空间点到直线距离的多种解法
摘 要 在空间解析几何中，空间点、直线、平面之间的关系是学习的重点，点和直线的位置关系包括两种：点在直线上，点在直线外.当点在直线外时，点到直线距离的计算随之出现.关于解决点到直线距离的问题，涵盖了空间解析几何中两点间距离、向量运算、直线方程、平面方程等诸多知识点.本文将对一具体例题，介绍点到直线距离的多种解法. 关键词 点、直线、距离、向量、平面、解法
例：求点A （2，4，1）到直线L ：3
2
221--=
=+z y x 的距离 1运用向量积的计算及向量积的几何意义
已知直线方程111
x x y y z z X Y Z ---==
，直线外一点A ()000,,x y z ，直线上
一点M ()111,
,x y z ，以和M 构成平行四边形，这里为直线的方向向量.显
然直线外一点A 到直线的距离d
就是这平行四边形的对应于以为底的高.即
=
2
2
2
1
01
01
01
01
01
0Z
Y X Y
X
y y x x X
Z
x x z z Z
Y
z z y y ++--+
--+
--
解：如图（1），过点A 作直线L 的垂线，垂足为B. 设M （-1，0，2）为L 上任一点， v ={2，2，-3} 为L 的方向向量. 以v 和A M 为两边构成平行四边形
， 显然点A 到直线L 的距离AB 就是
为底的高
即AB
=
()
2
2
2
2
2
2
3222
2432
3313
21
4
-++
+
--+
--=3
2 运用平面方程、参数方程及线面交点的方法
由点法式得到过线外一点A 且与直线垂直的平面方程.将直线方程
111x x y y z z X Y Z ---==
转化成参数方程 1
11x Xt x y Yt y z Zt z
=+??
=+??=+?
由此设出垂足B 坐标，又因为垂足B 在平面方程上，即可得出B 点坐标.再由两点间距离公式得出点到直线的距离.
解： 先求过点A 与直线L 垂直的平面方程.用点法式，得
2（x-2）+2(y-4)-3(z-1)=0 即2x+2y-3z-9=0
将直线L 方程用参数方程表示为??
?
??+-==-=2321
2t z t y t x
由此设垂足B 的坐标为（2t-1，2t,-3t+2） 因B 在垂面上得4t-2+4t+9t-6-9=0
即t=1
所以点B 坐标为（1，2，-1）
所以AB =222)11()24()12(++-+-=3
3 运用两点间距离公式及参数方程的方法
将直线方程
111
x x y y z z X Y Z
---==
转化成参数方程，可设出直线上任一点M '坐标.由两点间距离公式得出M 'A 的表达式，用取M 'A 最小值的方法即得出点到直线的距离.
解： 由直线L 的参数方程??
?
??+-==-=2321
2t z t y t x 可设L 上任一点
M '的坐标为（2t-1,2t,-3t+2）
由两点距离公式得M 'A =222)13()42()32(+-+-+-t t t =2634172+-t t =()91172
+-t
可得当t=1时，M 'A 最小值为3 所以点到直线距离为3 4 运用两向量垂直，数量积为零的结论
由直线方程
111
x x y y z z X Y Z
---==
可设出垂足B 的坐标，显然v AB ⊥,由?=0得到点B 的坐标，由两点距离公式得到点到直线的距离.
解：由直线L 的参数方程，可设垂足B 的坐标为（2t-1,2t,-3t+2）
直线L 的方向向量v ={2，2，-3}
AB ={2t-3,2t-4,-3t+1}
显然⊥v ，得?v
=0 即 2(2t-3)+2(2t-4)-3(-3t+1)=0 得t=1
所以点B 坐标为（1，2，-1） 即 AB =222)11()24()12(++-+-=3 5 运用向量及三角函数的方法
连接直线上的点M 与线外点A 得到与直线的夹角α，则cos α
sin α
，
sin α即得点到直线的距离
解： 如图（1）， A M ={3，4，-1}， v
={2，2，-3}
cos α
26
17
sin α
=
26
3
=222)1(43-++=26
sin α=3
6 利用点到平面距离公式的方法
确定线外点A 和直线所确定的平面并作出一个过直线且垂直于点和直线所确定平面的另一平面，所求d 即为点到作出平面的距离. 解：如图(2),设点A 和直线L 所确定的平面为π'， 过直线L 且垂直于π'的平面为π.于是所求距离 d 即为点A 到平面π的距离.
