基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题（附答案）
选修2-21.2.2第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则
一、选择题
1 .函数y = (x+ 1)2(x—1)在x= 1处的导数等于()
A．1B．2
C. 3
D. 4
答案］D
解析］y = (x+1)2］'—x1 )+(x+ 1)2(x—1)'
=2(x + 1)?(x—1) + (x+ 1)2= 3x2 + 2x—1,
y‘ =1= 4.
2.若对任意x€ R, f‘ =)4x3, f(1) = —1,则f(x)=()
A. x4
B. x4— 2
C. 4x3—5
D. x4+ 2
答案］B
解析］丁f‘(=4x3.f(x) = x4+c,又f(1) = — 1
? ? ? 1 + c= — 1 ,? ? ? c= —2,—f(x) = x4 — 2.
3 .设函数f(x) = xm + ax 的导数为f‘ =)2x+1,则数列{1f(n)}(n € N*) 的前n 项和是()
A.nn+1
B.n+2n+1
C.nn—1
D.n+1n 答案］A
解析］T f(x) = xm+ ax 的导数为f‘(x)2x + 1,
/. m = 2, a= 1,二f(x) = x2+ x,
即f(n) = n2+n=n(n+ 1),
二数列{1f(n)}(n € N*)的前n项和为：
Sn= 11 X2 12X3 13 x+…+ 1n(n+ 1)
=1 —12+ 12—13+…+ 1n —1n + 1
=1 —1n+ 1= nn+ 1,
故选 A.
4.二次函数y = f(x)的图象过原点，且它的导函数y= f‘的)图象是过第
一、二、三象限的一条直线，贝卩函数y= f(x)的图象的顶点在()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案］C
解析］由题意可设f(x)= ax2 + bx, f' (=2ax + b,由于f‘(的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0, b>0,则f(x) = ax+ b2a2—b24a, 顶点—b2a,—b24a 在第三象限,故选 C.
5 .函数y = (2 + x3)2的导数为()
A. 6x5+ 12x2
B. 4+ 2x3
C. 2(2+ x3)2
D. 2(2+ x3)?3x
答案］A
解析］t y= (2+ x3)2= 4+ 4x3+ x6,
/. y = 6x5 + 12x2.
6. (2010?江西文，4)若函数f(x) = ax4 + bx2 + c满足f‘ 侍)2,贝卩 f -(1)
=()
A.- 1
B.- 2
C. 2
D. 0
答案］B
解析］本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f‘(x)4ax3+ 2bx,
f，41)=-4a-2b=- (4a + 2b), f '件)4a + 2b, A「—()= — f‘(4— 2
要善于观察,故选 B.
7.设函数f(x)= (1 —2x3)10，贝S f ' 4X)
A. 0B.- 1
C.- 60
D. 60
答案］D
解析］f ' (4)10(1 —2x3)9(1 —2x3) 4 10(1 —2x3)9?(—6x2)= —
60x2(1 —
2X3)9,A f ' (1)60.
8.函数y = sin2x—cos2x的导数是()
A. 22cos2x— n 4B cos2x— sin2x
C. sin2x+ cos2x
D. 22cos2x+ n4
答案］A
解析］y = (si n2x—cos2x) = (sin 2x) —(cos2x)
=2cos2x+ 2sin2x= 22cos2x— n 4.
9.(2010?高二潍坊检测)已知曲线y= x24—3lnx的一条切线的斜率为
12，则切点的横坐标为()
A. 3
B. 2
C. 1
D.12
答案］A
解析］由「(対x2 —3x= 12得x= 3.
10.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y= f(x)在x=
5 处的切线的斜率为()
A.—15
B. 0
C.15
D. 5
答案］B
解析］由题设可知f(x + 5) = f(x)
二f‘ (+5)= f‘ ,)二f‘(?f‘ (0)
又f( —x)= f(x),「. fTx)(—1)= f‘ (x)
即x)= —f‘ ,)??? f‘ (0)0
故f '(另f ' (&)0.故应选B.
二、填空题
11.________________________________________ 若f(x) = x, ? (x 弄 1 + sin2x,则 f ? (x并______________________ , ? f(x)扫 _______
答案］2si nx+ n4 1 + sin2x
解析］f ? (x)f 1 + sin2x= (sinx+ cosx)2 =|sinx + cosx| = 2sinx+ n 4.
