高等几何复习10?11?1
*号题仅供参考。
一、选择题
1. 下列图形（）具有仿射性质
(A) 两条直线平行；(B) 两个三角形全等；
(C) 一个角的大小；(D) 正三角形的高。
2. 下列性质（）是仿射性质
(A) 三角形的高线共点；(B) 三角形的中线共点；
(C) 角平分线上的点到两边等距；(D) 三角形内接与一个圆。
3. 点(3,5) 的齐次坐标为（）
(A) (6,10,2)；(B) (9,15,3)；(C) (3,5,2)；(D) (3,5,0).
4. Y轴的单位点的齐次线坐标为（）
(A) (0,1,0)；(B) (1,0,0)；(C) (0,0,0)；(D) (0,0,1).
5. X轴的单位点的齐次坐标为（）
(A) (0,1,0)；(B) (1,0,0)；(C) (0,0,0)；(D) (0,0,1).
6. 原命题与对偶名题的真假关系（）
(A) 原真则对偶真；(B) 原真则对偶假；(C) 原假则对偶假；(D) 原假则对偶真。
7. 一复直线上有几个实点（）
(A) 1；(B) 2；(C) 3；(D) 4.
8. 设A(a),B(b)是两个不同的普通点, C(a+λb)为直线AB上的一点，且(ABC)=U, 则U= ( ).
(A) U= ?λb3/a3；(B) U=λa3/b3；(C) U=λa2/a3；(D) U=λ.
9. 若a,b,a+kb,a+sb, ( k·s·(k?s)≠0)是共点线L1,L2,L3,L4的齐次坐标，则(L1L2,L3L4) =( ).
(A) k/s；(B) s/k；(C) k2/s2；(D) k2s2.
10. 射影变换基本不变量是( ) .
(A) 两直线的夹角；(B) 点线的结合性；(C) 单比；(D) 交比。
11. 仿射几何基本不变图形是( )。
(A) 点；(B) 线；(C) 圆；(D) 无穷远直线。
12.直线2x?y+1=0上无穷远点的齐次坐标是( ).
(A) (2,1,0)；(B) (1,?2,0)；(C) (2,1,1)；(D) (1,?2,1).
13.原点的方程是( ).
(A) u1=0；(B) u3=0；(C) u2=0；(D) u1=u3=0.
14.自极三角形的特征是( )。
(A) 每一个顶点都是其对边的极点；(B) 每一个边是其端点的极线；
(C) 三顶点互为极点；(D) 三边互为极线。
15. 二次曲线上一点p的极线是( )。
(A) 直径；(B) 切线；(C) 无穷远切线；(D) 渐近线。
16.共线四点A、B、C、D交比的定义是(AB,CD)= ( )。
(A) AB/CD；(B) AC/BD；(C) (ABC)/(ABD)；(D) (ACD)/(BCD)。
17.两个射影点列成透视的充要条件是( )。
(A) 存在自对应点；(B) 交比不变；(C) 点列交点自对应；(D) 有两个自对应点。
18. 下列性质哪一个是图形的射影性质( )。
(A) 三角形的面积比；(B) 两条直线垂直；(C) 两条直线平行；(D) 两点共线。
19. 如果(P1P2, P3P4)=2, 则(P2P1, P3P4) = ( ).
(A) 1/2；(B) 1?1/2；(C) 2；(D) ?1.
20. 若Ｐ为线段Ｐ1P2的中点，则(P1P2P) = ( ).
(A) 1；(B) ?1；(C) 2；(D) ?2.
21.经过中心射影后，图形的不变性质叫做图形的( ) 性质
(A) 射影性质；(B) 仿射性质；(C) 度量性质；(D) 透视性质。
22.如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点( )
(A) 共线；(B) 在同一个二阶曲线上；(C) 在同一个二级曲线上；(D) 重合。
23.在一条直线y=kx+b 上，无穷远点的齐次坐标为( ).
(A) (1,k,0)；(B) (1,k,1)；(C) (k,1,0)；(D) (k,?1,0).
24.无穷远直线方程的齐次线坐标为( )
(A) [1,0,0]；(B) [0,1,0]；(C) [0,0,1]；(D) [1, 1,0].
25. “两点确定一条直线”的对偶命题是( )
(A) 两点确定一条直线；(B) 两线交于一点；
(C) 一条直线通过两点；(D) 一点确定一个线束。
26. 已知(AB,CD)=λ, (DB,AC)= ( ).
(A) λ；(B) 1?λ；(C) 1/λ；(D) 1/(1?λ).
27. 任意四边形可以射影成（）
(A) 一条线段；(B)平行四边形；(C) 一个点；(D) 一个圆。
28. 共线4点所有可能顺序的交比式，值最多有（）个。
(A) 4；(B) 5；(C) 6；(D) 7.
29. 平面上的射影变换，不动点最多有（）个。
(A) 4；(B) 3；(C) 2；(D) 1.
30. 平面上的射影变换，由两两不共线的（）个点确定。
(A) 4；(B) 3；(C) 2；(D) 1.
二、判断题
1 透视仿射就是仿射，仿射就是透视仿射。（）
2 仿射变换保持交比不变。（）
3 笛卡儿坐标就是仿射坐标。（）
4 无穷远点、无穷远直线称无穷远元素。（）
5 在射影平面中，两平行直线永不相交。（）
6 齐次坐标一定能化成非齐次坐标。（）
7 (0,0,0) 表示某点的齐次坐标。（）
8 在射影变换中，交比值不会变。（）
9 在同一直线上的三点，指定交比值可以确定第四点。（）
10对合不可能是抛物型的。（）
11. 多边形面积之比是仿射不变量。（）
12. 二直线所成角度是相似群不变量。（）
13. 如果两个三角形内接于一条二次曲线，则它们同时外切于同一条二次曲线。（）
14. 二阶曲线上的6点可以产生6 条Pascal线。（）
15. Pascal定理与Brianchon定理互为对偶。（）
16. 二阶曲线的射影等价类共有3个。（）
17. 射影不变量一定是仿射不变量。（）
18. 交比是仿射不变量。（）
19. 单比是射影不变量。（）
20. 一维射影对应被其任何三对对应点唯一确定。（）
21. 如果(AB,CD)=0, 那么A,B重合或者C,D重合。（）
22. Desargues定理是射影命题。（）
23. 位似变换全体构成群。（）
24. 欧氏平面上所有平移变换构成群。（）
25. 压缩变换全体构成群。
26.Pappus定理是Pascal定理的特例。（）
27.平面上6点(其中无三点共线)唯一确定一条非退化二阶曲线. （）
28.实点的齐次坐标不可以有纯虚数分量。（）
29. 射影变换把无穷远直线变为无穷远直线。（）
30.二阶曲线上四个定点与其上任意一点连线所得四直线的交比为定值. （）
三、填空题
1．平面仿射变换由__________对对应点唯一决定。
2．在仿射几何里，四边形可以分成__________个等价类。
3．在欧氏平面上添加了__________以后，成为射影平面。
4．共线四点a、b、c、d 若满足__________，则称它们是调和点列。
5．y 轴上无穷远点的齐次坐标是__________。
6．两个射影线束成透视的充要条件是__________。
7．点列到自身的射影对应s 若满足__________，则称s 是对合。
8．二阶曲线的射影定义是__________。
9．确定一个一般射影标架，需要个点。
10．平面内两点I(1,i,0)和J(1,?i,0)是平面内的点。
11.二直线间的平行性是_______不变性。
12.一直线上任两线段的比是_______不变量。
13.欧氏直线补充了_______以后，称为射影直线。
14.点坐标(0,1,0)的方程是_______。
15.若7x?y=(2x?y+1)+λ(3x+y?2)，则λ=_______。
16.已知共线四点A、B、C、D的交比(AB,CD)=2，则(BA,CD)=_______。
17.射影直线上互异的四点A、B、C、D，若AB÷CD, 则有(AB,CD) 0.
