两直线平行,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离, 即=,所以|PQ| 的最小值为.故选C. 7.直线3x-4y+k=0在两坐标轴上的截距之和为2,则实数k= . 解析: 令x=0,得y=;令y=0,得x=-, 则有-=2,所以k=-24. 答案:-24 8.直线l1:y=2x+3关于直线l: y=x+1对称的直线l2的方程为. 解析:由 解得直线l1与l的交点坐标为(-2,-1), 所以可设直线l2的方程为y+1=k(x+2), 即kx-y+2k-1=0. 在直线l上任取一点(1,2),由题设知点(1,2)到直线l1,l2的距离相等, 由点到直线的距离公式得=, 解得k= (k=2舍去), 所以直线l2的方程为x-2y=0. 答案:x-2y=0 能力提升(时间:15分钟) 9.在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0有可能是( B ) 解析:直线l1:ax+y+b=0的斜率k1=-a,在y轴上的截距为-b;直线l2:bx+y+a=0的斜率k2=-b,在y轴上的截距为-a.在选项A中l2的斜率 -b<0,而l1在y轴上截距-b>0,所以A不正确.同理可排除C,D.故选B. 10.直线ax+by-1=0在y轴上的截距为1,且与直线x-3y+1=0垂直,则a+b等于( C ) (A) (B)- (C)4 (D)-2 解析:由题意知 解得 所以a+b=4. 11.(2017·江苏淮安调研)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为. 解析:设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M′(a,b), 则反射光线所在直线过点M′, 所以解得a=1,b=0. 又反射光线经过点N(2,6), 所以所求直线的方程为=,即6x-y-6=0. 答案:6x-y-6=0 12.一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为. 解析:设所求直线的方程为+=1, 因为A(-2,2)在直线上,所以-+=1.① 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1, 所以|a|·|b|=1.② 由①②可得(1)或(2) 由(1)解得或方程组(2)无解. 故所求的直线方程为+=1或+=1, 即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程. 答案:x+2y-2=0或2x+y+2=0 13.已知线段PQ两端点的坐标分别为(-1,1),(2,2),若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点,求m的取值范围. 解:法一直线x+my+m=0恒过点A(0,-1), k AP==-2, k AQ==,当m≠0时, 则-≥或-≤-2. 所以-≤m≤且m≠0. 又m=0时,直线x+my+m=0与线段PQ有交点, 所以所求m的取值范围是[-,]. 法二过P,Q两点的直线方程为 y-1=(x+1),即y=x+, 代入x+my+m=0,整理得x=-, 由已知-1≤-≤2,解得-≤m≤, 即m的取值范围是[-,]. 14.(2017·合肥模拟)已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求: (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标; (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程; (3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程. 解:(1)设A′(x,y),由已知条件得 解得 所以A′(-,). (2)在直线m上取一点,如M(2,0), 则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上. 设对称点M′(a,b),则 得M′(,). 设直线m与直线l的交点为N,则由 得N(4,3). 又因为m′经过点N(4,3), 所以由两点式得直线m′的方程为9x-46y+102=0. (3)法一在l:2x-3y+1=0上任取两点, 如M(1,1),N(4,3),则M,N关于点A(-1,-2)的对称点M′,N′均在直线l′上, 易得M′(-3,-5),N′(-6,-7),再由两点式可得l′的方程为2x-3y-9=0. 法二因为l∥l′, 所以设l′的方程为2x-3y+C=0(C≠1). 因为点A(-1,-2)到两直线l,l′的距离相等, 所以由点到直线的距离公式, 得=,解得C=-9, 所以l′的方程为2x-3y-9=0. 法三设P(x,y)为l′上任意一点, 则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为 P′(-2-x,-4-y). 因为点P′在直线l上, 所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y-9=0. l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线l过定点; (2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围; (3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程. (1)证明:法一直线l的方程可化为y-1=k(x+2), 故无论k取何值,直线l总过定点(-2,1). 法二设直线l过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成立,即(x0+2)k-y0+1=0恒成立, 所以x0+2=0,-y0+1=0, 解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1). (2)解:直线l的方程为y=kx+2k+1, 则直线l在y轴上的截距为2k+1, 要使直线l不经过第四象限,则 解得k的取值范围是[0,+∞). (3)解:依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k, 所以A(-,0),B(0,1+2k). 又-<0且1+2k>0,所以k>0. 故S=|OA||OB|=×(1+2k)= (4k++4)≥ (4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号. 故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.
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