概率论与数理统计 exc 32
一、 单项选择题
1．设A 与B 互为对立事件，且P （A ）>0，P （B ）>0，则下列各式中错误．．的是（A ） A ．(|)0P A B = 1 B ．P （B |A ）=0 √ C ．P （AB ）=0 √ D ．P （A ∪B ）=1√
2．() f x 任何一个连续型随机变量的密度函数一定满足（）A
+- () () 1 ()
() 0() 1 () ()0A f x dx B C f x D f x ∞
∞
=≤≤>?
在定义域内单调不减
3.设二维随机变量(X ，Y)的分布律为
且X 与Y 相互独立，则下列结论正确的是（ C ）
0.4,0.6A a b ==． 0.1,0.9B a b =-=． 0.2,0.3C a b ==． 0.6,0.
D a b ==
． 4．设随机变量X 服从参数为0.5的泊松分布，则E (X )=（ B ）
11
. . . 2 . 442A B C D 泊松分布的期望和方差都是λ
5．设(X ，Y )为二维随机变量,且D (X )>0，D (Y )>0，则下列等式成立的是（ ） A ．)()()(Y E X E XY E ?= B ．)()(Cov Y D X D (X,Y)XY ??=ρ C ．)()()(Y D X D Y X D +=+
D ．),(Cov 2)2,2(Cov Y X Y X =
6.设A ，B 为两个随机事件，且P （AB ）>0，则P （B |AB ）=（ ） A ．P （A ） B ．P （AB ） C ．P （A |B ） D ．1
7.设离散型随机变量X 的分布律为10120.20.10.30.4X
P
?-?
???
，则
1{}1P X -<≤=（ ）。
A ．0.3
B ．0.4
C ．0.6
D ．0.7
8. 设随机变量X ～B （8，2
1
），Y ～N （2，9），又E （XY ）=12，则X 与Y 的协方差(,)Cov X Y =（ ）
A ．4
B ．6
C ．-4
D ． -6
9. 设随机变量X 的概率密度为5
,0;()0,
0,x ce x f x x -??≥=??
A ．-5
1 B ．5
1 C ．1 D ．5
10. 袋中有12球，8个红球，4个白球，从中任抽一球无放回地连抽两次，事件A 表示第二次抽出的是红球，则()P A =（ ）。 A ．
23 B ．2135 C ．833 D ． 14
33
11.已知P(A)=0.75, P(B)=0.25, 则事件A 与B 的关系是( )
A.互相独立
B.互逆
C.A ?B
D.不能确定 12．() F x 任何一个连续型随机变量的分布函数一定满足（）
+- . () 1 . . 0() 1 . ()0A F x dx B C F x D F x ∞
∞
=≤≤>?
左连续
13.设二维随机变量(X ，Y)的分布律为
且X 与Y 相互独立，则下列结论正确的是（ ）。
12,1515A a b ==． 19
,1010
B a b =-=．
0.2,0.6 C a b ==．0.6,0.2
D a b ==． 14．已知随机变量X 服从区间(1, )a 上的均匀分布, 若概率3{21
2}a P X <= , 则a
等于( )。
A.2
B.3
C.4
D.5
15．对于任意两个随机变量X Y ,, 若) () ()(E XY E X E Y =, 则（ ）。 A.) () ()(D XY D X D Y = B.) () +()(D X Y D X D Y += C.X Y ,相互独立 D. X Y ,不独立
16. 对于任意二事件,A B 、 有()P A B =- ( )。
). )((A A P P B - . ()()B P A P B + . ()(C P A P A B － ). (()B D P P A B － 17.设每次试验成功率为()01p p <<，则在3次重复试验中至少成功一次的概率为( )。
A . 3(1)p - 3. 1
B p - 3.11()
C p -- 322
()(.1
11)()D p p p p p -+-+-
18. 设随机变量X ～B （8，1
2
），Y ～N （2，9），又E （XY ）=12，则X 与Y 的相关
系数ρ=（ ）。
A B C ． D ． 19. 设随机变量X 的分布律为()(0,1,2,3,4)2
i C
P X i i ==
= 则常数C 等于（ ）。
A ．1631-
B ．1631
C ．3116-
D ．3116
20. 袋中有9球，6个红球，3个白球，从中任抽一球有放回地连抽两次，事件A 表示第二次抽出的是红球，则()P A =（ ）。 A ．
1433 B ．49
C ．833
D ． 23
21．设A ，B 为随机事件，则下列各式中正确的是 （ ）.
