三角形内的最值问题

三角形内的最值问题

我们知道，求一条直线上的点，要求该点到直线外两点的距离和

最小，若两点在直线的异侧，则所求点就是两点连线与已知直线的交点；若两点在直线的同侧，则作其中一点关于已知直线的对称点，对称点与另外一点的连线与已知直线的交点。（右图）那么求一平面上的点，要求该点到平面上三点的距离和最小，这个点又怎么求呢？

在平面几何中，有一个以费尔马为名的“费尔马点”。即：在

△ABC所在平面上找一点，它到三个顶点的距离之和相等。（如图4）

以AB、BC、CA为边向形外作正三角形BCD、ACE、ABK，作此三个三角形的外接圆。设⊙ABK、⊙ACE除A外的交点为F，由A、K、B、F四点共圆知∠AFB＝120°。同理∠AFC＝120°于是∠BFC=120°。故⊙BCD边过点F，即⊙ABK，⊙BCD，⊙CAE共点F。

由∠AFB=120°，∠BFD=60°，知A、F、D在一条直线上。

在FD上取点G，使FG=FB，则△FBG为正三角形。由BG＝BF，BD＝BC，∠DBG＝∠CBF＝60°-∠GBC，故△DBG≌△CBF。于是GD＝FC，即AD=FA+FB+FC。

对于平面上任一点P，以BP为一边作等边△PBH（如图4），连HD，同样可证△BHD≌△BPC。于是AP+PH+HD=PA+PB+PC。但PA+PH+HD≥AD=FA+ FB+FC。这就是说，点F为所求点。这点称为△ABC的费尔马点。

以上情况只考虑△ABC的三个内角都小于120°的情况，当△ABC有某一内角≥120°，例如∠A≥120°，则点A即为所求点。

在三角形中，还有很多最值问题。下面介绍在三角形三边取三点连接成的三角形中，周长最小的三角形的求法。

在△ABC中，AD、BE、CF分别为三边上的高，△

DEF称为△ABC的垂足三角形，可以证明△ABC的垂心H是△DEF的内心。（图2）

证明过程如下：

因为∠AHE=∠BHD

AC垂直于BE

AD垂直于BC

所以∠CAD=∠EBC

所以sin∠CAD=sin∠EBC

所以CE/BC=CD/AC

在△CDE与△CAB中

∠ECD=∠BCA

所以△CDE与△CAB相似

所以∠CDE=∠CAB

同理可得∠BDF=∠CAB

所以∠CDE=∠BDF

所以∠ADF=∠ADE

同理可得∠BEF=∠BED；∠CFD=∠CFE

所以△ABC的垂心H是△DEF的内心。图3

如图3作D关于AB的对称点D1，可知∠DEB=∠D1EB＝∠AEF，于是，D1、F、E在一直线上。同样可知，D关于AC的对称点D2也在直线EF上，即D1、F、E、D2四点在一条直线上。

现在，我们来看由法格拉洛提出的一个问题：在△ABC的每条边上各取一点D、E、F，△DEF称为△ABC的内接三角形。试在锐角三角形ABC的所有内接三角形中，求周长最短的三角形。

解：设D是BC上固定点，求此时的周长最短的内接三角形。（图3）

作D关于AB、AC的对称点D1、D2，连D1D2交AB、AC于E、F，则△DEF为所求。实际上，对于△ABC的任一内接△DE′F′，有

DE′+E′F′+ D F′=D1E′+E′F′+ D2F′

≥D1D2=D1E+EF+ D2F

=DE＋EF＋FD。

就是△DEF的周长≤△DE’F’的周长。

因此，我们只要对于每一个BC上的点D，都找出相应于该点的周长最短的内接三角形DEF，在这些三角形中找出周长最短的一个就行。

由于AD1=AD，AD2=AD，故△AD1D2是等腰三角形。又由于∠1=∠2，∠3=∠4，故△AD1D2的顶角∠D1AD2=2∠BAC为定值，因此，只有当其腰AD1最短时，D1D2最短。此时必有AD最短。从而当AD 为△ABC的高时，内接三角形DEF的周长最短。

