2013年南昌市高中数学竞赛试题解答
【说明】：凡是题号下标志有“高一”的，为高一考生试题；题号下标志有“高二”的，为高二考生试题；凡未作这种标志的，则为全体考生试题
一、填空题（每小题10分，共80分）
1、将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排，则从左至右的
第2013个数字是 ．
答案：7．
解：全体一位数共占据9个数位，全体两位数共占据290180?=个数位，接下来是顺次排列的三位数，由于201391801824--=，而
1824
6083
=，因60899707+=，所以第2013个数字是三位数707的末位数字，即为7．
2、（高一）设等比数列{}n a 的前n 项和315n
n S ??
=- ???
，则其公比
q = ．
答案：3
5
．
解：1125a S ==-，当2n ≥时，1
12355n n n n a S S --??
=-=-? ???
，
（高二）若自椭圆中心到焦点、长轴顶点、以及到准线的距离之长可以组成一个直角三角形，则该椭圆的离心率是 ．
解：由2
222
a c a c ??+= ???
，得2c ab =，又据222c b a +=，得22ab b a +=，所
以
a b =，则22a a ab c b =?=，所以c e a
==．
3、（高一）等差数列1,5,9,,2013L 与3,8,13,,2013L 的相同的项之和为 ．
答案：102313．
解：等差数列(1,5,9,,2013)A =L ，(3,8,13,,2013)B =L 的第一个相同项是13，最后一个相同项是2013，而A 以4为公差，B 以5为公差，所以，A B I 构成以13为首项，
2013为末项，且公差为20的等差数列，公共项个数为201313
110120
n -=
+=，所以公共项的和为S =
101(132013)
1023132
+=．
（高二）正四棱锥P ABCD -中，5,6PA AB ==，M 是PAD ?的重心，则四面体MPBC 的体积是 ．
答案：．
解：设PM 交AD 于N ，则2
22162AD PN PA ??
=-= ???，所以4PN =；若PH 是四棱锥的高，则2
2
2
72AB PH PN ??=-= ???
，PH =，正方形ABCD 面积为
36，所以，
NBC ?的面积为18，故四面体P NBC -
体积为1
183
PNBC V =?=，
又由13MN PN =，所以四面体M NBC -
体积为13
MNBC PNBC V V ==体MPBC
的体积为：MPBC PMBC MNBC V V V =-=．
4、
（高一）满足24312
x
x x -+=-的实数x 的集合是 { }．
答案：7944?+??????
． 解：数形结合，将其视为
求
243y x x =-+
与12
x y =-交点的横坐标，如图；由于
243(1)(3)x x x x -+=--，仅当2x >时，
102
x
y =
->，此时方有交点，
当23x <<，2243(43)x x x x -+=--+，由2(43)12
x x x --+=-得74
x +=
，
当3x >，224343x x x x -+=-+，24312
x x x -+=-，得94
x +=
． （高二）函数4sin 3cos x
y x
-=-的最大值是 ．
答案：
64
． 解：将函数式看作定点(3,4)与动点(cos ,sin )x x 连线的斜率；而动点(cos ,sin )x x 的轨迹是一个单位圆，设过点(3,4)的直线方程为4(3)y k x -=-，即(34)0y kx k -+-=，
当斜率取最大值时，该直线应是单位圆的一条切线，于是原点到该直线距离为1，
即有2341k k -=+，所以k =
． 5、若a 为正数，[]a 表示a 的整数部分，而{}[]a a a =-，如果,[],{}a a a 顺
次组成等比数列，则a = ．
答案：
12
+． 解：改记{},[]a a k θ==，由等比，2{}[]a a a =，而{}[]a a a =-，所以
2()k k θθ+?=，220k k θθ+-=，12
k θ-+=?
，由于01θ<<，则k 为正整数，
且只有1k =，从而12θ=
，所以12
a k θ+=+=． 6、（高一）,,a
b
c 是不同的正整数，若集合
{}{}222,,,(1),(2)a b b c c a n n n +++=++，
n 为正整数，则222a b c ++的最小值是 ．
答案：1297．
解：由222(1)(2)2()n n n a b c ++++=++=偶数，所以,1,2n n n ++两奇一偶；即n 为奇数，显然1n >，不妨设a b c <<，如果3n =，则由
9,16,25a b a c b c +=+=+=得
25a b c ++=，此时导致0a =，矛盾！
所以5n ≥，当5n =时，由25,36,49a b a c b c +=+=+=，解得
6,19,30a b c ===，
这时，2221297a b c ++=．
7、函数2013
1()k f x x k ==-∑的最小值是 ．
解：由于1,2,,2013L 的中间一数为1007，当1007x =时，函数取得最小值
8、若sin sin sin αβγ+=，cos cos cos αβγ+=-，则
答案：32
．
解：将条件式平方得， 两
式
相
加
得
1
cos()2
αβ-=-
；两式相减得：
cos 2cos 2cos 22cos()γαβαβ=+++
因此，()22231
cos cos cos cos 2cos 2cos 222
αβγαβγ++=+
++