A .()()()P A
B P A P B =
B .()()()P A B P A P B -=-
C .)()(B A P B A P -=
D .()()()P A B P A P B +=+
22．一个袋中有a 个红球,b 个黑球,从中任取一个球,则取得黑球的概率是 ( ).
A .12
B .1a b +
C .a a b +
D .b
a b +
23．已知()=,()P A p P B q =且AB =?,则A 与B 恰有一个发生的概率为
( ).
A .p q +
B . 1p q -+
C .1p q +-
D .2p q pq +-
24.已知1()()()5P A P B P C ===，()0P AC =，1
()()10
P AB P BC ==，则事件A ，
B ，
C 全不发生的概率为 ( ). A .0.2 B .0.4 C .0.3
D .0.5
25. 已知,X Y 相互独立, 则错误的是 ( ).
A .(,)()()X Y F x y F x F y =?
B .()()()E XY E X E Y =?
C .()()()E X Y E X E Y ±=±
D .()()()D X Y D X D Y -=-
26. 同时掷3枚均匀硬币,则恰有2枚正面朝上的概率为 ( ). A .0.375 B .0.25 C .0.125 D .0.5
27．设随机变量()X P λ，且(1)(2)P X P X ===，则(2)P X >的值为( ).
A .2e
B .215e --
C .214e --
D .212e -- 28. 设随机变量X 服从(1,6)上的均匀分布,则方程210y Xy ++=有实根的概率是( ). A .0.7
B . 0.8
C . 0.6
D . 0.5
29. 已知随机变量,X Y 的联合分布如 右，则0,0a b ≥≥,且满足 ( ) .
A .1a b +=
B .0.2a b +=
C .0.4a b +=
D .0.3a b +=
30.设随机变量X 在[-1，2]上服从均匀分布，则随机变量X 的概率密度f (x )为( )
A ．??
???≤≤-=.,0;
21,31
)(其他x x f
B ．?
?
?≤≤-=.,0;
21,3)(其他x x f
C ．??
?≤≤-=.,0;
21,1)(其他x x f D ． ??
???≤≤--=.,0;
21,31
)(其他x x f
31. 某人独自投篮命中率为2
3
，若投篮直到投进为止，则投篮次数为5的概率是( )
A. 4
21
33
??? ??? B. 4
12
33
??? ??? C. 423?? ??? D.4
13??
???
32．设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则E (X )=（ ）
11
. . . 2 . 442
A B C D
33. 已知离散型随机变量X ～(10,0.1)B ，则离散型随机变量3Y X =-的数学期望与方差分别为（ ） A ．()3,()8.1E Y D Y == B ．()3,()8.1E Y D Y =-= C ．()3,() 2.7E Y D Y ==
D ．()3,() 2.7
E Y D Y =-=
34.设二维随机变量(X ，Y)的分布律为
且X 与Y 相互独立，则下列结论正确的是（ ）
0.4,0.6A a b ==． 0.1,0.9B a b =-=． 0.2,0.3C a b ==． 0.3,0
.2D a b ==
． 358.,(),(),min(,)X Y X Y F x F x Z X Y =设是相互独立的随机变量，其分布函数分别为则
的分布函数为（ ）
.
()().()()Z X Z Y z F z B z F z ==A.F F
.()min{(),()}.()1[1()][1()]Z X Y Z X Y C z F z F z D z F z F z ==--- F F
36.设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则随σ的增大，概率()P X μσ-<（ ）。
A ．单调增大
B ．单调减少
C ．保持不变
D ．增减不定
37设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为(25),0,0
(,)0,x y ke x y f x y -+?>>=? ?