18. 合同性是几何的基本不变性质。
19. 二级曲线是两个射影对应的__________的全体。
20. 二阶曲线是两个射影对应的__________的全体。
21. Ox轴上的射影变换为x'=(2x?1)/(x+3),则∞对应于 2 .
22. 射影对应使0→1, 1→2, 2→3,则其变换公式为x'= 2 .
23. 对合对应λλ'?6λ+λ'+6=0的自对应点为2、3 .
24. 对合由对对应点唯一决定。
25. 欧氏几何的基本不变量是。
26. 斜率为k的直线上的无穷远点的齐次坐标是。
27.点坐标(1,0,0) 的方程。
28.设共线三点A,B,C, 简比(ABC) 定义为。
29. 若以平面上一个非恒同的射影变换的不变点构成无三点共线的n点组, n的最大值为 3 。
30.直线a=[2,1,?3], b=[1,?1,1], c=[1,0,0],则d= 时，(ad,bc)=?2/3. p57
四、计算与作图题
1．过a(?3,2) 和b(6,1) 的直线ab 与直线x+3y?6=0 相交于p, 求(abp).
2．求连接两点a=(?2,1) 与b=(3,2) 所得直线的齐次坐标。
P 1 2
7
Г
3
4
5 6
图t17
3．求射影对应，使点列l 上三点 1,2,3 对应点列l′上三点4,3,2. 4．求四点 (0,?2,1), (2,1,?1), (?6,1,1) 与 (2, ?1,0) 顺这次序的交比。
5．求点 (1,?1,0) 关于二阶曲线3x 12+5x 22+x 32+7x 1x 2+4x 1x 3+5x 2x 3=0 的极线。 6．试求点 (-1, 1) 关于二阶曲线x 2-3xy+y 2-2x -y -1=0的极线。
7. 求点(5,1,7)关于二次曲线2x 12+3x 22+x 32?6x 1x 2?2x 1x 3?4x 2x 3=0的极线。
8. 求一个仿射变换，使直线 x+2y ?1=0 上的每一点不变，且使点 (1,?1) 变为 (?1,2) 点。 9. 求二次曲线2x 2+xy -3y 2+x -y=0过 (0, ?1/3) 的切线。
10. 求二次曲线x 12+4x 1x 2?2x 22+10x 1x 3+4x 2x 3=0过 (0,2, 1)的切线。
11. 设P 1, P 2分别为x 、y?轴上的无穷远点，P 3是斜率为k 的直线的无穷远点，又(P 1P 2,P 3P 4)=m, 求P 4.
解：依题知 P 1 =(1,0,0), P 2=(0,1,0), P 3=(1,k,0)= P 1+kP 2. 设 P 4= P 1+xP 2, 则 (P 1P 2,P 3P 4)=k/x=m, 故x=k/m, P 4= P 1+xP 2 =(1,k/m,0).
12. 求直线 [1,1,2] 与两点 (2,4,-1)、(3,-3,1) 的连线的交点坐标。 13. 求通过点(1,i,0)的实直线。
14. 已知点(0,0)、(1,1)、(1,-1)分别仿射对应点(2,3)、(2,5)、(3,-7), 求此仿射变换。 解I ：确定仿射变换的6个系数。（略）
解II ：设所求变换为σ, 设已知点分别为a,b,c, 一般点p(x,y) 对应到p'(x',y'). 设p=a+k(b ?a)+s(c ?a), 则由单比的不变性可知p'==a'+k(b'?a')+s(c'?a'). 于是可以得到K,K'的坐标变换关系 p'=a'+(b'?a',c'?a')(b ?a,c ?a)?1(p ?a).
矩阵(b ?a,c ?a)=??
????-1111, (b ?a,c ?a)?1
= ??????----111121.
矩阵(b'?a',c'?a')=??
??
??-10210, (b'?a',c'?a')(b ?a,c ?a)?1
= ??????---1281121. p'=a'??????---
1281121 (p ?a) = a'+??????--1281121a ??
????---1281121 p
a'+
??????--1281121a=??????32+???
???--1281121??????00=??
?
???32, 故所求变换为 p'= ??????32??????---1281121 p, 即?????
+-=-+=.
643',21212'y x y y x x 15. 设P 1、P 2、P 4三点的坐标为(1,1,1)、(1,-1,1)、(1,0,1)且 (P 1P 2, P 3P 4)=2, 求点P 3的坐标。 16.求点P(1,2)关于二阶曲线x 2+xy -y 2+2x+1=0的极线方程。 17. 点P 不在二阶曲线Г上 ，求作其极线。
解：如图t17， 按照各线序号画线即可得到极线7.
18.求仿射变换???-=+-=y 2x 4'y 4
y x 3'x 的自对应点
t30 图
A A'
B B'
C'
C 1 2 3 4
5 L p M N
6 19.一直线上取A=(5,?7,?1) 为第一基点，B=(1,?2,1) 为第二基点，C=(?1,1,1)为单位点，建立射影坐标系。求点D=(1,1,?5)的齐次射影坐标。
20.设直线上三个点A 、B 、C 的齐次坐标依次为（2,1）,（1,2）与（-1,1）, 求D 点坐标，使(AB ，CD )=2. 21. 已知共点直线a, b, c, 求作直线d, 使a,b, c 和d 调和共轭。
22. 设一对合由非齐次坐标为3的二重点，以及非齐次坐标为1和4的一对对应点决定，求对合的表达式。
23. 已知二次曲线Γ: xy+y 2
?x?3y?6=0, 试求点P(1,1)的在直线 x=y 上的共轭点Q. 解：x=y 与Γ的交点为 A(?1, ?1), B(3,3). 设O=(0,0),则A=O ?P, B=O+3P , 设Q=O+kP. 由于(AB,PQ)=(?1,3; 1,k)=?1,所以k=∞, Q 是x=y 上的无穷远点。
24. 求一射影变换，使点(1,0,1), (0,1,1), (1,1,1), (0,0,1)顺次变为点(1,0,0), (0,1,0) , (0,0,1), (1,1,1). p84t1
解：设所求变换为ρx'=Ax. 则有 ??????????110010101001????
?
?
?
????
?ρρρρ43
2
1
=A ????
??????111101100101, 从而
A=?????
????