设平面π的法向量为n ，则n ⊥v
另一方面，n ⊥n ' （n '
为平面π'的法向量） 因此 n = n ' ?v 而 n '
=v A ?M 所以 n =（?M ）?v
=()()
M ??-??M
=}{(}){{}3,2,23,2,21,4,3-?-?--}{(}){{}1,4,33,2,23,2,2-?-?- =17{}2,2,1---
不妨取n
={}2,2,1---.得平面π的方程为
-(x+1)-2y-2(z-2)=0
即 x+2y+2z-3=0
d=
2
2
2
2
21312422++-?+?+=3
7 运用点与点关与直线对称的方法.
找出直线外一点A 的对称点A '，可知A ?'=0得到一个式子（1），又因A A '中点在直线上可得到另一个式子（2），解出由（1）（2）两式所组成的方程组，即得A '的坐标，由d=
2
A A '得出点到直线的距离.
解：设点A 关于直线L 的对称点为)(z y x A '''',,，则 v A A ?'=0
即 ()()()z y x '--'-+'-134222=0 ⑴
又A A '的中点 ?????
'+'+'+21,24,22z y x a 在直线L 上
即3
2
2
12242122--'
+='+=+'+z y x ⑵ 解⑴ ⑵式组成的方程组， 得
A '的坐标为)(3,0,0-.
∴ A A '=)(4,4,2
d=
222
4422
12
++=
'A A =3 8 运用求极限的方法 .
对于直线上任一点M ，由直线方程
111
x x y y z z X Y Z
---==
得出M 的坐标，得到AM 的表达式，利用取极小值的方法，即得点到直线的距离. 解： 设M 为直线L 上一点
由
32221--==+z y x 知M 点坐标为??
? ??
+--243,,1y y y .
AM =222)12
4
3(
)4()21(-+-+-+--y y y =
26174
172
+-y y 对于26174172+-=
y y x 因4
17
＞0故x 有极小值. 极小值为抛物线26174172
+-=y y x 顶点的纵坐标.
∴ x=9
∴ AM 有极小值3 ∴ d=3.
9运用球面和直线相切的方法
以直线外一点为中心作一球面并与直线相切，中心到切点的距离即半径也就是点到直线的距离.
解：设球面方程为()()()22
2
2
142d z y x =-+-+-
⊥,
∴()()()0134222111=---+-z y x ()1
又 M 为球面上一点
∴()()()22
12
12
1142d z y x =-+-+- ()2
又
3
2
221111--=
=+z y x ()3 ∴由()1()2()3消去111z y x 得d=3
所以点到直线距离为3.
参考文献：
[1]吕林根.许子道.解析几何.高等教育出版社.2006.5 [2]焦曙光.点到直线的距离.高等数学研究
[3]傅文德.求点到直线距离的几种方法.高等数学研究.
[4]刘桂香.田素芳.空间点到直线距离的几种求法.周口师专学报.3期
空间点到直线的距离公式 y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)空间点到直线距离点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）：(x-xl)/m=(y-yl)/n=(z- zl)/p=t。 (1)式(1)的注释：点(xl, yl, zl)是直线上已知的一点，向 量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。空间直线 的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法， 请参考《高等数学》空间几何部分。设点(x0, y0, z0)到直线L 的垂点坐标为(xc, yc, zc)。因为垂点在直线上，所以有：(xc-xl)/m=(yc-yl)/n=(zc-zl)/p=t (2)式(2)可变形为：xc=m*t+xl, yc=n*t+yl, zc=p*t+zl、 (3)且有垂线方向向量(x0-xc, y0-yc, z0-zc)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：m*(x0- xc)+n*(y0-yc)+p*(z0-zc)=0 (4)把式(3)代入式(4)，可消去未知 数“xc, yc, zc”，得到t的表达式：t=[m*(x0-xl)+n*(y0- yl)+p*(z0-zl)]/(m*m+n*n+p*p) (5)点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(xc, yc, zc)的距离：d=√[(x0-xc)^2+(y0-yc)^2+(z0-zc)^2] (6)其中xc, yc, zc可以用式(3)和式(5)代入消去。 第 1 页共 1 页
空间两点间的距离公式 教学目标： 1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 2、感受空间两点间距离公式与平面两点间距离公式的联系与区别 教学重点 两点间距离公式的应用 教学难点 利用公式解决空间几何问题 教学过程 一、复习 1、空间点的坐标的特点 2、平面两点间的距离公式P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2) ________________ 线段P 1P 2中点坐标公式______________ 二、新课 1、设P 的坐标是(x,y,z),求|OP| |OP|=___________________________ 2、空间两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 2,y 2,z 2),求 |P 1P 2| |P 1P 2|=___________________________ 线段P 1P 2中点坐标公式_________________ 例：()()间的距离求空间两点1,0,6523 21--，P ，，P 练习：()()()513432251，，，C ，，，B ，，A ABC 的三个顶点已知? （1）求。ABC 中最短边的边长 ? （2）求边上中线的长度AC