其它，则k=
（ ）
A ．5
1 B ．-10 C ．1
2 D ．10 38．设A 、B 为两事件，已知P (B )=2
1，P (A )= 6
1，若事件A ，B 互不相容，则P (B A )= ( )
A ．9
1 B ．
23 C ．31
D ．112
39．袋中共有5个球，其中有3个红球，2个白球，现从中任取2个球，其恰为
一红一白的概率为（ ）
A ．23
B ． 35
C ．
2
5
D ．4
3
40.设随机变量X 服从(1，6)上的均匀分布，则方程210t Xt ++=有实根的概率是( ). A. 0. 5
B. 0. 6
C. 0. 7
D. 0.8
41．设随机变量X 的分布律为15/)(k k X P ==，5,4,3,2,1=k ，则=<<)5.25.0(X P （ ） A ．0.2
B ．0.4
C ．0.6
D ．0.8
42．已知离散型随机变量X ～(10,0.1)B ，则离散型随机变量3Y X =-的数学期望
与方差分别为（ ） A ．()3,()8.1E Y D Y == B ．()3,()8.1E Y D Y =-= C ．()3,() 2.7E Y D Y ==
D ．()3,() 2.7
E Y D Y =-=
43．设二维随机变量(,)X Y 的分布律为 则(1)P X Y +==（ ） A ．0.1
B ．0.2
C ．0.3
D ．0.7
44．设每次试验成功率为()01p p <<，则在3次重复试验中至少成功一次的概率为( )。
A . 3(1)p - 3. 1
B p - 3.11()
C p -- 322
()(.111)()D p p p p p
-+-+- 45．设A B 和是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）。
A .___
___
A B 与不相容 B.___
___
A B 与相容 C. ()()()P AB P A P B = D. ()()P A B P A -=
46．设A ，B 为任意两个事件且A B ?,()0P B >,则下列选项必然成立的是（ ）。 （A ）()()P A P A B < （B ）()()P A P A B ≤（C ）()()P A P A B > （D ）()()P A P A B ≥ 47．对于任意两事件A B 和，下列说法正确的是（ ）。
（A ）若AB ≠?，则,A B 一定独立 （B ）若AB ≠?，则,A B 有可能独立 （C ）若AB =?，则,A B 一定独立 （D ）若AB =?，则,A B 一定不独立 48．设,A B 为两随机事件，且B A ?,则下列式子正确的是（ ）。 （A ）()()P A B P A += （B ）()()P AB P A =
（C ）()()P B A P B = （D ）()()()P B A P B P A -=- 49．对于任意两事件A 和B ，与A B B =不等价的是（ ）。
（A ）A B ? （B ）___
___
B A ? （
C ）___
A B =? （D ）___
A B =?
50．设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则随σ的增大，概率()P X μσ-<（ ）。
（A ）单调增大 （B ）单调减少 （C ）保持不变 （D ）增减不定 51．设随机变量X 的概率密度函数为()p x ，且()()p x p x -=，()F x 是X 的分布函数，则对任意实数a ，有（ ）。 （A ）0
()1()a F a p x dx -=-?
（B ）0
1
()()2a F a p x dx -=-?
（C ）()()F a F a -= （D ）()2()1F a F a -=-
52．设12(),()F x F x 分别为随机变量12,X X 的分布函数。为使12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）。
（A ）
32,55a b ==- （B ）22,33a b == （C ）13,22a b =-= （D ）13,22
a b ==- 53．已知随机变量X 的密度函数为()0
x
Ae x f x x λλ
-?≥=?
