2019-2020学年高中数学 第一章《集合与函数的概念》1.3函数的图象教学设
计 新人教版必修1
教学目标
1．知识与技能
（1）结合物理中的简谐振动，了解()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的实际意义；
（2）用“五点法”作出()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象, 并借助图形计算器动态演示三角函
数图象，研究参数?ω，，A 对函数图象变化的影响，让学生进一步了解三角函数图象各种变换的实质和内在规律．
（3）考察参数A 、?、ω对()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 图象影响的过程中认识到函数x
y sin =与()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的联系.
2．过程与方法
（1）经历x y sin =到()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 图象变换探究的过程，培养学生的数学发现能
力和概括总结能力.
（2）让学生经历三角函数图象各种变换的探求和运用，体验各种变换的内在联系，提高学生的推理能
力、分析问题和解决问题的能力．
（3）在研究各种变换的过程中，让学生体验由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想，渗透数形结合
的思想．
3．情感、态度、价值观
（1）通过三角函数图象各种变换的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度．
（2）通过合作学习，探求三角函数图象各种变换，培养学生团结协作的精神. 教学重点与难点
教学重点：函数()0,0)sin (>>+=ω?ω
A x A y 的图象以及参数?ω,,A 对图象变换的影响.函数x y sin =的图象与函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象之间的变换关系.
教学难点：函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象与函数x y sin =的图象与之间的变换关系. 教学方法与技术支持
问题教学法、合作学习法，多媒体课件，卡西欧图形计算器. 教学过程：
课前准备：
用“五点法”在同一坐标系用不同颜色的线画出下列几组函数的图象（要求有列表过程）： （1）x y sin =，y=2sin x ，y=2
1
sin x （2）x y sin =，y=sin(x +
3
π
)，y=sin(x 4
π) （3）x y sin =，y=sin2x ，y=sin
2
1x
[设计意图]通过作三组不同函数的图象，进一步体会“五点法”作函数图象的基本方法,同时为本节课的图象变换做好准备. 一.创设情境,引出问题 1．借助PPT 演示物理实例：
简谐振动中，位移与时间的关系()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 2．介绍其中几个量的物理意义
A 是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；
ωπ
=
2T 是往复振动一次所需的时间，称为振动的周期； π
ω==2T 1f 是单位时间内往复振动的次数，称为振动的频率；
?ω+x 称为相位，x =0的相位?称为初相. 问题: 函数x y sin =就是()0,0)si n (>>+=ω?ωA x A y 在A=1,0,1==?ω时的特殊情况，在
0,1,1≠≠≠?ωA 时函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象与x y sin =的图象有何关系？
[设计意图]结合生活中简谐振动创设问题情境,加强数学与物理学科的联系,让学生体会到数学的应用价值. x y sin =为()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的特殊情况引起学生的探究兴趣,通过设置问题,引起认知冲突,激发求知欲望.
二.互助探究,感受规律(分组讨论，寻求一般规律，每组选派代表汇报“研究成果”) 问题1 A 对图象的影响：
寻找函数x y sin =，x y sin 2=，x y sin 2
1
=三者图象之间的联系. 学生活动
(1) 组织学生交流讨论,鼓励学生大胆猜想,通过操作图形计算器进行验证,并探求理性解释.
(2) 借助图形计算器的动态演示图象的功能,让学生感受x A y sin =)0(>A 的变化过程.