?ρρρ32
11
111110101-????
?
?????=?????
???
??ρρρ32
1??????????---111101110, 从 ρ4
??????????111= A ????
?
?????100得
ρ1=ρ4 , ρ2=ρ4, ρ3=?ρ4. 故A=ρ4??????????----111101110, 取A=?????
?????----111101110,得所求射影变换为 ρx'=????
?
?????----111101110x. 25 给定二次曲线上五个点A 、B 、C 、D 、E ，求作二次曲线上的第六点。 解：1、画线12、45交于L; 2、画线p;
3、画线23、34分别交p 于M 、N;
4、画线5M 、1N 交于6. 点6即为所求。
26 已知点P 1(1,1,1), P 2(1,?1,1), P 3(3,?1,3) 在一条直线上，求出L 、M 的植，使P 3=LP 1+MP 2。 27 设P 1(1,1,1), P 2(1,?1,1), P 4(1,0,1) 为共线三点，且 (P 1P 2,P 3P 4)=2, 求P 3的坐标。 28 求射影变换的不变元素
解：第一步. 列出特征方程, 并求特征根.
?????-=ρ++-=ρ-+=ρ32'13
21'23
21'122x
x x x x x x x x x x
题五3 图
A
B M
C D
E
O
从而, 特征根为λ1=1, λ2= –1, λ3=2. 第二步. 求不变点: 射影变换的不变点方程组为 代入λ1=1 得
解出相应的不变点坐标为(3,2,1). 对于λ2=?1 , 不变点坐标为(1,0,1). 对于λ3=2 , 不变点坐标为(1,3,1).
第三步. 求不变直线：注意 ρx′=Ax ? ρu=A′u′. 原射影变换的不变直线的方程组为 代入λ1=1 得??
?
?
?=-+-=++=0
2200
3213212
u u u u u u u 解出相应的不变直线坐标为[1,0,?1].
对于λ2=?1 , 不变直线坐标为[1,2,?7].
对于λ3=2 , 不变直线坐标为[1,?1,?1]. *29. 给定点A 、B, 作出点C, 使(ABC)=4
3-
. 解：画出AB 的中点D, 然后画出DB 的中点C, 即得。 30. 画出t30图的对偶图形。
五、证明题
1、利用完全四点形的调和性质证明：平行四边形对角线互相平行。
2、设A,B,C,D,E 为共线5点，试证明 (AB,CD)〃(AB, EC)〃(AB,DE)=1. （ ） 证明：(AB,CD)〃(AB, EC)〃(AB,DE)= (ABC)/(ABD)〃(ABE)/(ABC)〃(ABD)/(ABE) =1.
3、将三角形的每条边三等分，将每个分点与三角形的对顶点相连，这六条直线构成一个六边形，求证它的三对对顶点的连线共点。
证明关键：证明B 、C 发出的线交点与A 共线AM, 由于DE//BC, 故由完全四点性AEOD 的调和性可知, M 为中点，AM 为中线。 最后证明三对对顶点的连线共中心点。
4.试用Desargues 定理及其逆定理证明：若两个对应的完全四点形有五对对应边的交点在一条直线上，那么第六对对应边的交点也在这条直线上。
,01101212
11=λ--λ-
--λ-.
0)2)(1)(1(=-λ+λ-λ?????=λ--+=+λ-+-=-+λ-0)1(0
)2(0
2)1(32321321x x x x x x x x ???
??=-=++-=-020
023232132x x x x x x x ?
??
??=λ--++-=+λ-+=-λ-0
)1(20
)2(0
)1(3213212
1u u u u u u u u
题五5,6 图
A
A'
B
B' C'
C
O
p
L M
N
K S 题五9图
A P
B
C X Y P'
P 0 X 0
X'
Y' 5 证明巴卜斯定理。
证明：∵ A'(OABC) =
^ A'(B'ALK) C'(OABC) =
^ C'(B'SNC)
∴ (B'ALK) ? ^ (B'SNC)
∴ (B'ALK) =
^ (B'SNC)
∴ AS, LN, KC 共点，即 AC', LN, A'C 共点。
*6.试用坐标法证明Pappus 定理。
证明：如图建立仿射坐标系，各点非零坐标用相应的小写字母表示。 直线A'B 的方程为 (y-0)(0-b)= (a'-0)(x-b) 直线AB'的方程为 (y-0)(0-a)= (b'-0)(x-a)
交点L=( ab(a ’-b ’)/(aa ’-bb ’) , a ’b ’(a-b)/(aa ’-bb ’) ). 同理 交点M=( ac(a ’-c ’)/(aa ’-cc ’) , a ’c ’(a-c)/(aa ’-cc ’) ). 交点N=( bc(b ’-c ’)/(bb ’-cc ’) , b ’c ’(b-c)/(bb ’-cc ’) ). 由于行列式
1
)'c)/(bb'-cc -(b c'b')
)/(bb'-cc'bc(b'-c'1)'c)/(aa'-cc -(a c'a'))/(aa'-cc'ac(a'-c'1)'b)/(aa'-bb -(a b'a' ))/(aa'-bb'ab(a'-b'~ bb'-cc'
c)-(b c'b')
bc(b'-c'aa'-cc'c)
-(a c'a')ac(a'-c'aa'-bb'b)-(a b'a' )ab(a'-b'~
'
1/cc'-1/bb 1/b -1/c 1/c'-1/b''1/cc'-1/aa 1/a -1/c 1/c'-1/a'
'
1/bb'-1/aa 1/a -1/b 1/b'-1/a'=0, 故L 、M 、N 共线。
*7、从双曲线上任何一点引两条直线各平行于两条渐近线。证明这两条直线和两条渐近线所构成的平行四边形的面积为定值。 证明. 目标：三角形ABC 面积为定值. 只需证明S ΔABC= S ΔA'B'C 即 S ΔA'AB'= S ΔBAB' 只需证 AB'//A'B. 只要证AB', A'B, l ∞共点于P ∞.
因为AB, A'B', t, t'构成Γ的一个外切四线形, 根据Brianchon 定理的极限形式, 我们有, 这个四线形两双对顶的连线(即AB', A'B)与两组对边上切点的连线(即l ∞与AB, A'B'上的切点连线)必定四线共点. 立即得结论.
t10图
题五8图 A B P
C B' C'
A' A 1 B 1 C 1 C 2 *8.已知△ABC 及其平面上一点P(不在任一边上)，连结AP 、BP 、CP 与对边交于A′、B′、C′，且A 1=BC ∩B′C′，B 1=CA ∩C′A′，C 1=AB ∩A′B′，求证： (1) (BC,A 1A′)=-1,(CA,B 1B′)=-1，(AB,C 1C′)=-1 (2) A 1,B 1,C 1三点共线
证明：(1) 在完全四点性 AC'PB'中，B,C 是两个对边点，A 1A'是通过第三个对边点的两条对边与直线BC 的交点，故(BC,A 1A')=?1. 同样考虑完全四点性 BA'PC', 可以得到 (CA,B 1B′)=-1. 考虑完全四点性 CB'PA', 可以得到 (CA,B 1B′)=-1.