为常数，则概率
P X a λλ<<+（） (a>0)的值（ ）。
（A ）与a 无关，随λ的增大而增大 （B ）与a 无关，随λ的增大而减小 （C ）与λ无关，随a 的增大而增大 （D ）与λ无关，随a 的增大而减小 54．设A ,B ,C 是三个事件两两独立，则A ,B ,C 相互独立的充分必要条件是（ ）。
A .A 与BC 独立 B. A
B 与A
C 独立 C.AB 与AC 独立 D.A B 与A C
独立
55．设,A B 为两事件且()0P AB =,则（ ）。
（A ）A 与B 互斥 （B ）AB 是不可能事件 （C ）AB 未必是不可能事件 （D ）()0P A =或()0P B = 56．设,A B 为两事件，则()P A B -=( )。 （A ）()()P A P B - （B ）()()()P A P B P AB -+ （C ）()()P A P AB - （D ）()()()P A P B P AB +-
57．设当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则（ ）。 （A ）()()()1P C P A P B ≤+- （B ）()()()1P C P A P B ≥+- （C ）()()P C P AB = （D ）()()P C P A B =
58．已知随机变量X 服从二项分布，且() 2.4,() 1.44E X D X ==，则二项分布的参数,n p 的值为（ ）。
（A ）4,0.6n p == （B ）6,0.4n p == （C ）8,0.3n p == （D ）24,0.1n p == 59．设两个相互独立的随机变量X Y 和的方差分别为4和2，则随机变量32X Y -的方差为（ ）。
(A)8 (B)16 (C) 28 (D)44
60. 设随机变量X ～B （8，1
2），Y ～N （2，9），又E （XY ）=12，则X 与Y 的协
方差,X Y ρ=（ ）。
A ．
12 B ．12- C
．3- D
．3
61. 设随机变量X 的概率密度为2,0;
()0,
0,x
ce x f x x -??≥=??
A ．12-
B ．1
2
C ．1
D ．2
62. 设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为f (x ，y )=???
??<<<<,,
0;20,20,41
其他y x 则P{0 0 A ．4 1 B ．2 1 C ．4 3 D ．1 二、填空题 1.九名学生排成一队，甲必须排在前头，乙必须排在后头，共有__________种不同的排法。 2. 设事件A 与B 互不相容，且()0.3()0.5P A P B ==，，则()P A B =__________。 3．设随机变量X ～N （1，4），23Y X =+ ，则()E Y =_____ ，()Var Y =_______。 4. 20件产品中，有2件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一件产品，则 第二次取到的是正品的概率为____________。 5.设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则(1)P X ≥= ____________。 6. 设随机变量X 的概率密度是2,01,()0,x x f x ≤≤?=??其他, 则1 {2}P X ≤= _______。 7. 设随机变量(1,16)X N -，则(2.44)P X <= ______，(|1|1)P X ->= ______。 （注：(0.25)0.5987,(0.36)0.6406,(0.75)0.7734,(0.86)0.8051.Φ=Φ=Φ=Φ= ） 8. 在一次读书活动中，某同学从2本科技书和4本文艺书中任选2本，则选中的书都是科技书的概率为__________。 9. 已知()0.5()0.6P A P B ==，，及(|)0.8P B A =，则()P A B =__________。 10．设随机变量X ～P （4），21Y X =+ ，则()E Y =______ ，()Var Y =_________。 11. 一批产品有6个正品和2个次品, 从中任意抽取2个产品, 则至少抽取了一 个正品的概率为___________。 12.设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则(1)P X ≥= ____________。 13. 设随机变量2(2,)X N σ， 已知(4)0.3X P >=, 则()04P X <<=__________。 14.设随机变量X 的分布律为1010.4X P a b ?-? ??? ，其中a ,b 为常数，且()0E X =， 则a b -=_____。 15. 设,,A B C 表示三个随机事件，试表示事件,A B ,C 都不出现 . 16．若()0.5,()0.29P A P AB ==,则()P B A = . 17．若随机变量X 的分布列为120.80.2?? ???，则2 1Y X =+的分布列 为 . 18.设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数(,)(arctan )(arctan )F X Y A B x C y =++ (,)x y R ∈，则常数B C =＝ , A = . 19. 某宾馆有4部电梯，它们正在运行的概率为0.5,则恰有2部运行的概率为 . 20.二项分布(400,0.005)B 近似于泊松分布 . 21. 设,,A B C 表示三个随机事件，试表示事件A 不出现而B C 、都出现 . 22．若随机事件,A B 有()0P AB >,则()P B AB = . 23．若随机变量X 的分布律为13 0.40.6?? ??? ，则21Y X =-的分布律 为 . 