当AD为△ABC的高时，由前面三角形垂足三角形性质，可证△ABC的内接三角形中，以其垂足三角形DEF的周长最短。

三角形中的最值与范围问题

在正余弦定理的运用中，有一类题目值得关注。这类题有一个相同的特点，即知道三 角形的一条边和边所对的角，求三角形面积（或周长）的最值（或范围） ，但在解题方法的 选择上有值得考究的地方。请先看两个例题： 1 例1（ 13年重庆綦江中学）在:ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b, c 且cosA 二丄，a = 4 . 4 （1） 若b ?c=6，且b < c ，求b,c 的值. （2） 求L ABC 的面积的最大值。 解 （1）由余弦定理 a 1 2 二 b 2 - c 2 — 2bccosA , 2 1 16 = （b c ） - 2bc bc 2 .bc =8 , 又 v b 亠 c = 6, b

二次函数专题训练(三角形周长最值问题)含问题详解

1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式； （2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值； （3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．

2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E． （1）求直线AD的解析式； （2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值； （3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM 重合部分的面积是?APQM面积的时，求?APQM面积．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值； （3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

高考数学阶段复习试卷：三角形中的最值问题

高考数学阶段复习试卷：三角形中的最值问题 1． 在ABC ?中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 所对的边长，已知:3C π= ,a b c λ+=(其中1λ>） (1)当2λ=时，证明:a b c ==; (2)若3AC BC λ?=,求边长c 的最小值. 2. 已知函数()4cos sin()3f x x x π=- (1)求函数()f x 在区间[,]42 ππ上的值域; (２)在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 若角C 为锐角，()f C =，且2c =,求ABC ?面积的最大值。 3. 已知函数2()22cos f x x x m =+- （Ⅰ)若方程()0f x =在[0,]2x π ∈上有解，求m 的取值范围;(Ⅱ)在ABC ?中，,,a b c 分别是,,A B C 所对 的边,当(Ⅰ)中的m 取最大值，且()1f A =-,2b c +=时,求a 的最小值 4. 在ABC ?中,sin A a =. (1)求角B 的值;(2)如果2b =，求ABC ?面积的最大值． 5. 如图,扇形AOB ，圆心角AOB 等于60o ，半径为2,在弧AB 上有一动点P ,过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ,设AOP θ∠=,求POC ?面积的最大值及此时θ的值．

6. 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50m /min ．在甲出发2min 后,乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ,山路AC 长为1260m ,经测量,12cos 13A =，3cos 5 C =. (1) 求索道AB 的长； (2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3) 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内？ 7. 如图，在等腰直角三角形OPQ ?中，90POQ ? ∠=,22OP =点M 在线段P Q 上． (1)若5OM =求PM 的长； (2)若点N 在线段MQ 上,且30MON ?∠=,问:当POM ∠取何值时,OMN ?的面积最小?并求出面积的最小值.

动点问题最值三角形性质专练

动点问题最值三角形性质专练

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动点问题三角形性质专练 三边能构成三角形,则必须满足性质:两边之和大于第三边，两边之差小于第三边！ 1、如图,在直角梯形A ＢCD 中，ＡＤ∥BC,∠Ｂ=９0°，A Ｄ=24c ｍ，ＡB=8cm ，ＢC=２6cm ，动：点P 从A 开始沿AD 边向D 以1cm/s 的速度运动；动点Ｑ从点C 开始沿CB 边向Ｂ以３ｃｍ／ｓ的速度运动.Ｐ、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时,另外一点也随之停止运动，设运动时间为ｔs. （1)当t 为何值时，四边形P ＱCD 为平行四边形？ (2)当ｔ为何值时，四边形ＰＱCD 为等腰梯形？ (3）当t 为何值时,四边形PQC Ｄ为直角梯形? 2、如图,点A 的坐标为(-1,０)，点Ｂ在直线y x =上运动,当线段A Ｂ最短时,点B 的坐标为【 】 A ．（0,０） B.（21-,2 1 -） C.(22，22-） Ｄ.(22-，22-） 3、如图所示,在边长为２的正三角形A ＢC 中,E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点,点P 为线段EF 上一个动点，连接BP 、ＧP ，则△ＢPG 的周长的最小值是 _ .

