万有引力定律的发现与探究过程分析
——兼论如何在教学中展示知识形成过程
北京教育学院吴剑平
引言
物理学的发端始于人类对理解星体运行的追求。三百多年前，万有引力定律的发现堪称人类文明与理性探索进程中最壮丽的诗篇，其所体现出的科学智慧的震撼力，至今仍为世人所叹服。李政道先生在回答是什么使他走上献身物理学研究的道路时曾说过，是物理学中那些具有普适性的物理法则和概念深深打动了他，激发了他深入探究的兴趣。万有引力定律就是这样一条具有简约性和普适性的自然法则，它第一次把看似毫不相关的地上与天上运动统一起来，第一次揭示大自然的对称和谐与物理规律表达简洁而含蓄的内在美，并作为牛顿的“从运动现象研究自然力”的又一个科学思辨范例，而不断为历代科学家所效仿。因此万有引力定律的教学绝不能仅限于具体知识的讲解、记忆与实际的（习题）应用，更应强调人类对天体运动的认识以及建立万有引力定律的探究过程，把教学重点放在“引导学生体会万有引力定律发现过程中的思路和方法”上。然而，除了教材与教参已有的介绍外，我们对物理学史上这段辉煌史实真正了解多少？我们能否把握整个发现过程中的探索脉络，并将从中领悟到的思想精髓介绍给学生？由此看来，要教好新教材中的万有引力定律一章，适当扩展相应的知识背景，了解有关牛顿引力理论的现代评述，就显得十分必要了。
本专题将着重探讨以下几个问题：（1）如何正确评价“地心说”与“日心说”的作用？（2）开普勒是如何导出行星三定律的？（3）牛顿如何从开普勒三定律推导出引力的平方反比定律（圆轨道、椭圆轨道）？（4）牛顿是如何解决引力定律的普适性的？
一、行星视运动及其天文观测常识
讨论开普勒三定律与万有引力定律离不开人类对行星运动的天文观测，这其中涉及我们不十分熟悉的天文知识。
1．天球及其坐标系
研究天体位置和运动而引进的假想圆球。由于天体与观察者距离远大于地球的移动距离，可将其视作散布于以观察者（地球）为中心的一个圆球面上。实际应上是将天体投影到半径任取（可视作无穷大）的天球面上。为定量表示天体投影在天球上位置和运动，需要建立以地球为中心的参考系，常用的坐标系有：
（1）赤道坐标系：地球赤道平面延伸后与天球相交的大圆称作天赤道，地轴（自转轴）延伸线与天球相交两点称作北南天极，过天极的大圆称为赤经圈，与天赤道平行小圆称作赤纬圈。
（2）黄道坐标系：以地球绕太阳公转的轨道平面称为黄道面，其与天球相交的大圆称作黄道，地球轨道面的法线与天球交点称为北南黄极，该坐标系同样划分有黄经圈与黄纬圈。
赤道面与黄道面有23027/的交角，两者相交的两点称作春分点与秋分点。如图1所示。
黄极
黄道
图 1
2．行星视运动
地球观测者所见的行星在天球上位置的移动。行星既有相对于恒星的视运动，又有相对于太阳的视运动，是从地球角度描述行星的出没规律。行星的视运动情况可由两方面加以综合分析：一方面由于地球每天自西向东的自转，我们所看到的恒星、行星、太阳、月亮有自东向西的周日运动；另一方面由于地球每年相对太阳的由东向西的公转，太阳在遥远的恒星背景上有位于黄道面上的向东的周年运动，较近的恒星也呈现小椭圆状的周年运动，而九大行星几乎都在接近同一平面的近圆轨道，朝同一方向作绕太阳的公转，因而从地球上看，相对于自东向西遥远星空背景而言，其视运动轨迹均离黄道不远，且应呈现与太阳视运动方向一致的自西向东(称作顺行)运动。但实际观察到的行星运动却是时而顺行，时而逆行，有时甚至短时静止不动(称作留) 的怪现象（如图2所示），难怪古希腊文将其称作“游荡者”。人类历史上一个最伟大科学探索篇章以及由此引发的日心说与地心说争议，乃至引力定律的发现就是从试图揭示行星视运动这一普通天文现象的成因而发端的。
3．恒星视差与秒差距
图2
视差是前景恒星相对于遥远恒星背景的恒星视位移。恒星视差与其距离的关系可以给出天文与宇宙学一个十分重要的概念——秒差距（PC）。具体测量原理如图3所示。恒星在黄道面上C点，地球在三个月内公转位置从B到B/，此段时间恒星的视差角为θ，设恒星与太阳的距离为r，地太距离为一个天文单位（1.496×1011m），而3600=1.296×106弧秒（1弧秒 = 1/3600 度），则有∶
θ/1.296×106 = 1天文单位/2πr ，
∴θ =2.06×105天文单位/r = 1PC /r ，
∴ 1PC = 2.06×105天文单位 = 3.09×1016m =3.27光年，
6 6
二、“地心说”是怎样解释行星视运动的
古代人们一方面从站在地球参考系观测天体，很自然认为地静而天动，地球是宇宙中心；另一方
面天体是可望而不可及的另一类世界事物，其运动也应是神圣的，而匀速圆周运动曾被古希腊人认为是最完美和谐的运动，这也正是形成地心体系的最初的动因。托勒密的伟大之处在于他试图以地心说为基础，设计出能对行星在天球上十分复杂的视轨迹作出大致合理的解释模型，这就是通常所说的本轮与均轮模型，如图4所示。
图 4
那么托勒密是如何解释行星视运动极为重要的逆行问题呢？这一模型对木星退行现象的解释的示意参见图5所示。由于不同行星有不同的退行状况，故仅有一个本轮是难以将本均轮轨道运动叠加与实际情况相弥合，为此托勒密需要根据不同行星情况，叠套一个又一个的本轮，从而这个体系日趋复杂。但不管怎么说，既能说明以前的行星轨迹，又能较好地预言其未来位置。把这样一个限于观测手段的粗糙而有缺陷的观念体系简单地说成是唯心或反动的，是有违于科学史实的。我们应该告诉学生：以某种参考系来描述物体的相对运动，即使在今天也经常使用，而在地心说的建立和运用过程中，也仍能反映出历代学者那些富有启迪意义的理性思索，就如同后来不断出现的，诸如活力论、以太说那样的观念，虽最终被扬弃，却仍然是最可宝贵的科学智慧的结晶。
图 5
三、“日心说”是如何解释行星的视运动的
哥白尼建立日心说源于对托勒密本均轮庞杂体系的强烈不满，他实际上只是改变地心说两个假设前提中的一个，或者说只是稍稍改变了描述的参考系（即“换一个角度来思考”），结果情况大变。这种转换观念而大获成功的事例在以后的物理学中屡见不爽，值得强调。在哥白尼体系中，太阳是宇宙的中心，六大行星以匀速圆周轨道绕日旋转，越靠近太阳的行星旋转速度越大。由于在日心坐标系中地球也在运动，此时地球观察者所看到的行星视运动似乎要复杂一些，但稍作分析发现，它竟能得出比地心说更简洁清晰的结论。下面以地外行星如木星为例，讨论日心说是如何解释行星的退行现象的：如图6所示，由于木星比地球运动慢，当地球位于E1～E7各点时，木星对应位置分别为J1～J7 ，
如果某一时刻地球观察者沿两者位置连线望去，将看到木星位置被投影到遥远星空背景上的不同点1～7上，于是当地球绕太阳一周，我们将看到木星好象在星空背景上走一个螺旋线，其中1～2、6～7是与木星实际公转同方向的顺向，而3～5则是逆行，并且在2～3与5～6之间会有短暂停顿的状态，这就是“留”。
四、开普勒是如何导出行星三定律的
与哥白尼的日心说相比，开普勒归纳总结出行星三定律更具革命性，具体表现在：
1．根据精确的天文观测数据计算行星运动轨迹，而不是在先验模型基础上拟合修补。典型的作法是利用第谷丰富的火星观测资料，以各种几何图线去反复拟合，终于发现火星轨道是一个椭圆，而太阳位于其中一个焦点上（开普勒第一定律），破除了天体必须是完美的圆周运动的观念。。
2．从天文资料发现火星近日点速度快，远日点速度慢，打破行星运动必为匀速的传统束缚。为解释这一非匀速的现象，他利用了当时的一个假定：行星速率与离太阳的距离成反比，即在任一相等的时间内行星走过的弧长S 应该和这一距离r 成反比，因而有
S 1/S 2 = r 2/r 1 ，S 1r 1 = S 2r 2 ，
即 1/2(S 1r 1) = 1/2(S 2r 2)，
或者曲线三角形面积 △1 = △2 ，这就是行星第二定律。不言而喻，当时开普勒的推算谈不上严格，且更具有猜测性，但是一个开创性的科学成果并非必然要有严密的逻辑的推理过去，有时可能只是一种跳跃性的领悟，而最关键之处则在于它是否获得最终的实验验证。开普勒死后的几十年间，人们不仅在天文观测上，而且也在理论推证上对行星运动第二定律加以确认，这其中最具有思想启迪意义的是牛顿运用几何方法的证明。下面简要介绍牛顿的证明过程：