? f(x)” 1 + sin2x.
12.设函数f(x) = cos(3x+ ? )(0C ?< n,若f(x)+ f '是)奇函数，贝S ?=
答案］n6
解析］f (x)- 3sin(3x+ ?)
f(x) + f ' (x)cos(3x+ ? ) 3sin(3x+ ?)
=2sin3x + ?+ 5 n 6.
若f(x) + f‘ 为奇函数，则f(0) + f‘ (=)0,
即0= 2sin + 5 n 6 二?+ 5 n 6= k n (l€ Z).
又T ?€ (0, n ,二?= n 6.
13.函数y= (1+ 2x2)8的导数为_________ .
答案］32x(1 + 2x2)7
解析］令u= 1 + 2x2,则y= u8,
??? y' = y' u?u= 8u7?4x= 8(1 + 2x2)7?4x
= 32x(1 + 2x2)7.
14.函数y= x1 + x2 的导数为_______ .
答案］(1 + 2x2)1 + x21 + x2
解析］y = (x1 + x2) = x' + x2+ x(1 + x2) = 1 + x2 + x21 + x2= (1 + 2x2)1 + x21 + x2.
三、解答题
15.求下列函数的导数：
(1)y= xsin2x; (2)y= In(x + 1+ x2);
(3)y= ex+ lex—1; (4)y= x+ cosxx+ sinx.
解析](1)y =(x) sir+xc(sin2x)'
=sin2x+ x?2s in x?(s in x)= §in2x+ xsin 2x.
(2)y = 1x+ 1 + x2?(x + 1 + x2)'
=1x+ 1 + x2(1 + x1 + x2)= 11 + x2.
(3)y = (ex +1) ' (—x1)—(ex + 1)(ex—1) ' (—1)2= —2ex(ex—1)2.
(4)y = (x+ cosx) '+(sinx)—(x+ cosx)(x+ sinx)(x+ sinx)2
= (1 —sinx)(x+ sinx)—(x+ cosx)(1+ cosx)(x+ sinx)2
=—xcosx—xsinx+ sinx—cosx—1(x+ sinx)2.
16．求下列函数的导数：
(1)y= cos2(x2—x); (2)y= cosx?sin3x;
(3)y= xIoga(x2+ x—1); (4)y= Iog2x—1x+ 1.
解析](1)y = cos2(x2- x)]
=2cos(x2— x)cos(x2— x)]
=2cos(x2— x) —sin(x2—x)](x2 —x)'
= 2cos(x2—x)—sin(x2—x)](2x—1)
= (1 —2x)sin2(x2—x)．
(2)y = (cosx?sin3x)= (cosx) ' s+3x)sx(sin3x) '
=—sinxsin3x+ 3cosxcos3x= 3cosxcos3x—sinxsin3x.
(3)y = Ioga(x2+ x—1)+ x?1x2+ x—1Iogae(x2+ x—1) = Ioga(x2+ x—1)+
2x2＋xx2＋x－1logae.
(4)y 厶x+ 1x—1x—1x+ 1' Iog2ex + 1x—1log2ex + 1 —x+ 1(x + 1)2
=2log2ex2— 1.
17.设f(x) = 2sinx1 + x2,如果 f '閑2(1 + x2)2?g(x),求g(x).
解析］?/ f'閑2cosx(1+ x2)—2sinx?2x(1 + x2)2
=2(1 + x2)2(1 + x2)cosx— 2x?s inx］,
又f‘ 閑2(1 + x2)2?g(x).
g(x)= (1 + x2)cosx- 2xs in x.
18.求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)
(1)y= f1x；(2)y=f(x2 + 1).
解析］(1)解法1：设y= f(u), u= 1x,则y‘亲y‘ u?u=f' (u—1x2= —1x2f ' 1x.
解法2：y = f1x = f‘ 1x?似-1x2f‘ 1x.