4、菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示,顶点B （2，0），?=∠60DOB ，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，-１）,当EP ＋BP 最短时，点P 的坐标为＿__＿______. 5、如图,在锐角三角形ＡBC 中，BC=24，∠ABC=４5°， B Ｄ平分∠ABC，Ｍ、N 分别是BD 、B C 上的动点,则ＣM ＋MN 的最小值是 。 6、如图，在矩形ＡBCD 中,AB=４，AD=6，E 是A Ｂ的中点，F 是线段ＢＣ上的动点,将△ＥBF 沿EF 所在直线折叠得到△ＥB ′F,连接B ′Ｄ，则B ′D 的小值是( ） A ． Ｂ.6 ? C. D.４ 7、如图，菱形ＡBCD 中,AB=２，∠A＝120°，点P,Q,Ｋ分别为线段B Ｃ,CD,BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为【 】 A ．?１? Ｂ．3 C. 2? D ．3＋１ 8、如图，正方形AB ＣD 的边长为2,ABE ?是等边三角形,点E 在正方形ABCD 内，在对角线A Ｃ上有一点P ，使PD+ＰＥ的和最小，则这个最小值为（ ） A 、２ ?B 、22 ?C 、2 ??Ｄ、6 9、点A 、Ｂ均在由面积为１的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角

三角形最值问题典型题

P为边长等于1的正△ABC内任意一点，设L=PA+PB+PC,求L的最值。几何最值问题归结为以下三个定理 ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 分析：求最值则涉及最小值以及最大值. 先求最小值，如下 一、射影法 过点P分别作PD⊥BC于D,PE⊥AC于E,PF⊥AB于F. 过点A作AD’⊥BC于D’,过B作BE’⊥AC，过C作CF’⊥AB。 AP+PD>AD’① BP+PE>BE’② CP+PF>CF’③ ①+②+③,得， AP+BP+CP+PD+PE+PF AD’ +BE’ + CF’ = a 即AP+BP+CP+a a ∴AP+BP+CP a 二、旋转法 顺时针旋转△BPC60°，可得△PBE为等边三角形．得要使PA+PB+PC=AP+PE+EF′最小，只要AP，PE，EF′在一条直线上， 即如上图：∠ABF’=120°，可得最小L=a； C

三、面积法 作如图所示辅助线，则DEF的面积为, 又∵ ED?PB FD?PC EF?PA ∴?6a?(PA+PB+PC) ∴最小L= a 下面求其最大值，这要考虑到三角形的三边关系，如下图 过P点作BC的平行线交AB，AC于点D，F． 由于∠APD＞∠AFP=∠ADP， 推出AD＞AP① 又∵BD+DP＞BP② 和PF+FC＞PC③ 又∵DF=AF④ 由①②③④可得：最大L＜2； 相关知识链接：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小。即A F

