石家庄二中高三12月月考数学理科题
一、选择题
1．已知全集U {x x =是小于9的正整数}，{}{}1,2,3,4,3,4,5,6A B ==，则()
U A B e等于（ ）
A. {1，2}
B. {3，4}
C. {5，6}
D. {3，4，5，6，7，8} 2．设i 是虚数单位，复数1a i
i
-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 1 B. 1- C.
1
2
D. 2- 3．已知命题:,21000n p n N ?∈>，则p ?为（ ） A. ,21000n n N ?∈< B. ,21000n n N ?∈> C. ,21000n n N ?∈≤ D. ,21000n n N ?∈≤
4．若变量,x y 满足约束条件12 1 1x y x y y +≥--≤≤??
???
，则3z x y =-的最大值为（ ）
A. -7
B. -1
C. 1
D. 2
5．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一个走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（ ） A. 48里 B. 24里 C. 12里 D. 6里
6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
7
．已知点(M 及抛物线24y x =上一动点(),N x y ，则x MN +的最小值为（ ）．
A.
B. C. 3 D. 4
8．已知函数()()sin 06f x x πωω?
?
=-> ??
?
的最小正周期是π，将函数()y f x =的图象向左平移
6
π
个单位长度后所得的函数为()y g x =，则函数的()y g x =图象（ ）
A. 有一个对称中心,012π??
???
B. 有一条对称轴6x π=
C. 有一个对称中心,03π??
???
D. 有一条对称轴4x π=
9．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8425S S -=，则9101112a a a a +++的最小值为（ ）
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
10．如图在正方体1111ABCD A BC D -中，点O 为线段BD 的中点. 设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是( )
A. ????
B. ?
???
C. ??
D. ???? 11．设1F 、2F 分别为双曲线22
221x y a b
-=（0a >， 0b >）的左、右焦点， P 为双曲线
右支上任一点．若
2
12
PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线离心率e 的取值范围是（ ）．
A. ()0,2
B. (]1,3
C. [)2,3
D. []
3,+∞
12．已知()f x 是定义域为()0,+∞的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有
()13log 4f f x x ??
+=???
?，且方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(]0,3上有两解，
则实数a 的取值范围是（ ）
A. 05a <≤
B. 5a <
C. 05a <<
D. 5a ≥ 二、填空题
13．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下． 甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话．
事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 ．
14．已知直线l ： 0x y a -+=，点()2,0A -， ()2,0B . 若直线l 上存在点P 满足
AP BP ⊥，则实数a 的取值范围为___________.
15．在矩形ABCD 中， 30CAB ∠=
， ?AC AD AC = ,则?AC AB = _________.
16．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>， ,A B 是C 的长轴的两个端点，点M 是C 上的
一点，满足30,45MAB MBA ??∠=∠=，设椭圆C 的离心率为e ，则2e =______.
三、解答题：
17、已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若205=S ,且137, , a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列}{n b 满足)
1)(1(1
+-=
n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T
18、在△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知s i n c o s
0A A =，
a =2
b =.
（1）求c ；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求△ABD 的面积.
19
．在四棱锥P ABCD -中， PA ⊥平面A B C D ， E 是PD 的中点，
90ABC ACD ∠=∠=?， 60BAC CAD ∠=∠=?， 2AC AP ==.
（1）求证： PC AE ⊥；
（2）求二面角A CE P --的余弦值.
20．已知动圆C 与圆()2
21:21C x y -+=外切，又与直线:1l x =-相切 . （1）求动圆C 的圆心的轨迹方程E ；
（2）若动点M 为直线l 上任一点，过点()1,0P 的直线与曲线E 相交,A B 两点.求证：
2MA MB MP k k k +=.
21．已知左、右焦点分别为12F F 、1y =相交于
A B 、两点，使得四边形12ABF F 为面积等于.
（1）求椭圆1C 的方程；
（2）过椭圆1C 上一动点P （不在x 轴上）作圆22:1O x y +=的两条切线PC PD 、，切点分别为C D 、，直线CD 与椭圆1C 交于E G 、两点， O 为坐标原点，求OEG ?的面积
OEG S ?的取值范围.
22．已知函数()()21f x a x b =-+.
(1)讨论函数()()x
g x e f x =-在区间[]
0,1上的单调性；
(2)已知函数()12x
x h x e xf ??
=--
???
，
若()10h =，且函数()h x 在区间()0,1内有零点，求a 的取值范围.
参考答案
1．D 2．A 3．D 4．D 5．C 6．A 7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．A 二填空题
13．甲 14．?-? 15．12. 16. 13
-
三解答题
17解：（Ⅰ） 数列{}n a 是等差数列，设{}n a 的公差为d ，731,,a a a 成等比数列，
∴ 7123a a a ?= ， )6()2(1121d a a d a +=+
得 212d da = 0≠d ， ∴ d a 21=..........2分
201052
5
45115=+=?+
=d a d a S 得421=+d a .........4分 ∴ 1,21==d a 得 1+=n a n .............5分
（Ⅱ） )2
1
1(21)2(1)1)(1(1+-=+=+-=
n n n n a a b n n n ........6分
??
?
??+-++-+-=+++=21141213112121n n b b b T n n .......7分
1111
1)2212n n =+--++（ .............9分(35)=4(1)(2)
n n n n +++ ............10分
18、解:（1）由sin 0A A +=得tan A =()0,πA ∈，得2π
3
A =
. 2分
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-?.又∵1
2,cos 2
a b A ===-
代入并整理得()2
125c +=，故4c =. 5分
（2）∵2,4AC BC AB ===，
由余弦定理222cos 2a b c C ab +-=
=. 7分 ∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，
则cos AC CD C =?，得CD = 9分
由勾股定理AD =
=又2π3A =
，则2πππ
326
DAB ∠=
-=，
1π
sin 26
ABD S AD AB =
??△ 12分 19．试题解析：（1）取PC 的中点F ，连接,EF AF ，则||EF CD .