例：试解释()()()365312222=-+++-z y x 的几何意义。 练习：1、已知()1,,222=++z y x z y x M 满足则M 点的轨迹为_________________ 2、求P ??? ? ??66,33,22到原点的距离。 3、()()。a AB a ，B ，，A 的值求设,4,,3,0210= 4、在长方体1111D C B A ABCD -，AD=2，AB=3，AA 1=2，E 为AC 中点，求D 1E 的长。 三、小结
异面直线间距离的一个简明公式 本文先给出两条异面直线间的距离公式，然后指出其在解题中的应用. 定理 如图1，异面直线AB ，CD 分别在二面角α—AC —β的面α和β内，二面角α—AC —β的大小为θ，AC =l ，∠ACD =x ，∠BAC =y .那么异面直线AB 与CD 间的距离 d =.cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin 222θθθ y x y x l +++ 证：如图1，过点D 作平面α的垂线DF ，F 为垂足.在平面α内，过点F 作FG ⊥AB 于G ，FE ⊥AC 于E ，连结DE ，DG . 则∠DEF =θ，且（DG ）min =d . 设DF =t ，在Rt △DFE 中，EF =t ctg θ. 在Rt △DEC 中，EC =DE ctg x =t csc θ·ctg x . ∴AE =AC -EC =l -t csc θctg x . 图1 图2 在四边形AEFG 中（图2），过点F 作AE 的平行线交AG 于M ，过点M 作MN ⊥AE 于N .则 MF =NE =AE -AN =.ctg ctg ctg csc ctg )ctg csc (y t x t l y EF x t l θ-θ-=-θ- 在Rt △MGF 中，FG =.sin )ctg ctg ctg csc (sin y y t x t l y MF θ-θ-= 所以在22222]sin )ctg ctg ctg csc [(,Rt y y t x t l t DF GF GD DGF θ-θ-+=+=?中 .sin )cos ctg sin sin ctg (sin 2])cos ctg sin sin ctg (1[2222y l t y y x y l t y y x +θ+θ ?-θ+θ+= 根据二次函数的极值公式可得 )4/()4()(2min 2a b ac GD -=
空间点到直线距离的多种解法 摘 要 在空间解析几何中，空间点、直线、平面之间的关系是学习的重点，点和直线的位置关系包括两种：点在直线上，点在直线外.当点在直线外时，点到直线距离的计算随之出现.关于解决点到直线距离的问题，涵盖了空间解析几何中两点间距离、向量运算、直线方程、平面方程等诸多知识点.本文将对一具体例题，介绍点到直线距离的多种解法. 关键词 点、直线、距离、向量、平面、解法 例：求点A （2，4，1）到直线L ：3 2 221--= =+z y x 的距离 1运用向量积的计算及向量积的几何意义 已知直线方程111 x x y y z z X Y Z ---== ，直线外一点A ()000,,x y z ，直线上 一点M ()111, ,x y z ，以和M 构成平行四边形，这里为直线的方向向量.显 然直线外一点A 到直线的距离d 就是这平行四边形的对应于以为底的高.即 = 2 2 2 1 01 01 01 01 01 0Z Y X Y X y y x x X Z x x z z Z Y z z y y ++--+ --+ -- 解：如图（1），过点A 作直线L 的垂线，垂足为B. 设M （-1，0，2）为L 上任一点， v ={2，2，-3} 为L 的方向向量. 以v 和A M 为两边构成平行四边形 ， 显然点A 到直线L 的距离AB 就是 为底的高 即AB = () 2 2 2 2 2 2 3222 2432 3313 21 4 -++ + --+ --=3
2 运用平面方程、参数方程及线面交点的方法 由点法式得到过线外一点A 且与直线垂直的平面方程.将直线方程 111x x y y z z X Y Z ---== 转化成参数方程 1 11x Xt x y Yt y z Zt z =+?? =+??=+? 由此设出垂足B 坐标，又因为垂足B 在平面方程上，即可得出B 点坐标.再由两点间距离公式得出点到直线的距离. 解： 先求过点A 与直线L 垂直的平面方程.用点法式，得 2（x-2）+2(y-4)-3(z-1)=0 即2x+2y-3z-9=0 将直线L 方程用参数方程表示为?? ? ??+-==-=2321 2t z t y t x 由此设垂足B 的坐标为（2t-1，2t,-3t+2） 因B 在垂面上得4t-2+4t+9t-6-9=0 即t=1 所以点B 坐标为（1，2，-1） 所以AB =222)11()24()12(++-+-=3 3 运用两点间距离公式及参数方程的方法 将直线方程 111 x x y y z z X Y Z ---== 转化成参数方程，可设出直线上任一点M '坐标.由两点间距离公式得出M 'A 的表达式，用取M 'A 最小值的方法即得出点到直线的距离. 解： 由直线L 的参数方程?? ? ??+-==-=2321 2t z t y t x 可设L 上任一点 M '的坐标为（2t-1,2t,-3t+2） 由两点距离公式得M 'A =222)13()42()32(+-+-+-t t t =2634172+-t t =()91172 +-t