在ABC内求一点P,使 PA+PB+PC之值为最小,人们称这个点为“费马点”。

三角形内的最值问题

三角形内的最值问题 我们知道，求一条直线上的点，要求该点到直线外两点的距离和 最小，若两点在直线的异侧，则所求点就是两点连线与已知直线的交点；若两点在直线的同侧，则作其中一点关于已知直线的对称点，对称点与另外一点的连线与已知直线的交点。（右图）那么求一平面上的点，要求该点到平面上三点的距离和最小，这个点又怎么求呢？ 在平面几何中，有一个以费尔马为名的“费尔马点”。即：在 △ABC所在平面上找一点，它到三个顶点的距离之和相等。（如图4） 以AB、BC、CA为边向形外作正三角形BCD、ACE、ABK，作此三个三角形的外接圆。设⊙ABK、⊙ACE除A外的交点为F，由A、K、B、F四点共圆知∠AFB＝120°。同理∠AFC＝120°于是∠BFC=120°。故⊙BCD边过点F，即⊙ABK，⊙BCD，⊙CAE共点F。 由∠AFB=120°，∠BFD=60°，知A、F、D在一条直线上。 在FD上取点G，使FG=FB，则△FBG为正三角形。由BG＝BF，BD＝BC，∠DBG＝∠CBF＝60°-∠GBC，故△DBG≌△CBF。于是GD＝FC，即AD=FA+FB+FC。 对于平面上任一点P，以BP为一边作等边△PBH（如图4），连HD，同样可证△BHD≌△BPC。于是AP+PH+HD=PA+PB+PC。但PA+PH+HD≥AD=FA+ FB+FC。这就是说，点F为所求点。这点称为△ABC的费尔马点。 以上情况只考虑△ABC的三个内角都小于120°的情况，当△ABC有某一内角≥120°，例如∠A≥120°，则点A即为所求点。 在三角形中，还有很多最值问题。下面介绍在三角形三边取三点连接成的三角形中，周长最小的三角形的求法。 在△ABC中，AD、BE、CF分别为三边上的高，△ DEF称为△ABC的垂足三角形，可以证明△ABC的垂心H是△DEF的内心。（图2） 证明过程如下： 因为∠AHE=∠BHD AC垂直于BE AD垂直于BC 所以∠CAD=∠EBC 所以sin∠CAD=sin∠EBC 所以CE/BC=CD/AC 在△CDE与△CAB中 ∠ECD=∠BCA 所以△CDE与△CAB相似 所以∠CDE=∠CAB 同理可得∠BDF=∠CAB 所以∠CDE=∠BDF

初中数学最值问题典型例题(含答案分析)

中考数学最值问题总结 考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 （2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题） 问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PA PB +的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于 点P，则PA PB A B' +=的值最小 例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三 角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM的最小值为 时，求正方形的边长。 A B A' ′ P l

例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式 （2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.

二次函数及三角形周长,面积最值问题

二次函数与三角形周长，面积最值问题 知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题 【新授课】 考点1：线段、周长问题 例1.(2018·)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。

练习 1、如图，已知二次函数24 =-+的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）． y ax x c （1）求该二次函数的解析式；

（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标． 2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C （0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，求线段DE长度的最大值； 练习 1x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，1、如图，抛物线y= 2

三角形中最值问题

第42课 三角形中的最值问题 考点提要 1．掌握三角形的概念与基本性质． 2．能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数，解决三角形中的最值问题． 基础自测 1．（1）△ABC 中，cos A A =，则A 的值为 30° 或90° ； （2）△ABC 中，当A= 3 π 时，cos 2cos 2B C A ++取得最大值 32 ． 2．在△ABC 中，m m m C B A 2:)1(:sin :sin :sin +=，则m 的取值范围是 2 1 >m ． 解 由m m m c b a C B A 2:)1(:::sin :sin :sin +==， 令mk c k m b mk a 2,)1(,=+==，由b c a c b a >+>+,，得2 1>m ． 3．锐角三角形ABC 中，若A=2B ，则B 的取值范围是 30o＜B ＜45o ． 4．设R ，r 分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径，则 r R 1． 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的边长分别是,,a b c ，若23b ac =，则B 的取值范围是 0°＜B ≤120° ． 6．在△ABC 中，若A>B ，则下列不等式中，正确的为 ①②④ ． ①A sin >B sin ； ②A cos B 2sin ； ④A 2cos B ?a >b A R sin 2?>B R sin 2?A sin >B sin ，故①正确； A cos < B cos ?)2sin(A -π<)2 sin(B -π ?A>B ，故②正确（或由余弦函 数在(0,)π上的单调性知②正确）； 由A 2cos B sin ?A>B ，故④正确． 知识梳理 1．直角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的边长分别是,,a b c ，C=90°，若内切圆的半径为r ，则2 a b c r +-= ． 2．在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，起到工具性的作用．它们在处