24. 某宾馆有4部电梯，它们正在运行的概率为p,则至少有1部运行的概率为 . 25. 设随机变量(6,)X B p ，且(1)(5)P X P X ===，则p = ， (2)P X == . 26. 二项分布(700,0.002)B 近似于泊松分布 . 27. 三个人独立破译一密码，他们能单独译出的概率分别为13，12，2 3，则此密码被译出的概率为 . 28. 已知离散型随机变量X 可取0，1，2，3， 4，对应概率 ()()4,3,2,1,0,2 ===i c i X P i 则=c ． 29. 已知随机变量 ( X , Y ) 在 D 上服从均匀分布，其中D 为x 轴,y 轴及直线 y = x +1 所围成的三角形区域 ，则( X , Y )的分布密度为 . 30．设随机变量X ～N （1，2），23Y X =+ ，则()D Y =_________. 31. 袋中共有5个球，其中有3个红球，2个白球，现从中任取2个球，其恰为一红一白的概率为___________． 32. 设随机变量X 的概率密度是2,01,()0,x x f x ≤≤?=??其他, 则1{2}P X ≤= _______. 33. 设随机变量(1,16)X N -，则( 2.8)P X <-= ______. （注：(0.25)0.5987,(0.45)0.6736,(0.75)0.7734,(1.0025)0.8419.Φ=Φ=Φ=Φ= ） 34. 已知()0.5()0.6P A P B ==，，及(|)0.8P B A =，则()P A B =__________. 35. 某射手射击的命中率为6.0，在4次射击中有且仅有3次命中的概率是___________．. 36,且 X 的分布律为 令Z=max(X,Y)，则P(Z=1)= ________． 37. 设X ～)1,0(N ,又常数c 满足{}{}P X c P X c ≥=<,则=c ． * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 《概率论与数理统计》实验报告 学生姓名李樟取 学生班级计算机122 学生学号201205070621 指导教师吴志松 学年学期2013-2014学年第1学期 实验报告一 成绩 日期 年 月 日 实验名称 单个正态总体参数的区间估计 实验性质 综合性 实验目的及要求 1．了解【活动表】的编制方法； 2．掌握【单个正态总体均值Z 估计活动表】的使用方法； 3．掌握【单个正态总体均值t 估计活动表】的使用方法； 4．掌握【单个正态总体方差卡方估计活动表】的使用方法； 5．掌握单个正态总体参数的区间估计方法． 实验原理 利用【Excel 】中提供的统计函数【NORMISINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值Z 估计活动表】，在【单个正态总体均值Z 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【总体标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 1设总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为 样本的观测值 于是得到μ的置信水平为1-α 的置信区间为 利用【Excel 】中提供的统计函数【TINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值t 估计活动表】，在【单个正态总体均值t 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【样本标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 2.设总体2~(,)X N μσ，其中2 σ未知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为样本的观测值 整理得 /2/21X z X z n n P αασαμσ? ?=-??? ?-<<+/2||1/X U z P n ασμα????==-??????- 概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P 概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望 概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020 一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为 《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10) 第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题 您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题 您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题 您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题 概率论与数理统计 实验报告 概率论部分实验二 《正态分布综合实验》 实验名称：正态分布综合实验 实验目的：通过本次实验，了解Matlab在概率与数理统计领域的应用，学会用matlab做概率密度曲线，概率分布曲线，直方图，累计百分比曲线等简单应用；同时加深对正态分布的认识，以更好得应用之。 