如图7所示。设太阳位于A 点，行星从B 点开始在相等的时间间隔t 1 、t 2 、 t 3 、 t 4…分别到达折线上的B 、C 、D 、F …，若在t 1间隔行星匀速由B →C ，如不受力将沿BC
至I ，且CI = BC ，但在C 点受到指向A 的力，故它沿CD 运动。从I 作平行CA 的直线ID ，D 是t 2
末时位点。由于△ACD 与△ACI 同底（AC ）等高，面积相等，又△ABC 与△ACI 也同底等高，所以
t 1掠过面积△ABC 与t 2掠过面积△ACD 相等。同理可证其它相等时间间隔掠过面积均与△ABC 相等。若△t 足够小，折线△面积变为曲线△面积。这正是行星第二定律。
3．开普勒的最重要贡献在他给出了具有定量意义的行星运动第三定律。这一定律揭示了各行星运图 6
I
图 7
动所遵循的一种更普遍的规律。这种简洁的数学表达最终成为万有引力定律发现的前奏。为获得这一定律，开普勒历经十年之久，他深知这一发现来之不易，以至于他自豪地写到：“我也许要整整等上一个世纪才会有读者，对此我毫不在意。”
开普勒是以归纳行星观测数据，通过作图获得该定律的，新教材教学参考书上有一道参考题：如何由牛顿的万有引力定律和向心力公式证明作圆周运动的地球卫星轨道参数满足开普勒第三定律，可增强对这一定律的认识，建议留给学生去做。
五、牛顿如何导出万有引力定律的
科学的研究总是遵循这样一种传统：在获得对某一自然规律正确的乃至定量化的描述之后，就必须回答为什么会有这种规律。这既是一种满足人类探究天性的、十分自然的理性诉求，也是科学理论得以建立和发展，从个别认识走向完整逻辑体系的必经途径。“从发现行星运动规律转而研究其动力学成因”无疑是建立近代科学思想体系最初的几块奠基石之一，值得深入探讨其中所蕴含的科学方法。为此，新教材增加较大篇辐介绍当时人们围绕行星运动成因提出的种种假设，例如伽利略的物体运动趋向合并论，开普勒的太阳磁力论，笛卡尔的以太作用模型以及胡克的只规定作用效果，却不知其内涵的“引力说”（就如同我们把同性相吸的电磁力也称作引力一样）。千万别小看这些现在看来十分幼稚的假定，它们是激发当时科学家创造性思维的源泉。一个正确的理论的产生，并不必然要求其假设前提一定正确，因为一个革命性观念是无法从原有的理论框架中逻辑性地导出，最初的假定作为一种猜测可以被抛弃，但由此导出的结果却因实验确认而长存于世，并重新被赋予新的科学内涵。事实上，牛顿发现万有引力定律并非一帆风顺，他也和其它人那样经历了从朦胧认识到逐渐清晰的过程，其间的思辨方法也极富启迪意义。下面我们分几个具体专题剖析牛顿当时的探索心路，以补教材内容的不足。
（一） 引力平方反比律的发现（圆轨道与椭圆轨道）
牛顿最初只是考虑要使行星以圆或椭圆轨道绕太阳旋转而不作匀速直线运动，太阳所提供的吸引力是什么性质的力，并未涉及这种力与什么因素有关。为简化问题首先讨论行星绕太阳的匀速圆周运动。由于牛顿已用几何方法导出向心力公式，再结合开普勒第三定律，很容易得出 F ∝ 1/R 2 。具体推导过程新教材已有介绍，这里不再重复。需要指出的是：上述结论仍有两个不足，一是要推广到行星实际运行的椭圆轨道，二是未能证明为什么可以把两个天体看作全部质量集中于中心的质点来看待。现介绍第一个问题的基本处理思路，后一问题则要用到引力场理论的知识，这里从略。
基于椭圆轨道的平方反比律
更严格推导见于一般《理论力学》教程有关“质点在有心力场中的运动”一节，这里介绍一种相对简单的作法，这只是对当时牛顿几何证法的近似模拟，。
如图8所示，考虑某种特例，即质点在一个焦点为F 的椭圆两个顶点A 、C 的运动。设在一个微小的时间间隔内，质点分别从A 、C 到E 、D ，再分别从E 和D 作过A 和C 切线的垂线EM 、ND 。因为时间间隔足够小，可视弧长为直线，且有A M ≈AE ，CD ≈CN ，E M →0、ND →0 。因而根据开普勒第二定律，有
CD
FC AE AF ?=
?2
12
1
即
AF
FC CD
AE =
（1）
考虑类地行星的椭圆轨道偏心率很小，与圆轨道相差不大，则在 △AEC 中，根据几何知识可知（AE ≈A M ，A M ⊥AC ）：
EM a EM AC EM C E E A AE
?≈-?='?'=2)(2
同理，在 △CDA 中，有：CD 2
≈ 2a ·DN 。
∴ 2
2CD
AE DN
EM
=
（2）。
将（2）式代入（1）式，于是有：
2
2AF
FC DN
EM =
当质点在两顶点A 、B 不受力时，将沿切线A M 、CN 运动，但由于F 点的引力作用，质点实际上分
别向焦点下落了距离E M 与DN ，这两个距离显然是与所受的引力f A 和f C 成正比的，故有
2
2AF
FC DN
EM f f C
A == ，
即行星作椭圆运动的引力与行星到位于焦点的太阳距离平方成反比。
依据相类似的方法，可以证明行星在椭圆上任意一点受到的引力均具有平方反比律的特性，这里从略，有兴趣者可阅读牛顿的《自然哲学之数学原理》一书。
(二) 地月验证--走向引力普适性的第一步
如果说导致行星运动的引力平方反比律特性的发现并非牛顿一人做出的，那么把行星运动涉及的引力概念扩展到地球，将其与地球表面上的重力相联系，并赋予质量和一般力的明确内涵，则只能是牛顿所独创的，这其中蕴含着极为深刻的科学领悟。新教材作为补白的地月验证就是展示牛顿天才思想的生动案例。
当时，牛顿是这样来展开他的想法的。首先无论是苹果落地，还是最高建筑物顶或最高山颠上，都未发现重力有明显减弱，那么这个重力也会对月球有影响，并为月球绕地运动提供必要的向心力；接着牛顿利用一个理想实验进一步论证了作用于月球上的力与地球表面的重力是同一性质的力：“如果有一个小月亮很靠近地球，以至触及到地球上最高的山顶。……这时如果小月亮突然失去了运动，它就会像山顶上的物体一样以相同的速度下落。如果它所受的向心力并不是重力，那么它将在这两种力的共同作用下以更大的速度下落，这是与我们的经验不符的。……因此使月亮保持在它轨道上的力就是我们通常称为‘重力’的那个力。”最后，牛顿想到，地月作为两个天体，其间的引力服从平方反比律，如果重力就是这种引力，那么提供给月亮的向心力强度与地面上物体受到重力相比，应接平方反比律衰减。于是牛顿作了如下的定量证明：
如图9所示。设想月球处于轨道任意点A ，若不受力，它将沿切线AB 进行。然而它实际走弧线AP = S ，如果O 是地心，则月球在这段时间下落了距离y ，
∵ ,0,2r
s
T
rt S ≈≈=
θθπ ,
2
1cos 2
θ
θ-
≈ 则
()r
s
r y 2cos 12
≈
-?=θ
,2242
2
2
2
2
22T
rt rT
t r ππ=
=
A
图 8
而地面物体自由下落的距离为 y /= 1/2 gt 2
，
利用月球绕地周期 T =27。3日= 2。36×10 6s ，g =9。8 m/s 2
，
月地距离 r = 3。84×105
= 60 R 地 ，R 地 = 6400 km ，代入上式有
y/ y /= 1/3600 。设地面重力与地月吸引力分别为 f /、f ，且f /∝ y /
，
f ∝ y ，地面物体距地心距离 r /
≈R 地 ，故
f/ f / = y/ y /= 1/3600 = R 地2/（60R 地）2=（r /）2/ r 2
。
这表明地面上的重力与地月间的天体引力，乃至行星－太阳间的引力一样都服从平方反比律，它们实际上是同一性质的力。天体间引力的普适性被揭示出来，而地面物体所受重力的大小是与物体质量成正比的，这就启发牛顿对引力的本质赋予更深刻的、与物体表观运动无关的内涵，最终导出万有引力定律的简洁表达式：
。
212
2
1r
m m G
F ?= 有关引力定律的导出，新教材给出比原有课本更严格清哳的阐述，这里就不再赘言。
（三）天文学应用成就——引力定律普适性的全面确认