通过学生合作探究,交流展示,概括总结振幅变换的一般规律:
一般地，函数)1,0(sin ≠>=
A A x A y 的图象，可以看做是将函数x y sin =图象上所有点的纵
坐标伸长(A>1)或缩短(0 问题2：?对图象的影响 寻找函数x y sin =，?? ? ? ?+=3sin πx y ,?? ? ? ?- =4sin πx y ，三者图象之间的联系. 学生活动 (1) 组织学生交流讨论,鼓励学生大胆猜想,通过操作图形计算器进行验证,并探求理性解释. (2)引导学生借助图象上的对应变化点横坐标之间的对应关系理解图象平移变换的实质 (3)借助图形计算器的动态演示图象的功能,让学生感受)sin(?+=x y 的变化过程. 通过学生合作探究,交流展示,概括总结振幅变换的一般规律: 一般地，函数) sin(? + =x y的图象，可以看做是将函数x y sin =图象上所有点向左(0 > ?)或向右(0 < ?)平移?个单位而得到的． 问题3 ω对图象的影响: 寻找函数三者x y sin =，y=sin2x，y=sin 2 1x图象之间的联系. 学生活动 (1) 组织学生交流讨论,鼓励学生大胆猜想,通过操作图形计算器进行验证,并探求理性解释. (2)引导学生借助图象上对应变化点的坐标之间对应关系,理解图象周期变换的实质: (3)借助图形计算器的动态演示图象的功能,让学生感受x yω sin =的变化过程. 通过学生合作探究,交流展示,概括总结振幅变换的一般规律: 一般地，函数)1 ( sin≠ > =ω ω ω且 x y的图象，可以看做是将函数x y sin =图象上所有点的 横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的 ω 1 倍（纵坐标不变）而得到的． [设计意图]将?ω,,A 对图象变换的影响进行分解,问题提出后,教师不急于讲解,而是有学生合作解决,教师适当引导.在探究过程中注重借助图形计算器辅助思维,并通过前后坐标的变化理解图象变换的实质. 问题4(难点突破) （1）函数x y 2sin =通过怎样变换可以得到函数)3 2sin(π + =x y 的图象? (2) 将函数y=sin(2x + 3π )的图象向右平移3 π个单位,所得到的图象的函数解析式为 (3)一般地，函数()0,0)sin(≠>+=?ω?ωx y 的图象，可以看做是将函数x y ωsin =图象上所有点 (0>?)或 (0 sin(π + =x y 的图象通过怎样的变换可以得到函数)3 2sin(π + =x y 的图象？ [设计意图]周期变换和相位变换的不同顺序对图象的影响是本课的难点. 不能广而告之, 鼓励学生在提出猜想的基础上,充分经历图象变换过程，共同发现规律,总结一般性结论,自然流畅,易于接受理解,从而突破难点. 三.典例分析，形成能力 例 若函数)3 2sin(3π - =x y ,x R 表示一个振动量: (1) 求这个振动的振幅,周期,初相; (2) 不用计算机和图形计算器,画出该函数的图象． 解：(1) 函数)3 2sin(3π - =x y 的振幅为3,初相为3 π - ,周期为π. (2)方法一“五点法”周期T=,令X=2x -3 π 则x =6 223ππ +=+ x X 列表 作出正弦曲线，并将曲线上每一点的横坐标变为原来的2 1 倍（纵坐标不变），得到函数x y 2sin =的图象；再将函数x y 2sin =的图象向右平移 6π个单位长度，得到函数)3 2sin(π -=x y 的图象；再将函数)3 2sin(π - =x y 的图象上每一点的纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变），即可得到函数)3 2sin(3π - =x y 的图象. )3 2sin(3)3 2sin(2sin sin π π - =→- =→=→=x y x y x y x y 方法三(先相位后周期) 作出正弦曲线，并将其向右平移3π个单位长度，得到函数)3sin(π-=x y 的图象;再将函数)3sin(π-=x y 图象上每一点的横坐标变为原来的21倍（纵坐标不变），得到函数)3 2sin(π -=x y 的图象;再将函数 )32sin(π-=x y 图象上每一点的纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变），即可得到函数) 3 2sin(3π -=x y 的图象. )3 2sin(3)3 2sin()3 sin(sin π π π - =→- =→- =→=x y x y x y x y [设计意图]互动探究部分将?ω,,A 三元素对图象变换的影响进行分解,本环节通过例题让学生体会三者结合对图象变化的作用,并着重分析先周期后相位与先相位后周期在图象变换过程中的注意点. 2 四.回顾反思,拓展深化 1. “五点法”作图 2.图形变换过程 两种方法殊途同归 总结参数A ，ω，φ函数y ＝A sin(ωx （1）振幅变化，由A 的变化引起; （2）周期变化，由ω的变化引起; （3）相位变化，由 ω ? 或?的变化引起. [设计意图]引导学生从知识和方法两个方面进行小结.培养学生及时总结,概括提升的能力,为在课后能继续独立探究思考埋下伏笔. 五.课后研究，突出重点 （1）阅读书后链接内容并通过网络了解三角函数知识在简谐运动,波的传播,交流电中的应用; （2）书后习题4，5，6. 课后思考：（1）函数x y sin =的图象通过怎样的变换可以得到函数x x y 3sin 3cos -=的图象？ （2）函数)(x f y =的图象经过怎样的变换可以得到)32(+=x f y 的图象？ [设计意图]通过阅读让学生了解数学学科与人类社会发展间的相互关系,体会数学的科学价值和应用价值;通过思考题使知识更加完整,落实知识的掌握与思想方法的理解. 作y=sinx （长度为2 的某闭区间） 复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = （2 ）01(21)111 y x x = +-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为 ________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取 值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、 已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1 ()()1 f x g x x += -，求()f x 与()g x 的解析表达式 指数函数 概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R。 注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质： 规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。 2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴； 当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。 