解三角形最值问题

三角形最值问题 课前强化 1．在△ABC 中，已知0 45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是 ( ) Ａ.222 ＜x＜ Ｂ．222≤＜x Ｃ．2x ＞ Ｄ．2x ＜ 2．△ABC 中，若sinA ：sinB ：sinC=m ：(m+1)：2m, 则m 的取值范围是（ ） Ａ．（０，＋∞） Ｂ．（ 2 1，＋∞） Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．（２，＋∞） 3．在△ABC 中，A 为锐角，lg b +lg(c 1)=lgsin A =－lg 2, 则△ABC 为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 4．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ） Ａ．0 075,45,10===C A b Ｂ．080,5,7===A b a Ｃ．060,48,60===C b a Ｄ．045,16,14===A b a 5．△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,) p a c b =+ (,)q b a c a =-- ,若//p q ,则角C 的大小为 (A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23 π 6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 最值范围问题： 7、在ABC ?中，角所对的边分别为且满足（I ）求角的大小；（II ）求)cos(sin 3C B A +-的最大值，并求取得最大值时角的大小． ,,A B C ,,a b c sin cos .c A a C =C ,A B

三角函数解三角形中的最值问题

1.已知ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且 222 3sin 3sin 2sin sin 3sin ,B C B C A a +-==AB AC ? 的最大值. 2. 在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(1,cos ),(cos 21,2)m A n A λλ==--- ，已知//m n （1）若2λ=，求角A 的大小； （2）若b c +=，求λ的取值范围. 3. 设ABC ?的内角所对的边分别为,,a b c ，且1cos 2 a C c b += （1）求角A 的大小； （2）若1a =，求ABC ?周长的取值范围. 4. 已知ABC ?是半径为R 的圆的内接?且222(sin sin ))sin R A C b B -=- （1）求角C ； （2）求ABC ?面积的最大值. 5. 已知向量(2,1),(sin ,cos())2 A m n B C =-=+ ，角,,A B C 分别为ABC ?的三边,,a b c 所对的角， （1）当m n ? 取得最大值时，求角A 的大小； （2）在（1）的条件下，当a =22b c +的取值范围. 6．已知(2cos ,1)a x x =+ ，(,cos )b y x = 且//a b （1）将y 表示成x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期； （2）记()f x 的最大值为,,,M a b c 分别为ABC ?的三个内角A B C 、、对应的边长，若(),2A f M =且2a =，求bc 的最大值. 7. 在锐角ABC ?中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，设2B A =，求b a 的取值范围.

解三角形中的最值问题

解三角形中的最值问题 1、在ABC ?中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，求cos C 的最小值。 【解析】由余弦定理知2 14242) (21 2cos 2222222 2 2 =≥+=+-+=-+=ab ab ab b a ab b a b a ab c b a C ， 2、在ABC ?中，60,3B AC ==o ，求2AB BC +的最大值。 3、在ABC ?中，已知角,,A B C 的对边分别为a ,b ,c ，且,sin 32sin a b A A B ≥+=。 （1）求角C 的大小；（2）求 a b c +的最大值。 解析：（1）由sin 32sin A A B +=得2sin 2sin 3A B π?? + = ?? ?，则sin sin 3A B π? ?+= ??? ，因为,a b ≥则A B ≥，所以3 A B π π+ =-，故2,33 A B C ππ+= =。 （2）由正弦定理及（1）得sin sin =sin sin 3cos 2sin sin 363a b A B A A A A A c C ππ++???? ?=+++=+ ? ??????? 所以当3 A π = 时， a b c +取得最大值2. 4、△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (1)求B ;(2)若2b =,求△ABC 面积的最大值. 【答案】

5、在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （1）求A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值. 解： 6、在ABC ?中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，且满足2)a c BA BC cCB CA -?=?u u u r u u u r u u u r u u u r 。 （1）求角B 的大小；（2）若||6BA BC -=u u u r u u u r ，求ABC ?面积的最大值。 答案：（1）2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得(2sin )cos sin cos ,A C B B C -=