万有引力定律产生于对太阳系内行星运动的研究，但它对物质运动的适用性却要广泛得多。，可以这样说，宇宙中凡有引力参与的一切复杂的现象，无不要归结到这样一条十分简洁的定律之中，这不能不使人惊叹宇宙万物超乎寻常的和谐以及人类理性思考所具有的统摄力。既是在今天，广义相对论作为牛顿引力理论的新版本也仍在宇宙学中发挥重要作用，万有引力概念的普适性甚至超越了整个可观测的宇宙！为使大家对万有引力定律有更深刻的认识，除了教材所介绍的三个应用（计算天体质量、发现未知天体、第一宇宙速度）外，现再举几例：
1. 逃逸引力束缚的宇宙速度计算问题 (1) 运用平抛公式推导第一宇宙速度
课本在人造卫星一节介绍了牛顿当初设想作抛体运动的物体可以成为地球卫星或逃离地球吸引的原理图，但在导出第一宇宙速度时却因其过于麻烦而未采用。为使学生了解前人杰出的思想成果，现介绍牛时当时使用的方法。
如图10所示，设地球是一理想球体，半径为R ，现将一物体从A 上方某一点A /
以速度v 1水平发
射，该点距球心为r ，则r ≈R ；若t 时间内物体水平飞行距离A /D / = AD = L ，自由下落距离D /
D ≈y （y 《 r 》，此时由于地球是球体，地球表面在D 点也相对于过AD 的水平面下降了DB = y ，从而保证了物体离地高度不会改变。在下一个t 时段也有相应情况，依此类推下去，物体无终点自由下落就可以在一个恒定高度上成为地球卫星。由平抛的运动方程有
,21,
2
1gt
y t
v L =
=
因为△ABE ∽ △ACB ，故
,
2,
22
R
L
y y
R L L
y ≈
-=
将其代入平抛公式，有
B
N O
图 9
。s km gh v gh
L t 9.7,
1==
=
（2）第二与第三宇宙速度推导
第二与第三宇宙速度分别为物体脱离地球和太阳引力的速度，考虑其运行轨道为椭圆以及学生未学过能量一章，课本没有给出表达公式。但为使引力定律和后面内容的综合，教师仍有必要知道这两个速度的推算。
● 计算v 2 最方便的方法是引入引力势能，即相对于无穷远点，地面上物体具有引力势能 –G M 0m/ R 0 ，M 0、R 0分别为地球质量和半径（参见引力场专题）。根据机械能守恒定律，我们有：
。
s
km v R GM v R m
GM
mv
2.1122
,
2110
20
2
2
==
=
=
● 计算摆脱太阳引力的v 3 ，可分两个阶段来考虑∶
第一阶段：尽管航天器已脱离地球引力，处于离地球相对较远的位置，但与地－太距离相比，仍可
近似看作处于地球公转轨道上。以太阳为参考系，其位置为 r =1。5×1011
m ，根据机械能守恒，我们有
。
s
m r
GM v r
m
GM
mv
4
2
10
22.42
,021?===-
Θ
Θ
第二阶段：v 是相对于太阳的绝对逃逸速度，实际发射要折算成相对地球的速度v r 。设地球的公转速度为V 0 ，其大小可由下式确定：
。
s
m r
GM v r
v M r
M
GM
4
02
02
10
98.2,
?==
=
Θ 再由速度的叠加原理，v =v r + V 0 因此 v r = v - V 0 = 1。24×104
m /s 。
现设地面上发射飞行器相对于地球的初始速度为v 3 ，则在地球参考系中，地面发射点与能够逃逸地球引力，同时又具有摆脱太阳吸引速度v r 那一点的机械能相等，即
20
2
32
12
1r
mv
R m
GM
mv =
-
而 G M 0m/ R 0 = 1/2 mv 22
，v 2为第二宇宙速度，故
,2
12
12122
22
3r
mv
mv mv =
-
。
s
m v v v R m
GM
mv r 4
22230
2
210
67.1,
2
1?=+==
（3）行星大气分子的逃逸速度。方法如求v 2 ，逃逸速度太小的星球无大气。
（4）黑洞大小的的经典计算。课本阅读材料给出说明黑洞特性的经典分析，对拓展学生思路很有益处。但需要说明的是，这种说法并不确切，由于光子有动质量，它根本不能离开黑洞表面而被发射。
图 10
下面再举一例：如果地球成为黑洞，它的经典半径有多大？ 由计算第二宇宙速度公式
,
20
2R GM v =
当v 2 = C ，有
R 0 = 2G M 0/ C 2
= 2×6。67×10-11
×5。976×1024
/（ 3×108
）
2
=8。86×10-3
m ≈ 1cm 。
2． 潮汐现象的起因问题
解释潮汐现象是牛顿万有引力定律最成功的应用，其基本思想甚至推广到广义相对论、黑洞物理学和宇宙学研究领域。然而由于历史原因，在大学物理教育甚少涉及，使许多中学教师对这一熟悉的自然现象只具有粗浅的常识性了解，为此有必要作一较为深入的探讨。首先从潮汐现象的认识疑难谈起：（1）古语道：“昼涨称潮，夜涨称汐”，表明一天有两潮涨潮落，为什么会有这种周期现象？（2）天文观测表明，任何时刻的海平面总有两处隆起，一处离月球最近，另一处离月球最远，如果潮汐由月球引力所致，又应如何解释远端海水的突起？（2）按万有引力计算公式，对地球而言太阳的引力效应远大于月球，为什么在讨论潮汐时太阳的影响常可忽略？（4）除海水外，地球还有其它形式的潮汐现象吗？引潮力对其它天体有何影响？
在下面的讨论中，为使问题简化，取地心为除引力外不受其它力的理想惯性参考系，假定海水均匀分布于地球表面，且不考虑地球自转、海水的环流以及海水与陆地的摩擦力。
● 引潮力的定性分析：以月球为例，在地月引力系统中，地、月均绕它们的共同质心转动，质心位于地月连线d 距地心 0．73R 处，由于地心绕公共质点旋转时，地球上各点处于平动状态，所以在不同地方均受到大小相等、方向相同的惯性离心力f 作用。另一方面月球对地球各处还有引力作用，各点位置不同，受到月球引力F 的大小和方向不同，其中最近点A 引力最大，最远点C 引力最小。因此，在任何时刻，地球除地心外的各点均受到两个非等大反向力的作用，两者的合力效果会使各处的海水产生不尽相同的移动，这就是所谓月球的引潮力。如图11所示。
引潮力的定量计算：仍如图11所示，考虑四个特殊的点A 、B 、C 、D ，在A 处，质量为m 的物体受到引力F 大于惯性离心力f ，这两个力的合力，即引潮力为
()
()()R d d
R m GM R d d R dR m GM d
m
GM R d m
GM
F ≥?≈?
?
?
???--?=-
-=
，向外月
月月月
合3
2222
2
22
同理在C 处有f ＞ F ，
，向外
月
合3
2d
R m GM
F ?≈
在B 和D 点，万有引力和惯性离心力的合力可以证明都是指向地心，其效果造成海水向下运动，
结果地球表面海水形状为一椭圆。若考虑地球自转，则除两极外的任一点都分别经历上述四点位置的情况，因此一天会有两次潮涨潮落。
● 太阳与月球引潮力的比较：设地球到太阳的距离为D ，则
图 11
()()
。
日
月日
月3
3D
M
d M F F =
已知M 月 = 7．35×1022
kg ，M 日 = 2．0×1030
kg ，d = 3．84×108
m ，
D = 1．5×1011
m ，代入后有 F 月/F 日 = 2．2 ，这表明地球潮汐现象起因主要来自月球的引力。太阳潮虽不易单独观察到，但仍能影响潮汐的大小，当农历初一或十五时，地、月、日几乎在同一直线，两者叠加会出现大潮：而农历初七、八或二十二、三时，月球与太阳引潮力相互垂直，消弱了潮汐效果，形成小潮，实际会因海水流动与其它地理条件推迟一段时间。
● 海洋潮汐能量估算：已知地球的转动惯量 I =2/5(mR 2
)，转动动能
,
54221
212
2
2
2
2
T
mR
T I I E k π
πω
=
???
??==
由于潮汐作用使海水与海底摩擦加剧，地球自转减慢，自转周期增加。设自转周期增加△T 后，其
转动动能为
()
,542
2
2
T T mR
E k
?+='π
，故因自转减慢而损失的动能 △E k = E k - E k
/
()
,25
42
2
22
2T
T
T
T T T mR
E k ?+?+??
=
?π
因 T 》△T ，故海洋潮汐能功率为
,
25
42
2T
T T mR
T
E k
k ??