实验内容： 实验分析： 本次实验主要需要运用一些matlab函数，如正态分布随机数发生器normrnd函数、绘制直方图函数hist函数、正态分布密度函数图形绘制函数normpdf函数、正态分布分步函数图形绘制函数normcdf等；同时，考虑到本次实验重复性明显，如，分别生成100,1000,10000个服从正态分布的随机数，进行相同的实验操作，故通过数组和循环可以简化整个实验的操作流程，因此，本次实验程序中要设置数组和循环变量。 实验过程： 1.直方图与累计百分比曲线 1）实验程序 m=[100,1000,10000]; 产生随机数的个数 n=[2,1,0.5]; 组距 for j=1:3 for k=1:3 x=normrnd(6,1,m(j),1); 生成期望为6，方差为1的m(j)个 正态分布随机数 a=min(x); a为生成随机数的最小值 b=max(x); b为生成随机数的最大值 c=(b-a)/n(k); c为按n(k)组距应该分成的组数 subplot(1,2,1); 图形窗口分两份 hist(x,c);xlabel('频数分布图'); 在第一份里绘制频数直方图 yy=hist(x,c)/1000; yy为各个分组的频率 s=[]; s(1)=yy(1); for i=2:length(yy) s(i)=s(i-1)+yy(i); end s[]数组存储累计百分比 x=linspace(a,b,c); subplot(1,2,2); 在第二个图形位置绘制累计百分 比曲线 plot(x,s,x,s);xlabel('累积百分比曲线'); grid on; 加网格 figure; 另行开辟图形窗口，为下一个循 环做准备 end end 2）实验结论及过程截图 实验结果以图像形式展示，以下分别为产生100,1000,10000个正态分布随机数，组距分别为2,1,0.5的频数分布直方图和累积百分比曲线，从实验结果看来，随着产生随机数的数目增多，组距减小，累计直方图逐渐逼近正态分布密度函数图像，累计百分比逐渐逼近正态分布分布函数图像。 概率论与数理统计必考大题解题索引 编制：王健 审核： 题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有： 贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地： 当n 2时，有： 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工 厂生产的”（i =123，，）。 则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得 （1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?= 《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的 进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配 第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生； （4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++== 概率论与数理统计实验报告 一、实验目的 1.学会用matlab求密度函数与分布函数 2.熟悉matlab中用于描述性统计的基本操作与命令 3.学会matlab进行参数估计与假设检验的基本命令与操作 二、实验步骤与结果 概率论部分： 实验名称：各种分布的密度函数与分布函数 实验内容： 1.选择三种常见随机变量的分布，计算它们的方差与期望<参数自己设 定）。 2.向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5,。记正面向上的次数 为x， （1）计算x=45和x<45的概率， （2）给出随机数x的概率累积分布图像和概率密度图像。 3.比较t(10>分布和标准正态分布的图像<要求写出程序并作图）。 程序： 1.计算三种随机变量分布的方差与期望 [m0,v0]=binostat(10,0.3> %二项分布，取n=10,p=0.3 [m1,v1]=poisstat(5> %泊松分布，取lambda=5 [m2,v2]=normstat(1,0.12> %正态分布，取u=1,sigma=0.12 计算结果： m0 =3 v0 =2.1000 m1 =5 v1 =5 m2 =1 v2 =0.0144 2.计算x=45和x<45的概率，并绘图 Px=binopdf(45,100,0.5> %x=45的概率 Fx=binocdf(45,100,0.5> %x<45的概率 x=1:100。 p1=binopdf(x,100,0.5>。 p2=binocdf(x,100,0.5>。 subplot(2,1,1> plot(x,p1> title('概率密度图像'> subplot(2,1,2> plot(x,p2> title('概率累积分布图像'> 结果： Px =0.0485 Fx =0.1841 3.t(10>分布与标准正态分布的图像 subplot(2,1,1> ezplot('1/sqrt(2*pi>*exp(-1/2*x^2>',[-6,6]> title('标准正态分布概率密度曲线图'> subplot(2,1,2> ezplot('gamma((10+1>/2>/(sqrt(10*pi>*gamma(10/2>>*(1+x^2/10>^(-(10+1>/2>',[-6,6]>。b5E2RGbCAP title('t(10>分布概率密度曲线图'> 结果： 习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%, 概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】概率论与数理统计习题集及答案
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