(完整)初中数学《几何最值问题》典型例题

初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD

专题 三角形中的最值与取值范围问题

专题 三角形中的最值与取值范围问题 三角形中的边与角的最值与取值范围问题，是复习过程中的难点，在高考中考查形式灵活，常常在知识的交汇点处命题，与函数、几何、不等式等知识结合在一起。我们知道三角形只要满足三个条件，那么这个三角形就基本唯一确定了，而少于三个条件时，有些边角周长面积就可以变化，从而就有了求这些量的取值范围问题。这类问题的实质是将几何问题转化为代数问题，求解主要是充分运用三角形的内角和定理，正余弦定理，面积公式，基本不等式，三角恒等变形，三角函数的图像和性质来进行解题，非常综合，是解三角形中的难点问题。下面对这类问题的解法做下探讨。 类型一：已知一角+对边 例题1：在?ABC 中，A=60°，，求 （1）ABC ?面积的最大值； （2）b c +的取值范围； （3）2b c +的最大值； （4）BC 边上高的最大值。 类型二：已知一角+边的等量关系 例题2：在?ABC 中，A=60°，1b c +=，求 （1）ABC S ?的最大值； （2）a 的取值范围； （3）周长的取值范围。 类型三：已知一角+面积 例题3：在?ABC 中，A=60°，ABC S ?= （1）b c +的最小值； （2）a 的最小值。 （3）周长的最小值。 （4） 112b c +的最小值。 类型四：已知角的等量关系 例题4：在?ABC 中，A=2B ，则 c b 的取值范围为

变式：在锐角?ABC 中，A=2B ，则c b 的取值范围为 类型五：已知两边，求面积的最值 例题5：在?ABC 中，已知1,2AB BC ==，求 （1）ABC S ?的最大值； （2）角C 的取值范围。 类型六：已知一边+另两边的等量关系 例题6：在?ABC 中，已知6,10BC AB AC =+ =，求ABC S ?的最大值。 变式：在?ABC 中，已知6,BC AC ==，求ABC S ?的最大值。 类型七：三边的等量关系 例题7：在?ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,若2222a b c +=，求cos C 的最小值。

高考大题---解三角形中有关最值问题的题型汇总

解三角形中有关最值问题的题型汇总 1.（2010年浙江高考）在ABC ?中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，设S 为ABC ?的面积，满足)(4 3222c b a S -+=。 （1）求角C 的大小； （2）求B A sin sin +的最大值。 2（2011年湖南高考）在ABC ?中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，且满足C a A c sin sin = （1） 求角C 的大小； （2） 求)4cos(sin 3π +-B A 的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小。 3.（2011年全国新课标2）在ABC ?中，?=60B ，AC=3，求AB+2BC 的最大值。 4.（2012太原模拟）ABC ?中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，设向量),(a b a c m --=→，),(c b a n +=→，若→m 平行于→n 。 （1）求角B 的大小； （2）求C A sin sin +的最大值。 5（2012年浙江宁波模拟）已知函数θθπ2cos )4( sin 32)(2-+=x f ，A 为ABC ?中的最小内角，且满足32)(=A f 。 （1）求角A 的大小； （2）若BC 边上的中线长为3，求ABC S ?的最大值。 6. （2013年全国新课标2）在ABC ?中，c b a ,,C B A 所对的边分别为 ，，角，已知B c C b a sin cos += （1）求B ； （2）若b=2, 求ABC S ?的最大值。

7（2014年陕西高考）在ABC ?中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角。 （1）若c b a ,,成等差数列，证明sinA+sinC=2sin(A+C); （2）若c b a ,,成等比数列，求cosB 的最小值。 8.(2015年山东高考)设)4(cos cos sin )(2π+ -=x x x x f （1）求)(x f 的单调区间； （2）在锐角ABC ?中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，若)2(A f =0，a=1，求ABC S ?的最大值。 9.（2016年北京高考）在ABC ?中，ac b c a 2222+=+ （1）求角B 的大小； （2）C A cos cos 2+求的最大值。 10（2016高考山东理数）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A +=+ （Ⅰ）证明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC 的最小值． 11．（2016河南中原名校一联，理10）在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ， c ，已知向量()cos ,cos m A B = ，(),2n a c b =- ，且//m n ． （1）求角A 的大小； （2）若4=a ，求ABC S ?的最大值。 12.（2016绥化模拟）在ABC ?中，232cos 2 --x x C 是方程的一个根。 （1）求角C ； （2）当a+b=10时，求ABC ?周长的最小值。

专题24解三角形中的最值、范围问题(解析版)