=
π
据观测，每百年地球一天增加10-3
s ，即平均每天增加 T = 10-3
/100×365×86400 s
将有关数值代入后，有 N = E k /T= 2×1012
w 。
● 固体潮：发生在地球固态地壳的潮汐称作固体潮，其原理与海洋潮类似固体潮能引起地壳应力的变化，并可能诱发地震。固体潮对天体运动与存在形态影响较大，现举两例：
（1）为什么月球总有一面固定朝向地球：由于地球质量是月球的81倍，月球半径是地球的0。273倍，代入引潮力公式可算出地月引潮力之比为22倍。又因为月球转动惯量较小，因此潮汐摩擦造成的自转速度减慢更为明显，当月球自转慢到月周日相当地球的一个月，就会出现月球一面永远朝向地球的情况。此时月球表面凸起也被固定下来，一处在面向地球的正中央，另一处则正好相反，因而也不
再有摩擦效应来改变月球的自转周期了。此外，在地月系统中由于角动量守恒，即M ω2
r 1 = C ，当地球自转变慢时，必将导致地月距离的增大，故月球终将离我们而去。
（2）是否会发生地月相撞大灾难: 小行星撞击灾难问题一直为世人所关注。月亮离地球最近，它能否撞击地球？答案是否定的，原因有二：一是如前面所说，潮汐使地球自转变慢，地月距离增大；二是两者间的引潮力必将撕裂试图接近的月球。我们来分析后一种情况。
如图12所示。设主、伴星参数分别为：
两者间的距离为r ，则撕裂伴星的力为：主星引潮力F 、伴星自转离心力f ；而凝聚伴星的力为：分子间结合力与伴星自引力f 自，前者较小，可忽略不计，这样，伴星在绕主星运行时能否被撕裂将由三个力决定。考虑伴星一个质元△m ，则作用在△m 这三个力沿x 方向的分力由公式计算有（推导从略）
,,22/
/2
/3/
3
V
x f r
x
V GM r
x
m GM F X X ?=???=
???≈
ρω
ρ
/
/
/
3
4V
x
G f ?-
=ρρ
π自
伴星被撕裂的条件是三力之和
03
42///
/
3≥?????
? ?
?-
+V x G r GM ρρ
πω
设伴星作同步公转，即ω/2
= GM/r 3
，则上式变为
03
43/
3
≥-
ρ
πG r
GM
或
03
44/
3
3
≥-
ρ
πρπ
G r
R G
由此解出伴星被撕裂的距离临界条件为
r c = R （3ρ/ρ/）1/3 = 1。44R （ρ/ρ/）1/3
，
对地月系统，ρ/ρ/
= 5/3 ，因而有
（r c ）月 = R 地（3ρ/ρ/）1/3
= 1。7 R 地 。
不难看出，一旦月球撞向地球，在它未接近地球时已被地球引潮力撕裂。月球不可能撞击地球！最有可能的是流星或彗星在接近地球时，其撕裂的大碎片与地球相撞而造成的灾难。
六、万有引力定律的方法论意义与局限性
1．方法论意义：
（1）坚持从观察和实验中发现规律，而“不杜撰假设”。牛顿所关心的不是引力为什么会起作用，而是如何起作用，寻找引力遵循规律的准确数学表达。
（2）坚持在观察实验基础上的科学思辨作用，注意从决定自然现象的最本质动因入手，建构系统而逻辑自洽的理论体系，以指导对更普遍现象的研究。
（3）首次把地面上运动和宇宙中的普遍运动结合起来，并把万物运动之源归结为粒子间的引力，这种以揭示宇宙和谐统一为科学使命的做法一直为后世所仿效。
（4）面对错综复杂的自然现象，牛顿创立一些独立匠心的研究方法，如理想模型、简单性原则以及极具创造性的思想实验等等。例如在处理复杂行星运动时他就采用一系列简化模型步骤：从圆运动到椭圆运动；从质点到球体；从单体问题到二体及至多体问题等。
2．牛顿万有引力定律的局限性：
（1）万有引力定律未能说明两物体间的引力是跨越时空进行传递的，尽管持引力超距作用观点并非牛顿本人，而是其后来的追随者，但万有引力定律不能克服超距作用的困难。
（2）牛顿在确定质量为m 的行星绕太阳旋转所受到的向心力与两者间的万有引力关系，即 f 向 = mv 2/r = f 引 = G M m/r 2
，未加指明地认为两种力涉及的比例常数m 相等，这实际隐含另一个重要假
图 12
定：m惯 = m引，系统地解释这一问题要依靠广义相对论。
（3）万有引力定律对天体运动成因的解释是建立绝对时空参考系基础上的，这使它的某些预测结论与事实不符，如水星进动偏差的问题等。
万有引力定律的发现 万有引力定律现在大家公认是牛顿发现的，连小学生也知道牛顿在苹果树下休息，看见苹果落地而想到万有引力的故事。但它的发现岂只是看见苹果落地这么简单？ 万有引力公式：这个公式与库仑定律有着惊人的相似之处。G为万有引力常量，由英国物理学家卡文迪许首先在实验室测出其大小。在牛顿的时代，一些科学家已经有了万事万物都有引力的想法。而且牛顿和胡克（即发明了显微镜并用显微镜观察到细胞结构的罗伯特虎克）曾经为了万有引力的发现优先权发生过争论，有资料表明，万有引力概念由胡克最先提出，但由于胡克在数学方面的造诣远不如牛顿，不能解释行星的椭圆轨道，而牛顿不仅提出了万有引力和距离的平方成正比，而且圆满的解决了行星的椭圆轨道问题，万有引力的优先发现权自然归属牛顿。 正如牛顿所说他是站在巨人的肩膀上。万有引力发现前的准备开普勒有着不可磨灭的贡献。开普勒是德意志的天文学家，幼年患猩红热导致视力不好，后来有幸结识弟谷，一年后弟谷过世，把他一生的天文观测资料留给了开普勒。在此基础上，开普勒经过20年的计算和整理于1609年发表了行星运动的第一、第二定律。后来又经过十年又发表了行星运动的第三定律。牛顿老年在回忆过去的时候有这样的话： 同年（1666年）我开始把引力与月亮轨道联系起来并找出如何估计一个天体在球体内旋转时用来趋向球面的力的方法。根据开普勒的行星周期与于他们的距离轨道中心的距离的二分之三次方成正比的规律，我得出使行星沿轨道旋转的力必然与他们离旋转中心的距离的平方成反比的结论。从而把使月亮沿轨道旋转所需的力与地球表面的引力相比较发现它 它们符合得很接近。所有这些发生在1665年和1666年两个时疫年内，因为那时正是我创造发明的黄金时期，我对数学和哲学的思考比此后的任何时都候来的多。 此后惠更斯先生发表的关于离心力的思想，我猜想他在我之前就有了，最后在1676和1677之间的冬天我发现了一个命题：利用与距离成反比的离心力行星必然环绕力的中心沿椭圆轨道旋转，这中心在椭圆的下部，从这中心作出的半
3232 万有引力定律应用的12种典型案例 万有引力定律不仅是高考的一个大重点，而且是自然科学的一个重大课题，也是同学们最感兴趣的科学论题之一。 特别是我国“神州五号”载人飞船的发射成功，更激发了同学们研究卫星，探索宇宙的信心。 下面我们就来探讨一下万有引力定律在天文学上应用的12个典型案例： 【案例1】天体的质量与密度的估算 下列哪一组数据能够估算出地球的质量 A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度 解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。 设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r 根据万有引力定律： r T 4m r Mm G 22 2π=……①得： 2 32G T r 4M π=……②可见A 正确 而T r 2v π= ……由②③知C 正确 对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④ 由于3 R 4M 3 π= ρ……⑤结合②④⑤得： G 3T 2π = ρ 可见D 错误 地球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力 由2R Mm G mg =得：G g R M 2=可见B 正确
3333 【探讨评价】根据牛顿定律，只能求出中心天体的质量，不能解决环绕天体的质量；能够根据已知条件和已知的常量，运用物理规律估算物理量，这也是高考对学生的要求。总之，牛顿万有引力定律是解决天体运动问题的关键。 【案例2】普通卫星的运动问题 我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h ，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是赤道平面,周期为24 h 。问：哪颗卫星的向心加速度大哪颗卫星的线速度大若某天上午8点，“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号”下次通过该岛上空的时间应该是多少 解析：本题主要考察普通卫星的运动特点及其规律 由开普勒第三定律T 2 ∝r 3 知：“风云二号”卫星的轨道半径较大 又根据牛顿万有引力定律r v m ma r Mm G 22==得： 2r M G a =，可见“风云一号”卫星的向心加速度大， r GM v = ，可见“风云一号”卫星的线速度大， “风云一号”下次通过该岛上空，地球正好自转一周，故需要时间24h ，即第二天上午8点钟。 【探讨评价】由万有引力定律得：2M a G r = ，v = ω= 2T = ⑴所有运动学量量都是r 的函数。我们应该建立函数的思想。 ⑵运动学量v 、a 、ω、f 随着r 的增加而减小，只有T 随着r 的增加而增加。 ⑶任何卫星的环绕速度不大于7.9km/s ，运动周期不小于85min 。 ⑷学会总结规律，灵活运用规律解题也是一种重要的学习方法。 【案例3】同步卫星的运动 下列关于地球同步卫星的说法中正确的是： A 、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上 B 、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h C 、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上