(2)解法1:设y= f(u), u = v, v=x2+ 1,
1.2.2 基本初等函数的导数公式 1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝e 3 ，则y ′＝0 B ．若y ＝ 1 x ，则y ′＝－1 2x C ．若y ＝－x ，则y ′＝－1 2x D ．若y ＝3x ，则y ′＝3 2．下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②? ????sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′|x =3＝－227.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．1 2 4．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．??????0，π4∪??????3π4，π B ．[0，π) C ．??????π4，3π4 D ．??????0，π4∪??????π2，3π4 5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2 )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.12e 2 B.94 e 2 C ．2e 2 D ．e 2 6．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N * )在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( ) A ．1n B ．1n ＋1 C ．n n ＋1 D ．1 课后探究 1．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为 2．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为
一、选择题 2．已知函数f (x )＝x 3 的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 4．y ＝x α 在x ＝1处切线方程为y ＝－4x ，则α的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．1 D ．－1 5．f (x )＝ 1x 3 x 2 ，则f ′(－1)＝( ) A ．52 B ．－52 C ．53 D ．－53 6.函数y ＝e x 在点(2，e 2 )处的切线与坐标轴围成三角形的面积为( ) A ．94e 2 B ．2e 2 C ．e 2 D ．e 2 2 二、填空题 7．曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n 等于________． 8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5 t ，则质点在t ＝32时的速度等于________． 9．在曲线y ＝4 x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________． 三、解答题 10．求证双曲线y ＝1 x 上任意一点P 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值． 一、选择题 11．(2014·北京东城区联考)曲线y ＝13x 3 在x ＝1处切线的倾斜角为( ) A ．1 B ．－π4 C ．π4 D ．5π4
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则
设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或 ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出． 可以推出下表列出的公式：
课时授课计划
教师活动 教学过程： 一?创设情景 2 1 四种常见函数y=c、y = x、y =x、y —的导数公式及应用 :■?新课讲授 学生活动学生自行预习
(二)导数的运算法则导数运算法则 1. 〔f(X)土g(x)i = f'(x) ±g'(x) 2. [f(x) g(x)]' = f'(x)g(x)±f(x)g'(x) I f (x) I f (x) g (x) - f (x) g (x) / . . 3. = ——(g(x)HO) ]g(x) 一[g(x)f (2)推论:lcf(x) I - Cf'(x) (常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数) 三.典例分析 例1 .假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5% ,物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系p(t) = p0(1 - 5%亍，其中p0 为t = 0时的物价.假定某种商品的p0 = 1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)? 解：根据基本初等函数导数公式表，有p'(t) =1.0“ In 1.05 所以p (10) =1.0510|n1.05 ： 0.08 (元/年) 因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨. 例2?根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数. (1) y = x3 -2x 3 (2) y 1 1 (3) y = x sin x ln x; (4)y (5)y (6)y 4x 1 -ln x 1 l n x (2 x2—5 x + 1) e x / 、sin x—xcosx (7) y =-------------------------- cosx +xsin x 通过预习自行完成 在老师的指导下独立完成后面几道题
导数基本知识汇总试题 基本知识点： 知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点） 1、=c '0 2、 =n n x nx -1'（） （n 为正整数） 3、 ln =x x a a a '（） =x x e e '（） 4、ln =a long x x a 1'（） 5、ln =x x 1 '（） 6、sin cos =x x '（） 7、 cos sin =-x x '（） 8、=-x x 211'（） 知识点二：导数的四则运算法则 1、v =u v u '''±±（） 2、 =u v uv v u '''+（） 3、(=Cu Cu '' ） 4、u -v =u v u v v 2'''（） 知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b ，()f x '>0，则()f x 在此区间是增区间，(,)a b 为()f x 的单调增区间。 2、如果在(,)a b ，()f x '<0，则()f x 在此区间是减区间，(,)a b 为()f x 的单调减区间。 一、计算题 1、计算下列函数的导数； （1）y x 15= （2） )-y x x 3=≠0（ （3）)y x x 54=0 （ （4）)y x x 23=0 （ （5）)-y x x 23 =0 （ （6）y x 5=
（7）sin y x = （8）cos y x = （9）x y =2 （10）ln y x = （11）x y e = 2、求下列函数在给定点的导数； （1）y x 1 4= ，x =16 （2）sin y x = ，x π =2 （3）cos y x = ，x π=2 （4）sin y x x = ，x π =4 （5）3y x = ，11 28（，） （6）+x y x 2=1 ，x =1 （7）y x 2 = ，,24（）
