2020年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质 考点1：二次函数的顶点、对称轴、增减性 1.关于二次函数y=2x2+4x-1，下列说法正确的是( ) A.图像与y轴的交点坐标为（0，1） B.图像的对称轴在y轴的右侧 C.当时，x<0的值随y值的增大而减小 的最小值为-3 2.如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax-a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是( ) 3.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： x-1013 y-3131 下列结论：①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为x=1;③当x<1时,函数值y随x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4,其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4.已知二次函数y=-(x-h)2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为-1，则h的值为( )
或6 或6 或3 或6 5.当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（） 或2 或2 6.对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3，当x=1时，y，则这条抛物线的顶点一定在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点2：抛物线特征和a,b,c的关系 1.已知二次函数图形如图所示，下列结论：①abc；②；③；④点(-3,y1),(1,y2) 都在抛物线上，则有y1y 2. 其中正确的结论有( ) 个个个个 2.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是( ) <4ac >0 b=0 b+c=0
二次函数的图像和性质 二次函数的性质 例1. 关于抛物线2 21y x x =--，下列说法错误的是( ) A . 顶点坐标为()1,2- B . 与y 轴的交点坐标为()0,1- C . 抛物线上两点()()121,4,A y B y -和，则有12y y < D . 当x ＞1时，y 随x 的增大而减小 1. 已知函数y ＝－x 2 －2x ，当________时，函数值y 随x 的增大而增大． 2. 抛物线2 21219y x x =-+的顶点坐标是( ) A. (3，1) B. (3，－1) C. (－3，1) D. (－3，－1) 3. 2＋bx ＋c (a ≠0)图象上部分点的坐标(x ，y )对应值列表如下： 则该函数图象的对称轴是( ) A. 直线x ＝－3 B. 直线x ＝－2 C. 直线x ＝－1 D. 直线x ＝0
函数平移 例2. 已知抛物线y ＝x 2 －4x ＋3与x 轴相交于点A ，B (点A 在点B 左侧)，顶点为M ，平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M ′落在x 轴上，点B 平移后的对应点B ′落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为( ) A. y ＝x 2＋2x ＋1 B. y ＝x 2 ＋2x －1 C. y ＝x 2－2x ＋1 D. y ＝x 2 －2x －1 1. 要将抛物线y ＝x 2＋2x ＋3平移后得到抛物线y ＝x 2 ，下列平移方法正确的是( ) A. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 2. 在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180° 得到抛物线y ＝x 2 ＋5x ＋6，则原抛物线的解析式是( ) A. y ＝－(x －52)2－114 B. y ＝－(x ＋52)2－11 4 C. y ＝－(x －52)2－14 D. y ＝－(x ＋52)2＋1 4 3. 已知正方形ABCD 中A (1，1)、B (1，2)、C (2，2)、D (2，1)，有一抛物线y ＝(x ＋1)2 向下平移m 个单位(m >0)与正方形ABCD 的边(包括四个顶点)有交点，则m 的取值范围是________．
二次函数的性质与应用，主要研究： 顶点、对称轴、最值、对称性、增减性、与坐标轴交点、图象平移、图象与方程（不等式）、图象信息、图象结合几何问题，实际应用问题等 1、抛物线y=－x2+（m－1）x+m与y轴交于（0，3）点. （1）求出这条抛物线解析式；（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）求出最值、画出图象；（4）x取什么值时，y的值随x的增大而减小？（5）x取什么值时，抛物线在x轴上方? 2、已知函数 （1）m= 时，函数图像与x轴只有一个交点； （2）m为何值时，函数图像与x轴没有交点； 3、抛物线的一部分如右上图所示，该抛物线在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是 4将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得抛 物线的解析式为y=x2﹣1，则原抛物线的解析式为． 5、如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3， 0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是___________． 5、 二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（） B、b≥1或b≤-1 C、b≥2 D、1≤b≤2 A、b≥ 5 4 二次函数y=a x2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法： ①ac＞0； ②2a+b=0； ③a+b+c=0； ④当时，函数y随x的增大而增大； ⑤当时，．
其中，正确的说法有________ ．（请写出所有正确说法的序号） 抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B. (1)求此抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点P,使S △ABP=1 2 S △ABC ,若存在，求出P点坐标；若不存在，请 说明理由. 如图，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y(cm2)． (1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)求△PBQ的面积的最大值．