万有引力定律的发现历程 高一（6）班 在很早以前，人们就在持续地探索天体运动的奥妙。当科学的接力棒传到了牛顿手中时，他站在前人的肩上，发挥他卓越的才能，建立了万有引力定律。 牛顿发现万有引力定律的过程中，其主要的思路与使用的物理学方法大致体现在以下几方面。 一、使用科学想象和推理，论证了行星运行都要受到一个力的作用 牛顿对行星运动的研究工作首先是从研究月球开始的。据说，有一次牛顿正在思考这个问题时，忽然看到一个苹果从树上掉了下来，他吃了一惊，同时便陷入了沉思。当时已知苹果是受重力作用而下落的，牛顿作了合理的设想，设想这种作用力的范围要比通常所想象的还要大得多，比如说，很可能一直延伸到月球那么高，由此外推出：各行星如卫星的运动都要受到同一种力的作用。 二、使用数学方法，推导出行星运行所受到的向心力遵从平方反比定律 牛顿由开普勒第三定律推知向心力平方反比定律。其数学推导为： 设某一行星的质量为m，将行星的运动视为匀速圆周运动。由牛顿第二定律： 运行周期，R—圆周轨道半径。再由开普勒第三定律。 式中μ是一个与行星无关而只与太阳的性质相关的量，称为太阳的高斯常数；m为行星质量。由上式可知：引力与行星的质量成正比。 三、使用归纳概括方法，牛顿总结出了万有引力定律 牛顿由研究月球、地球，以至研究行星、恒星、卫星等推出了一切物体相互间均存有引力的结论。又由牛顿第三定律，得出吸引物体和被吸引物体的区分是相对的，所以引力 牛顿就完成了万有引力的发现工作。 G为引力恒量，m1 m2分别为两个相互吸引的物体的质量，R为物体m2与m1的质心间距离。 四、使用科学观察和科学实验验证万有引力定律理论 牛顿的万有引力定律是经过科学观察和科学实验的检验后才得到普遍承认的，哈雷慧星回归周期的预言被证实以及海王星的发现在天王星发现都证实了万有引力定律的准确性。
【1】天体的质量与密度的估算 下列哪一组数据能够估算出地球的质量 A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度 解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。 设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r 根据万有引力定律：r T 4m r Mm G 2 22π=……①得：23 2G T r 4M π=……②可见A 正确 而T r 2v π= ……由②③知C 正确 对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④ 由于3 R 4M 3 π= ρ ……⑤结合②④⑤得： G 3T 2π = ρ 可见D 错误 球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力 由2 R Mm G mg =得：G g R M 2= 可见B 正确 【2】普通卫星的运动问题 我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h ，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是赤道平面,周期为24 h 。问：哪颗卫星的向心加速度大？哪颗卫星的线速度大？若某天上午8点，“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号”下次通过该岛上空的时间应该是多少？ 解析：由开普勒第三定律T 2∝r 3知：“风云二号”卫星的轨道半径较大 又根据牛顿万有引力定律r v m ma r Mm G 2 2==得： 2r M G a =，可见“风云一号”卫星的向心加速度大， r GM v =，可见“风云一号”卫星的线速度大， “风云一号”下次通过该岛上空，地球正好自转一周，故需要时间24h ，即第二天上午8点钟。 【探讨评价】由万有引力定律得：2 M a G r =，v = ω= 2T π = 【3】同步卫星的运动 下列关于地球同步卫星的说法中正确的是： A 、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上 B 、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h C 、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上 D 、不同通讯卫星运行的线速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的。
万有引力定律·典型例题解析 【例1】设地球的质量为M ，地球半径为R ，月球绕地球运转的轨道半径为r ，试证在地球引力的作用下： (1)g (2)(3)r 60R 地面上物体的重力加速度＝ ；月球绕地球运转的加速度＝；已知＝，利用前两问的结果求的值； GM R GM r g 22αα (4)已知r ＝3.8×108m ，月球绕地球运转的周期T ＝27.3d ，计算月球绕地球运转时的向心加速度a ； (5)已知地球表面重力加速度g ＝9.80m/s 2，利用第(4)问的计算结果， 求 的值．α g 解析： (1)略；(2)略； (3)2.77×10-4； (4)2.70×10-3m/s 2 (5)2.75×10-4 点拨：①利用万有引力等于重力的关系，即＝．②利用万有引力等于向心力的关系，即＝．③利用重力等于向心力 G Mm r mg G Mm r m 2 2α 的关系，即mg ＝ma ．以上三个关系式中的a 是向心加速度，根据题目 的条件可以用、ω或来表示．v r r T 2224r 2 π 【例】月球质量是地球质量的 ，月球半径是地球半径的，在21811 38. 距月球表面14m 高处，有一质量m ＝60kg 的物体自由下落． (1)它落到月球表面需用多少时间？ (2)它在月球上的“重力”和质量跟在地球上是否相同(已知地球表面重力
加速度g 地＝9.8m/s 2)？ 解析：(1)4s (2)588N 点拨：(1)物体在月球上的“重力”等于月球对物体的万有引力，设 mg G M m R mg G M m R 22月月月 地地地 ＝．同理，物体在地球上的“重力”等于地球对物体的 万有引力，设＝． 以上两式相除得＝，根据＝可得物体落到月球表 面需用时间为＝＝×＝． 月月g 1.75m /s S gt t 4s 2 2 12 2214 175S g . (2)在月球上和地球上，物体的质量都是60kg ．物体在月球上的“重力”和在地球上的重力分别为G 月＝mg 月＝60×1.75N ＝105N ，G 地＝mg 地＝60×9.8N ＝588N ． 跟踪反馈 1．如图43－1所示，两球的半径分别为r 1和r 2，均小于r ，两球质量分布均匀，大小分别为m 1、m 2，则两球间的万有引力大小为： [ ] A ．Gm 1m 2/r 2 B ．Gm 1m 2/r 12 C ．Gm 1m 2/(r 1＋r 2)2 D ．Gm 1m 2/(r 1＋r 2＋r)2
万有引力定律的发现与探究过程分析 ——兼论如何在教学中展示知识形成过程 北京教育学院吴剑平 引言 物理学的发端始于人类对理解星体运行的追求。三百多年前，万有引力定律的发现堪称人类文明与理性探索进程中最壮丽的诗篇，其所体现出的科学智慧的震撼力，至今仍为世人所叹服。李政道先生在回答是什么使他走上献身物理学研究的道路时曾说过，是物理学中那些具有普适性的物理法则和概念深深打动了他，激发了他深入探究的兴趣。万有引力定律就是这样一条具有简约性和普适性的自然法则，它第一次把看似毫不相关的地上与天上运动统一起来，第一次揭示大自然的对称和谐与物理规律表达简洁而含蓄的内在美，并作为牛顿的“从运动现象研究自然力”的又一个科学思辨范例，而不断为历代科学家所效仿。因此万有引力定律的教学绝不能仅限于具体知识的讲解、记忆与实际的（习题）应用，更应强调人类对天体运动的认识以及建立万有引力定律的探究过程，把教学重点放在“引导学生体会万有引力定律发现过程中的思路和方法”上。然而，除了教材与教参已有的介绍外，我们对物理学史上这段辉煌史实真正了解多少？我们能否把握整个发现过程中的探索脉络，并将从中领悟到的思想精髓介绍给学生？由此看来，要教好新教材中的万有引力定律一章，适当扩展相应的知识背景，了解有关牛顿引力理论的现代评述，就显得十分必要了。 本专题将着重探讨以下几个问题：（1）如何正确评价“地心说”与“日心说”的作用？（2）开普勒是如何导出行星三定律的？（3）牛顿如何从开普勒三定律推导出引力的平方反比定律（圆轨道、椭圆轨道）？（4）牛顿是如何解决引力定律的普适性的？ 一、行星视运动及其天文观测常识 讨论开普勒三定律与万有引力定律离不开人类对行星运动的天文观测，这其中涉及我们不十分熟悉的天文知识。 1．天球及其坐标系 研究天体位置和运动而引进的假想圆球。由于天体与观察者距离远大于地球的移动距离，可将其视作散布于以观察者（地球）为中心的一个圆球面上。实际应上是将天体投影到半径任取（可视作无穷大）的天球面上。为定量表示天体投影在天球上位置和运动，需要建立以地球为中心的参考系，常用的坐标系有： （1）赤道坐标系：地球赤道平面延伸后与天球相交的大圆称作天赤道，地轴（自转轴）延伸线与天球相交两点称作北南天极，过天极的大圆称为赤经圈，与天赤道平行小圆称作赤纬圈。 （2）黄道坐标系：以地球绕太阳公转的轨道平面称为黄道面，其与天球相交的大圆称作黄道，地球轨道面的法线与天球交点称为北南黄极，该坐标系同样划分有黄经圈与黄纬圈。 赤道面与黄道面有23027/的交角，两者相交的两点称作春分点与秋分点。如图1所示。 黄极 黄道 图 1