在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。 3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函 数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 比较幂式大小的方法： 1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2.当底数中含有字母时要注意分类讨论； 3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较 底数的平移： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 对数函数 1.对数函数的概念 由于指数函数y=a x 在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数， 我们把指数函数y=a x (a ＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a≠1). 因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞). 2.对数函数的图像与性质 对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质. 为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数 y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 2 1x,y=log 10 1x 的草图 函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<-- 高中数学常见函数图像1. 2.对数函数： 3.幂函数： 定义形如αx y=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 图像 性质过定点：所有的幂函数在(0,) +∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0 α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) +∞上为增函数．如果0 α<，则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴． 函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时， max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π =∈Z 时， max 1y =； 当2x k π π=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k π πππ??++???? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上 是 增 函 数 ； 在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 第二章--------函数的定义域 函数的独立元素:解析式 定义域 值域 性质 一、由函数解析式求定义域 基础练习A: 1.求下列函数的定义域： (1)y=lg(4x+3) (2)y=1/lg(4x+3) (3)y=(5x-4)0 (4)y=x 2/lg(4x+3)+(5x-4)0 2.用长为L 的铁丝弯成下部的矩形，上部分为半圆的框架（如图），若矩形的底边长为2x ，求此框架围成面积y 与x 的函数，写出的定义域。 例1、求下列函数的定义域 变1:使解析式 无意义的x 的取值范围是 变2:已知y 是x 的函数t t t t t t y x -+----+=+=222244,22其中t ∈R ，求 y=f(x)的函数解析式及其定义域 x x y )2lg(1-=、02)45()34lg(2-++=x x x y 、)39lg(|2|713x x y -+--=、3)12(23log )(4-=-x x f x 、x x y cos lg 2552+-=、C B 3442log 22+-+--x x x x 二、由y=f(x)的定义域，求复合函数y=f(g(x))的定义域；或者反过 来。 例2、设函数f(x)的定义域为[-2，9），求下列函数的定义域： (1)f(x+2) (2)f(3x) (3)f(x2) (4)f(lgx+5) (5) g(x)=f(-x)+f(x) 实质：已知中间变量u=g(X)的值域，求x的范围。 变:已知函数f(x)的定义域为［－1,1），则F(x)=f(1―x)+f(1―x2)的定义域为＿＿。 例3、(1) 函数f(3x-2)的定义域是［－2,1）,则f(x)的定义域为 (2)函数f(x2)的定义域是［－1,1），则f(x)的定义域为 x)的定义域为 (3)函数f(x2)的定义域是［－1,1］，则f(log 2 ______ 例4、已知函数f(x)=1/(x+1)，则f[f(x)]的定义域为 实质:由中间变量u=g(x)的值域求f(x)的定义域 函数图象B1 .函数y = a| x | (a > 1)的图象是( ) B（） B3．当a>1时，函数y=log a x和y=(1－a)x的图象只可能是（） A4．已知y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示 则函数F(x)=f(x)·g(x)的图象可以是(A) B5．函数(1) || x xa y a x =>的图像大致形状是（）D A B C D D 7．函数x x y cos -=的部分图象是( ) A 8．若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是 （ ） A 9．一给定函数) (x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0 (1∈a ，由关系式) (1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(* 1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （ ） A B C D C 10．函数y=kx+k 与y=x k 在同一坐标系是的大致图象是（ ） A D C A 12． 当a >1时，在同一坐标系中，函数y =a － x 与y =log a x 的图像（ ） B 13. 函数1 1 1--=x y 的图象是（ ） D 14．函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是 （ ） A ．0,1<>b a B ．0,1>>b a C ．0,10>< 高中数学平面直角坐标系下的图形变换及常用方法 摘要：高中数学新教材中介绍了基本函数图像，如指数函数，对数函数等图像等。而在更多的数学问题中，需要将这些基本图像通过适当的图形变换方式转化成其他的图像，要让学生理解并掌握图形变换方法。 