二次函数图象专题训练 1．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①a 、b 异号；②当x =1和x=3时，函数值相等；③4a +b =0，④当y =4时，x 的取值只能为0．结论正确的个数有（ ） 个 A ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 2、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的 图象如图所示，有下列结论： ①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>； ④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知二次函数2 y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ， ，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③ 20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4、已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( ) A ． a >0 B ． b ＜0 C ． c ＜0 D ． a ＋b ＋c >0 5、如图所示的二次函数2 y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）2 40b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。你认为其中错误．． 的有 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 6、已知二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ） A ．a ＞0 B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大 C ．c ＜0 D ．3 是方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的一个根
学生做题前请先回答以下问题 问题1：___________是研究函数、方程、不等式等的一种重要手段． ①二次函数对称性：两点对称，则______相等；纵坐标相等，则两点______；由(x1，y1)，(x2，y1)知，对称轴为直线_________． ②二次函数增减性：y值比大小、取最值，常利用__________，借助____________求解．问题2：利用数形结合，计算二次函数最值问题的具体操作是： 先判断______、______，再结合______、______，确定最值． 二次函数图象性质应用（二） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.在二次函数中，当时，y的最大值和最小值分别是( ) A.0，-4 B.0，-3 C.-3，-4 D.0，-2 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：二次函数的性质 2.已知二次函数，当时，y的取值范围是__________；当 时，则y的取值范围是_________．( )
A.， B.， C.， D.， 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：二次函数的性质 3.已知点和点是抛物线上的两点，且，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二次函数图象上点的坐标特征 4.已知二次函数，当x>1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是( ) A.m=-1 B.m=3 C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二次函数图象的对称性 5.已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：二次函数图象的对称性 6.当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为( )
0a > 0a < 开口向上 开口向下 直线2b x a =- 直线2b x a =-
C 、2 52,02121<<<<- x x D 、22 3 , 21121<<-<<-x x 二、二次函数图象的特征与a ，b ，c 及24b ac -的符号之间的关系 【例1】如图是二次函数2 y ax bx c =++图象的一部分，以下命题：①0a b c ++=；②2b a >；③a 20 ax bx c ++=的两根分别为－3和1；④20a b c -+>。其中正确的命题是__________。 【例2】如图二次函数2 y ax bx c =++的图象中，以下结论：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=； ⑤40c b ->，其中正确的命题是__________。 【例3】下列命题中，正确的是是__________。 ①若0a b c ++=，则2 40b ac -<； ②若23b a c =+，则一元二次方程2 0ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③若240b ac ->，则二次函数2 y ax bx c =++的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；
