《实变函数》考试大纲
一、课程说明
本大纲适用数学专业。
1 本课程的目的和要求
实变函数是数学专业重要的分析基础课之一这一部分内容为进一步学习分析数学中的一些专门理论，如函数论，泛函分析，概率论，微分方程，群上调和分析等提供必要的测度和积分论基础，通过本课程的学习，应使出学生较好的掌握测度和积分这个基本工具，特别是极限（或积分）和积分顺序的交换，并且在一定程度上掌握集的分析方法
2 本课程的主要内容
先介绍近代数学的基础——集与映射等有关概念，同时介绍实直线上的点集的性质，按着讲L-测度以及L-可测集的概念与性质，在介绍可测函数的概念与性质，接着是勒贝格积分的概念与性质，还有积分极限定理，R-积分与L-积分比较，Fubini定理，囿变函数，绝对连续函数及其中N-L公式，最后介绍Lp空间及其性质
3 教学重点与难点
本课程的重点是勒贝格测度与勒贝格积分。实变函数的内容虽是微积分的继续深化，但在思想方法上确有较大的飞越，实变函数的一些概念比起数学分析来要抽象得多，这使得初学者对实变函数往往不太习惯，为使学生能较好地适应这一过度，教师在讲解时尽可能将主要概念的产生背景，以北及概念之间的内在联系加以介绍。例如，教师应向学生交代，为什么要研究新的积分,为什么要研究可列可加测度等，讲解时既要严格论证又要形象说明，同时要配合典型例题，适当地加强对学生的基础训练，这是一个重要的学习环节，教师应当给学生布置一定数量的习题，使学生通过做习题，加深对课文的理解，也帮助学生提高自学能力和解题能力，并开阔思路。
4 本课程的知识范围与相关课程的关系
本课是在数学分析的基础上发展而成，同时本课程又用到了高等代数和解析几何中的一些基本知识，故本课程应安排在第四学期或第五学期讲授。
5 教材的选用
绍兴文理学院数学系主要选用下面的教材
江泽坚、吴智泉编《实变函数论》(第二版)，北京：高等教育出版社，2001年(国优教材).
该教材论证严谨，重点突出，思路清晰，是一本国优教材。
二课程内容及学时分配
本课程总学时为72学时，其中讲课约54学时，习题课约18学时，在执行时可以适当调整，由于习题课教师既可以单独讲，也可以穿插在正课本中讲故下面各章节所分配的学时中同时包括正课与习题课的学时，不在分开。
本大纲中有“*”号的项目，在教学中可酌情处理，书中例题材教师也可酌情增删
第1章 集与点集（12学时）
本章介绍近代数学的基础——集与映射等有关概念，同时也介绍实变函树论必需的直线上的点集的概念和知识。
2 教学目的及要求
掌握集与元素的概念以及集的运算，集的对等，势的概念，理解可列集不可列集的概念。掌握直线上的开集与闭集，内点，聚点，导集，闭包，完备集等概念，理解开集的构造定理及Cantor 三分集的完备性，稀疏性。理解Bernstein定理，了解序集概念以及Zorn引理，Zermelo选择公理。
3 教学重点
集的对等，开集的构造定理以及由一个集的所有子集构成的集的势。
4 教学难点
Cantor三分集具有完备性，稀疏性。
5 各章节教学时间安排及进度安排
1 集的运算，集与元素的概念，集的闭包与相等，集的表示，集的运算。（2课时）
2 映射，集的对等，可列集
映射，对等，有限集与无限集，可列集与不可列集。（2学时）
3一维开集，闭集及性质
领域及开集，聚点和孤立点，导集，完全集，闭集。（2学时）
4开集的构造
开集的构造区间，开集的构造定理，Cantor三分集，稠密集与稀疏集，n维欧氏空间概述。（3学时）
5集的势，序集
势的定义，势的比较，连续集的势，可列集的势，由一个集的一切子集所构成的集的势，Bernstein-定理及应用，Zorn引理*Zermelo选择公理。（2学时）
6 主要教学环节的组织
在最后1学时进行有关部门问题讨论以及习题讨论。
第二章程勒贝格测度（16学时）
1 教学内容
本章主要介绍直线上的Lebesgue测度，同时也介绍了一般的测度理论。
2教学目的及要求
掌握直线上的开集与闭集的测度以及直线上有界集`的内外测度以及Lebesgue测度以及可测集的概念，理解可测集对可列并，及余的封闭性，理解Lebesgue测度的完全可加性以及可测集的Caratheodory条件，了解多维空间中的测度，不可测集的例，理解环与环上定义的测度的概念与性质，了解σ-环上的外测度，可测集，测度扩张及广义测度。
3教学重点
直线上的有界可测集的概念与此同时性质，Lebesgue测度的完全可加性
可测集的Caratheodory条件，单调类定理。
5各章节教学大纲 时间分配及进度安排
§1引言
本节介绍如何 由区间的“长度”推广到点集的确“测度”只要求学生有初步了解即可。
（1学时）
§2 有界点集的外、内测度，可测集
直线上有界开集，闭集的测度及基本性质，直线上有界集的外，内测度，Lebesgue可测集及测度。（3学时）
§3 可测集的性质
直线上有界集可测的充要条件，可测集的补集是可测的，可测集关于集合的并、交运算是封闭的，测度的单调性，可测集关于集合的可列并，可列交运算是封闭的测度的完全可加性，可测集的Caratheodory条件，渐张可测集列以及渐缩可测集列的测度性质，可测集与Gδ型集 与 Fσ型集之间的关系.(3学时)