基本初等函数的导数公式推导过程 一、幂函数()f x x α=（α∈Q *）的导数公式推导过程 命题 若()f x x α=（α∈Q *），则()1f x x αα-'=． 推导过程 ()f x ' ()()()()()()000112220 011222011222011220 lim lim C C C C lim C C C C lim C C C lim lim C C C x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα αααααααααααααααααααααααα ααααααα?→?→--?→--?→--?→--?→+?-=?+?-=?+?+?++?-=?-+?+?++?=??+?++?=?=+?++L L L L ()11 11 C x x x ααααααα---?== 所以原命题得证． 二、正弦函数()sin f x x =的导数公式推导过程 命题
推导过程 ()f x ' ()() ()()()()0000020lim sin sin lim sin cos cos sin sin lim cos sin sin cos sin lim cos sin sin cos 1lim cos 2sin cos sin 12sin 1222lim x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→?→?→+?-=?+?-=??+?-=??+?-=??+?-=???????????+?-- ? ????????=2 00002sin cos cos 2sin sin 222lim 2sin cos cos sin sin 222lim 2sin cos 22lim sin 2lim cos 22x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→????????- ???=???????- ???=?????+ ???=?????????=+??? ???????? 当0x ?→时，sin 22 x x ??=，所以此时sin 212x x ?=?． 所以()0lim cos cos 2x x f x x x ?→???'=+= ??? ，所以原命题得证． 三、余弦函数()cos f x x =的导数公式推导过程 命题
导数基本知识汇总试题 基本知识点： 知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点） 1、"0 2、 （乂7二心I （n 为正整数） 3、 Ca x y=a x \na Ce x y=e x （long a xy=-^— 4、 xina （lnxX=- 5、 x 6、 （sin Q 二 cos x 7 （cos x ）‘二-sin x '（ly=-± 8. x 对 知识点二：导数的四则运算法则 1、 （"土 v y=u ± v r 2、 （nv ）r =u F v + //v r 3、 （Cu7=Cu 4、 v 知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则 1. 如果在广（力＞°,则/a ）在此区间是增区间，为/（X ）的单调增区间。 2、如果在（""），广（x ）v0,则/（x ）在此区间是减区间，（心）为/（X ）的单调减区 间。 一、计算题 1. 计算下列函数的导数: (1) y = x 15 (2) y = x* (XH O) (3) 5 y = x 4 (x a 0) (4) 2 y = x^ (XA O) (5) 2 y = x 3 (X A 0) (6) y = x 5
(7) ＞，=v2 , 24) (7) y = sin x (8) y = cos x (9) y=r (10) y = In x (11) y = e x 2、求下列函数在给泄点的导数: 2 (1)尸存，“16 7T . X =— (4) y = xsinx , 4 x y = --- (6) 1+F ,兀=1 (2) y = sinx (3)y = cosx x = 2TT 3 (5) ＞，=v
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（两课时） 学习目标 1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数； 2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数. 3.复合函数的分解，求复合函数的导数. 一、预习与反馈（预习教材P 14~ P 19，找出疑惑之处） 复习1：常见函数的导数公式： (1) '____C =(C 为常数)；(2)()'________n x =, n ∈N +；(3)(sin )'_______x =； (4)(cos )'_______x =; (5)()'________x e =; (6)()'_________x a =; (7)(ln )'______x =; (8) e x x a a log 1)'(log = 复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数 （1）6y x = （2 ）y = （3）21y x = （4 ）y = 新知 1.可导函数的四则运算法则 法则1 '[()()]____________.u x v x ±=(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2 [()()]____________u x v x '=. (口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号) 法则3 ()[]_______________(()0)() u x v x v x '=≠(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号)
例1. 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数3123y x x x =-++导数. 变式：（ 1）2log y x =； （2）2x y e =； （3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =- 例2求下列函数的导数： （1）32log y x x =+； （2）n x y x e = （3）y=2e -x 2. 复合函数： 1.定义：一般地，对于两个函数y =f (u )和()u g x =，如果通过变量u,y 可以表示成x 的函数，那么这个函数为函数 和 的复合函数，记住 2.复合函数的求导法则 复合函数(())y f g x =的导数和函数y =f (u )，()u g x =的导数间的关系式为 ，即y 对x 的导数等于 的乘积。 例。3 求下列函数的导数： （1）2(23)y x =+； （2）1x y e -+=； （3）sin()y x π?=+
()()()()()()()( )( )()()1 222 2 ()'0 ()'()'ln '1 (log )'ln 1ln '(sin )'cos cos 'sin tan 'sec cot 'csc sec 'sec tan csc 'csc cot arcsin 'arccos '1arctan '11cot '1a a x x x x a c x ax a a a e e x x a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x x -========-==-==-= ==+-=+ 导数运算法则 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2'''''''''u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x v x u x v x u x v x u x u x ±=±=+??-= ? ???????