④若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根． 三、二次函数图象的平移 抛物线2 y ax =与()2y a x h =-，2 y ax k =+，()2 y a x h k =-+中a 相同，则图象的________和大小都相同， 只是位置不同。它们之间的平移关系如下： 【例1】二次函数2 241y x x =-++的图象怎样平移得到2 2y x =-的图象( ) A 、向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B 、向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D 、向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【例2】将二次函数2 22y x x =-++的图象先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的图象 的解析式为______ _ ___。 【例3】已知二次函数c bx x y ++=2的图象与y 轴交于点A(0，－6)，与x 轴的一个交点坐标是B(－2，0)。 ⑴求二次函数的关系式，并写出顶点坐标； ⑵将二次函数图象沿x 轴向左平移5 2 个单位长度，求所得图象对应的函数关系式。 四、待定系数法求二次函数解析式 1、设一般式：()20y ax bx c a =++≠ 2、设交点式：()()()120y a x x x x a =--≠ 3、设顶点式：()()2 0y a x h k a =-+≠ 【例1】如图，二次函数2 y x bx c =-++的图象经过A(－2，－1)，B(0，7)两点。。 ⑴求该抛物线的解析式及对称轴； ⑵当x 为何值时，y ＞0？
二次函数图象性质及应用（讲义） ?课前预习 回顾一次函数、反比例函数与二次函数的相关知识，回答下列 问题： 1.对二次函数y =ax2 +bx +c 来说，a，b，c 符号与图象的关系： a 的符号决定了抛物线的开口方向，当时，开口向； 当时，开口向． c 是抛物线与交点的． b 的符号：与a ，根据可推 导．判断下面函数图象的a，b，c 符号： （1）已知抛物线y =ax2 +bx +c 经过原点和第一、二、三象限，那么（） A．a > 0，b > 0，c > 0 C．a < 0，b < 0，c > 0 B．a < 0，b < 0，c = 0 D．a > 0，b > 0，c = 0 （2）二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，其对称轴为直线x=-1，给出下列结论：①abc＞0；②2a-b=0．其中正确的是． 2.函数y 值比大小，主要利用函数的增减性和数形结合．如点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线y=kx+b 上，当k＞0，x1＜x2时，y1y2．
1
?知识点睛 1.二次函数对称性：两点对称，则相等；纵坐标相等， 则两点；由(x1，y1)，(x2，y1)知，对称轴为直线．2.二次函数增减性：y 值比大小、取最值，常利用， 借助求解． 3.观察图象判断a，b，c 符号及组合： ①确定符号及信息； ②找特殊点的，获取等式或不等式； ③代入不等式，组合判断残缺式符号． ?精讲精练 1.若二次函数y=ax2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表： x -7 -6 -5 -4 -3 -2 y -27 -13 -3 3 5 3 A．5 B．-3 C．-13 D．-27 2.抛物线y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值 如下表： x …-2 -1 0 1 2 … y …0 4 6 6 4 … 从上表可知，下列说法中正确的是．（填写序号） ①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)； ②二次函数y =ax2 +bx +c 的最大值为6； ③抛物线的对称轴是直线x =1 ； 2 ④在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大． 3.已知二次函数y =x2 - 2mx + 4m - 8 ．若x ≥2 时，函数值y 随 x 的增大而增大，则m 的取值范围是；若x≤1 时，函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是． 4.在二次函数y=-x2+2x+1 的图象中，若y 随x 的增大而增大， 则x 的取值范围是． 2 二次函数草图的画法： 1. 一般草图 1找准开口方向、对称轴、顶点坐标，画二次函数； 2根据各点与对称轴的距离描点（或结合函数间关系画图）．2. 坐标系下画草图时，往往要根 据四点一线来确定大致图 象．四点：二次函数顶点，二 次函数与y 轴的一个交点，二 次函数与x 轴的两个交点． 一线：二次函数对称轴．
《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师：同学们，我们上一节课一起研究了二次函数的表达式，那么我们一起来回忆一下表达式是什么？ 学生齐答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a不为0) 教师：好，那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. （学生表现很踊跃，一下写出了十多个） 教师：黑板上这些二次函数大致有几个类型？ 学生：（讨论了3分钟）四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师：太棒了！同学们归纳的很好，今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质！ 教师在学生板书的函数中选了四个，并把复杂的系数换成简单的常数，找到如下函数：y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材！) 教师启发学生利用函数中的“列表，描点，连线”的方法，把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组，一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”，兴趣很大，合作交流充分，课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求，开始了探究之旅. 教师：请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗？ 学生；不一样. 教师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾） 学生:开口不一样. 学生A：走向不一样. 学生B：经过的象限不一样. 学生C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方. 教师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路，这是明智的） 学生：是由二次项系数的取值确定的. 教师：好了，根据同学们的回答，能得到图象或函数的那些结论？（顺水推舟，放手让学生一搏） 热烈讨论后，学生D回答并板书，当a>0时，图象在原点的上方，当a<0时，图象在原点的下方。 