立体几何空间距离问题 空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离. ●难点磁场 (★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,P A⊥平面ABCD，P A=2c,Q 是P A的中点. 求：(1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离. P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图) (1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距离及PC和α所成的角 （2）若PC=24，P到AC，BC的距离都是6√10，求P到α的距离及PC和α所成角（3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距离为40，求P到BC的距离
●案例探究 ［例1］把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长； (2)折起后∠EOF 的大小. 命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目. 知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直. 技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为 原点，以OB 、OC 、OD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单. 解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－4 2 a , a ),F ( 42a , 4 2 a ,0) 21| |||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420) 0,4 2 ,42(),42,42,0()2(23 ,43)420()4242()042(||)1(2 2222-=?>=<== - =?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE OF OE OF OE a OF a OE a a a a a OF OE a a OF a a OE a EF a a a a a EF ∴∠EOF =120° ［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.
高中数学立体几何 空间距离 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 【 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离 【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离； 【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . ； 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线. (2)在Rt △BEF 中，BF = a 23 ,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2 12，即EF =a 22 . 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为 a 2 2 . 、 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED . ∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB . ∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离. ∵CE =23 ,∴CF =FD =2 1,∠EFC =90°,EF = 2221232 2 =??? ??-??? ? ??. ∴AB 、CD 的距离是2 2 . 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： } （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离. 题型二：两条异面直线间的距离 例1题图 例2题图
点到直线的距离公式的推导过程 一、公式的导出 设点0:),(000=++C By Ax l y x P 为已知直线外一点，如何求它到该直线的距离？ 解：设过点的到点，垂足为垂直的直线为且与已知直线l P y x D l l P 0/0),,( .0D P d d =，则距离为 2 02022000220002 200222002000000/)()() ()(;00, 0), (; ,0/y y x x d B A C By Ax B y y B A C By Ax A x x B A BC ABx y A y B A AC ABy x B x Bx Ay Ay Bx C By Ax Bx Ay Ay Bx x x A B y y A B k l l B A k C By Ax l l -+-= ∴+++-=-+++-=-∴+--=+--=???=-+-=++=-+--=-=⊥- =?=++， ，，得：，，由即，代入点斜式，得：，所以，又因为由