难题分析-万有引力定律 我国史记《宋会要》记载：我国古代天文学家在公元1054年就观察到超新星爆炸。这一爆炸后的超新星在公元1731年被英国一天文爱好者用望远镜观测到,是一团云雾状的东西，外形象一个螃蟹，人们称为“蟹状星云”。它是超大行星爆炸后向四周抛出的物体形成的。在1920年它对地球上的观察者张开的角度为360″。由此推断：“蟹状星云”对地球 上的观察者所张开角度每年约增大0.24″，合2.0×10-6 rad,它到地球距离约为5000光年。请你估算出此超新星爆炸发生于在公元前 年,爆炸抛射物的速度大约为 m/s 。 3946 ±10年 ，1.5×106 海洋占地球面积的7100，它接受来自太阳的辐射能比陆地要大得多。根据联合国教科文组织提供的材料，全世界海洋能的可再生量，从理论上说近800亿千瓦。其中海洋潮汐能含量巨大.海洋潮汐是由于月球和太阳引力的作用而引起的海水周期性涨落现象。 理论证明：月球对海水的引潮力成正比，与月潮月m F 与月地3r 成反比，即 地月 月潮月3r m K F = 。同理可证地日 日潮日3r m K F = 。 潮汐能的大小随潮汐差而变，潮汐差越大则潮汐能越大。加拿大的芬迪湾，法国的塞纳河口，我国的钱塘江，印度和孟加拉国的恒河口等等，都是世界上潮汐差大的地区。1980年我国建成的浙江温岭江厦潮汐电子工业站，其装机容量为3000kW ，规模居世界第二，仅 次于法国的浪斯潮汐电站。已知地球的半径为6.4×106 m.月球绕地球可近似看着圆周运动。通过估算再根据有关数据解释为什么月球对潮汐现象起主要作用？ （)1050.1,1099.1,1035.783022km r kg m kg m ?=?=?=日地日月 答案： 由以下两式：地月 月潮月3r m K F = 地日 日潮日3r m K F = 不难发现月球与地球的距离月地r 未知，可以把月球绕地球的运转近似的看着圆周运动，月球的公转周期约29d. ┄┄┄①1/ 则有月地月 月地r T m r m m G 2 22 4π=┄┄┄┄②1/ 和2 地地R mm G mg =┄┄┄┄┄③1/ 得3 122 ??? ? ? ?=T gR r 地月带 ┄④1/ 代入数据得m r 81084.3?=地月┄┄┄┄┄┄┄┄┄⑤1/ 再根据所给的理论模型有： 18.23 ≈??? ? ???=月地日地日月潮日 月潮r r m m F F ┄┄┄┄⑥1/ 即月球的引力是太阳潮力的2.18倍，因此月球对潮汐起主要作用.┄┄⑦1 / 来源： 题型：计算题，难度：综合
高考物理万有引力定律的应用技巧和方法完整版及练习题含解析 一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用 1．一名宇航员到达半径为R 、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一个质量为m 的小球，上端固定在O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O 点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间t 的变化规律如图乙所示．F 1、F 2已知，引力常量为G ，忽略各种阻力．求： （1）星球表面的重力加速度； （2）卫星绕该星的第一宇宙速度； （3）星球的密度． 【答案】（1）126F F g m -=（212()6F F R m -(3) 128F F GmR ρπ-= 【解析】 【分析】 【详解】 （1）由图知：小球做圆周运动在最高点拉力为F 2，在最低点拉力为F 1 设最高点速度为2v ，最低点速度为1v ，绳长为l 在最高点：2 22mv F mg l += ① 在最低点：2 11mv F mg l -= ② 由机械能守恒定律，得 221211222 mv mg l mv =?+ ③ 由①②③，解得1 2 6F F g m -= （2） 2 GMm mg R = 2GMm R =2 mv R 两式联立得：12()6F F R m -
（3）在星球表面：2 GMm mg R = ④ 星球密度：M V ρ= ⑤ 由④⑤，解得12 8F F GmR ρπ-= 点睛：小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点与最低点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出重力加速度；万有引力等于重力，等于在星球表面飞行的卫星的向心力，求出星球的第一宇宙速度；然后由密度公式求出星球的密度． 2．a 、b 两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a 为近地卫星，b 卫星离地面高度为3R ，己知地球半径为R ，表面的重力加速度为g ，试求： （1）a 、b 两颗卫星周期分别是多少？ （2） a 、b 两颗卫星速度之比是多少？ （3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同--点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？ 【答案】（1 ）2 ，16（2）速度之比为2 【解析】 【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据相距最远时相差半个圆周求解； 解：（1）卫星做匀速圆周运动，F F =引向， 对地面上的物体由黄金代换式2 Mm G mg R = a 卫星 2 224a GMm m R R T π= 解得2a T =b 卫星2 2 24·4(4)b GMm m R R T π= 解得16b T = （2）卫星做匀速圆周运动，F F =引向， a 卫星2 2a mv GMm R R =
万有引力定律的发现过程 自哥白尼建立日心说到开普勒提出行星运动三定律，行星运动的基本规律已被发现，给进一步从动力学方面考察行星的运动提供了条件．到17世纪后半期，已有一些学者，其中包括著名物理学家胡克。认为天体之间存在着相互作用的引力，行星的运动是由太阳对它们的引力引起的。胡克等人甚至推测到太阳对行星的引力的大小跟行星与太阳之间的距离的平方成反比、但是他们都不能证明行星所做的椭圆运动是平方反比律的．对引力大小的数量级也一无所知。1684年，这个问题在英国皇家学会争论颇为激烈，天文学家哈雷和数学家雷恩都不能解决这个疑难，胡克虽然声称他已得解，却拿不出一个公式．同年8月，哈雷带着这个问题来请教牛顿，才知道牛倾已经解决了这个问题。在哈雷的敦促下，牛顿于1684年12月写出了了《论运动》一文，阐明了他在地面物体动力学和天体力学方面获得的成就。1687年，他又发表了著名的《自然哲学的数学原理》，全面地总结了他的研究成果，他所发现的万有引力定律，也在这部著作中得到了系统而深刻的论证．这些论证对于在物理理论中已经确立的定律，新的假说、实验观测和理论推导之间的相互作用，提供了一个极好的范例．研究牛顿留给人们的文献可以看到，他发现万有引力定律的思路大体如下： (1)牛顿首先证明了，一个运动物体，如果受到一个指向固定中心的净力作用，不论这个力的性质和大小如何，它的运动一定服从开普勒第二定律(即等面积定律)；反过来，行星运动都服从开普勒第二定律，它们就都受到一个向心力时作用． (2)牛顿又证明，一个沿椭圆轨道运动的物体，如果受到指向椭圆焦点的向心力，这个力一定跟物体与焦点的距离的平方成反比． (3)牛顿认为，行星所受的向心力来源于太阳的引力；卫星所受的向心力来源于行星的引力而地球吸引月球的引力，跟地球吸引树上的苹果和任何一个抛出的物体时显示出来的重力，是同一种力．这就是说，天体的运动跟地面上物体的运动，有着共同的规律，地球重力，也是随着与地心距离的增大按平方反比律而减弱的，牛顿通过计算证明，由于月球与地球的距离是地球半径的60倍，月球轨道运动的向心加速度应该等于地面上重力加速度的1/3600。这就是著名的月地检验，它跟实际测量的结果符合得相当好． (4)牛顿根据他自己提出的作用和反作用定律，推论引力作用是相互的地球作用在质量是m的物体上的引力大小恰好等于质量为m的物体作用在地球的引力． (5)在一定的地点，石块所受的重力随石块的质量m而增加，即F与m成正比，.另一方面，如果行星的质量M改变，石块所受的重力也必将随之而改变．也就是说，如果石块与地球的距离R不变，不只有F与m成正比，而且有F与M成正比．
万有引力定律 典型例题解析 【例1】设地球的质量为M ，地球半径为R ，月球绕地球运转的轨道半径为r ，试证在地球引力的作用下： (1)g (2)(3)r 60R 地面上物体的重力加速度＝ ；月球绕地球运转的加速度＝；已知＝，利用前两问的结果求的值；GM R GM r g 2 2αα (4)已知r ＝3.8×108m ，月球绕地球运转的周期T ＝27.3d ，计算月球绕地球运转时的向心加速度a ； (5)已知地球表面重力加速度g ＝9.80m/s 2，利用第(4)问的计算结果， 求的值．αg 解析： (1)略；(2)略； (3)2.77×10-4； (4)2.70×10-3m/s 2 (5)2.75×10-4 点拨：①利用万有引力等于重力的关系，即＝．②利用万有引力等于向心力的关系，即＝．③利用重力等于向心力G Mm r mg G Mm r m 22α 的关系，即mg ＝ma ．以上三个关系式中的a 是向心加速度，根据题目 的条件可以用、ω或来表示．v r r T 2224r 2π