学生E:当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! （这个过程约用了十多分时间，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受了这几个学生的板书，但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢？短暂停顿后，教师确定了思路） 教师：刚才你们是研究图象的性质，你们能否由图象性质得出相应的函数的性质？ 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师：请看同学们的板书，能揣摩图象“走向”的意思吗？ 学生：（七嘴八舌）当a>0时，图象从左上向下走到原点后在向右上爬；当a<0时，图象从左下向上爬到原点后在向右下走（未出现教师所预期的结论） 教师：好，你们从图象的直观形象来理解的图象性质，很贴切，你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗？
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。
4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对 称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
九年级数学：二次函数图象性质应用练习 学生做题前请先回答以下问题 问题1：a,b,c符号与图象的关系： a的符号决定了抛物线的________,当_______时,开口________；当________时,开口________；c是抛物线与________交点的________；b的符号与a________,根据________可推导． 问题2： ①确定________符号及________的信息； ②找特殊点的___________,获取等式或不等式； ③________代入不等式,组合判断残缺式符号．（残缺型式子是指不同时含有a,b,c三个系数的式子,例如有时式子中只含有a,b时,我们就称之为残缺式或残缺型） 二次函数图象性质应用（三） 一、单选题(共6道,每道16分) 1.二次函数图象的一部分如图所示,其对称轴为直线,且过点．下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点,则．其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④
2.小轩从如图所示的二次函数的图象中,观察得到如下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是( ) A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④ 3.已知二次函数的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0)．下列结论：①；②b-2a=0；③；④．其中正确的是( ) A.③ B.②③ C.③④ D.①② 4.已知二次函数的图象如图所示,有下列结论：
①；②2a+b=0；③；④．其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.抛物线的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图．则以下结论：①；②； ③c-a=2；④方程有两个相等的实数根．其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.已知二次函数的图象经过(),(2,0)两点,且 ,图象与y轴正半轴的交点在(0,2)的下方．则下列结论：①；②；
.. 二次函数图象性质及应用 一选择题 1.已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3，下列判断正确的是（） A.开口方向向上，y 有最小值是﹣2 B.抛物线与x轴有两个交点 C.顶点坐标是（﹣1，﹣2） D.当x＜1 时，y 随x增大而增大 2.若二次函数y=x2+bx+5 配方后为y=（x-2）2+k，则b、k 的值分别为（） A.0、5 B.0、1 C.﹣4、5 D.﹣4、1 3.将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是 A. B. 3 y2- - )2 y2- =x + (5 =x D.3 (52+ )2 (5 - =x )2 y C. 3 4.把抛物线y=﹣2x2+4x+1 图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位,所得的抛物线函数关系式是（） A.y=﹣2(x-1)2+6 B.y=﹣2(x-1)2﹣6 C.y=﹣2(x+1)2+6 D.y=-2(x+1)2-6 5.函数y=ax+b 和y=ax2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是（） A. B. C. D. 6.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图,则a bc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c 这四个式子中，值为正数的有（） A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 第6题图第8题图 7.二次函数y=ax2+bx+c 对于x的任何值都恒为负值的条件是（） A.a＞0，△＞0 B.a＞0，△＜0 C.a＜0，△＞0 D.a＜0，△＜0 8.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（） A.y=x2-x-2 B.y=﹣x2﹣x+2 C.y=﹣x2﹣x+1 D.y=﹣x2+x+2