. )()()(22002 22 002 220022200B A C By Ax B A C By Ax B A C By Ax B B A C By Ax A +++=+++= ?? ? ???+++-+??????+++-= 即，直线外一已知点0P 到已知直线l 的距离公式为： .2 2 00B A C By Ax d +++= 二、公式的应用 （一）求点到直线的距离： 例1、）到下列直线的距离：，（求点21-P ⑴ 0543=+-y x ； ⑵ 53=x ； ⑶ .1-=y 分析：应用点到直线的距离公式时应该把直线方程化为一般式． 解 ⑴式，得根据点到直线的距离公 ： .5 6 )4(35 24)1(32 2=-++?--?= d ⑵，得：将直线方程化为一般式 .053=-x 式，得根据点到直线的距离公： .3 8 035 20)1(32 2=+-?+-?= d ⑶，得：将直线方程化为一般式 .01=+y 式，得根据点到直线的距离公： .31 01 21)1(02 2 =++?+-?= d 评析：当已知直线与x(或y)轴平行时，用几何意义来解会更简洁．
《点到直线的距离》教学设计方案 尹战平 一、教材分析 1、地位与作用：本节是“两条直线的位置关系”的最后一个内容，它是在研究了两条直线的位置关系的判定方法之基础上，研究两条平行线间距离的一个重要公式。推导此公式不仅完善了两条直线的位置关系这一知识体系，而且也为将来用代数方法研究曲线的几何性质奠定了基础。而更为重要的是：通过认真设计这一节教学，能使学生在探索过程中深刻地领悟到蕴涵于公式推导中的重要的数学思想和方法，学会利用化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，同时培养学生浓厚的数学兴趣和良好的学习品质，提高学生的数学核心素养。 2、重点、难点及关键：本节学习的重点是理解和掌握点到直线的距离公式，熟练地应用公式求点到直线的距离；难点是点到直线的距离公式的推导及对知识、思想方法的反思升华。本节学习的关键是“怎样想到利用坐标系中的x轴或y轴构造RtΔ，从而推出公式”。对于这个问题，教材中的处理方法是：直接作辅助线（见教材）。这样做，无法展现为什么会想到要构造RtΔ这一最需要学生探索的过程，不利于学生完整地理解公式的推导和掌握与之相应的丰富的数学思想方法。如果照本宣科，则不能摆脱在客观上对学生进行灌注式教学。事实上，为了真正实现以学生为主体的教学，起关键作用的是设计出有利于学生参与教学的内容组织形式。因此，我没有像教材中的那样直接作辅助线，而是对教学内容进行剪裁、重组和铺垫，构建出在探索结论过程中侧重于学生能力培养的一系列教学环节，采用将一般转化到特殊的方法，引导学生通过对特殊的直观图形的观察、研究，自己发现隐藏其中的RtΔ，从而解出|PQ|。在此基础上进一步将特殊问题还原到一般，学生便十分自然地想在坐标系中探寻含PQ的RtΔ，找不到，自然想构造，此时再过P点作x轴或y轴的平行线就显得“瓜熟蒂落，水到渠成”了。本设计力求以启迪思维为核心，设计出能启发学生思维的“最近发展区”，从而突破关键，导出公式。 二、教学对象分析 通过前面几节课的学习，学生已较好地掌握了直线的方程的几种求法和两条直线的平行、垂直等各种关系的实际运用，对一些综合性较强的问题也有了初步的掌握，能独立解决一些关于直线的基础题目。但由于部分的学生基础比较差，学习主动性不强，所以在发挥学习主体地位、独立思考和自我对学习过程的反思、提炼、升华方面还有待提高。 三、设计理念 1、采用投影、计算机等教学手段，增大教学的容量和直观性，一方面从形上验证计算结果，另一方面加深学生的直觉思维，有利于学生对知识的理解和记忆，也培养了学生的学习兴趣。 2、遵循“数学学习的本质是主体（学生）在头脑中建构和发展数学认知结构的过程，是主体的一种再创造行为”的理论，采取以“学生为主体，教师为主导的”启发式教学。在整个教学过程中，教师是学生学习的合作者、引导者和参与者，学生是学习的主体，教学过程是师生交流、共同发展的互动过程。 3、教是为了不教，让学生学会思考的方法，是数学课堂教学的重要任务之一。本节课力求营造民主的教学氛围，给学生以思考空间，使学生学会对过程反思、提炼、升华。 4、以反馈调控为手段，力求反馈的全面性（优、中、差生）与时效性（及时、中肯）。在教学中随时注意学生的全面反馈，评价学生学习进度，由此及时调整教学速度和教学内容的安排。
存档编号 赣南师范学院科技学院学士学位论文 空间两异面直线距离的 若干求法 系别数学与信息科学系 届别 2014届 专业数学与应用数学 学号 1020151224 姓名刘禹伟 指导老师陈海莲 完成日期
目录 内容摘要 (1) 关键字 (1) Abstract (1) Key words (1) 1、引言 (2) 2、空间两异面直线的相关概念 (2) 2.1、空间两异面直线的概念 (2) 2.2、空间两异面直线间距离的概念 (2) 3、求异面直线距离的常用方法 (3) 3.1、直接法 (3) 3.2、线面距离法 (4) 3.3、面面距离法 (4) 3.4、等体积法 (5) 4、求解异面直线间距离的其他方法 (6) 4.1、运用极值法 (6) 4.2、公式法 (7) 4.3、射影面积法 (9) 5、分析比较求解方法 (10) 6、结语 (11) 致谢 (12) 参考文献 (13)
内容摘要：立体几何中的异面直线间距离( 即两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度) 问题是教材中的一个难点, 学生普遍反映困难, 主要由于学生思维不全面和认识上的不足, 又由于学生由平面几何到立体几何思维上的转化存在着问题, 从而导致解题和学习上困难。本文我们来着重讲解空间两异面直线间的距离的求法，即直接或利用转换和利用体积来求解。在其基础上再深入研究，利用解析几何的思想来探讨求解异面直线间距离。比较各种求法，让学生在求异面直线间距离方面简单。 