【例】月球质量是地球质量的，月球半径是地球半径的，在2181138. 距月球表面14m 高处，有一质量m ＝60kg 的物体自由下落． (1)它落到月球表面需用多少时间？ (2)它在月球上的“重力”和质量跟在地球上是否相同(已知地球表面重力加速度g 地＝9.8m/s 2)？ 解析：(1)4s (2)588N 点拨：(1)物体在月球上的“重力”等于月球对物体的万有引力，设 mg G M m R mg G M m R 22月月月地地地＝．同理，物体在地球上的“重力”等于地球对物体的 万有引力，设＝． 以上两式相除得＝，根据＝可得物体落到月球表面需用时间为＝＝×＝．月月g 1.75m /s S gt t 4s 2212 2214175S g . (2)在月球上和地球上，物体的质量都是60kg ．物体在月球上的“重力”和在地球上的重力分别为G 月＝mg 月＝60×1.75N ＝105N ，G 地＝mg 地＝60×9.8N ＝588N ． 跟踪反馈 1．如图43－1所示，两球的半径分别为r 1和r 2，均小于r ，两球质量
物理教师Vol.22No.2第22卷第2期 PHYSICSTEACHER（2001） 万有引力定律难点分析马志明 （江苏省南通市启秀中学,南通226001） 1重力、万有引力、向心力的联系与区别1.1 假设地球是一个质量均匀分布的球体，其质量为M,半径为R,地球表面上的物体质量为m,所处纬度为，如图1所示.根据万有引力定律可知F引=G（Mm/R）,方向如图1所示?由于m物体随地球一起以角 2 G（Mm/⑵.当m静止不动时，此时万有引力作用就体现成重力形式，物体将会向地面加速运动（即自由落体运动）.由于m不随地球一起自转,F引与G是同一个力.当m 在离地心r处恰好作匀速圆周运动，此时,F引全部用来充当向心力，有F引=F向.由上述分析可见，在地球上方的物体，重力G,匀速圆周运动向心力，万有引力实际上是同一个力，即万有引力.因此，在处理天体运动（如地球卫星问题）时，这三个力就本质来讲是同一种力. 地球表面上物体的三力关系 2001 年
离心现象的分析 当一质量为m,离地心距离为r的物体以某一速度v在运动时，如图2. 若F引
1．天体运动的分析方法 2．中心天体质量和密度的估算 (1)已知天体表面的重力加速度g和天体半径R G Mm R2＝mg? ? ? ?天体质量：M＝gR2G 天体密度：ρ＝ 3g 4πGR (2)已知卫星绕天体做圆周运动的周期T和轨道半径r ?? ? ??①G Mm r2＝m 4π2 T2r?M＝ 4π2r3 GT2 ②ρ＝ M 4 3 πR3 ＝ 3πr3 GT2R3 ③卫星在天体表面附近飞行时，r＝R，则ρ＝ 3π GT2 1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知() A．太阳位于木星运行轨道的中心 B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 解析：由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A 错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B错误；根据开普勒第三定律(周期定律)知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C正确；对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同的时间内扫过的面积不相等，D错误． 答案：C 2．(2016·郑州二检)据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器．探测器升空
后，先在近地轨道上以线速度v 环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后再一次调整速度以线速度v ′在火星表面附近环绕飞行．若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7，设火星与地球表面重力加速度分别为g ′和g ，下列结论正确的是( ) A ．g ′∶g ＝4∶1 B ．g ′∶g ＝10∶7 C ．v ′∶v ＝ 528 D ．v ′∶v ＝ 514 解析：在天体表面附近，重力与万有引力近似相等，由G Mm R 2＝mg ，M ＝ρ43 πR 3 ，解两式得g ＝4 3G πρR ，所以g ′∶g ＝5∶14，A 、B 项错；探测器在天体表面飞行时，万有引力 充当向心力，由G Mm R 2＝m v 2R ，M ＝ρ4 3πR 3，解两式得v ＝2R G πρ 3 ，所以v ′∶v ＝528 ，C 项正确，D 项错． 答案：C 3.嫦娥三号”探月卫星于2013年12月2日1点30分在西昌卫星发射中心发射，将实现“落月”的新阶段．若已知引力常量G ，月球绕地球做圆周运动的半径r 1、周期T 1，“嫦娥三号”探月卫星绕月球做圆周运动的环月轨道(见图)半径r 2、周期T 2，不计其他天体的影响，则根据题目条件可以( ) A ．求出“嫦娥三号”探月卫星的质量 B ．求出地球与月球之间的万有引力 C ．求出地球的密度 D.r 13T 12＝r 23T 2 2 解析：绕地球转动的月球受力为GMM ′r 12＝M ′r 14π2 T 1 2得T 1＝ 4π2r 13 GM ＝4π2r 13 Gρ43πr 3.由于不知道地球半径r ，无法求出地球密度，C 错误；对“嫦娥三号”而言，GM ′m r 22 ＝mr 24π2 T 2 2，T 2＝4π2r 23 GM ′ ，已知“嫦娥三号”的周期和半径，可求出月球质量M ′，但是所
万有引力定律的建立过程及意义 万有引力定律的发现，是17世纪自然科学最伟大的成果之一。苹果的落地引起了牛顿科学的遐想，在通过大量数学计算后推导出了著名万有引力定律。 然而万有引力定律的确立，却并非牛顿一个人的功劳。在牛顿研究万有引力之前，已有不少人从事这个问题的研究，如第谷、开普勒。此外和牛顿同时代的科学家，如胡克、哈雷、惠更斯、伦恩等，对万有引力定律的建立也有贡献。正如牛顿本人所说：“我之所以有这样的成就，因为我是站在巨人们的肩膀上的。” 丹麦天文学家第谷花费多年时间进行观测行星，编制了篇幅庞大、高度精确的星表。而后德国数学家、天文学家、物理学家开普勒对第谷的星表进行整理研究，最终提出了行星运动三定律。这些对于牛顿提出万有引力定律具有至关重要的作用。此外，惠更斯的向心力公式，胡克、哈雷、伦恩重力问题的研究都给予了牛顿不少启发。 1665-1666年，因为瘟疫流行，牛顿从剑桥大学回到家乡。而看到苹果偶然落地引发了牛顿思考引力问题。之后1684年，牛顿做了《论运动》的演讲，明确叙述了向心力定律，证明了椭圆轨道运动的平方反比关系。此后不久，又在一篇关于物体在均匀介质中的运动的论文中定义了质量概念，并探讨了引力与质量的关系。这些将牛顿引向了万有引力定律的发现。 牛顿设想了从高山上平抛一个铅球的理想实验，他认为当发射速度足够大时，铅球将可能绕地球运动而不再落回地面，指出月球也可以由于重力或者其他力的作用使其偏离直线形成围绕地球的运转。牛顿通过一个靠近地面的“小月球”的运动的思想实验，论证了“使月球保持在它轨道上的力就是我们通常称的为‘重力’的那个力。” 接着，牛顿根据向心力公式和开普勒三定律推导了平方反比关系。牛顿证明，由面积速度定律可以得出物体受中心力的作用，由轨道定律可以得出物体这个中心力是吸引力，由周期定律可以得出这个吸引力与半径的平方成反比。并且通过同磁力的类比，得出“这些指向物体的力应与这些物体的性
“万有引力定律”的典型例题 例5 【例1】假如一个作圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍作圆周运动，则 [ ] A．根据公式v=ωr，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍 D．根据上述选答B和C中给出的公式，可知卫星运动的线速度将 【分析】人造地球卫星绕地球作匀速圆周运动时，由地球对它的引力作向心力，即 卫星运动的线速度
当卫星的轨道半径增大为原来的2倍时，由于角速度会发生变化， 错，D正确． 同理，当卫星的轨道半径增大为原来的2倍时，由于线速度的变化，卫星所需的向心力不是减为原来的1/2，而是减小到原来的1/4．B错，C正确． 【答】C、D． 【说明】物体作匀速圆周运动时，线速度、角速度、向心加速度、向心力和轨道半径间有一定的牵制关系．例如，只有当ω不变时，线速度才与半径成正比；同样，当线速度不变时，同一物体的向心力才与半径成反比．使用中不能脱离条件． 研究卫星的运动时，最根本的是抓住引力等于向心力这一关系． 【例2】估算天体的质量 【解】把卫星（或行星）绕中心天体的运动看成是匀速圆周运动，由中心天体对卫星（或行星）的引力作为它绕中心天体的向心力．根据 得 因此，只需测出卫星（或行星）的运动半径r和周期T，即可算出中心天体的质量M．
【例3】登月飞行器关闭发动机后在离月球表面112km的空中沿圆形轨道绕月球飞行，周期是120.5min．已知月球半径是1740km，根据这些数据计算月球的平均密度．（G=6.67×10-11Nm2／kg2） 【分析】要计算月球的平均密度，首先应求出质量M．飞行器绕月球做匀速圆周运动的向心力是由月球对它的万有引力提供的． 【解】根据牛顿第二定律有 从上式中消去飞行器质量m后可解得 根据密度公式有 【例4】如图1所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中， 连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？ 【分析】把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可得解．