二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质： 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ；开口向上；在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移；当0>k 时向下平移。 （2）抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移；当0 3.二次函数的最值公式： 形如 c bx ax y ++=2 的二次函数。时当0>a ，图像有最低点，函数有最小值 a b ac y 442-= 最小值 ；时当0?时抛物线与x 轴有两个交点；当0=?抛物线与x 轴有一个交点；当 0 学生做题前请先回答以下问题 问题1：a，b，c符号与图象的关系： a的符号决定了抛物线的________，当_______时，开口________；当________时，开口________；c是抛物线与________交点的________；b的符号与a________，根据________可推导． 问题2： ①确定________符号及________的信息； ②找特殊点的___________，获取等式或不等式； ③________代入不等式，组合判断残缺式符号．（残缺型式子是指不同时含有a，b，c三个系数的式子，例如有时式子中只含有a，b时，我们就称之为残缺式或残缺型） 二次函数图象性质应用（三） 一、单选题(共6道，每道16分) 1.二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴为直线，且过点 ．下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④ 2.小轩从如图所示的二次函数的图象中，观察得到如下四个结论： ①；②；③；④．其中正确的结论是( ) A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④ 3.已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为(-1，0)，(3，0)．下列结论：①；②b-2a=0；③；④． 其中正确的是( ) A.③ B.②③ C.③④ D.①② 4.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②2a+b=0；③；④．其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.抛物线的顶点为D(-1，2)，与x轴的一个交点A在点(-3，0)和(-2，0)之间，其部分图象如图．则以下结论：①；②； ③c-a=2；④方程有两个相等的实数根．其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.已知二次函数的图象经过()，(2，0)两点，且，图象与y轴正半轴的交点在(0，2)的下方．则下列结论：①；②； ③；④．其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③④ 《二次函数的性质的应用》教学案例及反思 一、教学目标 1、能将简单的实际应用的最值问题转化为数学问题。 2、掌握用二次函数的性质解决具体问题的一般步骤。 3、提高学生归纳、建模、转化、数形结合的思想，培养学生的创新精神和实践能力。 4、让学生体验知识来源于实践又作用于实践的辩证唯物主义观点，体验数学的应用价值。 二、教学重点和难点 重点：如何将生活、生产中的实际问题转化为数学问题，并用二次函数求出最大（小）值。 难点：将实际应用转化为数学问题，用二次函数求最值的建模思想。 三、教学过程的形成过程 成功的教案形成的过程各不相同，但有两点是必不可少的：第一，借鉴他人成功的经验。许多老教师、名教师的教学经验丰富，对教材的理解深刻，教学过程的处理得法，重点的突破和难点的化解都有独到的方法，是年轻教师得以学习的。值得借鉴的可以是一份完整的教案，也可以是教学过程某一个环节的教学，如新课的导入，概念的形成过程，重点的突破，难点的化解，解题步骤的归纳等学生不容易掌握的知识点。第二，执教者自身对教材的理解和独特的教学思路，在认真学习数学课程教学大纲和阅读教科书后和教学参考书后，教师明确了数学课程标准的教学理念，了解教科书中该节内容的编写意图，会形成对这一教学内容新的理解，在教学过程的设计中反映出自身的特色和风格，这样编写的教学过程才会有创新。 1、创设情境，提出问题 板书课题：二次函数性质的应用。 （1）实验：学生用课前准备好的长6cm的细铝线围成一个矩形。①量一量，你的矩形的长和宽是多少？②算一算，你的矩形的面积有多大？③比一比，谁围的矩形的面积最大？ （2）思考和猜想：①围成的矩形的长和宽有什么关系？②矩形面积最大时长和宽有什么关系呢？（学生自由发言） （①长和宽的和是定长3cm；②当长和宽相等时，面积最大） 【提示】营造一个学生熟悉的但不被注意的实际情境，让学生体验“数学来自生活”、“数学就在你身边”；通过动手操作，培养学生的学习兴趣；提出问题，让学生猜想、探索，激发学生的求知欲。 二次函数的图像与性质 一、知识点梳理 二次函数的概念： 一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数各种形式之间的变换 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 4422 -=-=，. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2 h x a y -=； ④()k h x a y +-=2 ；⑤c bx ax y ++=2. 抛物线2y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0 . . . .. . 二次函数图象性质及应用 一选择题 1.已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3，下列判断正确的是（） A.开口方向向上，y 有最小值是﹣2 B.抛物线与x轴有两个交点 C.顶点坐标是（﹣1，﹣2） D.当x＜1 时，y 随x增大而增大 2.若二次函数y=x2+bx+5 配方后为y=（x-2）2+k，则b、k 的值分别为（） A.0、5 B.0、1 C.﹣4、5 D.﹣4、1 3.将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是 A. B. 3 (52+ )2 )2 =x D.3 (5 + =x y2- - y2- - y C. 3 =x (5 )2 4.把抛物线y=﹣2x2+4x+1 图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位,所得的抛物线函数关系式是（） A.y=﹣2(x-1)2+6 B.y=﹣2(x-1)2﹣6 C.y=﹣2(x+1)2+6 D.y=-2(x+1)2-6 5.函数y=ax+b 和y=ax2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是（） A. B. C. D. 6.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图,则a bc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c 这四个式子中，值为正数的有（） A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 第6题图第8题图 7.二次函数y=ax2+bx+c 对于x的任何值都恒为负值的条件是（） A.a＞0，△＞0 B.a＞0，△＜0 C.a＜0，△＞0 D.a＜0，△＜0 8.