(2) 在完全四点性 ABA'B'中， 直线CB 1,CA 1,CP,CC 1是调和共轭组。 设C 2是完全四点形CB'C'A'的对边点
B 1,A 1的连线与对边B'A'的交点，则线 CB',CA', CP,C
C 2是调和共轭组。
即CB 1,CA 1, CP,CC 2是调和共轭组。
这说明线CC 1,CC 2重合。
由于 故B 1,A 1,C 2共线，故B 1,A 1,C 1共线。
9. 设A ,B,C 为不共线三点, P 是过C 的定直线上的动点, AP ∩BC =X , AC ∩BP=Y . 求证：XY 经过定点.
证明：以B 为中心CP 0PP' = ^ CAYY', 以A 为中心，CP 0PP' = ^ CBXX', 故 CAYY' ? ^ CBXX', 故
CAYY' = ^ CBXX', 故AB 、YX 、Y'X'共点X 0.
10.从椭圆上一点P 作直径AB 的共轭弦PQ 与AB 交于E ，椭圆在点P 处的切线分别与在A,B 处的切线交
于C,D. 求证AD 平分PE, 且AD 、BC 、PQ 三线共点(图甲) 证明关键：
第一步：将椭圆仿射变换为圆O′(图乙)；
第二步：在图乙中画出图甲的对应点和线段，并叙述原来命题对应地的命题； 第三步：证明变换后的相应命题成立。这样原命题也成立。
11. 证明Pascal 定理。
12.试证二阶曲线x 12+x 22+x 32?2x 1x 2?2x 1x 3?2x 2x 3=0与坐标三角形的各边相切。
证明： 坐标三角形的三边分别为x 1=0,x 2=0,x 3=0. 它们与二阶曲的交点分别为 (0,1,1), (1,0,1),(1,10).交点处的切线分别为 [0,0,1], [0,1,0], [0,0,1], 即坐标三角形的三边.
13.已知O 是椭圆中心，ABCD 是椭圆的外切四边形，求证下面的面积关系成立： S △AOB +S △COD =S △AOD +S △COB (图t13). 证明关键：
t13图
t16 图 A B C D O t17 图 题五18图
P B 0 P S B'
C A'
A B
R
Q A 0 C 0 C' 第一步：将椭圆仿射变换为圆（图乙）；第二步：在图乙中，画出图甲的对应点和线段，并叙述原来命题
14、求证，两复点所定直线与其两共轭复点所定直线为两条共轭直线。 证明：设两点的齐次坐标为P,Q, 则过P,Q 的直线坐标为 P ×Q, 由于 P ,Q 的共轭向的量积是P ×Q 的共轭， 故待证命题成立。
15、若线束S 的四线a 、b 、c 、d 被任一直线L 截于A 、B 、C 、D 四点，试证明(AB,CD)=(ab,cd). 16、求证：一角的两边与这个角的内外平分线调和共轭；
证明：如图，令外半角∠2=(π?2∠1)/2. 则角的两边与这个角的内外平分线之交比=A(BC, EF)= =sin ∠1/(?sin ∠1) · sin(π?∠2) / sin ∠2 = ?1. 故 …… .
17 设（AB,CD ）= ?1, O 为线段CD 的中点，则有OC 2 =OA·OB 。
证明：(AB,CD)= ?1 ? AC/BC= ?AD/BD ? C·BD= ?AD·BC
? AO+OC)·(BO+CO)= ?(AO+CO)·(BO+OC) ? 2AO·BO?2CO 2 =0 ? O16=OA·OB 。
18. 设一个变动的三角形，它的两边各通过一个定点，而三顶点在共点的三直线上，证明其第三边也通过一个定点。 证明：设变动的三角形两边各通过定点P,Q, 如图，因为ΔABC, ΔA'B'C'顶点连线共点S, 所以对应边交点共线P,Q,R.
19. 写t18的对偶命题并予以证明。 20. 试证明单比 (ABC)=1?(ACB).
A D
B C X
P Q S R
t22 图 H A
t25 图
B
C D E F
S A'
B'
t21 图
题五22图
X
A B D C S P Q R
H 21. 在平面p 上有定直线q, 以O 为中心投射到平面p'上得直线q', 当O 变动时，求证q'过一定点。p28 证明：设p ∩p'=r, r ∩q=X, 则当O 变动时q'都过X.
22. ABCD 是四面体，点X 在BC 上，一直线过X 交AB,AC 于P,Q, 另一直线过X 交DB,DC 于R,S. 求证：PR 与QS 交于AD. p28
证明：因为ΔSQC, ΔPRB 顶点连线共点X, 所以对应边交点 RP∩SQ, BR∩CS=D, P B∩QC=A 共线AD. 23. 试证明 (AB,CD)〃(AB,EF)= (AB,CF)〃(AB,ED). p57 证明： (AB,CD)〃(AB,EF)= (ABC)/(ABD)〃(ABE)/(ABF)= (ABC)/(ABF)〃(ABE)/(ABD) = (AB,CF)〃(AB,ED). 24. 试证明，若(AB,CD)=(BC,DA), 则(AC,BD)=?1. p57
证明： 设r=(AB,CD), 则 r=(BA,DC)=1/(BA,CD)=1/(1?1/(BC,DA)), 由于(AB,CD)=(BC,DA)=r, 所以r=1/(1?1/r), 故r(1?1/r)=1, r ?1=1, r=2. 从而 (AC,BD)=1?(AB,CD)=?1.
25. 如图t25, 若AE, CD,BF 交于S, 试证明 (ABD) (BCE) (CAF) =?1.
证明：如图，过S 分别作CA,CB 的平行线，交AB 于A',B'. 则以S 为中心， CAF ∞ = ^ DAB A', 故
(CA,F ∞)=( DA, BA'), 即(CAF)=( DA, BA'), 同理(BCE)=(BD, AB'), 故
(BCE) (CAF) = (BD,AB')( DA, BA')= (BDA)/(BDB')·(DAB)/(DAA')=BA/DA 〃DB'/BB'·DB/AB 〃AA'/DA' = = ?(BAD)·DB'/BB'·AA'/DA' = ?(BAD), 故(ABD) (BCE) (CAF) =?1.
A B
O C E D
F
G H
t26 图 B
A C' B' C A'
题五31图 题五31图 A B C A'
B' C' X Y
Z O b
a c' b' c a' 题五30图
C C'
B ’ B Bo
Co Bo ’
Co' 26. (蝴蝶定理)过圆的弦AB 的中点O 任作另外两弦CE, DF, 连结EF, CD 交AB 于G , H. 求证：GO=OH. P58T10
证明关键: 因为等弧上的圆周角相等, 所以，
E(AF ,CB)= D(AF ,CB). ?(AG ,OB)=(AO,HB).? GO=OH. 27. 试证明，平面内的下列4个变换构成群： ??
?==.','y y x x 、???=-=.','x y y x 、?
??-=-=.','y y x x 、???-==.',
'x y y x .
28. 试证明：双曲型对合的任何一对对应元素 P →P', 与其两个2重元素E,F 调和共轭，即 (EF,PP')=?1.