专题24 解三角形中的最值、范围问题解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角” “角转边”，另外要注意a c,ac,a2 c 2三者的关系 . 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式” ，其中的核心是“变角” ，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式 . a b c 1、正弦定理：2R，其中R为ABC 外接圆的半径 sin A sinB sinC 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化 . 其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征 . 如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行学/科-+ 网 2 2 2 2 2 2 例如：（1） sin A sin B sin AsinB sin C a b ab c （2）bcosC ccosB a sin B cosC sinC cosB sin A （恒等式） bc sin B sinC （3） a 2 sin 2 A a sin A 2、余弦定理：a2 b2 c2 2bc cos A 22 变式：a2b c 2bc 1 cosA 此公式在已知a, A的情况下，配合均值不等式可得到 b c和bc 的 最值 4、三角形中的不等关系 （1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可 . 由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 （2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系： a b A B sinA sinB cosA cosB 其中由A B cosA cosB 利用的是余弦函数单调性，而A B sinA sinB 仅在一个三角形内有效. 5 、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值） （2）利用均值不等式求得最值

解三角形中的一类最值(范围)问题的解法探究

高中数学解三角形中的一类最值或范围问题的解法探究 姓名：任德辉 单位：重庆市綦江区南州中学 在正余弦定理的运用中，有一类题目值得关注。这类题有一个相同的特点，即知道三角形的一条边和边所对的角，求三角形面积（或周长）的最值（或范围），但在解题方法的选择上有值得考究的地方。请先看两个例题： 例1（13年重庆綦江中学）在ABC ?中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,且4,4 1cos == a A . （1）若6=+c b ，且b < c ，求c b ,的值． （2）求ABC ?的面积的最大值。 解 （1）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， ∴bc bc c b 2 12)(162--+= ∴8=bc ， 又∵,6=+c b b

中考培优竞赛专题经典讲义第10讲最值问题之三角形三边关系

第10 讲最值问题之三角形三边关系 模型讲解 问题：在直线l 上找一点P，使得PA PB 的值最大 解析：连接AB，并延长与 1 交点即为点P. 证明：如图，根据△ABP ' 三边关系，BP ' - AP ' < AB，即P ' B - P ' A< PB - P A 【例题讲解】 例题1、如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A、B 分别在边OM ，ON 上，当 B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC =1，运动过程中，点 D 到点O 的最大距离为 ____________. 【解答】 解：如图，取AB 的中点E，连接OD、OE、DE， Q ∠MON =90°，AB=2 OE=AE= 1 2 AB=1， Q BC =1，四边形ABCD 是矩形，AD =BC=1，DE= 2 ， 根据三角形的三边关系，OD

【巩固练习】 1、如图，∠MON =90°，边长为 2 的等边三角形ABC 的顶点A、B 分别在边OM 、ON 上，当 B 在边ON 上运动时， A 随之在边OM 上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点 C 到点O 的最大距离为____________. 2、在△ABC 中，∠C=90°，AC =4，BC =2，点A、C 分别在x 轴、y 轴上，当点 A 在x 轴上运动时，点 C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点 B 到原点的最大距离是___________________. 3、如右图，正六边形ABCDEF 的边长为2，两顶点A、B 分别在x 轴和y 轴上运动，则顶点 D 到原点O 的距离的最大值和最小值的乘积为___________________. 4、如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点 C 落在第二象限. 其斜边两端点A、B 分别落在x 轴、y 轴上，且AB=12cm （1）若OB =6cm. ①求点 C 的坐标； ②若点 A 向右滑动的距离与点 B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离； （2）点 C 与点O 的距离的最大值=_____________cm.