高中数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，高中生是最需要培养的能力之一就是作图解图能力，就是根据给定图形能否提炼出更多有用信息；反之，根据已知条件能否画出准确图形。图是数学的生命线，能不能用图支撑思维活动是学好初等数学的关键之一；函数图像也是研究函数性质、方程、不等式的重要工具。 提高学生在数学知识的学习中对图形、图像的认知水平，是中学数学教学的主要任务之一，教师在教学过程中应该确立以下教学目标：一方面，要求学生通过对数学教材中基本的图形和图象的学习，建立起关于图形、图象较为系统的知识结构；培养和提高学生认识、研究和解决有关图形和图像问题的能力。为达到这一目标，教师应在教学中让学生理解并掌握图形变换的思想及其常用变换方法。 函数图形的变换，其实质是用图像形式表示的一个函数变化到另一个函数。与之对应的两个函数的解析式之间有何关系？这就是函数图像变换与解析式变换之间的一种动态的对应关系。在更多的数学问题中，需要将这些基本图像通过适当的图形变换方式转化成其它图像，要让学生理解并掌握图像变换方法。 常用的图形变换方法包括以下三种：缩放法、对称性法、平移法。 1.图形变换中的缩放法 缩放法也是图形变换中的基本方法，是蒋某基本图形进行放大或缩小，从而产生新图形的过程。若某曲线的方程F （x ，y ）=0可化为f （ax ，by ）=0（a ，b 不同时为0）的形式，那么F （x ，y ）=0的曲线可由f （x ，y ）=0的曲线上所有点的横坐标变为原来的1/a 倍，同时将纵坐标变为原来的1/b 倍后而得。 （1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到； （2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵 坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a 倍得到． ①y=f(x)ω?→x y=f(ω x );② y=f(x)ω?→y y=ωf(x). 缩放法的典型应用是在高中数学课本（三角函数部分）介绍函数)s i n (?ω+=x A y 的图像的相关知识时，课本重点分析了由函数y=sinx 的图像通 高一数学知识点总结：函数的定义域 导语：高中数学相对于初中来说在学习方法和解题难度上都会有所增加，所以我们要熟悉每个重点知识点，以此来找到更好的学习方法。以下是为大家精心的高一数学知识点总结：函数的定义域，欢迎大家参考！ 定义域 （高中函数定义）设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域； 值域 名称定义 函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合 常用的求值域的方法 （1）化归法；（2）图象法（数形结合）， （3）函数单调性法， （4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法等 关于函数值域误区 定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。 “范围”与“值域”相同吗？ “范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合（即集合中每一个元素都是这个函数的取值），而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都满足这个条件）。也就是说：“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。 高中数学常见函数图像 1.指数函数： 定义 函数 (0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数 图象 1a > 01a << 定义域 R 值域 (0,)+∞ 过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在R 上是增函数 在R 上是减函数 2.对数函数： 定义 函数 log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数 图象 1a > 01a << 定义域 (0,)+∞ 值域 R 过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在(0,)+∞上是增函数 在(0,)+∞上是减函数 x a y =x y (0,1) O 1 y =x a y =x y (0,1) O 1 y =x y O (1,0) 1 x =log a y x =x y O (1,0) 1 x =log a y x = 3.幂函数： 定义形如αx y=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 图像 性质过定点：所有的幂函数在(0,) +∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0 α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) +∞上为增函数．如果0 α<，则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴． 4. 函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时， max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π =∈Z 时， max 1y =； 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k π πππ? ?++??? ? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上 是 增 函 数 ； 在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 一次函数 二次函数 反比例函数 1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。 2、性质： 1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。 2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。 定义域为x≠0；值域为y≠0。 3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 指数函数y=a x (a＞0，a≠1) 注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质 规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。 2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴； 当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。 