29. 试证明：一维射影对应，若有一对对应点符合对合条件，则该射影对应一定是对合。
*30. 试证明，若共面三点形ABC, A'B'C'同时外切于一条二级曲线，则它们同时内接于同一条二阶曲线。 证明：如图，任意取定的线a,a ’与其他线的交点，有如下射影对应关系
a ’(C B ’ C ’ B) ←→ a(Co B ’o C ’o Bo), 故其连线及其底同时内接于一个二阶曲线。 这些连线恰好是两个三角形的6条边。
*31. 设共面三点形ABC, A'B'C'是透视的，试用Brianchon 定理证明，6线AB',AC',BA',BC,CA',C'B'属于同一条二级曲线。
证明：由Brianchon定理的逆定理，ΔABC, ΔA'B'C' 外切于一个二级曲线。因此ΔABC, ΔA'B'C' 内接于一个二阶曲线。所以ΔA’BC, ΔAB'C’内接于同一个二阶曲线，故必外切于同一个二级曲线。故6线AB',AC',BA',BC,CA',C'B'属于同一条二级曲线。
《几何学概论》试题（１） 1. 试确定仿射变换，使y 轴，x 轴的象分别为直线01=++y x ，01=--y x ，且点（1，1） 的象为原点.(51') 2. 利用仿射变换求椭圆的面积.(01') 3. 写出直线12x +23x -3x =0,x 轴,y 轴,无穷远直线的齐次线坐标.(01') 4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51') 5. 已知A (1,2,3),B (5,-1,2),C (11,0,7),D (6,1,5),验证它们共线,并求(CD AB ,)的 值.(8') 6. 设1P (1,1,1),2P (1,-1,1),4P (1,0,1)为共线三点,且(4321,P P P P )=2,求3P 的坐标.(21') 7. 叙述并证明帕普斯(Pappus)定理.(01') 8.一维射影对应使直线l 上三点P (-1),Q (0),R (1)顺次对应直线l '上三点 P '(0),Q '(1),R '(3),求这个对应的代数表达式.(01') 9.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.(01') 《高等几何》试题（２） 1.求仿射变换424,17++='+-='y x y y x x 的不变点和不变直线. (51') 2. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51') 3.求证a (1,2,-1) ,b (-1,1,2),c (3,0,-5)共线,并求l 的值,使 ).3,2,1(=+=i mb la c i i i (01') 4.已知直线421,,l l l 的方程分别为02321=-+x x x ，0321=+-x x x ， 01=x ，且=),(4321l l l l 3 2- ，求2l 的方程.(51') 5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. (01') 6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底 的交点自对应. (01') 7.求两对对应元素,其参数为12 1→ ,0→2,所确定对合的参数方 程. (01')
《高等几何》考试试题A 卷(120分钟) 一、填空题(2分?12=24分) 1 平行四边形 ;2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0) 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ,则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的: 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有:1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得, 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。
数学与应用数学专业《高等几何》试卷B 一、 填空题（2分?12=24分） 1、仿射变换的基本不变性与不变量有 同素性、结合性、简比不变、保持平行性 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 22121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 32221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程 063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→， 01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得， 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A '' AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， ),E , D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,, E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ， B A ''属于同一条二级曲线（ C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。
（0464）《高等几何》复习大纲 仿射坐标与仿射变换 一、要求 1.掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的定义和性质。熟练掌握单比的定义和坐标表示。2.掌握仿射变换的两种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种特殊的仿射变换的代数表示。3.掌握图形的仿射性质和仿射不变量。 二、考试内容 1.单比的定义和求法。 2.仿射变换的代数表示式，以及图形的仿射性质和仿射不变量。3.仿射变换的不变点和不变直线的求法。 射影平面 一、要求 1.掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷远元素的引入。 2.熟练掌握笛萨格（Desargues）定理及其逆定理的应用。 3.熟练掌握齐次点坐标的概念及其有关性质。 4.理解线坐标、点方程的概念和有关性质。 5.掌握对偶命题、对偶原则的理论。 二、考核内容 1.中心投影与无穷远元素：中心投影，无穷远元素，图形的射影性质。 2.笛萨格（Desargues）定理：应用笛萨格（Desargues）定理及其逆定理证明有关结论。 3.齐次点坐标：齐次点坐标的计算及其应用。 4.线坐标：线坐标的计算及其应用。 5.对偶原则：作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用。 射影变换与射影坐标 一、要求 1.熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和应用。 2.掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。 3.掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。 4.掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。 5.理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的关系。 二、考试内容 1.交比与调和比：交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概念及其性质。 2.完全四点形与完全四线形：完全四点形与完全四线形的概念及其调和性。 3.一维基本形的射影对应：一维射影对应的性质，与透视对应的关系，以及代数表示式。。 4.二维射影变换 5.二维射影对应（变换）与非奇线性对应的关系。 6.射影坐标：一维射影坐标、二维射影坐标。 7.一维、二维射影变换的不变元素：求一维射影变换的不变点，二维射影变换的不变点和不变直线。 变换群与几何学 一、要求 1.了解变换群的概念。 2.理解几何学的群论观点。 3.弄清欧氏几何、仿射几何、射影几何之间的关系及其各自的研究对象。 二、考试内容 1.变换群与几何学的关系。 2仿射几何、射影几何学相应的变换群、研究对象基本不变量和基本不变性。 二次曲线的射影理论 一、要求 1.掌握二队（级）曲线的射影定义、二阶曲线与直线的相关位置，二阶曲线的切线，二阶曲线与二级曲线的关系。2.掌握巴斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。 3.掌握极点，极线的概念和计算方法，熟练掌握配极原则。 4.了解二阶曲线的射影分类。 二、考试内容 1.二阶（级）曲线的概念，性质和互化，求二阶曲线的主程和切线方程。 2.应用巴劳动保护加定理和布利安桑定理及其特殊情形证明有关问题，解决相在的作图问题。 3.二阶曲线的射影分类。 二次曲线的仿射性质和度量性质 一、要求和考试内容 1.掌握二次曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线等概念和性质。