§4 关于测试度的几点评语
直线上无界可测集及测度，多维空间点集的测度，不可测集的例。（3学时）
(5)环与环上定义的测度
集类：环与σ环代数及σ代数，单调类定理环上测度的定义及性质。
（6）σ环上的测度，可集类，测度的扩张（一学时）
（7）广义测度（一学时）
6主要教学环节的组织
在本章中最后一学时进行有关问题讨论及习题讨论
第三章 可测函数
1．教学内容
本张介绍可测度函数类并讨论它的性质，为下一条lebesgue积分做准备；
2．教学的目的及要求
理解可测度函数的概念与性质，可测度函数可用简单函数来逼近，两个可测度函数的四则运算的可测性，理解叶果洛夫定理，可测函数以测度收敛与几乎处处收敛之间的关系，Riesy 定理，理解鲁津定理的两种形式；
3．教学重点
可测度函数可以利用简单函数来逼近，可测度函数以测度收敛与几乎处处收敛的关系，可测函数用连续函数逼近；
4．教学难点
业果洛夫定理 Riesy 定理、鲁津定理
5．各章节教学时间安排及进度安排。
（1）可测函数的基本性质，可测函数的几个等价条件，几乎处处的概念，可测函数的上、下确界函数的可测性，可测函数的上、下极限函数及极限函数的可测性。可测函数可以用简单函数来逼近，两个可测函数的和、差、积、商（假定运算几乎处处有定义）的可测性（5学时）；
（2）可测函数列的收敛性
集列的上、下限集及极限集，叶果洛夫定理可测函数列测度收敛与几乎处处收敛之间的关系，Riesy 定理。（4学时）
（3）可测函数的构造
（4）鲁津定理：鲁津定理的另一种形式（2学时）
6．主要教学环节的组织
7．在本章最后1学时进行有关问题的讨论及习题讨论
第4章勒贝格积分
1．教学内容
本章在前面所讲的测度论的基础上讨论勒见格积分，它是本课程的重要内容，此外本章还介绍了单调函数，有界变差函数的一些重要性质以及L.S积分；
2．教学目的及要求
掌握勒贝格积分的绝对连续性，σ可加性，理解掌握levr定理，Fatou定理，Lebesgue控制收敛定理，游街收敛定理，理解Fubini定理，理解囿变函数的概念与性质，理解绝对连续函数的N-L公式，了解勒贝格—斯蒂杰积分概念；
3．教学重点
Levi定理、Fatou定理lebesgue控制收敛定理，Fooini定理，囿变函数及绝对连续函数 4．教学难点
Futoni定理，勒贝格积分，σ-可积性；
5．各章节教学时间分配及进度安排；
（1）勒贝格积分的引入
简单函数的积分及性质、非负可测函数的积分、可测函数的积分、无界集上可测函数的积分。（4学时）
（2）积分的性质
积分的有限可加性，积分的绝对连续性，积分的σ-可加性，非负单增简单函数列积分与极限次序的交换，积分的线性，积分的单调性，积分的唯一性，可积函数可用简单函数或连续函数平均逼近。（4学时）
(3) 积分序列的极限
Levi 定理Fatou 定理 Ledesgue 控制收敛定理有界收敛定理。（4学时）
（4）R积分与L 积分的比较
定义在有限区间上的R可积函数必L可积（反之不然），有关积分与极限次序的交换L 积分优于R积分，有关 Newton-Leibniz 公式L积分优于R积分。（4学时）
（5）乘积测度与傅比尼定理
乘积可测空间，可测集及可测函数的截口可测性，乘积测度空间，Fubini 定理，乘积测度的完备化*。（4学时）
（6）微分与积分
单调函数，跳跃函数，跃度，列导数，Vitali 引理，单调函数几乎处处可微定理*，囿变函数及总变分，囿变函数与单调函数之间的关系，囿变函数的标准分解，可积函数的不定积分，绝对连续函数，N-L公式，奇异函数*，囿变函数的Lebesgue 分解定理。（4学时）
（7*）勒贝格—斯蒂杰积分的概念
由于L-S 积分的基本想法与第四章中L 积分的建立类似，故本节内容教师可向学生作简单介绍，以学生自学为主。
6．主要教学环节的组织
本章最后2 学时进行有关问题讨论及习题讨论。
第五章函数空间L P（6学时）
1．教学内容
L P空间的概念，L P空间的完备性、可分性，傅立叶变式概要。
2．教学目的与要求
理解L P空间的概念，掌握Holder 不等式和Minkowski不等式，理解Bernstein多项式及L P 空间的可分性，了解傅立叶变式。
3．教学重点
L P空间中的强收敛，完备性，可分性。
4．教学难点
L P空间的完备性
5．各章节教学时间分配及进度安排
（1）L P空间，完备性
L P（p＞1）空间，Holder 不等式，Minkowski不等式，L P空间中的范数，L P空间中点列的强收敛，L P空间中的完备性。（2学时）
（2）L P空间的可分性
L P空间的可分性，Bernstein多项式，L P空间中点列的弱收敛，L2空间中的内积及标准直交系。（2学时）
（3*）傅立叶变式概要（1学时）
6．主要教学环节组织
在本章最后1学时进行有关问题讨论及习题讨论。
三．教学参考书
[1]江泽坚、吴智泉，实变函数论(第二版)，北京：高等教育出版社，2001年(国优教材)
[2] 郑维行，王声望编《实变函数与泛函分析概要》（第二版）第一册，高等教育出版社，1989
年。
[3] 薛昌兴编《实变函数与泛函分析》上册，高等教育出版社，1993年。