在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。 3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数； 当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数 比较幂式大小的方法： 1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2.当底数中含有字母时要注意分类讨论； 3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较 底数的平移： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 高中常用函数性质及图像 一次函数 （一）函数 1、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数及性质 一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零 当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，?直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ） (3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 3、一次函数及性质 一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数 一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（- k b ，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） 课题7：函数的概念（一） 一、复习准备： 1． 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2．回顾初中函数的定义： 在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课： （一）函数的定义： 设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作： (),y f x x A =∈ 其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。显然，值域是集合B 的子集。 （1）一次函数y=ax+b (a ≠0)的定义域是R ，值域也是R ； （2）二次函数2 y ax bx c =++ (a ≠0)的定义域是R ，值域是B ；当a>0时，值域244ac b B y y a ??-??=≥?????? ；当a ﹤0时，值域244ac b B y y a ??-??=≤?????? 。 （3）反比例函数(0)k y k x =≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠。 （二）区间及写法： 设a 、b 是两个实数，且a≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞。 巩固练习：用区间表示R 、{x|x ≥1}、{x|x>5}、{x|x ≤-1}、{x|x<0} （三）例题讲解： 例1．已知函数2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。 变式：求函数223, {1,0,1,2}y x x x =-+∈-的值域 例2．已知函数1()2f x x =+， （1） 求()()2 (3),(),33f f f f --的值；(2) 当a>0时，求(),(1)f a f a -的值。 （四）课堂练习： 1． 用区间表示下列集合： {}{}{}{}4,40,40,1,02x x x x x x x x x x x x ≤≤≠≤≠≠-≤>且且或 2． 已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值； 3． 课本P 19练习2。 专题一 函数图象 数形结合是中学数学的重要的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具. 一、知识方法 1．函数图象作图方法 （1）描点法：列表、描点（注意关键点：如图象与x 、y 轴的交点，端点，极值点等））、连线（注 意关键线：如；对称轴，渐近线等） （2）利用基本函数图象变换。 2．图象变换（由一个图象得到另一个图象）：平移变换、对称变换和伸缩变换等。 （1）平移变换 ① 水平平移：函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到； ② 竖直平移：函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿y 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到． （2）对称变换 ① 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于y 轴对称即可得到； ② 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于x 轴对称即可得到； ③ 函数()y f x =--的图象可以将函数()y f x =的图象关于原点对称即可得到； （3）翻折变换 ① 函数|()|y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； ② 函数(||)y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． （4）伸缩变换 ① 函数()y af x =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到； ② 函数()y f ax =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(01a <<)或压缩(1)a >为原来的 1 a 倍得到． 3．函数图象的对称性：对于函数)(x f y =，若对定义域内的任意x 都有 ①)()(x a f x a f +=-（或))2()(x a f x f -=，则)(x f 的图象关于直线a x =对称； ②b x a f x a f 2)()(=++-（或)2)2()(b x a f x f =-+，，则)(x f 的图象关于点),(b a P 对称. 4、熟练掌握基本初等函数（如正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，幂函数，三角函数）的图象 5、作函数图象的一般步骤： （1）求出函数的定义域；（2）化简函数式；（3）讨论函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性）以及图像上的特殊点、线（如极值点、渐近线、对称轴等）；（4）利用基本函数的图像（5）利 函数定义域、值域求法总结 一。