《高等几何》试题（１） 1.试确定仿射变换，使y 轴，x轴的象分别为直线x y 1 0 ， x y 1 0 ，且点（1，1） 的象为原点 .( 15 ) 2.利用仿射变换求椭圆的面积 .( 10 ) 3. 写出直线3x x x 轴,y10 2x +2-3=0,轴 , 无穷远直线的齐次线坐标.() 1 4.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 ) 5.已知A(1,2,3), B (5,-1,2), C (11,0,7), D (6,1,5),验证它们共线,并求(AB, CD)的值.( 8 ) 6.设P(1,1,1),P (1,-1,1),P (1,0,1)为共线三点,且(P P , P P)=2,求P的坐标.(12) 124 1 2 3 43 7.叙述并证明帕普斯 (Pappus) 定理 .( 10 ) 8.一维射影对应使直线 l 上三点 P (-1),Q(0),R (1)顺次对应直线 l上三点P (0),Q(1), R (3),求这个对应的代数表达式.( 10 ) 9. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.( 10 ) 《高等几何》试题（２） 1. 求仿射变换x 7 x y 1, y4x 2 y 4 的不变点和不变直线. (15 ) 2.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 ) 3.求证 a (1,2,-1) ,b(-1,1,2), c (3,0,-5)共线 , 并求l的值 , 使 c i la i mb i(i 1,2,3). (10) 4.已知直线 l1 ,l 2 , l 4的方程分别为 2x1x2x3 0 ， x1x2 x3 0 ， x10 ，且 (l1 l2 , l3 l 4 )2 l 2的方程.(15)，求 3 5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( 10 ) 6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底 的交点自对应 . ( 10) 7. 求两对对应元素 , 其参数为1 1 ,02, 所确定对合的参数方2
高等几何试题 一、填空题（每题3分，共27分） 1、 两个三角形面积之比是（ ）。 2、 相交于影消线的二直线必射影成（ ）。 3、 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（ ）。 4、一点123(,,)x x x x =在一直线[]123,,u u u u =上的充要条件是 （ ）。 5、 已知1234(,)3p p p p =,则4321(,)p p p p =（ ），1324(,)p p p p =（ ）。 6、 如果四直线1234,,,p p p p 满足1234(,)1p p p p =-，则称线偶34,p p 和12,p p （ ）。 7、两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是 （ ）。 8、 不在二阶曲线上的两个点P 123()p p p ，Q 123()q q q 关于二阶曲线 0ij i j S a x x ≡=∑成共轭点的充要条件是（ ）。 9、 仿射变换成为相似变换的充要条件是（ ）。 二、计算题（每题8分，共56分） 1、 计算椭圆的面积（椭圆方程：22 221x y a b += ,0a b >） 2、 求共点四线11:l y k x =，22:l y k x =，33:l y k x =，44:l y k x =的交比。 3、 求射影变换11 2233x x x x x x ρρρ?'=-?? '=?? '=?? 的不变元素。 4、 求二阶曲线22212323624110x x x x x --+=经过点(1,2,1)P 的切线方程。
5、 求双曲线2223240x xy y x y +-+-=的渐近线方程。 6、 求抛物线22242410x xy y x ++-+=的主轴和顶点。 7、 求使三点(0,)O ∞，(1,1)E ，(1,1)P -顺次变到点(2,3)O '，(2,5)E '， (3,7)P '- 的仿射变换。 三、已知(1,2,3)A ，(5,1,2)B -，(11,0,7)C ，(6,1,5)D ，验证它们共线并求 (,)AB CD 的值。 （8分） 四、 求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条 二阶曲线。（9分）
某高校《高等几何》期末考试试卷 (120分钟) 一、填空题(2分?12=24分) 1、平行四边形的仿射对应图形为: 平行四边形 ; 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0) 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ,则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的: 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。
解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有:1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得, 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明:如果两个三点形内接于同一条二次曲线,则它们也同时外切于一条二次曲线。(10分) 证明:三点形ABC 与三点形C B A '''内接于二次曲线(C),设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A ' ' AC=E ',则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所 以,),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC,B C '',A C '',BC 连同这两个点列的底AB,B A ''属于同一条二级曲线(C '),亦即三点形ABC 与三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。 四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0,13x +2x -32x =0, 17x -2x =0,15x -3x =0, 求证四直线共点,并求(1l 2l ,3l 4l )的值。(10分) 解:因为 1 7213 112---=0且1 5 01 7213---=0 所以1l ,2l ,3l ,4l 共点。四直线与x 轴(2x =0)的交点顺次为A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),非齐次坐标为A(- 21,0),B(32,0),C(0,0),D(5 1,0), 所以 (1l 2l ,3l 4l )=(AB,CD)= ) 2 151)(320() 32 51)(210(+--+=21 五、求两对对应元素,其参数为12 1 →,0→2,所确定的对合方程。(10分) 解 设所求为 a λλ'+b(λ+λ')+d=0 ①
某高校《高等几何》期末考试试 卷 （120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程
063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→，01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得，
浙江省2002年4月高等教育自学考试 高等几何试题 课程代码：10027 一、填空题(每空2分，共20分) 1._______，称为仿射不变性和仿射不变量. 2.共线三点的简比是_______不变量. 3.平面内三对对应点(原象不共线，映射也不共线)决定唯一_______. 4.点坐标为(1，0，0)的方程是_______. 5.u u 1222- =0代表点_______的方程. 6.已知共线四点A 、B 、C 、D 的交比(AB ，CD)=2，则(CA ，BD)=_______. 7.对合由_______唯一决定. 8.二阶曲线就是_______的全体. 9.证明公理体系的和谐性常用_______法. 10.罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做_______直线. 二、计算题(每小题6分，共30分) 1.求直线x -2y+3=0上无穷远点的坐标。 2.求仿射变换 '=-+'=++??? x x y y x y 71424 的不变点. 3.求四点(2，1，-1)，(1，-1，1)，(1，0，0)，(1，5，-5)顺这次序的交比. 4.试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束 x 1-λx 3=0与x 2-'λx 3=0 ('λ=λλ-+12 )所决定的. 5.求二次曲线2x 2+xy -3y 2+x -y=0的渐近线. 三、作图题(每小题6分，共18分) 1.给定点A 、B ，作出点C ，使(ABC)=4. 作法： 2.过定点P ，作一条直线，使通过两条已知直线的不可到达的点. 作法：
3.如图，求作点P关于二次曲线Γ的极线 作法： 四、证明题(第1、2题各10分，第3小题12分，共32分) 1.设P、Q、R、S是完全四点形的顶点，A=PS×QR,B=PR×QS,C=PQ×RS,证明A1=BC×QR,B1=CA×RP, C1=AB×PQ三点共线. 证明： 2.过二次曲线的焦点F，引两条共轭直线l,l′，证明l⊥l′. 证明： 3.将△ABC的每边分成三等份，每个分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形(图甲)，求证它的三双对顶连线共点。 证明(按以下程序作业)： 第一步：将△ABC仿射变换为等边△A′B′C′(图乙)，为什么这样变换存在? 第二步：在图乙中，画出图甲的对应点和线段，并叙述原来命题对应地变成怎样的命题。第三步：证明：变换后的相应命题成立。这样原来命题也就成立，为什么?