知识点一 万有引力应用 两条线索 (1)万有引力=向心力 (2)重力=向心力 G 2R Mm = mg ?GM=gR 2 (黄金代换式) 1、（中心天体质量密度）一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为0v 假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N ，已知引力常量为G,则这颗行星的质量为 A ． GN mv 2 B. GN mv 4 C ． Gm Nv 2 D. Gm Nv 4 【解析】行星对卫星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，有R v m R 22m GM '= '① 行星对处于其表面物体的万有引力等于物体重力有， mg R =2 GMm ② 根据题意有N=mg ③,解以上三式可得GN mv 4 M =，选项B 正确。 2、（多天体比较）假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d 。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 A ．R d - 1 B ．R d +1 C ．2)(R d R - D ．2)( d R R - 【答案】A 【解析】在地面上质量为m 的物体根据万有引力定律有:mg R Mm G =2 ，从而得R G R R G g πρπρ34342 3 ??=??=。根据题意，球壳对其内部物体的引力为零，则矿井底部的物体m ′只受到其以下球体对它的万有引力同理有 )(34) (2 d R G d R M G g -=-'='πρ，式中3 )(34d R M -='πρ。两式相除化简R d R d R g g -=-='1。答案A 。 3、（多天体比较）火星探测项目我过继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行周期为T ，神州飞船在地球表面附近圆形轨道运行周期为2T ，火星质量与地球质量之比为p ，火星半径与地球半径之比为q ，则T 、2T 之比为 2222222 24[8]2[9]4[10][11][12]Mm v G m m r m r r r T v mgr m m r m r r T πωπω======g g
万有引力定律的发现 万有引力定律发现是人类认识史上最重大的事件之一。在这一发现过程中，牛顿对引力平方反比定律的发现，即所谓“开普勒命题”的证明，起到了关键性作用，它标志着牛顿成熟地掌握了动力学原理是发现万有引力定律的必要前提。牛顿在惠更斯1673年发表离心力定律之前，结合开普勒周期定律，得到了圆轨道上的平方反比关系；胡克与牛顿在1679年底至1680年初之间的通信，诱发了牛顿首次理解开普勒面积定律的物理意义，并应用几何图形法来解决开普勒命题。也就是说，牛顿是在1680年才发现我们现在所理解意义上的引力平方反比定律。 一、圆轨道上平方反比关系的发现 牛顿对动力学的研究是从研究圆周运动问题开始的；牛顿借助于他有关碰撞问题的研究成果，卓有成效地从动力学角度来量化处理圆周运动中力与“运动的改变”之间的关系，并利用等价性将直线运动的分析结论推广到圆周运动和椭圆运动，为其有关力学的进一步研究打下了坚实的基础。同时期的惠更斯也注意到圆周运动问题，并从运动学角度对它进行了较为深入的研究；就离心力定律的发现而言，惠更斯走在牛顿的前面。 牛顿是在 1665或 1666年写的“仿羊皮手稿”（the Velluo Manuscript ）中提出“（l/2）R 公式”：“一个在直线上从静止开始运动的物体，其所受的力等于作用在沿半径为R 的圆周、以速度V 运动的同等物体的力；则在圆周上运动的物体通过距离R 的时间内，直线上运动的物体将行进（1/2）R 距离。”根据牛顿的手稿，我们可以得到 上述公式的推论过程：首先，牛顿给出直线运动、圆周运动状态的初 始条件，即同等的时间、物体和力；其次，牛顿依据已认识到的两种 运动（量）之间的等价性，推论出：直线上从静止开始运动的物体， 在时间R/V 内获得的运动量为mV 、末速度为 V ；最后，牛顿/得到直 线上由静止开始运动的物体，在时间R/V 内经过的距离为：［（1/2） V ］·（R/V ）=（1/2）R 。 “（1/2）R 公式”的提出，表明牛顿承袭伽利略等人所坚持的、 力与距离之间存在对应关系的传统，并试图用精确的数值关系来表征 这种对应关系。其另一点是，牛顿合理地将伽利略重力作用下的t 2定 律推广到任意定常力作用的情形。这两点，是牛顿发现圆轨道上平方 反比关系的必要条件。牛顿写于1669年前的《论圆周运动》（On Circular Motion ）手稿，使上述的两点得以具体实现。他在此引入又 一种全新的处理圆周运动的方法——“偏离量方法”（the Derivative Method ），即：“物体在由A 到D 作圆周运动的过程中，退离中心的 意向力大小是这样的：即在物体通过AD （假定它很小）的时间内，该力将使物体偏离圆周一段距离 DB （见图1）……现在，如果这个意向力象重力一样地在一条直线上作用，它将使物体通过的距离与时间的平方成比例”。 这样，牛顿在意向力和距离之间建立了对应关系，并通过推广伽利略重力作用下的t 2定律，确定了距离与时间平方之间的比例关系。这一比例关系在《原理》中“上升”为第一卷第一节的“引理X ”，它构成了牛顿应用“线性动力学比”方法证明开普勒命题的数学前提。可以认为，牛顿至此才找到处理圆周运动问题的数值计算方法。牛顿在该手稿的第一部分，应用相似三角形的比例关系和近似的方法，得出下述重要的结论：意向力在周期T 内使物体偏离的距离DB ＝2π2R 。在这之后；牛顿给出了物体受“由于地球的周日运动产生
万有引力定律及其应用 教学目标： 1．掌握万有引力定律的内容并能够应用万有引力定律解决天体、卫星的运动问题 2．掌握宇宙速度的概念 3．掌握用万有引力定律和牛顿运动定律解决卫星运动问题的基本方法和基本技能 教学重点：万有引力定律的应用 教学难点：宇宙速度、人造卫星的运动 教学方法：讲练结合，计算机辅助教学 教学过程： 一、万有引力定律：（1687年） 适用于两个质点或均匀球体；r 为两质点或球心间的距离；G 为万有引力恒量（1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出）2211/1067.6kg m N G ??=- 二、万有引力定律的应用 1．解题的相关知识： （1）在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：一是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即222r v m r Mm G =＝r T m 22 4πr m 2ω=；二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G 2R mM ＝mg 从而得出GM ＝R 2g 。 （2）圆周运动的有关公式：ω＝T π2，v=ωr 。 讨论：1）由222r v m r Mm G =可得：r GM v = r 越大，v 越小。 2）由r m r Mm G 22ω=可得：3r GM =ω r 越大，ω越小。 3）由r T m r Mm G 222??? ??=π可得：GM r T 32π= r 越大，T 越大。
4）由向ma r Mm G =2可得：2 r GM a =向 r 越大，a 向越小。 点评：需要说明的是，万有引力定律中两个物体的距离，对于相距很远因而可以看作质点的物体就是指两质点的距离；对于未特别说明的天体，都可认为是均匀球体，则指的是两个球心的距离。人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。 2．常见题型 万有引力定律的应用主要涉及几个方面： （1）测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力） 由r T m r Mm G 222?? ? ??=π 得2324GT r M π= 又ρπ?=33 4R M 得3233R GT r πρ= 【例1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T =30 1s 。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G =6.67?1011-m 3/kg.s 2 ) 解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。 设中子星的密度为ρ，质量为M ，半径为R ，自转角速度为ω，位于赤道处的小物块质量为m ，则有 R m R GMm 22ω= T πω2= ρπ33 4R M = 由以上各式得23GT π ρ= ，代入数据解得：314/1027.1m kg ?=ρ。 点评：在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分析求解是应用万有引力定律解题惯用的一种方法。 （2）行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：（重力近似等于万有引力） 表面重力加速度：2002R GM g mg R Mm G =∴= 轨道重力加速度：()()22h R GM g mg h R GMm h h +=∴=+