1220 ln 1ln 1log ln sin cos cos sin tan sec cot csc sec sec tan csc csc cot arcsin arccos 1arctan 1arc cot u u x x x x a dc dx ux dx de e dx da a adx d x dx x d x dx x a d x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d x x xdx d x x xdx d x dx d x dx d x dx x d x -========-==-==-= ==+-=211dx x + 微分的四则运算： ()()2()0d u v du dv d uv udv vdu v udv vdu d u u u ±=±=+-??=≠ ???
基本初等函数的导数公式 学习目标： 掌握初等函数的求导公式； 学习重难点： 用定义推导常见函数的导数公式． 一、复习 1、导数的定义； 2、导数的几何意义； 3、导函数的定义； 4、求函数的导数的流程图。 （1）求函数的改变量()(x f x x f y -?+=? （2）求平均变化率 x y = ?? （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ??→?0 lim 本节课我们将学习常见函数的导数。首先我们来求下面几个函数的导数。 （1）、y=x （2）、y=x 2 （3）、y=x 3 问题：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？ 问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？ 二、学习过程 1、基本初等函数的求导公式： ⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '= ⑷ 2()2x x '= ⑸ 32()3x x '= ⑹ 2 1 1()x x '=- ⑺ '= 由⑶~⑹你能发现什么规律? ⑻ 1()x x ααα-'= （α为常数） ⑼ ()ln (01)x x a a a a a '=>≠， ⑽ a a 11(log x)log e (01) x xlna a a '= = >≠，且 ⑾ x x e )(e =' ⑿ x 1)(lnx =' ⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －=' 从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。
例1、求下列函数导数。 （1）5-=x y ( 2）x y 4= （3）x x x y = (4)x y 3log = （5）y=sin(2 π +x) (6) y=sin 3 π （7）y=cos(2π－x) 例2.若直线y x b =-+为函数1y x = 图象的切线,求b 的值和切点坐标. 变式1.求曲线y=x 2 在点(1,1)处的切线方程. 总结切线问题：找切点 求导数 得斜率 变式2:求曲线y=x 2过点(0,-1)的切线方程 变式3:已知直线1y x =-,点P 为y=x 2 上任意一点,求P 在什么位置时到直线距离最短. 三:课堂练习. 1.求下列函数的导数 (1)3y x = (2)y = (3)2 1y x = (4)3x y = (5)2log y x = (6)cos y x = 四、小结 （1）基本初等函数公式的求导公式 （2）公式的应用 随堂检测： 1. 已知3()f x x =,则'(1)f = 。 2．设y = ，则它的导函数为 。 3．过曲线3y x -=上的点1 (2,)8 的切线方程为 。 4．求下列函数的导函数 （1）2y x -= （2）y = (3）41y x = （4）2x y = （5）4log y x = （6）ln y x = （7）sin()2y x π=- （8）3cos()2 y x π =+ 5．求曲线x y e =在0x =处的切线方程。
1.2．2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）教学目的：1熟练掌握基本初等函数的导数公式。 2掌握导数的四则运算法则； 3能利用给出的公式和法则求解函数的导数。 教学重点难点 重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学安排：两课时 教学过程： 引入：复习巩固导数的基本公式，及其基本运算规律。 且 知识讲解： 一：基本初等函数的导数公式 为了方便我们将可以直接使用的基本初等函数的导数公式表如下：
关于表特别说明：1 常数函数 的导 数是 0； 2幂函数 导数是以对应幂函数的指数为系数 3 余弦函 数的导数是正弦函数的相反 数。 从图像上来看，正弦函数在区间上单调递增，瞬时变化率为正， 和余弦函数在该区间的正负是一致的， 余弦函数在区间上是单调递减，瞬时变化率为负， 和正弦函数在该区间的正负是相反的，故 有一个负号。 4
的导数是它自身。 5 例1计算下列函数的导数 强调：1幂函数和指数函数是两种不同的函数，关键是看变量所处的 位置是在底数上还是在指数上。 2 导函数的定义域决定于原函数的定义域。 练习：求下列函数的导数。 例 2．（课本P14例1）假设某国家在20 那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约 是多少（精确到0.01 ）？ /年） 在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．
提出问题： 10个年头，这种 0.01）？ 二导数的计算法则 推论1 导数不变） 2 （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数 的导数） 3 解决问题： 公式和求导法则，有 /年） 0.4元/年的速度上涨．例3 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数，并注明定义域。