关键字：异面直线间距离直接法转化法体积法解析几何 Abstract：The differences between the three-dimensional geometry of the surface linear distance (ie two different male faces straight vertical line in these two segments of different lengths between straight face) problem is a difficult textbook. Students generally reflect difficulties, Mainly due to the students' thinking is not comprehensive and lack of understanding, Also due to the transformation of the students from the plane geometry on the three-dimensional geometry of thinking there is a problem, resulting in the problem-solving and learning difficulties. In this paper, we explain the space to focus on the distance between the two different method for finding straight face, that directly or using the conversion and use of volume to solve. The basis of its further in-depth study to explore solving linear distance between the different faces of the use of analytic geometry ideas. Comparative method for finding a variety of students in terms of a simple distance between divergent straight face. Key words：The distance between lines in different planes The direct method Volume method Transformation method Analytic geometry
空间直线（四）—异面直线间的距离 一、 教学目的：（1）理解两条异面直线垂直的概念；（2）了解两条异面直线的公垂线； （3）会求两条异面直线间的距离及主要方法。 二、 教学重点、难点：异面直线间的距离。 三、 教学过程：1、复习： （1）异面直线的定义： ； （2）两条异面直线所成的角： ； ?当两条异面直线互相垂直时 ； 两条异面直线所成的角的范围是 ； 2、观察正方体ABCD —1111D C B A 中，正方体的棱1AA 和11C B 所在的 直线，直线11B A 和它们都 ， 直线1AA 和11D C 直线，直线11D A 和它们都 。 3、两条异面直线的公垂线的定义： 4、两条异面直线间的距离的定义： 练习（1）；设上图中，已知正方体ABCD —1111D C B A 的棱为a . （1）则异面直线AB 和11C B 的公垂线为 ；它们的距离是 ； （2）则异面直线1AA 和C B 1的公垂线为 ；它们的距离是 ； （3）则异面直线AC 和11D B 的公垂线为 ；它们的距离是 ； [思考题]：则异面直线AC 和1BD 的公垂线为 ；它们的距离是 ； [例1]：如图，PA ⊥矩形ABCD ，已知PA=AB=8，BC=15. （1） 求直线PA 、BC 间的距离； （2） 求直线PA 、BD 间的距离； （3） 求直线AD 与PC 所成角的余切值。 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 P A B C D
[例2]：已知正四面体ABCD 中（各边均相等的四面体），若AB=1。 求：AB 和CD 间的距离。 练习（2）1、判断题； （1）d c b a ,,,是4条直线，;////,//,//d a d c c b b a ?-------------（ ） （2）若b a ,是直线，βα,是平面，且,,βα??b a 则b a ,一定是异面直线（ ） （3）b c a c b a ⊥?⊥,//---------------------------------------------------------------（ ） （4）b a c b c a //,?⊥⊥--------------------------------------------------------------（ ） 2、填空题： （1）已知b a ,是两条直线，且b a //，φ=?b a ，那么a 与b ； （2）已知c b a ,,是三条直线，且a b a ,//和c 所成的角为0 30，那么b 和c 所成的角的 大小为 ； （3）1AA 是长方体的一条棱，这个长方体中与1AA 垂直的棱共有 ； （4）如果b a ,是异面直线，直线c 与b a ,都相交，那么由这三条直线中的两条所确定 的平面共有 个。 3、如图，已知长方体的长和宽都是cm 32，高是cm 2. （1） BC 和11C A 所成的角是多少度？ （2） 1AA 和1BC 所成的角是多少度？ 11B A 和1DD ，以及11C B 和CD 的距离各是多少？ 作业： P 15 7、8 A B C D A B C D A 1 B 1 C 1 D 1