[4] 夏道行等编著《实变函数论及泛函分析》（第二版）上册，高等教育出版社，1984年。
《泛函分析》课程教学大纲 一课程说明 1.课程基本情况 课程名称：泛函分析 英文名称：Functional Analysis 课程编号：2411215 开课专业：数学与应用数学 开课学期：第6学期 学分/周学时：3/3 课程类型：专业方向选修课 2．课程性质（本课程在该专业的地位作用） 泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，是现代数学的一个重要分支。它综合地运用分析、代数和几何的观点、方法研究分析数学中的许多问题，是将具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行的研究。随着科学技术的迅速发展，泛函分析的概念、方法已经渗透到数学的各个分支而且日益广泛地被应用于自然科学、工科技术理论和社会科学的各个领域。通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其它数学分支以及将其应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理、工程技术等领域有很大帮助。 3．本课程的教学目的和任务 本课程基本要求学生能理解该学科的思想及应用性，掌握基本理论方法，了解定理证明过程。通过本课程的学习, 学生应熟练掌握度量，范数，线性算子，内积，直交投影，谱等概念, 熟练掌握纲理论及有界线性算子的基本原理和线性泛函的延拓理论, 为今后学习打下坚实基础。 4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求 泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某
些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。 5．教学时数及课时分配 二教材及主要参考书 1. 程其襄等编.《实变函数与泛函分析基础》（下册）（第三版），高等教育出版社，2010年6月. 2.曹广福等编.《实变函数论与泛函分析》（下册）（第三版），高教出版社，2011年6月. 3．张恭庆、林源渠编著，《泛函分析讲义》（上册），北京大学出版社，1987年. 4.夏道行等编.《实变函数与泛函分析》（下册）(第二版)，高等教育出版社，2005年. 5．李广民编.《应用泛函分析》.西安电子科技大学出版社，2004. 三教学方法和教学手段说明
第一章习题解答 1、证明 A (B C)＝(A B) (A C) 证明：设x∈A (B C)，则x∈A或x∈(B C)，若x∈A，则x∈A B，且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)。若x∈B C，则x∈B且x∈C，于是x∈A B且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)，因此 A (B C) ? (A B) (A C) (1) 设x∈(A B) (A C)，若x∈A，则x∈A (B C)，若x∈A，由x∈A B 且x∈A C知x∈B且x∈C，所以x∈B C，所以x∈A (B C)，因此 (A B) (A C) ? A (B C) (2) 由(1)、(2)得，A (B C)＝(A B) (A C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A B)＝(A B)－B ②A (B－C)＝(A B)－(A C) ③(A－B)－C＝A－(B C) ④A－(B－C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A C)－(B D) (A－B)＝A B A－(A B)＝A C(A B)＝A (CA CB) ＝(A CA) (A CB)＝φ (A CB)＝A－B (A B)－B＝(A B) CB＝(A CB) (B CB) ＝(A CB) φ＝A－B ②(A B)－(A C)＝(A B) C(A C) ＝(A B) (CA CC)＝(A B CA) (A B CC)＝φ [A (B CC)]＝ A (B－C) ③(A－B)－C＝(A CB) CC＝A C(B C) ＝A－(B C) ④A－(B－C)＝A C(B CC)＝A (CB C) ＝(A CB) (A C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A CB) (C CD) ＝(A C) (CB CD)＝(A C) C(B D) ＝(A C)－(B D)
（建筑工程考试）《工程项目管理》考试大纲