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学目标： 1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景 四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x = 的导数公式及应用 二．新课讲授 （一）基本初等函数的导数公式表
（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 三．典例分析 例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =
所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年） 因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+ （2）y ＝x x --+1111； （3）y ＝x · sin x · ln x ； （4）y ＝ x x 4 ； （5）y ＝x x ln 1ln 1+-． （6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x （7） y ＝x x x x x x sin cos cos sin +- 【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为 5284()(80100)100c x x x =<<- 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数． '' ' '252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ?--?-==-- 20(100)5284(1)(100)x x ?--?-=-25284(100) x =- （1） 因为' 25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨． （2） 因为'2 5284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨． 函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越
§122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (两课时) 学习目标 1. 理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数; 2. 理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数 3. 复合函数的分解，求复合函数的导数 . 一、预习与反馈(预习教材P l4~ P l9，找出疑惑之处) 复习1：常见函数的导数公式： cosx)' ________ ; (5) (e x )' ________ ； ⑹(a x )' 1 ⑺(l nx)' ________ ; (8) (log a x)' log a e x 复习2:根据常见函数的导数公式计算下列导数 新知 1. 可导函数的四则运算法则 法则1 [u(x) v(x)]' ______________ . ( 口诀：和与差的导数等于导数的和与差 ). 法则2 [u(x)v(x)] ____________ . ( 口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号 ) 法则3 [凹] __________________ ( v(x) 0)( 口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下 v(x) (1) C' _______ (C 为常数)；(2) (x n )' n € N +; (3) (sin x)' ______ 6 (1)y x (2) y - x
导上不导，中间是负号) 1 例1. 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数 y x 3 2x 丄3导数. x 变式：(1) y log 2x ； 例2求下列函数的导数: (1) y x 3 log 2 x ； 2. 复合函数： 1. 定义：一般地，对于两个函数y =f (u )和u g(x)如果通过变量u,y 可以表示成x 的函数， 那么这个函数为函数 _________ 和 ______________ 的复合函数，记住 _____________________ 2. 复合函数的求导法则 复合函数y f(g(x))的导数和函数y =f (u )， u g(x)的导数间的关系式 为 ________________ ，即y 对x 的导数等于 _________________ 的乘积。 例。3求下列函数的导数： 2 x 1 (1) y (2x 3) ； ( 2) y e ； (3) y sin( x ) x (2) y 2e ； (3) y 2x 5 3x 2 5x 4； (4) y 3cosx 4sin x (3)y=2e -x
几种常见函数的导数公式： ①C'=0(C为常数函数) ②(x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数。 ③(sinx)' = cosx (cosx)' = - sinx (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx (cscx)'=-cotx·cscx (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) ④(sinhx)'=coshx (coshx)'=sinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx·sechx (cschx)'=-cothx·cschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) ⑤(e^x)' = e^x (a^x)' = （a^x）lna （ln为自然对数）(Inx)' = 1/x（ln为自然对数）(logax)' =x^(-1) /lna(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2) 【其中第4类不用记，那是大学的内容】 希望回答对你有所帮助！
