人教版二次根式单元 易错题难题同步练习试卷
一、选择题
1．下列各式中，运算正确的是（ ） A ．222()-=-
B ．284?=
C ．2810+=
D ．222-=
2．下列各式成立的是（ ） A ．2(3)3-=
B ．633-=
C ．222()33
-
=- D ．2332-=
3．若实数m 、n 满足等式402n m -+=-，且m 、n 恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长（ ） A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
4．下列各式计算正确的是（ ） A ．
1
222
= B ．362÷=
C ．2(3)3=
D ．222()-=-
5．下列各式中，正确的是（ ） A ．42=±
B ．822-=
C ．
()
2
33-=- D ．342=
6．下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A ．21a +
B ．
15
C ．4x
D ．27
7．如果2a a 2a 1+-+=1，那么a 的取值范围是（ ） A ．a 0=
B ．a 1=
C ．a 1≤
D ．a=0a=1或 8．下列各式计算正确的是（ ）
A ．235+=
B ．2
236=（）
C ．824+=
D ．236?=
9．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．18
B ．
1
3
C 24
D 0.3
10．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A 23a B 13
C 2.5
D 22a b -
11．下面计算正确的是（ ） A ．3+3=33B 273=3
C 2?3=5
D ()
2
22--
12．下列根式中是最简二次根式的是（ ） A 23
B 10
C 9
D 3a 二、填空题
13．已知412x =-，则()
21142221x x x x -??+?
= ?-+-??_________ 14．若0a >，把
4a
b
-化成最简二次根式为________． 15．若m ＝
2015
20161
-，则m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____．
16．已知2215x 19x 2+--=，则2219x 215x -++=________． 17．计算（π-3）02-2
11(223)-4
--22
--（）
的结果为_____． 18．设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……．
⑴记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为
234,,,,n a a a a ，请求出234,,a a a 的值；
⑵根据以上规律写出n a 的表达式．
19．1262?÷＝_____． 20．已知x ＝
512-，y ＝51
2
+，则x 2＋xy ＋y 2的值为______． 三、解答题
21．阅读下列材料，然后解答下列问题： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如3，31
+这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： (一5353
333
?==? (二231)
3131(31)(31)
-=++-（； (三22(3)(31)(33131313131
===++++.
以上这种化简的方法叫分母有理化．
(1)请用不同的方法化简2
5+3：
①参照(二)式化简
2
5+3
＝__________. ②参照(三)式化简5+3
＝_____________ (2)化简：
++++
315+37+5
99+97
+.
【答案】见解析. 【分析】
（1）原式各项仿照题目中的分母有理化的方法计算即可得到结果； （2）原式各项分母有理化，计算即可. 【详解】 解:(1)①
;
②; (2)原式
故答案为:(1)①;②
【点睛】
此题主要考查了二次根式的有理化，解答此题要认真阅读前面的分析，根据题目的要求选择合适的方法解题.
22．阅读下面的解答过程，然后作答：
2a b + m 和n ，使m 2+n 2=a 且b ，则a b 可变为m 2+n 2+2mn ，即变成（m +n ）22a b + 例如：∵66=3）2+2）26=32）2 ∴
526+(
)
2
32
+32请你仿照上例将下列各式化简 （1423+27210- 【答案】（1）3252-
【分析】
参照范例中的方法进行解答即可. 【详解】
解：（1
）∵22241(1+=+=，
1=
（2）
∵2227-=-=，
∴
==
23．
）÷
）（a ≠b ）．
【答案】
【解析】
试题分析：先计算括号内的，然后把除法转化为乘法，约分即可得出结论．
试题解析：解：原式＝
()()
a b a b --+-
22
22
24．计算 （1）（4﹣3
）+2
（2）
（3）甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天出次品的数量如表：
请计算两组数据的方差． 【答案】（1）6﹣3
；（2）-6（3）甲的方差1.65；乙的方差0.76
【解析】
试题分析：（1）先去括号，再合并；
（2）先进行二次根式的乘法运算，然后去绝对值合并；
（3）先分别计算出甲乙的平均数，然后根据方差公式分别进行甲乙的方差．
试题解析：（1）原式=4﹣3+2
=6﹣3；
（2）原式=﹣3﹣2+﹣3
=-6；
（3）甲的平均数=（0+1+0+2+2+0+3+1+2+4）=1.5，
乙的平均数=（2+3+1+1+0+2+1+1+0+1）=1.2，
甲的方差=×[3×（0﹣1.5）2+2×（1﹣1.5）2+3×（2﹣1.5）2+（3﹣1.5）2+（4﹣1.5）2]=1.65；
乙的方差=×[2×（0﹣1.2）2+5×（1﹣1.2）2+2×（2﹣1.2）2+（3﹣1.2）2]=0.76．考点：二次根式的混合运算；方差．
25．计算：
（1）
0 1 2?? ?
??