《工程项目管理》考试大纲 I.考试性质 普通高等学校本科插班生招生考试是由专科毕业生参加的选拔性考试。高等学校根据考生的成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取。因此，本科插班生考试应有较高的信度、效率、必要的区分度和适当的难度。 II.考试内容 壹、考试基本要求 要求考生理解和掌握工程项目管理的基本概念、基本理论和基本方法，能运用工程项目管理知识进行案例分析，具备分析问题和解决问题的基本能力。 二、考核知识点及考核要求 本大纲的考核要求分为“理解”、“应用”二个层次，具体含义是： 理解：能正确认识和表述有关的概念、知识的含义，且能全面把握基本概念、基本原理、基本方法和掌握有关概念、原理、方法的区别和联系。 应用：于理解的基础上，能运用基本概念、基本原理、基本方法分析和掌握有关的原理问题和实际问题。 第1章项目管理概论 壹、考核知识点 1.项目概念 2.项目利益关联者 3.项目管理 4.现代项目管理知识体系和框架 5.项目管理的发展和我国项目管理的改革 二、考核要求
（壹）理解 1.项目的概念 2.项目管理的概念、项目管理内容 3.项目利益关联人及其作用 4.现代项目管理知识体系 5.我国项目管理发展以及最新研究动态。 第2章项目管理组织壹、考核知识点 1.项目管理组织概念 2.项目管理组织的类型及其优缺点 3.项目组织的选择 二、考核要求 （壹）理解 1.项目管理组织概念 2.项目组织结构形式及其优缺点 第3章项目经理和人力资源管理壹、考核知识点 1.项目经理 2.项目团队 3.项目人力资源管理 二、考核要求 （壹）理解
《实变函数与泛函分析II》教学大纲（本科） <总学时数：48，学分数：3，课程编码：09070050> 一．课程的性质，任务和目的 泛函分析课程是高等院校数学专业学生必修的重要的专业课。为学生培养分析问题、解决问题的能力，抽象思维和逻辑思维能力，为学生进一步学习后继课程打下扎实的基础。 二、课程基本内容和要求 1．通过本课程的学习，要使学生获得：度量空间、线性赋范空间、线性有界算子、线性连续泛函、内积空间、希尔伯特空间、巴拿赫空间方面的知识，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 2．再传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力和自学能力，还要特别注意培养学生综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。 3．本课程的教学就把重点放在培养学生正确理解和运用基本概念与基本方法上，并注意理论联系实际的原则，力求反应这些基本概念的实际背景及其应用。使学生认识到数学来源于实践又服务于实际，从而有助于树立辩证唯物主义观点。4．教材的选取与课堂讲授要贯彻少而精原则，着重于基本概念，基本理论的讲授和基本技能的培养，不要追求内容上的完备和全面。 本大纲包括（一）教学内容（二）教学要求（三）重点与难点 教学要求的高低用不同的词汇加以区分，对概念、理论从高到低用“理解”、“了解”、“知道”三级区分，对运算、方法从高到低用“掌握”、“会”、“能”三级区分。熟悉一词相当于“理解”、“熟练掌握”。 第六章度量空间、线性赋范空间 一）教学内容 第一节度量空间的进一步例子 第二节度量空间中的极限、稠密集、可分空间 第三节连续映照 第四节完备度量空间 第五节压缩映照原理 第六节线性赋范空间 其中： 基本概念：度量空间、稠密集、可分空间、连续映照、线性赋范空间
习题1.1 1．证明下列集合等式． (1) ()()()C A B A C B A \\=； (2) ()()()C B C A C B A \\\ =； (3) ()()()C A B A C B A \\\=． 证明 (1) )()C \B (c C B A A = )()( c c C B A A B A = c C A B A )()( = )(\)(C A B A = . (2) c C B A A )(C \B)(= )()(c c C B C A = =)\()\(C A C A . (3) )(\C)\(B \c C B A A = c c C B A )( = )(C B A c = )()(C A B A c = )()\(C A B A =. 2．证明下列命题． (1) ()A B B A = \的充分必要条件是：A B ?； (2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是：=B A ?； (3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是：=B ?． 证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c c ==== )()()()\(的充要条 是：.A B ? (2) c c c c B A B B B A B B A B B A ===)()()(\)( 必要性. 设A B B A =\)( 成立，则A B A c = , 于是有c B A ?, 可得.?=B A 反之若,?≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ?∈且与c B A ?矛盾.