1．常见函数的导数公式： （1）0'=C (C 为常数)； （2）1)'(-=n n nx x (Q n ∈)； （3）x x cos )'(sin =； （4）x x sin )'(cos -=； （5）a a a x x ln )'(=； （6）x x e e =)'(； （7）e x x a a log 1)'(log = ； （8）x x 1)'(ln = ． 2．导数的运算法则： 法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=． 法则3 ' 2 ''(0)u u v uv v v v -?? =≠ ??? ． 3．复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x )． 例题：一：1：求函数323y x x =-+的导数. 2： y = x x sin 2．函数y =x 2cos x 的导数为 。 函数y =tanx 的导数为 。 2：求下列复合函数的导数： ⑴3 2 )2(x y -=； ⑵2 sin x y =； ⑶)4 cos(x y -=π ； ⑷)13sin(ln -=x y ．3 2 c bx ax y ++=
4．曲线y =x 3的切线中斜率等于1的直线 （ ） A ．不存在 B ．存在，有且仅有一条 C ．存在，有且恰有两条 D ．存在，但条数不确定 5．曲线3()2f x x x =+-在0P 处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点的坐标为（ ） A 、( 1 , 0 ) B 、( 2 , 8 ) C 、( 1 , 0 )和(－1, －4) D 、( 2 , 8 )和 (－1, －4) 6．f (x )=ax 3 +3x 2 +2,若f ′(－1)=4,则a 的值等于 （ ） A. 3 19 B. 3 16 C. 3 13 D. 3 10 7．曲线22x y =在点（1，2）处的瞬时变化率为（ ） A 2 B 4 C 5 D 6 8．已知曲线122+=x y 在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标是（ ） A （1，3） B （-4，33） C （-1，3） D 不确定 9．物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,则在4s 附近的平均变化率 . 10．曲线y ＝x 3－3x 2 ＋1在点(1,－1)处的切线方程为__________________. 11．已知l 是曲线y = 3 1x 3 +x 的切线中，倾斜角最小的切线，则l 的方程是 . 12.已知过曲线y =3 1x 3上点P 的切线l 的方程为12x -3y =16,那么P 点坐标只能为 ( ) A.?? ? ??38, 2 B.?? ? ??- 34,1 C.?? ? ??- -328,1 D.?? ? ??320, 3 13．已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在x =1处的切线方程是y=x －2. 求)(x f y =的解析式. 14．求过点（2，0）且与曲线y = x 1相切的直线的方程.
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) ， (13) (14) (15) (16) 函数的和、差、积、商的求导法则 设，都可导，则 （1）（2）（是常数） （3）（4） 反函数求导法则 若函数在某区间内可导、单调且，则它的反函数在对应区间内也可导，且 或 复合函数求导法则 设，而且及都可导，则复合函数的导数为 或 ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．
可以推出下表列出的公式： 常用积分公式表·例题和点评 ⑴ d k x kx c =+? (k 为常数) ⑵1 1 d (1)1 x x x c μ μμμ+≠- =++? 特别， 2 11 d x c x x =-+?, 3 22 3 x x c =+, x c =? ⑶ 1 d ln ||x x c x =+? ⑷d ln x x a a x c a =+? , 特别，e d e x x x c =+?
⑸ sin d cos x x x c =-+? ⑹cos d sin x x x c =+? ⑺ 2 2 1d csc d cot sin x x x x c x ==-+?? ⑻ 2 2 1d sec d tan cos x x x x c x ==+?? ⑼ arcsin (0)x x c a a =+>? , 特别，arcsin x x c =+ ⑽ 2211d arctan (0)x x c a a a a x =+>+?,特别，2 1 d arctan 1x x c x =++? ⑾ 22 11d ln (0)2a x x c a a a x a x +=+>--? 或 22 11d ln (0)2x a x c a a x a x a -=+>+-? ⑿tan d ln cos x x x c =-+? ⒀cot d ln sin x x x c =+? ⒁ ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c x x x x c x ?-+?==?+?? ?? ⒂ πln sec tan 1sec d d ln tan cos 24x x c x x x x c x ?++? ==???++ ????? ?? ⒃ (0) a x >== ? ln x c ++ ⒄ 2(0) arcsin 2a a x x c a >==+? ⒅ x ? 2(ln 2 a a x c >==++