（2）(4
【答案】（1）-5;（2）9
【分析】
（1）第一项利用算术平方根的定义计算，后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果；（2）利用平方差公式计算即可．
【详解】
（1）
0 1 2?? ?
??
41
=--，
5
=-；
（2）(4
167
=-
9
=．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算以及零指数幂，熟练掌握平方差公式是解题的关键．26．计算：
（1)
11
（2
【答案】（12+；（2）【分析】
（1）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同；
（2）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同． 【详解】
解：)
1
1
31-＝
2
＝
＝【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号时要先算括号里的或先去括号．
27．计算（11)1)?； （2）
【答案】（12+；（2）. 【解析】
分析：先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算.
详解：（1)
1
1+；
＝()31-
2 ；
（2）原式＝(22
?,
＝
＝3?
＝
＝
点睛：此题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
28．观察下列各式．
====…… 根据上述规律回答下列问题． （1）接着完成第⑤个等式： _____；
（2）请用含(1)n n ≥的式子写出你发现的规律； （3）证明（2）中的结论．
【答案】（1=2(n =+3）见解析 【分析】
（1）当n=5=
（2(n =+ （3）直接根据二次根式的化简即可证明． 【详解】
解：（1=
（2(n =+
（3=(n ==+【点睛】
此题主要考查探索数与式的规律，熟练发现规律是解题关键．
29．（1|5-+；
（2）已知实数a 、b 、c 满足|3|a +=，求2(b a +的值．
【答案】（1）5；（2）4 【分析】
（1）先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，再进行回头运算即可； （2）先根据二次根式有意义的条件确定b 的值，再根据非负数的和的意义确定a ，c 的
值，然后再计算代数式的值即可． 【详解】
解：（15-+
5)=+
5=+
5=（2）由题意可知：50
50b b -≥??
-≥?
, 解得5b =
由此可化简原式得，30a +=
30a ∴+=，20c -=
3a ∴=-，2c =
22((534b a ∴+=--=
【点睛】
可不是考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．
30．计算：
（1 （2）（
)()
2
2
21-
【答案】2）1443 【分析】
(1)先化成最简二次根式，然后再进行加减运算即可； (2)套用平方差公式和完全平方式进行运算即可． 【详解】
解：(1)原式＝23223323，
(2)原式(34)(12
431)1124311443，
故答案为：1443． 【点睛】
本题考查二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的四则运算是解决本题的关键．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
=（a≥0，b≥0），被开数相同的二次根式可以合并进行计算即可．
【详解】
A2
=，故原题计算错误；
B=，故原题计算正确；
C=
D、2不能合并，故原题计算错误；
故选B．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式乘法、性质及加减法运算法则．
2．A
解析：A
【分析】
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】
解：A3
=，故A正确；
B-不能合并，故B错误；
C、22
(
3
=，故C错误；
D、=D错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．3．B
解析：B
【分析】
先根据绝对值的非负性、二次根式的非负性求出m、n的值，再根据三角形的三边关系、等腰三角形的定义求出第三边长，然后根据三角形的周长公式即可得．
【详解】
由题意得：20,40m n -=-=， 解得2,4m n ==，
设等腰ABC 的第三边长为a ，
,m n 恰好是等腰ABC 的两条边的边长， n m a n m ∴-<<+，即26a <<，
又
ABC 是等腰三角形， 4a n ∴==，
则ABC 的周长为24410++=， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了绝对值的非负性、二次根式的非负性、三角形的三边关系、等腰三角形的定义等知识点，根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义求出第三边长是解题关键．
4．C
解析：C 【分析】
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】
2
，故选项A 错误；
=B 错误；
C. 2
3=，故选项C 正确；
2=，故选项D 错误；
故选C. 【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
5．B
解析：B 【分析】
本题可利用二次根式的化简以及运算法则判断A 、B 、C 选项；利用立方根性质判断D 选项． 【详解】
A ，故该选项错误；
B ==
C 3=，故该选项错误；
D
112
2
333
4=(2)2
==，故该选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次根式以及立方根，二次根式计算时通常需要化为最简二次根式，然后按照运算法则求解即可，解题关键是细心．
6．A
解析：A
【分析】
根据最简二次根式的定义即可得．
【详解】
A是最简二次根式，此项符合题意
B
5
=
C、当0
x<
D=不是最简二次根式，此项不符题意
故选：A．
【点睛】
本题考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解题关键．
7．C
解析：C
【解析】
试题解析：∵a1，
a
∴1-a≥0，
a≤1，
故选C．
8．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的运算法则一一判断即可．
【详解】
A
B、错误，212
=
（；
C==
D==
故选：D．
【点睛】
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则，属于中考常考题型．
9．B
解析：B
【详解】
A．18=32，与3不是同类二次根式，故此选项错误；
B．1
3
=
3
3
，与3，是同类二次根式，故此选项正确；
C．24=26，与3不是同类二次根式，故此选项错误；
D．0.3=
3
10
=
30
10
，与3不是同类二次根式，故此选项错误；
故选B．
10．A
解析：A
【解析】
试题分析：最简二次根式是指不能继续化简的二次根式，A、原式=；B、是最简二次根式，不能化简；C、原式=；D、原式=.