充分性. 假设?=B A 成立, 则c B A ?, 于是有A B A c = , 即.\)(A B B A = (3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\( =, 即.\c C A B A B A == 若,?≠B 取,B x ∈ 则,c B x ? 于是,c B A x ? 但,B A x ∈ 与c C A B A =矛盾. 充分性. 假设?=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A \)()\( =. 3．证明定理1.1.6． 定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 ;lim n n n n A A (2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 . lim n n n n A A 证明 (1) 设),1(1≥??+n A A n n 则对任意 ∞ =∈ 1 ,n n A x 存在N 使得,N A x ∈ 从而 ),(N n A x N ≥?∈ 所以,lim n n A x ∞ →∈ 则.lim 1 n n n n A A ∞→∞ =? 又因为 ∞ =∞ →∞ →??1 ,lim lim n n n n n n A A A 由此可见{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 ;lim n n n n A A (2) 当)1(1≥??+n A A n n 时, 对于, lim n n A x ∞ →∈存 )1(1≥?<+k n n k k 使得 ),1(≥?∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0 n n A A x k ?∈ 可见.lim 1 ∞ =∞ →?n n n n A A 又因为,lim lim 1 n n n n n n A A A ∞ →∞ →∞ =?? 所以可知{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 .lim n n n n A A 4．设f 是定义于集合E 上的实值函数，c 为任意实数，证明： (1) ??? ???+≥=>∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (2) ?? ? ???+<=≤∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞ →，则对任意实数c 有 ?????? ->=????? ?->=≥∞→∞=∞ =∞ =∞ =k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 ． 证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+ ∈Z n 使得n c x f 1)(+ ≥成
《实变函数与泛函分析》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：110047 课程名称：实变函数与泛函分析 英文名称：Real variable analysis And Functional analysis 课程类别：专业基础课 学时：50 学分：3 适用对象：信息与计算科学专业本科 考核方式：考试，平时成绩30％，期末成绩70％ 先修课程：数学分析和高等代数 二、课程简介 中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。 英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis’ thinking and reasoning. 三、课程性质与教学目的 本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。本课程要求如下： 1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。
实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ?? 是可数集，则* m E 0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1 a ?∈?，()E x f x a ??≥??是 ，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是 函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +? 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题 1．下列集合关系成立的是（ ） A ()\ B A A =?I B ()\A B A =?I C ()\A B B A =U D ()\B A A B =U 2．若n R E ?是开集，则（ ） A E E '? B 0E E = C E E = D E E '= 3．设(){} n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） A ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞ →∞≤?? B ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞ →∞ ≤?? C ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞ →∞≤?? D ()()lim lim n n E E n n f x dx f x →∞→∞ ≤?? 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E = 中无理数，则（ ） A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2．设n E ?? 是无限集，则（ ）