平面点到直线距离 点(x0, y0)，直线：A*x+B*y+C=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C|/√(A*A+B*B) 空间点到平面距离 点(x0, y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C) 空间点到直线距离 点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）： (x-x l)/m=(y-y l)/n=(z-z l)/p=t。(1) 式(1)的注释：点(x l, y l, z l)是直线上已知的一点，向量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。 空间直线的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法，请参考《高等数学》空间几何部分。 设点(x0, y0, z0)到直线L的垂点坐标为(x c, y c, z c)。因为垂点在直线上，所以有： (x c-x l)/m=(y c-y l)/n=(z c-z l)/p=t (2) 式(2)可变形为： x c=m*t+x l, y c=n*t+y l, z c=p*t+z l. (3) 且有垂线方向向量(x0-x c, y0-y c, z0-z c)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：
m*(x0-x c)+n*(y0-y c)+p*(z0-z c)=0 (4) 把式(3)代入式(4)，可消去未知数“x c, y c, z c”，得到t的表达式：t=[m*(x0-x l)+n*(y0-y l)+p*(z0-z l)]/(m*m+n*n+p*p) (5) 点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(x c, y c, z c)的距离： d=√[(x0-x c)^2+(y0-y c)^2+(z0-z c)^2] (6) 其中x c, y c, z c可以用式(3)和式(5)代入消去。
精心整理 空间直线（四）—异面直线间的距离 一、 教学目的：（1）理解两条异面直线垂直的概念；（2）了解两条异面直线的公垂线；（3）会求两条异面直线间的 距离及主要方法。 二、 教学重点、难点：异面直线间的距离。 三、 教学过程：1、复习： （1）异面直线的定义：； （2）两条异面直线所成的角：； ?当两条异面直线互相垂直时； 两条异面直线所成的角的范围是； 2 直线1AA 。 34练习（1（1（2（3[思考题][例1] [例2]练习（2）1、判断题； （1）d c b a ,,,是4条直线，;////,//,//d a d c c b b a ?-------------（） （2）若b a ,是直线，βα,是平面，且,,βα??b a 则b a ,一定是异面直线（） （3）b c a c b a ⊥?⊥,//---------------------------------------------------------------（） （4）b a c b c a //,?⊥⊥--------------------------------------------------------------（） 2、填空题： A B C D
精心整理 （1）已知b a ,是两条直线，且b a //，φ=?b a ，那么a 与b ； （2）已知c b a ,,是三条直线，且a b a ,//和c 所成的角为0 30，那么b 和c 所成的角的大小为； （3）1AA 是长方体的一条棱，这个长方体中与1AA 垂直的棱共有； （4）如果b a ,是异面直线，直线c 与b a ,都相交，那么由这三条直线中的两条所确定的平面共有个。 3、如图，已知长方体的长和宽都是cm 32，高是cm 2. （ （11B A 和
浅谈空间点到直线的距离的多种方法 摘要 本文主要利用定义法、最短距离法、垂直法、三角函数法、中点公式、垂直平面法、拉格朗日乘数法、平行四边形面积法、矩阵等九种方法求点到空间直线的距离 关键词 定义法 最短距离法 垂直法 三角函数法 中点公式 垂直平面法 平行四边形面积法 拉格朗日乘数法 矩阵 方法一 定义法：在空间直角坐标系下，给定空间一点M 0（x 0,y 0,z 0）与直线 ?： x ?x 1X = y ?y 1Y = z ?z 1Z 这里M 1 x 1,y 1,z 1 为直线?上的一点，v = X,Y,Z 为直线?的方向矢量。我们考虑以v 和矢量M 1M 0 为两边构成的平行四边形，这个平行四边形的面积等于 v ×M 1M 0 ，显然点M 0到?的距离d 就是这个平行四边形的对应于以 v 为底的高，因此 有 d = v ×M 1M 0 v = y 0?y 1z 0?z 1Y Z 2+ z 0?z 1x 0?x 1Z X 2+ x 0?x 1 y 0?y 1X Y 2 X 2+Y 2+Z 2 例1 求点P 1 1,?2,1 到直线a ： x 1=y ?12=z+3?2的距离 解：法一：利用点到直线的距离公式 d P 1,a = ?1 42 ?2 2+ 41?21 2+ 1?312 2 22 2 = 653 方法二 最短距离法：在空间直角坐标系下，给定空间一点M 0（x 0,y 0,z 0）与直线 ?： x ?x 1X = y ?y 1Y = z ?z 1Z 这里M 1 x 1,y 1,z 1 为直线?上的一点，v = X,Y,Z 为直线?的方向矢量。设最短点B （x,y,z ） 得 x =x 1+tX y =y 1+tY z =z 1+tZ