高等几何》试题(１) 1. 试确定仿射变换，使y轴，x轴的象分别为直线x y 1 0，x y 1 0 ，且点( 1，1) 的象为原 点.( 15 ) 2. 利用仿射变换求椭圆的面积.( 10 ) 3. 写出直线2x1 +3x2- x3=0, x轴, y轴, 无穷远直线的齐次线坐标.( 10 ) 4. 叙述笛沙格定理, 并用代数法证之.( 15 ) 5. 已知A (1,2,3), B (5,-1,2), C (11,0,7), D (6,1,5), 验证它们共线, 并求( AB,CD ) 的值.( 8 ) 6. 设P1 (1,1,1), P2 (1,-1,1), P4 (1,0,1) 为共线三点, 且( P1P2,P3P4 )=2, 求P3的坐标.( 12 ) 7. 叙述并证明帕普斯(Pappus) 定理.( 10 ) 8. 一维射影对应使直线l 上三点P (-1), Q (0), R (1) 顺次对应直线l 上三点P (0), Q (1), R (3), 求这个对应的代数表达式.( 10 ) 9. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.( 10 ) 《高等几何》试题(２) 1.求仿射变换x 7x y 1,y 4x 2y 4的不变点和不变直线. ( 15 ) 2. 叙述笛沙格定理, 并用代数法证之.( 15 ) 3. 求证a (1,2,-1) , b (-1,1,2), c (3,0,-5) 共线,并求l的值,使 c i la i mb i (i 1,2,3). ( 10 ) 4. 已知直线l 1 , l 2 , l 4的方程分别为2x1 x2 x3 0，x1 x2 x3 0， x1 0 ，且(l1l2,l3l4) ，求l2的方程.( 15 ) 3 5. 试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( 10 ) 6. 试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底的交点自对应. ( 10 ) 1 7. 求两对对应元素,其参数为 1 ,0 2, 所确定对合的参数方 2
某高校《高等几何》期末考试试卷 （120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1 2、直线1x 3、已知),(1234l l l l 4、过点7、求点9321二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-=且'2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ==。 将它们代入射影对应式并化简得， 此即为所求二阶曲线的方程。
三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A '' AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， 求证四 所以1l 解设所求为 a λλ'+b(λ+λ')+d=0① 将对应参数代入得： 21a+（1+2 1）b+d=0② （0+2）b+d=0③ 从①②③中消去a,b,d 得
1 2012321 1λλλλ'+'=0 即λλ'+λ+λ'-2=0为所求 六、求直线32163x x x +-=0关于2122212x x x x -++231x x -632x x =0之极点。（12分） 解：设0p （030201,,x x x ）为所求，则 -111??0x 3L=21A A 设渐近线的方程为 根据公式得 解之，得3 1,121-==k k ，所以渐近线方程为 和 化简，得所求为 2x-2y-1=0和2x+6y+5=0 方法二 先求出中心，因为
1 浙江省2018年7月自学考试高等几何试题 课程代码：10027 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.在三角形的以下性质中是仿射性质的是( ) A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 2.以下四条直线中所含的无穷远点与其他三条不同的是( ) A.x y x y 121)1(2+=++ B.11)(2=++x x y C.x +2y =0 D.过点(1,3),(3,2)的直线 3.已知A ,B ,C ,D 四点是调和点列，任意调整它们次序后所得交比不会出现的是( ) A.1 B.2 C.-1 D. 2 1 4.椭圆型射影对应的自对应元素是( ) A.两个互异的实元素 B.两个互异的虚元素 C.两个重合的实元素 D.两个重合的虚元素 5.唯一决定一条二阶曲线需无三点共线的( ) A.3点 B.4点 C.5点 D.6点 二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.两点-3u 1+u 2+2u 3=0,2u 1-u 2+3u 3=0连线的坐标是_________. 7.若对合a μμ′+b (μ+μ′)+c =0是椭圆型的,则系数满足_________. 8.完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列,即这直线上的两个顶点和_________. 9.椭圆上四定点与其上任意第五点所联四直线的交比为_________.
2 10.平面上任一圆通过的两个固定点称为_________. 三、计算题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 11.求使三点A (0,0),B (1,1),C (1,-1)变到三点A ′(1,1),B ′(3,1),C (1,-1)的仿射变换. 12.已知平面上有点A (2,1),B (4,2),C (6,-3),D (-3,2),E (-5,1),求A (BC ,DE ). 13.求射影变换式,使它的不变元素的参数是λ1=-1,λ2=3,并且使λ3=1变为3 λ'=0. 14.求射影变换??? ??--='-='-='3213 212 211 36 4 x x x x x x x x x x ρρρ的二重直线. 15.求两个成射影对应的线束x 1-λx 2=0，x 2-λ′x 3=0,(λ′= λ λ +1)所构成的二阶曲线的方程. 16.求二次曲线x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3=0的中心. 四、作图题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）（第18题写出作法） 17.作出下列图形的对偶图形: 题17图 18.已知二阶曲线上五点A ,B ,C ,D ,E ,求作该曲线上点A 处的切线. 题18图 五、证明题(本大题共3小题，第19小题和第20小题各10分，第21小题8分，共28分)
； 系 专业 班 学号 姓名 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 试卷类型： A 高等几何 使用专业年级 考试方式：开卷（ ）闭卷（√） 共 6 页 题号 一 二 三 四 五 六 合计 得分 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1、设1P (1)，2P (-1)，3P (∞)为共线三点，则=)(321P P P 。 2、写出德萨格定理的对偶命题： 。 3、若共点四直线a,b,c,d 的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=______。 4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为： 。 5、二次曲线的点坐标方程为042 2 31=-x x x ，则其线坐标方程为是 。 二、 选择题（每小题2分，共10分） 1.下列哪个图形是仿射不变图形？( ) A.圆 B.直角三角形 C.矩形 D.平行四边形 2. 22 1122280u u u u +-=表示( ) A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点
B. 以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点 C. 以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点 D. 以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点 3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？( ) A.一次 B.两次 C.三次 D.四次 4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有( )： A. 三角形的垂心 B. 梯形 C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点 D.椭圆 5.二次曲线按射影分类总共可分为( ) A.4类 B.5类 C.6类 D.8类 三、判断题（每小题2分，共10分） 1.仿射对应不一定保持二直线的平行性。（） 2.两直线能把射影平面分成两个区域。（） 3.当正负号任意选取时，齐次坐标)1 ± ±表示两个相异的点。（） ,1 ,1 (± 4. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素(非自对应元素)符合对合条件，则此 射影变换一定是对合。（） 5.配极变换是一种非奇线性对应。（）
北京师范大学珠海分校 期末考试试卷 开课单位：应用数学学院课程名称：高等几何 任课教师：hj考试类型：闭卷考试时间：120分钟 学院___________班级____________姓名___________学号______________ 题号一二三总分 得分 阅卷人 试卷说明：（本试卷共4页，满分100分） ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 一、填空题：（每题4分，共20分.请把答案填在题中横线上.） 1．正交变换的基本不变量是.仿射变换的基本不变量是. 射影变换的基本不变量是.射影变换的基本不变形是. 2.若（P1P2，P3P4）=3，则（P1P2，P4P3）=.（P1P3，P2P4）=. （P2P3，P1P4）=.（P3P1，P2P4）=________. 3．两个射影点列成透视对应充要条件是. 两个射影线束成透视对应充要条件是. 4．“若两个完全四线形的五对对应顶点连线通过同一点，则其第六对对应顶点的连线也通过此点，其四对对应边交点必共线”的对偶命题 为 . 5．直线3x-y+3=0上无穷远点的坐标，其方程为. 二、作图题，要求写出简单步骤。（每题5分，共10分.) 1．做出下列图形的对偶图形.