作业(1) 第1章 集合 第2章 n 维空间中的点集 一、单项选择题 1.)\(\)\(C B A C B A = 成立的充分必要条件是（ ）． (A) B A ? (B) A B ? (C) C A ? (D) A C ? 2. A B B A = )\(成立的充分必要条件是（ ）． (A) B A = (B) ?=B (C) B A ? (D) A B ? 3.设 ∞=+=1 ]11,0[n n M ，则M 是（ ）． (A) 非开非闭型集合 (B) 仅开非闭型集合 (C) 仅闭非开型集合 (D) 既开且闭型集合 4.任意多个闭集的并一定是（ ）． (A) 闭集 (B) 开集 (C) 完备集 (D) 可测集 5.设n R E ?，n R x ∈0，若0),(0=E x d ，则（ ）． (A) E x ∈0 (B) E x '∈0 (C) 00E x ∈ (D) E x ∈0 二、填空题 1.设)1,1(n n n n A n ++-=，则=∞= 1n n A ，=∞= 1 n n A ． 2.设)1,1(++-=n n n n A n ，则=∞= 1n n A ，=∞= 1 n n A ． 3.设]11,0(n A n +=，则=∞→n n A lim ，=∞ →n n A lim ． 4.设),2,1(,]211,0[,]1212,0[212 =+=--=-n n A n A n n ，则=∞→n n A lim ，=∞→n n A lim ． 5.设n R E ?更多试题及答案+扣二九七九一三九六八四，n R x ∈0，如果0x 的任何邻域中都含有E 的 个点，则称0x 是E 的聚点． 6.设n R E ?，n R x ∈0， 如果存在0x 的邻域),(0δx N ，使得),(0δx N E ，则称0x 是E 的内点． 三、证明题 1.证明 ∞=>=>1 }1{}0{n n x x x x ．
福建农林大学成人教育（函授）学位课程 《工程项目管理》考试大纲 一、有关说明与实施要求 （一）课程性质与考核目的 《工程项目管理》是工程管理（本科）专业的专业课程之一。项目管理的原理在我国被现代社会广泛应用，尤其是在工程建设领域，对项目管理的运用和研究相对更早、更深入。而且随着社会、科技和经济的进一步发展，工程项目管理正受到越来越多的人的重视。《工程项目管理》课程为学生建立工程建设项目管理的知识体系；培养学生应用工程项目管理知识解决实际问题的能力。 本课程统一考试的目的在于：了解和检验考生对工程建设项目管理的基础理论与基本技能的理解和掌握程度，使其学会运用本课程的基本知识、基本原理和基本方法，分析和解决工程建设项目管理工作中的一般理论和实际问题。 （二）指定教材 王雪青、杨秋波主编的《工程项目管理》，高等教育出版社，2011年3月版。 （三）复习方法 考生必须根据考试大纲的基本要求，认真阅读和仔细钻研指定的教材，尽可能较全面、系统、完整地了解和掌握工程建设项目管理的基本概念、基本原理和基本技能；专业教师应在考生系统学习的基础上，对重点和难点章节进行有针对性地分析、辅导。 （四）内容分类 从考试的基本目的和考生的实际情况出发，本大纲将各章节内容划分为重点把握、基本领会、一般了解和不作要求四个层次。考核内容一般不超出本大纲所列的基本范围。 1、重点把握：能熟练掌握本课程中有关概念、基本原理和知识点的含义，并能正确地识记和表述。 2、基本领会：初步熟悉本课程的有关概念、原理和方法间的区别和联系，基本掌握工程建设项目管理的一般操作技能。考核目标的重要程度仅次于重点把握。 3、一般了解：内容作一般性了解，起系统性学习作用。
本试题参考答案由08统计班15号 李维提供 有问题联系 1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。 2、证明：()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ，集{} ()E x f x c =≥和 {}1()E x f x c =≤都是闭集。 3、设n R E ?是任意可测集，则一定存在可测集 δ G 型集 G ，使得 E G ?,且 ()0=-E G m 4、设,n A B R ?，A B ?可测，且()m A B ?<+∞，若()**m A B m A m B ?=+， 则,A B 皆可测。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。 6、设)(x f 是E 上的可测函数，G 为开集，F 为闭集，试问])(|[G x f x E ∈与 ])(|[F x f x E ∈是否是可测集，为什么？ 7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0，而在0P 的余集中长为1 3n 的构成区间上定义为n （1,2,3,=L n ）,试证()f x 可积分，并求出积分值。 8、设{}n f 为E 上非负可积函数列，若lim ()0,n E n f x dx →∞=? 则()0n f x ?。 9、设)(x f 是E 上. 有限的可测函数，+∞
2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 （×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ，()f x 在[0,]n 上 黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数） 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在
《建设工程项目管理》 科目考试大纲 1Z200000 建设工程项目管理 1Z201000 建设工程项目的组织与管理 1Z201010 建设工程管理的内涵和任务 1Z201011 建设工程管理的内涵 1Z201012 建设工程管理的任务 1Z201020 建设工程项目管理的目标和任务 1Z201021 业主方、设计方和供货方项目管理的目标和任务1Z201022 项目总承包方项目管理的目标和任务 1Z201023 施工方项目管理的目标和任务 1Z201030 建设工程项目的组织 1Z201031 项目结构分析在项目管理中的应用 1Z201032 组织结构在项目管理中的应用 1Z201033 工作任务分工在项目管理中的应用 1Z201034 管理职能分工在项目管理中的应用 1Z201035 工作流程组织在项目管理中的应用 1Z201036 合同结构在项目管理中的应用 1Z201040 建设工程项目策划 1Z201041 项目决策阶段策划的工作内容 1Z201042 项目实施阶段策划的工作内容 1Z201050 建设工程项目采购的模式 1Z201051 项目管理委托的模式 1Z201052 设计任务委托的模式 1Z201053 项目总承包的模式