异面直线间的距离 求异面直线之间距离的常用策略：求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。 常用方法有： 1、 定义法 2、 垂直平面法（转化为线面距） 3、 转化为面面距 4、 代数求极值法 5、 公式法 6、 射影法 7、 向量法 8、 等积法 1 定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。 例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。 思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得 CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。在⊿ADE 中，∠ADE=1200 ，AD=DE=a ，DH= 2 a 。即异面 直线CD 与AE 间的距离为 2 a 。 2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、 b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。 例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。 思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作 AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。设A 到平面BCD 的距离为h 。由体积法V A-BCD =V C-ABD ，得 h= β αβα2 2 cos cos 1sin sin -d 3转化为面面距离若a 、b 是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a ∈α、b ∈β。
点到直线的距离公式的七种推导方法 已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法 证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为 B A 'l ∴的方程：00()B y y x x A -= -与l 联立方程组 解得交点2200002222 ( ,)B x ABy AC A y ABx BC Q A B A B ----++ 222 2 2 00000022222222 000022222222200000022222222 ||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx B C A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+= ++ +|PQ ∴=二、 函数法 证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得： 22220022222222000022 0000220000()[()()] ()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 三、不等式法 证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不等式： 222222000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++ B 0,Ax y C ++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 四、转化法 证：设直线 l 的倾斜角为 α过点P 作PM ∥ y 轴交l 于M 11(,) x y 显然 10 x x =所以 01A x y b +=- 00 0|||||| A x C A x B y C P M y B B +++∴=+ = x
空间中两条线段之间的最短距离 设空间中有两条线段 AB 和 CD ，设 A 点的坐标为 ),,(111z y x ，B 点的坐标为 ),,(222z y x ，C 点的坐标为 ),,(333z y x ，D 点的坐标为 ),,(444z y x 。 设 P 是直线 AB 上的一点，P 点的坐标 ),,(Z Y X 可以表示为 ?? ???-+=-+=-+=)()()(121121121z z s z Z y y s y Y x x s x X 。 当参数 10≤≤s 时，P 是线段 AB 上的点；当参数 0s 时，P 是 AB 延长线上的点。 设 Q 是直线 CD 上的一点，Q 点的坐标 ),,(W V U 可以表示为 ?? ???-+=-+=-+=)()()(343343343z z t z W y y t y V x x t x U 。 当参数 10≤≤t 时，Q 是线段 CD 上的点；当参数 0
利用空间向量求点到直线的距离 1. 已知空间中三点A(1,0，0)，B(2,1，?1)，C(0,?1,2)，则点C 到直线AB 的距离为( )． A. √6 3 B. √62 C. √33 D. √32 2. 已知a ? =(?1,0，1)为直线l 的一个方向向量，点A(1,2，?1)在l 上，则点P(2,?1,2)到l 的距离d =( ) A. √15 B. 4 C. √17 D. 3√2 3. 已知A(0,0，2)，B(1,0，2)，C(0,2，0)，则点A 到直线BC 的距离为( ) A. 2√23 B. 1 C. √2 D. 2√2 4. 已知正方体ABCD ?EFGH 的棱长为1，若P 点在正方体的内部且满足AP ????? =3 4 AB ????? +1 2AD ?????? +23AE ????? ，则P 点到直线AB 的距离为( ) A. 5 6 B. √181 12 C. √30 6 D. √5 6 5. 如图，在三棱锥P ?ABC 中， PA ⊥平面ABC ，∠BAC =90°，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB =AC =1，PA =2．求点P 到直线EF 的距离。 6. 在直三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中， AB =AC =AA 1=2，∠BAC =90°，M 为BB 1的中点，N 为BC 的中点．求点M 到直线AC 1的距离。
答案和解析 1.解：由题意，可得AB ????? =(1,1，?1)，AC ????? =(?1,?1,2)， cos