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（） A.y=x2-x-2 B.y=﹣x2﹣x+2 C.y=﹣x2﹣x+1 D.y=﹣x2+x+2 山东省枣庄四中九年级数学《二次函数性质的应用》教案 北师大版 一 教学目标 1、 能将简单的实际应用的最值问题转化为数学问题。 2、 掌握用二次函数的性质解决具体问题的一般步骤。 3、 提高学生归纳、建模、转化、数形结合的思想，培养学生的创新精神和实践能力。 4、 让学生体验知识来源于实践又作用于实践的辩证唯物主义观点，体验数学的应用价值。 二 教学重点和难点 重点：如何将生活、生产中的实际问题转化为数学问题，并用二次函数求出最大（小）值。 难点：将实际应用转化为数学问题，用二次函数求最值的建模思想。 三 教学过程的形成过程 成功的教案形成的过程各不相同，但有两点是必不可少的：第一，借鉴他人成功的经验。许多老教师、名教师的教学经验丰富，对教材的理解深刻，教学过程的处理得法，重点的突破和难点的化解都有独到的方法，是年轻教师得以学习的。值得借鉴的可以是一份完整的教案，也可以是教学过程某一个环节的教学，如新课的导入，概念的形成过程，重点的突破，难点的化解，解题步骤的归纳等学生不容易掌握的知识点。第二，执教者自身对教材的理解和独特的教学思路，在认真学习数学课程教学大纲和阅读教科书后和教学参考书后，教师明确了数学课程标准的教学理念，了解教科书中该节内容的编写意图，会形成对这一教学内容新的理解，在教学过程的设计中反映出自身的特色和风格，这样编写的教学过程才会有创新。 “二次函数性质的应用举例”的教案，是一位青年教师根据如下教案进行试教，经过其他教师听课点评后，再结合执教者对教材的深刻理解编写的一份教案，下面我们来看这份教案形成的过程。 （一） 对被借鉴的教案的实施（课堂实录）和点评 1、 复习提问 师 二次函数y=ax 2 +bx+c 有哪些性质？ 生 （略） 评 教师提出的问题范围太大，学生难以简要回答，只能照背教科书中二次函数的性质，花费了很多时间。这样的问题最好分解成小问题，让学生便于回答，又能复习二次函数的性质，才能达到预期的目的。 师 下面大家一起做投影上的练习。 （出示投影） 已知二次函数y=x 2-3x+2，填空： (1)图象的对称轴是 ，顶点坐标是 。[直线x=23, (23,4 1 -)] (2)开口方向是 。（向上） （3）当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 增大而增大；当x 时，函数有最 值，是 。（23< ，23>，23=，小，4 1 -） （4）当x 时，y>0，若y<0，则x 的取值范围是 .(>2或<1,1 二次函数图像与性质总 结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。Array 3.()2 =-的性质： y a x h 左加右减。 4.()2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数图象的平移 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后 者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中 2 424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般 我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴 对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当2 b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3.两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 26.2.2二次函数的图象与性质的应用 教学内容：课本P19~20 教学目标 1、会把二次函数的一般式转换成顶点式，再画出简图，说出图象的性质； 2、构建二次函数，利用二次函数的性质求最大值或最小值。 教学重点和难点： 重点：会把二次函数的一般式转换成顶点式，再画出简图，说出图象的性质； 难点：构建二次函数，利用二次函数的性质求最大值或最小值。 教学准备：课件 教学方法：讲练法 教学过程： 一、复习与练习 1、把二次函数y=2(x-1)2-3的图象水平向左移动4个单位长度，再竖直向上移动5个单位长度得到的抛物线的解析式是； 2、通过配方，写出抛物线y=-3x2+5x-1的开口方向、对称轴、顶点坐标； 二、学习 1、学习问题1 问题1：用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃。怎样围才能使花圃的面积最大？ 解：设与墙垂直的一边的长度为xm，矩形的面积为ym2，则 y=x(20-2x)=-2x2+20x (0 问题2、某商店将每件进价为8元的某种商品按每件１０元出售，一天可售出100件。该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。绕过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加１０件。将这种商品的售价降低多少时，其每天的销售利润最大？ 解：设将这种商品每件降价x 元，每天的销售利润为y 元。则 y=(10-x-8)(100+100x)=-100x 2+100x+200 （0≤x ≤2） =2 1100()2252x --+ ∵-100＜0， ∴当x ＝0.5时，函数取得最大值，最大值y ＝225 答：将这种商品的售价降低0.5元时，其每天的销售利润最大，最大利润为225元。 3、学习例5 例5、用长为6m 的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计） 解：设矩形窗框的宽度为xm ，则高为2 36x -m 。 则?????>->02 360x x 解得：0＜x<2 2633322x y x x x -==-+ =233(1)22 x --+ ∵-1.5<0， ∴当x=1时，函数取得最大值，最大值y ＝1.5 答：所做矩形窗框宽度为1m ，高为1.5m 时，它的透光面积最大，最大面积是1.5m 2 . 4、学生练习：课本P20试一试。 5、补充例题、如果二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，那么（ ）数学：二次函数图象性质应用(三九年级训练考试卷)
二次函数的性质的应用
二次函数图像与性质
二次函数图像性质及应用
九年级数学《二次函数性质的应用》教案 北师大版
二次函数图像与性质总结
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