因为2AC AP ==，所以PC AF ⊥. 2分 因为PA ⊥平面ABCD ， CD ?平面ABCD ，所以PA CD ⊥又AC CD ⊥ 所以CD ⊥平面PAC 因为PC ?平面PAC ，所以CD PC ⊥；又||EF CD ， 所以EF PC ⊥； 4分 又因为PC AF ⊥, AF EF F ?=，所以PC ⊥平面AEF
因为AE ?平面AEF ，所以PC AE ⊥. 5分 （2）以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -. 则()0,0,0B ， ()0,1,0A ，
)
C
，
()D ，
)
E
， ()0,1,2P
)
1,0AC =
- ， ()0,2,1CE =
. 6分
设平面ACE 的法向量为()1,,n x y z = ，则110,{ 0.AC n CE n ?=?=
令1x =，
所以(1n =-
. 8分
由（1）知CD ⊥平面PAC ， AF ?平面PAC ，所以CD AF ⊥. 同理PC AF ⊥，所以AF ⊥平面PCE
所以平面PCE
分
11分 由图可知，二面角A CE P --为锐角，所以二面角A CE P --
.12分 20试题解析：
(1)由题知动圆圆心C 到()2,0距离与到直线2x =-距离相等； 2分 所以动圆圆心C 的轨迹方程为： 28y x =. 4分 (2)由题知设()()()1122,,,,1,A x y B x y M t -， 当直线AB 斜率为0时，不符合题意，
所以可设直线AB 的方程为1x my =+， 5分 联立2
1
{
8x my y x
=+=，消去x ，得22880,64320y my m --=?=+>恒成立， 有2121212128,8,82,1y y m y y x x m x x +=?=-+=+?=， 7分 而2211
MP t
k t =?
=---， 8分
()12211212121212122111MA MB y x y x y y t x x t
y t y t k k x x x x x x +++-+---+=
+=
+++++
10分
()()()
2121212122
12121
2848184
y y y y y y t x x t t m t x x x x m +++-+--+===-++++， 所以2MA MB MP k k k +=成立. 12分
21． 试题解析：（1）∵四边形12ABF F
为面积等于
∴12c ?=
c =
2分
∴椭圆方程化为22
22
12
x y a a +=-
，且点)
A ，∵点A 在椭圆上，∴
2221
12
a a +=-，整理得4
2
540a a -+=，解得2
4a =。∴椭圆1C 的方程为22
142
x y +=； 4分 （2）设()()000,0P x y y ≠，则以线段OP 为直径的圆的方程为
()
22
22
00001224x y x y x y ????-+-=+ ? ??
???， 又圆O 的方程为221x y +=， 两式相减得直线CD 的方程为001xx yy +=. 6分 由0022
1
{
24
xx yy x y +=+=消去y 整理得 ()2222000024240x y x x x y +-+-= ∵直线CD 与椭圆1C 交于E G 、两点，
∴()()()
222
2
2
2
000
1642242410x x y y y x
?=-+-=+>，
设()()1122,,,E x y G x y
，则12120EG x x x x =-=
- 7分
又原点到直线CD
的距离为d =
，
∴
12011
22OEG
S EG d x x y ?=?=-=
= 9分
∵2
004x ≤<， ∴1182t <≤ 10分
又OEG S ?=
11,82t ??
∈ ???
OEG S ?<≤
， 所以OEG ?的面积OEG S ?
的取值范围为??
. 12分
22．试题解析：解：(1)由题得()()21x
g x e a x b =---，所以()()'21x
g x e a =--. 当3
2
a ≤时， ()'0g x ≥，所以()g x 在[]0,1上单调递增； 1分 当12
e
a ≥+时， ()'0g x ≤，所以()g x 在[]0,1上单调递减； 2分 当
3122
e
a <<+时，令()'0g x =，得()()ln 220,1x a =-∈， 3分 所以函数()g x 在区间()0,ln 22a ??-??上单调递减，在区间()(
ln 22,1a ?-?上单调递增. 综上所述，当3
2
a ≤时， ()g x 在[]0,1上单调递增； 当
3122
e
a <<+时，函数()g x 在区间()0,ln 22a ??-??上单调递减，在区间()(ln 22,1a ?-?上单调递增；
当12
e
a ≥
+时，所以()g x 在[]0,1上单调递减. 4分 (2) ()()2
1112x x x h x e xf e a x bx ??=--=----
???
， ()()()'21x h x e a x b g x =---=，
设0x 为()h x 在区间()0,1内的一个零点，则由()()000h h x ==，可知()h x 在区间()00,x 上不单调，则()g x 在区间()00,x 内存在零点1x ，同理， ()g x 在区间()0,1x 内存在零点2x ，所以()g x 在区间()0,1内至少有两个零点. 6分 由(1)知，当3
2
a ≤时， ()g x 在[]0,1上单调递增，故()g x 在()0,1内至多有一个零点，不合题意. 当12
e
a ≥
+时， ()g x 在[]0,1上单调递减，故()g x 在()0,1内至多有一个零点，不合题意，
所以
3122
e
a <<+， 8分
由()10h =，得a b e +=， 102g e ??
=<
???
. 10分 此时()g x 在区间()0,ln 22a ??-??上单调递减，在区间()(
ln 22,1a ?-?上单调递增. 因此， ()(10,ln 22x a ?∈-?， ()(
2ln 22,1x a ?∈-?， 必有()010g b =->， ()1220g e a b =-+->.
由()010g a e =-+>， ()120g a =->，解得12e a -<<. 12分