(文章)三角形中的最值问题

三角形中的最值问题 解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦余弦定理等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法只有两种，建立目标函数后，可以利用重要不等式解决，也可以利用三角函数的有界性。下面举例说明： 例1．要是斜边一定的直角三角形周长最大，它的一个锐角应是（ ） A ．∏ /4 B. ∏/3 C. ∏/6 D.正弦值是1/3的锐角 解：解法1.（三角函数的有界性）设斜边为c ，其一个锐角是α，周长是L,则两个直角边是csin α 和ccos α， 故 L=c+csin α +ccos α =c+1.414csin(α+∏ /4 ) ∵0<α<∏/2 ∴当α+∏ /4 =∏/2时，Lmax=c+1.414c 故选A 解法2.设两条直角边为a,b,周长为L ，则斜边c=22b a ＋是定值。 L=a+b+2 2b a ＋≤） ＋（222b a +22b a ＋=(2+1) 22b a ＋(当且仅当a=b 时取等号) 即三角形是等腰直角三角形，周长取得最大值时，其一个锐角是∏ /4 从而选A. 例2．已知直角三角形周长是1，其面积的最大值为 . 方法Ⅰ.（三角函数的有界性） 设该直角三角形的斜边是c ，一个锐角是A ，面积是S ，则两条直角边是csinA 和ccosA ，根据题意 csinA+ccosA+c=1,即c=A A sin sin 11＋＋ ① S=21csinA*ccosA=41sin2A ≤4 1 (当且仅当A=∏/4时取等号)

初中数学最值问题典型例题(含答案分析)

中考数学最值问题总结 考查知识点:1、“两点之间线段最短”,“垂线段最短”，“点关于线对称”,“线段的平移”。 (2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题） 问题原型:饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型: 条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点. 问题：在直线l上确定一点P,使PA PB +的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A',连结A B'交l于 点P,则PA PB A B' +=的值最小 例1、如图,四边形ＡBCD是正方形,△ABE是等边三角 形，M为对角线BD（不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、ＡM、CＭ. （1)求证:△ＡMB≌△ENB; （2)①当M点在何处时,ＡM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小,并说明理由; (3）当ＡM+BM+CＭ的最小值为时,求正方形的边长。 A B A'′P l

例2、如图13,抛物线y＝ax2+bx＋ｃ(a≠0)的顶点为（1,4)，交x轴于A、B，交y轴于D,其中B点的坐标为（3,０) (１）求抛物线的解析式 (2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点Ｅ,交y轴于点Ｆ,其中Ｅ点的横坐标为２,若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为ＰQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使Ｄ、G、Ｆ、H四点围成的四边形周长最小.若存在,求出这个最小值及G、Ｈ的坐标;若不存在，请说明理由. （３)如图１5,抛物线上是否存在一点Ｔ，过点T作ｘ的垂线，垂足为M,过点M作直线M N ∥BD，交线段AD于点N，连接MD,使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在,说明理由.

微专题5 三角形中的最值问题

微专题5 三角形中的最值问题 问题背景 高考复习过程中，三角形中的范围与最值问题，是同学们学习解三角形的过程中比较常见的问题，也是高考重要题型.它不仅仅需要用到三角变换、正余弦定理，往往还需要涉及不等式、函数、数形结合等知识与方法. 高考命题方向： 1.利用正余弦定理转化为三角函数求范围； 2.利用正余弦定理转化为基本不等式求最值； 3.利用数形结合求最值. 思维模型 说明： 1.解决方案及流程 ①分析边角关系，对照正余弦定理的适用范围，确定是否选择正余弦定理，还是建系列用数形结合法； ②若利用正余弦定理，确定是化边还是化角运算；若利用建系，转化为哪种几何问题； ③如化角，则利用三角变换将问题转化为某一三角式求值问题；如化边，则注意利用不等式或函数思想求解；如化为几何问题，则寻求特殊位置求解； ④注意考虑变量的范围对最值的影响； ⑤总结归纳在三角形中求范围问题的方法. 2.失误与防范 ①使用正余弦定理时，究竟是化边为角，还是化角为边，有时都可以，有时只能从一个方向去突破，要扣准条件和目标； ②在涉及角的问题尤其是锐角或钝角三角形时，要注意角的隐含条件的挖掘； ③三角形中某些特殊类型，容易思维定势，总在正余弦定理中考虑，有时可以通过建系列用数形结合迎刃而解. 问题解决 一、典型例题 例1 ABC ?中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，2A C =，则 a c 的取值范围是____. 变题：若在例1中ABC ?改为锐角ABC ?，则a c 的取值范围是____. 例2 ABC ?中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且,,a b c 成等比数列，则角B 的最大值为____. 拓展：ABC ?中，已知tan 3tan A B =，求角A —角B 的最大值. 例3 满足条件2,AB AC ==的三角形ABC 的面积的最大值为____.