1Z201054 施工任务委托的模式 1Z201055 物资采购的模式 1Z201060 建设工程项目管理规划的内容和编制方法1Z201061 项目管理规划的内容 1Z201062 项目管理规划的编制方法 1Z201070 施工组织设计的内容和编制方法 1Z201071 施工组织设计的内容 1Z201072 施工组织设计的编制方法 1Z201080 建设工程项目目标的动态控制 1Z201081 项目目标动态控制的方法及其应用 1Z201082 动态控制在进度控制中的应用 1Z201083 动态控制在投资控制中的应用 1Z201090 施工企业项目经理的工作性质、任务和责任1Z201091 施工企业项目经理的工作性质 1Z201092 施工企业项目经理的任务 1Z201093 施工企业项目经理的责任 1Z201094 项目各参与方之间的沟通方法 1Z201095 施工企业人力资源管理的任务 1Z201100 建设工程项目的风险和风险管理的工作流程1Z201101 项目的风险类型 1Z201102 项目风险管理的工作流程 1Z201110 建设工程监理的工作性质、工作任务和工作方法1Z201111 监理的工作性质 1Z201112 监理的工作任务 1Z201113 监理的工作方法 1Z202000 建设工程项目成本管理 1Z202010 成本管理的任务、程序和措施
实变函数 (一学期课程，周学时4) 一.集合与点集 (20课时) 1.集合及其运算，集合列的极限，集合的直积。(3课时) 2.映射，满射，单射，双射，集合的对等，Bernstein定理*，基数，可列集及 其性质，连续基数，基数运算*，无最大基数定理。(5课时) 3.n维欧氏空间，点集的直径，矩体与球，邻域，距离，收敛，极限点，导集 及其性质，Bolzano-Weierstrass定理。(5课时) 4.闭集,开集，闭包，内点与内核，开集的构造*，Cantor闭集套定理，Lindelof 可数覆盖定理*，Heine-Borel有限覆盖定理，函数的连续性，紧集，Borel 集， F集，δG集，Cantor集。(5课时) σ 5.集合与集合的距离，点与集合的距离，连续函数延拓定理*。(2课时) 二.Lebesgue测度 (12课时) 1. 外测度定义，外测度性质（非负性、单调性、次可加性），距离外测度性质*， 外测度的平移不变性。(4课时) 2. 可测集与测度的定义，可测集的性质，关于递增可测集列及递减可测集列的 测度问题。(4课时) 3. 矩体是可测集，分别用开集、闭集、 F集，δG集来逼近可测集，集合的等 σ 测包，测度的平移不变性，不可测集的存在性*。(4课时) 三.可测函数 (10课时) 1. 可测函数的定义及等价刻画，可测函数的运算性质，简单函数逼近定理，函 数的支集。(4课时) 2. 几乎处处收敛与测度收敛的定义，Egoroff定理，Lebesgue定理，Riesz定 理。(4课时) 3. 可测函数与连续函数。(2课时)
四. Lebesgue 积分 (14课时) 1. 非负可测简单函数的积分，非负可测函数的积分，Leve定理，积分线性性质， 逐项积分定理，Fatou定理。(4课时) 2. 一般可测函数积分的定义与初等性质，积分的线性性质，积分的绝对连续性， 积分变量的平移变换，Lebesgue 控制收敛定理，逐项积分定理，积分号下求导数*。(4课时) 3. 连续函数逼近可积函数，积分的平均连续性*。(2课时) 3. 有界函数在区间上Riemann 可积的充分必要条件，Riemann 可积函数与 Lebesgue 可积函数的关系。(3课时) 4. Tonelli 定理*，Fubini 定理，积分的几何意义*，分布函数*。(3课时) 五. 微分与不定积分 (8课时) 1.单调函数的可微性*，Lebesgue 定理*，有界变差函数，Jordan 分解定理。 (4课时) 2.不定积分的微分，绝对连续函数，微积分基本定理。(4课时) 六.p L空间 (8课时) 1.p L空间的定义与基本性质，共轭指标，Holder 不等式，Minkowski 不等式。 (4课时) 2.p L是完备的距离空间*，p L收敛，p L空间的可分性*。(4课时) 教材或参考书： 1．周民强编：实变函数，北京大学出版社，2001 2．周性伟编：实变函数，科学出版社，2004 3．胡适耕编：实变函数，高等教育出版社，1999 4．曹广福编：实变函数论，高等教育出版社，2000
第一章 集合 一、內容小结 1. 这一章学习了集合的概念、表示方法、集合的运算（并、交、差、补）；引入 了集合列的上、下极限和极限的运算；对集合运算规则作了仔细的讨论，特别是德摩根公式。 2. 引入了集合对等的概念，证明了判别两个集合对等的有力工具——伯恩斯坦定 理。 3. 引入了集合基数的概念，深入地研究了可数基数和连续基数。 二、学习要点 1. 准确熟练地掌握集合的运算法则，特别要注意集合运算既有和代数运算在形式 上一许多类似的公式，但也有许多本质。但是千万不要不加证明地把代数恒等式搬到集合运算中来。例如：(a+b)-a=b,但是(A+B)-B=A 却不一定成立。条件为A,B 不交。 2. 可数集合是所有无限集中最小的无限集。若可数A 去掉可数B 后若还无限则C 必可数。 3. 存在不可数集。无最大基数集。 以下介绍学习中应掌握的方法 4. 肯定方面与否定方面。B X B X ?∈与, 5. 集合列的上、下限集是用集合运算来解决分析问题的基础，应很好地掌握。其 中用交并表示很重要。对第四章的学习特别重要。 6. 基数部分重点：集合对等、构造集合的一一对应；利用对等的传递性（伯恩斯 坦定理）来进行相应的证明。 7. 集合可数性的证明方法很重要：可排列、与已知可数集对等、利用集合的运算 得到可数、第四节定理6. 8. 证明集合基数为C 中常用到已知的基数为C 的集合。∞E R n , 三、习题解答 1. 证明：)()()(C A B A C B A Y I Y I Y = 证明 则若设,).(A x C B A x ∈∈I Y B A x Y ∈,得).()(C A B A x Y I Y ∈ 若 则同样有设,C B x I ∈B A x Y ∈且C A x Y ∈，得 ).()(C A B A x Y I Y ∈因此 )()()(C A B A C B A Y I Y I Y ? 设)()(C A B A x Y I Y ∈则若,.A x ∈当然有)()(C A B A x Y I Y ∈，若,.A x ?由B A x Y ∈且C A x Y ∈，可知B x ∈若.且c x ∈.，所以,C B x I ∈同样有).(C B A x I Y ∈因此?)()(C A B A Y I Y )(C B A I Y ， 所以)()()(C A B A C B A Y I Y I Y = 2. 证明