考点：最简二次根式
11．B
解析：B
【分析】
根据二次根式的混合运算方法，分别进行运算即可．
【详解】
解：A3A选项错误；
B
27
2739
3
==＝3，故B选项正确；
C23236
=?=C选项错误；
D．22
(2)22
-==，故D选项错误；
故选B．
【点睛】
考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
12．B
解析：B 【分析】
根据最简二次根式的条件：①根号下不含能开得尽方的因数或因式；②根号下不含分母，据此逐项判断即可． 【详解】
解：A 、被开方数含分母，故A 不符合题意；
B 、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．，故B 符合题意；
C 被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C 不符合题意；
D 、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D 不符合题意； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的两个条件．
二、填空题
13．【分析】
利用完全平方公式化简，得到；化简分式，最后将代入化简后的分式，计算即可. 【详解】
将代入得： 故答案为： 【点睛】
本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在
解析：1-【分析】
利用完全平方公式化简x =1x =；化简分式，最后将1x =代
入化简后的分式，计算即可. 【详解】
1x =====
()211422(2)(2)2221(2)(2)
2(1)x x x x x x x x x x x -++-+-??+?= ?
-+--+-??
1
x x =
-
将1x =
1
=-
故答案为：1-【点睛】
本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在于化简x =熟练掌握相关知识点是解题关键.
14．【分析】
先判断b 的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可. 【详解】 解：∵ ∴ ∴
所以答案是： 【点睛】
本题考查了二次根式的性质.
解析： 【分析】
先判断b 的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可. 【详解】 解：∵
40,0a
a b
-≥> ∴0b < 2
a b b b b
=--
所以答案是： 【点睛】
a =.
15．4030 【分析】
利用平方差公式化简m ，整理要求的式子，将m 的值代入要求的式子计算即可. 【详解】 m== m==+1，
∴m3-m2-2017m+2015
=m2（m﹣1）﹣2017m+2015
解析：4030
【分析】
利用平方差公式化简m，整理要求的式子，将m的值代入要求的式子计算即可.
【详解】
m，
m
∴m3-m2-2017m+2015
=m2（m﹣1）﹣2017m+2015
= ）22017）+2015
=（2017+2015
﹣2
=4030.
故答案为4030.
【点睛】
本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.
16．【解析】
【分析】
用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．
【详解】
设m＝，n＝，
那么m?n＝2①，
m2＋n2＝()2＋()2＝34②．
由①得，m＝2
解析：13
【解析】
【分析】
用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【详解】
设m n
那么m?n＝2①，
m2＋n2＝2＋2＝34②．
由①得，m＝2＋n③，
将③代入②得：n2＋2n?15＝0，
解得：n＝?5（舍去）或n＝3，
因此可得出，m ＝5，n ＝3（m≥0，n≥0）．
n ＋2m ＝13． 【点睛】
此题考查二次根式的减法，本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．
17．﹣6 【解析】
根据零指数幂的性质，二次根式的性质，负整指数幂的性质，可知（π-3）0=1﹣（3﹣2）﹣4×﹣4=1﹣3+2﹣2﹣4=﹣6. 故答案为﹣6．
解析：﹣6 【解析】
根据零指数幂的性质0
1(0)a a =≠，二次根式的性质，负整指数幂的性质
1
(0)p
p a
a a
-=≠，可知（π-3）0-2
1-2
（）
=1﹣（3﹣）﹣
﹣4=1﹣﹣﹣4=﹣6. 故答案为﹣6．
18．（1）a2＝，a3＝2，a4＝2；（2）an ＝（n 为正整数）． 【解析】
（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝BC ＝1，∠B＝90°． ∴在Rt△ABC 中，AC ＝＝＝．同理：AE ＝2，EH ＝2，
解析：（1）a 2，a 3＝2，a 4＝；（2）a n n 为正整数）． 【解析】
（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°．
∴
在Rt △ABC 中，AC
AE ＝2，EH ＝，…，
即a 2a 3＝2，a 4＝ （2）a
n n 为正整数）．
19．6 【分析】
利用二次根式乘除法法则进行计算即可． 【详解】 ＝ ＝
＝6， 故答案为6． 【点睛】
本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．
解析：6 【分析】
==进行计算即可． 【详解】
＝6， 故答案为6． 【点睛】
本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．
20．4 【详解】
根据完全平方公式可得： 原式=－xy==5－1=4．
解析：4 【详解】
根据完全平方公式可得：
原式=2
()x y +－xy=2
51515151
)222
=5－1=4． 三、解答题 21．无 22．无 23．无 24．无
25．无26．无27．无28．无29．无30．无