2．已知两个射影点列的三对对应点，求作其他对应点。 三、计算题：要求写出主要计算步骤（每题10分，共60分) 1．已知四点A（1,2,3），B（5，-1,2），C（11,0,7），D（6,1,5），验证它们共线，并求（AB,CD）的值. 2．设直线l上的点P（-1），Q（0），R（1）经射影对应，顺次对应l’上的点 P’(0),Q’(1),R’(3)求射影对应式。.
《高等几何》试题（１） 1. 试确定仿射变换，使y 轴，x 轴的象分别为直线01=++y x ，01=--y x ，且点（1，1） 的象为原点.(51') 2. 利用仿射变换求椭圆的面积.(01') 3. 写出直线12x +23x -3x =0,x 轴,y 轴,无穷远直线的齐次线坐标.(01') 4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51') 5. 已知A (1,2,3),B (5,-1,2),C (11,0,7),D (6,1,5),验证它们共线,并求(CD AB ,)的值.(8') 6. 设1P (1,1,1),2P (1,-1,1),4P (1,0,1)为共线三点,且(4321,P P P P )=2,求3P 的坐标.(21') 7. 叙述并证明帕普斯(Pappus)定理.(01') 8.一维射影对应使直线l 上三点P (-1),Q (0),R (1)顺次对应直线l '上三点 P '(0),Q '(1),R '(3),求这个对应的代数表达式.(01') 9.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.(01') 《高等几何》试题（２） 1.求仿射变换424,17++='+-='y x y y x x 的不变点和不变直线. (51') 2. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51') 3.求证a (1,2,-1) ,b (-1,1,2),c (3,0,-5)共线,并求l 的值,使 ).3,2,1(=+=i mb la c i i i (01') 4.已知直线421,,l l l 的方程分别为02321=-+x x x ，0321=+-x x x ， 01=x ，且=),(4321l l l l 3 2 - ，求2l 的方程.(51') 5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. (01') 6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底 的交点自对应. (01') 7.求两对对应元素,其参数为12 1 → ,0→2,所确定对合的参数方
某高校《高等几何》期末考试试卷 （120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 22121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→，01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1
11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得， 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A '' AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， ),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ，B A ''属于同一条二级曲线（C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。
[0464]《高等几何》 一、计算题(5题，共70分) 1.经过A(-3，2)和B(6，1)两点的直线被直线x+3y-6=0截于P 点，求简比(ABP). (10分) 解:设AP PB =λ，则点P 的坐标为P （361－＋λ＋λ，21＋λ＋λ），因为点P 在直线x ＋3y －6＝0上，所以有361－＋λ＋λ+3（ 21＋λ＋λ ）－6=0 ,有1=λ,1)(-=-=λABP . 2.从原点向圆（x －2）2+(y －2)2=1作切线t 1, t 2。试求x 轴，y 轴，t 1, t 2顺这次序的交比. (10分) 解:设直线y=kx 与圆相切,则12 212+-=k k ,两边平方得到03832=+-k k ,3 742,1±=k 因此1t 的方程为0374=--x y ,2t 的方程为0374=+-x y ,故7 474),(21+-=t t xy . 3.求射影变换?? ???='+='+='33322211ax x x ax x x ax x ρρρ的固定元素.(15分) 解：射影变换的特征方程是10 0010001 --+λλλ=0，即1=λ或1-=λ 把1=λ代人方程组?? ???=-=-=+0)1(0)1(0)1(321x x x λλλ,解得不变点是一条直线01=x 把1-=λ代入上述方程组，解得不变点(1,0,0). 把1=λ代人方程组?? ???=-=-=+0)1(0)1(0)1(321u u u λλλ,解得不变直线是过(1,0,0)的所有直线.. 把1-=λ代入上述方程组，解得不变直线01=x 4.已知二阶曲线（C ）：221121332460x x x x x x +++= (1)求点(1,2,1)P 关于曲线的极线 (2)求直线123360x x x -+=关于曲线的极点. (20分)
《高等几何》练习题 一 、判断题 （ ）1、两个三角形的面积之比是仿射不变量。 （ ）2、变换群越大，它所对应的几何内容越丰富。 （ ）3、无穷远直线与二阶曲线没有交点。 （ ）4、一点的极线是其所有调和共轭点的轨迹。 （ ）5、三角形的三中线共点是仿射性质。 （ ）6、一直线的齐次线坐标唯一。 （ ）7、仿射变换把单位向量仍变为单位向量。 （ ）8、交比是射影不变量。 （ ）9、透视对应必是射影对应。 （ ）10、平面内不共线三点可以确定一条二阶曲线。 （ ）11、渐近线是二次曲线的自共轭直径。 二、填空题 1、 梯形的仿射图形是 。 2、 等边三角形的仿射图形是 。 3、 “点”与“ ”叫做平面上的对偶元素。 4、 设)8,1(),2 1,21(),2,1(C B A ---为共线三点，则=)(ABC 。 5、 已知点)1,0,1(),1,1,1(),1,1,1(=-==D B A 且2),(=CD AB ，则=C _________。 6、 四点)1,0,1(),3,1,3(),1,1,1(),1,1,1(4321P P P P --在同一直线上，则 =),(4321P P P P _________。 7、 无穷远直线的齐次方程为________________________________。 8、 012=++y x 上的无穷远点的坐标是 。 9、 直线]1,2,[i i -上的实点坐标为 。 10、 一点),,(321x x x x ≡在一直线],,[321u u u u ≡上的充要条件是 _________________。 11、 已知点A 的坐标)1,1,2(-及点P 的方程032321=++u u u ，则直线AP 的方 程为 。 12、 设二直线]3,1,2[],1,1,1[交点为A ，点P 的线坐标方程为032321=++u u u ， 则直线AP 方程为 。
《高等几何》试题（A ） 一、 填空题（每题3分共15分） 1、 是仿射不变量， 是射影不变量 2、 直线30x y +=上的无穷远点坐标为 3、 过点（1,i,0）的实直线方程为 4、 二重元素参数为2与3的对合方程为 5、 二次曲线2 2 611240x y y -+-=过点(1,2)P 的切线方程 二、 判断题（每题2分共10分） 1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形 （ ） 2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变 （ ） 3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边 （ ） 4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集 （ ） 5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线 （ ） 三、(7分)求一仿射变换，它使直线210x y +-=上的每个点都不变，且使点（1,-1） 变为（-1，2） 四、（8分）求证:点(1,2,1),(1,1,2),(3,0,5)A B C --三点共线，并求,t s 使 ,(1,2,3)i i i c ta sb i =+= 五、(10分)设一直线上的点的射影变换是/ 32 4 x x x += +证明变换有两个自对应点，且这两自对应点与任一对对应点的交比为常数。 六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。
七、（10分） （1）求点（5，1，7）关于二阶曲线222 123121323236240x x x x x x x x x ++---=的极线 （2）已知二阶曲线外一点P 求作其极线。（写出作法，并画图） 八、（10分）叙述并证明德萨格定理的逆定理 九、（10分）求通过两直线[1,3,1],[1,5,1]a b -交点且属于二级曲线 222 123420u u u +-=的直线 十、（10分）已知,,,,A B P Q R 是共线不同点， 如果(,)1,(,)1,(,)PA QB QR AB PR AB =-=-求