第一章习题解答 1、证明 A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C) 证明：设x∈A Y(B I C)，则x∈A或x∈(B I C)，若x∈A，则x∈A Y B，且 x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A I C)。若x∈B I C，则x∈B且x∈C，于是x∈A Y B 且x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A Y C)，因此 A Y(B I C) ? (A Y B)I(A Y C) (1) 设x∈(A Y B) I(A Y C)，若x∈A，则x∈A Y(B I C)，若x∈A，由x∈A Y B 且x∈A Y C知x∈B且x∈C，所以x∈B I C，所以x∈A Y(B I C)，因此 (A Y B)I(A Y C) ? A Y(B I C) (2) 由(1)、(2)得，A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A I B)＝(A Y B)－B ②A I(B－C)＝(A I B)－(A I C) ③(A－B)－C＝A－(B Y C) ④A－(B－C)＝(A－B)Y(A I C) ⑤(A－B)I(C－D)＝(A I C)－(B Y D) (A－B)＝A I B A－(A I B)＝A I C(A I B)＝A I(CA Y CB) ＝(A I CA)Y(A I CB)＝φY(A I CB)＝A－B (A Y B)－B＝(A Y B)I CB＝(A I CB)Y(B I CB) ＝(A I CB)Yφ＝A－B ②(A I B)－(A I C)＝(A I B)I C(A I C) ＝(A I B)I(CA Y CC)＝(A I B I CA)Y(A I B I CC)＝φY[A I(B I CC)]＝ A I(B－C) ③(A－B)－C＝(A I CB)I CC＝A I C(B Y C) ＝A－(B Y C) ④A－(B－C)＝A I C(B I CC)＝A I(CB Y C) ＝(A I CB) Y(A I C)＝(A－B)Y(A I C) ⑤(A－B)I(C－D)＝(A I CB)I(C I CD) ＝(A I C)I(CB I CD)＝(A I C)I C(B Y D)
《工程项目管理》课程考试大纲 本考试的目的在于考核已完成专科学习的考生对工程项目管理的基本概念和基本原理的掌握情况，运用工程项目管理基本原理和基本方法分析解决工程项目管理实际问题的能力。通过考核，判断考生是否较好地达到本课程标准所确定的学习目标，并对其继续进行本科相关专业深入学习的能力进行评估。 一、考试内容、要求和目的 第一章工程项目管理概述 1、项目的概念及其基本特征 2、工程项目的分解体系 3、项目管理的概念和特点 4、项目管理的产生与发展 5、项目管理的指导思想与内容 第二章项目管理组织 1、工程项目组织工作概述 2、项目组织系统的建立 3、建设项目组织管理体制 4、施工项目管理组织形式 第三章项目经理 1、项目经理的地位和作用 2、项目经理的素质 3、注册建造师的相关知识 第四章项目计划 1、项目计划概述 2、施工项目管理规划 第五章项目目标控制 1、项目控制的基本原理 2、项目控制的内容和方法 3、工程项目质量目标控制
4、质量管理数理统计方法(上) 5、质量管理数理统计方法(下) 第六章施工项目现场管理和生产要素管理 1、施工项目现场管理概述 2、施工项目生产要素管理概述 第七章建设工程监理 1、建设工程监理概述 2、工程建设监理的性质和内容 3、工程项目监理实施 二、教材或参考书 1、本课程选用的教材 《工程项目管理》陈群主编东北财经大学出版社2008年8月 2、教学参考书 （1）《工程项目管理》(第三版)成虎、陈群著中国建筑工业出版社2009年9月 （2）《工程项目管理》乐云主编武汉理工大学出版社2008年9月 声明：此资源由本人收集整理于网络，只用于交流学习，请勿用作它途。如有侵权，请联系，删除处理。
《实变函数与泛函分析》教学大纲 课程编号：120233B 课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课 □专业必修课□专业选修课 □√学科基础课 总学时：48 讲课学时：48 实验（上机）学时：0 学分：3 适用对象：经济统计学 先修课程：数学分析、高等代数、空间解析几何 毕业要求： 1.应用专业知识，解决数据分析问题 2.可以建立统计模型，获得有效结论 3.掌握统计软件及常用数据库工具的使用 4.关注国际统计应用的新进展 5.基于数据结论，提出决策咨询建议 6.具有不断学习的意识 一、课程的教学目标 本课程以实变函数与泛函分析基本理论为基础，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。本课程基本目标为：能理解、掌握Lebesgue测度和Lebesgue积分，赋范空间和Hilbert空间一些基本概念、基本理论和基本方法。本课程的难点在于学生初次涉及众多的抽象概念，并且论
证的部分很多，教学中应密切结合数学分析中学到的相对来说比较直观的内容讲解，并督促学生下工夫理解。 二、教学基本要求 （一）教学内容及要求 《实变函数与泛函分析》在理解数学分析思想及基本知识和线性代数的基本知识后将其拓展到实数域上，进而讨论集合，欧氏空间，Lebesgtle测度，Lebesgue 可测函数，Lebesgue积分，测度空间，测度空间上的可测函数和积分，L^p空间，L^2空间，卷积与Fourier变换，Hilbert空间理论，Hilbert空间上的有界线性算子，Banach空间，Banach空间上的有界线算子，Banach空间上的连续线性泛函、共轭空间与共轭算子，Banach空间的收敛性与紧致性。 其中要求同学们： 1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。 2. 了解可测函数的概念，构造，以及函数列的收敛性质。 3. 了解Lebesgue积分的概念，掌握收敛定理。 4. 理解赋范线性空间和内积空间的相关知识点。 5. 理解线性算子理论和有界线性泛函理论，了解三个基本定理。 （二）教学方法和教学手段 在课堂教学中，以启发式教学为主进行课堂讲授，板书教学和多媒体教学结合。课堂上加强与学生的互动，引导学生探索讨论，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习主动性，提高课堂学习效率。 （三）实践教学环节 本课程的实践教学环节以习题评析、实例讨论和应用研究为主，使学生能够理论联系实际，学以致用，从而逐步提高学生的知识运用能力和应用创新能力。 （四）学习要求 学生需要做好课前预习、课堂学习、课后复习、做作业等学习环节，以掌握本课程所学内容。 （五）考核方式 本课程采用闭卷考试的方式进行考核。考核成绩包括平时成绩与期末考试成
《实变函数》试卷一 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若 ()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则 ' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都 _________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”） 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例