求函数得定义域需要从这几个方面入手: (１)分母不为零 (2)偶次根式得被开方数非负。 (３)对数中得真数部分大于0。 (４)指数、对数得底数大于0,且不等于1 (5)y=tanｘ中x≠ｋπ＋π／2;ｙ=cotｘ中x≠kπ等等。 ( 6 )中ｘ 二、值域就是函数y=ｆ(x)中y得取值范围。 常用得求值域得方法: (1)直接法(２)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (５)换元法 (包括三角换元)(６)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (1０)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学得始终。 定义域得求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数得定义域: ①;②;③ 解:①∵x—2=0,即x=2时,分式无意义, 而时,分式有意义,∴这个函数得定义域就是、 ②∵3ｘ+2〈0,即x<－时,根式无意义, 而,即时,根式才有意义, ∴这个函数得定义域就是｛｜｝. ③∵当,即且时,根式与分式同时有意义, ∴这个函数得定义域就是｛|且｝ 另解:要使函数有意义,必须: 例2 求下列函数得定义域: ①② ③④ ⑤ 解:①要使函数有意义,必须: 即: ∴函数得定义域为: [］ ②要使函数有意义,必须: ∴定义域为:{ x｜｝ ③要使函数有意义,必须: ? ∴函数得定义域为: ④要使函数有意义,必须: ∴定义域为: ⑤要使函数有意义,必须: 即 x< 或 x〉∴定义域为: ２定义域得逆向问题 例３若函数得定义域就是Ｒ,求实数a得取值范围(定义域得逆向问题) 解:∵定义域就是R,∴ ∴ 练习: 定义域就是一切实数,则m得取值范围; 3复合函数定义域得求法 例4 若函数得定义域为［-１,1],求函数得定义域 解:要使函数有意义,必须: ∴函数得定义域为: 例5 已知f(x)得定义域为［—1,1],求f(2x—１)得定义域。 分析:法则f要求自变量在［-１,1]内取值,则法则作用在2x－1上必也要求2x-1在［－1,1］内取值,即－１≤2x-1≤１,解出ｘ得取值范围就就是复合函数得定义域;或者从位置上思考f(2ｘ－1)中2x－１与f(ｘ)中得x位置相同,范围也应一样,∴—1≤２x-1≤1,解出x得取值范围就就是复合函数得定义域。 (注意:f(x)中得x与f(2x-1)中得x不就是同一个x,即它们意义不同。) 解:∵ｆ(ｘ)得定义域为［—1,1］, ∴—1≤２x－1≤1,解之0≤x≤1, ∴f(2x－1)得定义域为[0,１］。 例6已知已知ｆ(x)得定义域为[－1,1],求f(ｘ２)得定义域。 答案:—１≤x2≤1 x２≤1－１≤ｘ≤1 练习:设得定义域就是[-3,］,求函数得定义域 解:要使函数有意义,必须: 得: ∵≥0 ∴ ∴函数得定域义为: 例7 已知f(2x－1)得定义域为［0,１］,求f(x)得定义域 因为2x-1就是R上得单调递增函数,因此由2x-１, x∈［0,1］求得得值域［-1,1］就是f(ｘ)得定义域、 练习: 1已知f(3ｘ－１)得定义域为[—1,２),求f(2ｘ+１)得定义域。) (提示:定义域就是自变量ｘ得取值范围) 2已知ｆ(ｘ2)得定义域为［－１,１］,求f(x)得定义域 高中数学中的函数图象变换及练习题 ①平移变换： Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到； 1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)；2）y =f (x ) h 右移→y =f (x -h)； Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上 (0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到； 1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ；2）y =f (x ) h 下移→y =f (x )-h 。 ②对称变换： Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y =f (x ) 轴 y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； y =f (x ) 轴 x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到； y =f (x ) 原点 →y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。 y =f (x ) x y =→直线x =f (y ) Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到 ③翻折变换： Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原 y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到 ④伸缩变换： Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐 标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )a y ?→y =af (x ) Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐 标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1 a 倍得到。f (x )y =f (x )a x ?→y =f (ax ) 1.画出下列函数的图像 （1）)(log 2 1x y -= （2）x y )2 1(-= （3）x y 2log = （4）12-=x y （5）要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再向____平移 3个单位而得到。 （6）当1>a 时，在同一坐标系中函数x a y -=与x y a log =的图像（ ） 2019高中高一数学函数的定义域知识点 数学的学习贯穿了我们的整个学习阶段，是我们必须掌握的知识，为了帮助大家学好数学，小编准备了高一数学函数的定义域知识点，希望你喜欢。 定义域 (高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A 叫作函数的定义域; 值域 名称定义 函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合 常用的求值域的方法 (1)化归法;(2)图象法(数形结合)， (3)函数单调性法， (4)配方法，(5)换元法，(6)反函数法(逆求法)，(7)判别式法，(8)复合函数法，(9)三角代换法，(10)基本不等式法等 关于函数值域误区 定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本元件。