高中数学-基本初等函数的导数公式 典题探究 例1、已知函数()6f x =，则'()f x =___________ 例2、已知函数6 ()f x x =，则'()f x =___________ 例3、已知函数()sin f x x =，则'()f x =___________ 例4、已知函数()cos f x x =，则'()f x =___________ 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．已知函数3 2()f x x = ，则'()f x =___________ 2．已知函数21()f x x =，则'()f x =___________ 3．已知函数()f x x =，则'(4)f =___________ 4．已知函数()f x x =，则'()f x =___________ 5．已知函数()3x f x =，则'()f a =___________ 6．已知函数()cos f x x =，则'()f α=___________ 7．已知函数()2x f x =，则'()f x =___________ 8．已知函数()x f x e =，则'()f x =___________ 9．已知函数3()log f x x =，则'()f x =___________ 10．已知函数()ln f x x =，则'()f x =___________ B 档（提升精练） 1．已知函数()8f x =，则'(8)f =___________ 2．已知函数1()f x x = ，则'()f x =___________ 3．已知函数()f x x =，则'()f x =___________ 4．已知函数8()f x x =，则'(6)f =___________ 5．已知函数()sin f x x =，则'()f α=___________ 6．已知函数()cos f x x =，则'()f α=___________ 7．已知函数()2x f x =，则'(0)f =___________ 8．已知函数()x f x e =，则'(1)f =___________ 9．已知函数()lg f x x =，则'()f x =___________ 10．已知函数()ln f x x =，则'()f e =___________ C 档（跨越导练） 1．已知函数2()f x x =，求()f x 在(1(1))f ,处切线方程的斜率为___________ 2．已知函数()f x x = ，求()f x 在(4(4))f ,处切线方程的斜率为___________ 3．已知函数1()f x x =，求()f x 在(2(2))f ,处切线方程的斜率为___________ 4．已知函数()sin f x x =，求()f x 在(0(0))f ,处切线方程的斜率为___________
四、基本求导法则与导数公式 １. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1) 0)(=' C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 2 11)(arcsin x x -= ' (14) 2 11)(arccos x x -- =' (15) 2 1(arctan )1x x '= + (16) 2 1(arc cot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u ' ±'='±)( （2） u C Cu ' =')(（C 是常数） （3） v u v u uv ' +'=')( （4） 2 v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间 y I 内可导、单调且 0)(≠'y ?，则它的反函数 )(x f y =在对应区间 x I 内也可导，且
全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选 教案设计 高中数学人教A版选修1-1 3、2、2基本初等函数的导数公式及导数的四则运算 一、教案背景：面向学生：周村区实验中学学科：数学 课时：1课时 二、教学目标：熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则 运算法则；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的 四则运算法则求简单函数的导数． 三、教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 四、教学难点：基本初等函数导数公式和导数的四则运算法则的应用 五、教材分析：教科书直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运 算法则，不要求根据导数定义推导这些公式和法则，只要求 能够利用他们能求简单函数的导数即可。在教学中，适量的 联系对于熟悉公式和法则的运用是必要的，但应避免过量的 形式化的运算联系。 六、教学方法及教学思路： 运用“721”信息化课堂教学模式----“自主、展示、合作、交流、引领”，本课的设计内容分为以下几个部分： 1、回顾公式、寻找技巧 2、自主探究、合作学习 3、成果展示，汇报交流
4、归纳总结，提升拓展 5、反馈训练，巩固落实 6、总结本节复习要点及课后作业的布置 七、教学过程 1、回顾公式、寻找技巧 基本初等函数的导数公式： 导数的四则运算法则： 函数的和、差、积、商的求导法则：
简单复合函数的求导： 函数 其中 和 都可导，则： 2、自主探究、合作学习 针对性训练：求下列函数的导数 3、成果展示，汇报交流 学生分学习小组到黑板上板书本组解决的任务，并且进行讲解， 同时指出本题目所运用的数学思想和数学方法。 4、归纳总结，提升拓展 总结反思： 1、先观察函数是由哪些子函数组成。 2、再观察有哪些运算法则。 3、拿到题目不要急于动手计算，先要分析清楚函数的组合成员x x y sin 34+=）（3229+=x e y ）（5)35(7+=x y ）（ （4）y=xsinx )5)(23(62-+=x x y ）（)12(log 103+=x y ）（) 32sin(8π+=x y ）（ )(x g u =x u x u f y '''?=)(u f y =))((x g f y =26331x x x y -+=）（x e y x cos 2-=）（（5）y=tanx