平时数学中，实行定义域优先的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化 定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手硬一手软，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。 死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。范围与值域相同吗? 范围与值域是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。值域是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值)，而范围则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。也就是说：值域是一个范围，而范围却不一定是值域。 一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初 高中数学函数定义域练习题 1、x x f -= 1)(的定义域为 . 2、23)(x x x f -=的定义域为 . 3、函数261 x x y --=的定义域为 . 4、函数x x y 43 +=的定义域为 . 5、函数123++= x x y 的定义域为 . 6、0)1(32-+-+=x x x y 的定义域为 . 7、213)(+++= x x x f 的定义域为 . 8、x y -??? ??=31的定义域为 . 9、()()132 lg 13++-=x x x x f 的定义域 . 10、()1 log 1 2-=x x f 的定义域为 . 11、()()x x x f 22ln -=的定义域为 . 12、()() 1lg 1-=+x x f x 的定义域为 . 13、()3121++-=x x x f 的定义域 . 14、232 2+-=x x y 的定义域为 . 15、函数()()214ln 1x x f x -+= +的定义域为 . 16、12)(+-= x x x f 的定义域为 . 17、() 12log 12)(---=x x x f 的定义域为 . 复合函数定义域的求法 ? 要点：对于一个复合函数[])(x g f 来说，它的定义域一定是x 的取值范围而非)(x g 的取值范围. ? 常见考法： （1）已知)(x f 的定义域，求复合函数[])(x g f 的定义域. （2）已知[])(x g f 的定义域，求函数)(x f 的定义域. （3）已知[])(x g f 的定义域，求函数[])(h x f 的定义域. 17、已知)(x f 的定义域为[]5,1-，求函数()53-x f 的定义域. 18、已知)(x f 的定义域为?? ????2,21，求函数()x f 2log 的定义域. 19、已知()222+-x x f 的定义域为[]3,0，求)(x f 的定义域. 20、已知()[]1lg +x f 的定义域为[]9,0，求)(x f y =的定义域. 21、()1+=x f y 的定义域为[]3,2-，求)12(-=x f y 的定义域. 第八节函数的图象[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.掌握函数图象画法． 2.会利用变换作函数图象． 3.会运用函数图象理解和研究函 数的性质，解决方程解的个数与 不等式的解的问题． 4.会用数形结合思想、转化与化 归思想解决函数问题. 1.由于题型的限制江苏没有单独对图象的画法进行考查， 但不单独考查，并不意味基本作图的方法不用掌握． 2.函数图象的考查主要是其应用如求函数的值域、单调区 间，求参数的取值范围，判断非常规解的个数等，以此考 查数形结合思想的运用，在每一年的江苏高考中大量存 在，如2012高考T13、T18等. [归纳知识整合] 1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)． 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换： y＝f(x)――――――――――→ a>0，右移a个单位 a<0，左移|a|个单位 y＝f(x－a)； y＝f(x)――――――――――→ b>0，上移b个单位 b<0，下移|b|个单位 y＝f(x)＋b. (2)伸缩变换： y＝f(x)―――――――――――→ 0<ω<1，伸长为原来的 1 ω倍 ω>1，缩短为原来的 1 ω y＝f(ωx)； y＝f(x)――――――――――→ A>1，伸为原来的A倍 0 (3)对称变换： y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )； y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )； y ＝f (x )――――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )． (4)翻折变换： y ＝f (x )―――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )――――――――→留下x 轴上方图 将x 轴下方图翻折上去 y ＝|f (x )|. [探究] 1.函数y ＝f (x )的图象关于原点对称与函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称一致吗？ 提示：不一致，前者是本身的对称，而后者是两个函数图象间的对称． 2．一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称有何区别？ 提示：一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称不是一回事．函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称是自身对称，说明该函数为偶函数；而函数y ＝f (x )与函数y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，是两个函数的图象对称． 3．若函数y ＝f (x )的图象关于点(a,0)(a >0)对称，那么其图象如何变换才能使它变为奇函数？其解析式变为什么？ 提示：向左平移a 个单位即可；解析式变为y ＝f (x ＋a )． [自测 牛刀小试] 1．函数y ＝x |x |的图象经描点确定后的形状大致是________(填序号)． 解析：y ＝x |x |＝???? ? x 2，x >0，0，x ＝0， －x 2，x <0为奇函数，奇函数图象关于原点对称． 答案：① 2．函数y ＝ln(1－x )的图象大致为________． 解析：y ＝ln(1－x )＝ln [－(x －1)]，其图象可由y ＝ln x 关于y 轴对称的图象向右平移一个函数定义域、值域经典习题及答案
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