必修1 基本初等函数知识点整理
一、指数与指数幂的运算
（1）根式的概念
①如果,,,1
n
x a a R x R n
=∈∈>，且n N
+
∈，那么x叫做a的n次方根．
当n是奇数时，_______
=
x
当n是偶数时，当_______
,0=
>x
a；当=
a0，_______
=
x；当0
<
a，_______
=
x．_____，这里n叫做_____，a叫做_______．当n为奇数时，a为_____；当n为偶数时，__
a
③根式的性质：n a
=；当n a
=；当n为偶数时，
(0)
||
(0)
a a
a
a a
≥
?
==?
-<
?
．（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,
m
n
a a m n N
+
=>∈且1)
n>．0的正分数指数幂等于________．②正数的负分数指数幂的意义是：
1
()0,,,
m m
n n
a a m n N
a
-
+
==>∈．0的负分数指数幂__________．（3）分数指数幂的运算性质①__________
=
?s
r a
a②__________
=
s
r
a
a
③__________
)
(=
s
r
a
练习：1.下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（）
(A)
1
2
()(0)
x x
=->
1
3(0)
y y
=< (C)
3
40)
x x
-
=> (D)
1
30)
x x
-
=≠
2.已知
11
223
x x-
+=，求
22
33
22
2
3
x x
x x
-
-
+-
+-
的值；
二、指数函数及其性质
练习：
1.设0x >，且1x
x
a b <<（0a >，0b >），则a 与b 的大小关系是 （ ）
（A ）1b a << （B ）1a b << （C ）1b a << （D ）1a b << 2.函数x
e
x f -=
11
)(的定义域是
3.如图为指数函数x
x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则d c b a ,,,与1的大小关系为 （A ）d c b a <<<<1 （B ）c d a b <<<<1
（C ）d c b a <<<<1 （D ）c d b a <<<<1 4.若函数m y x +=+-1
2
的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是 （ ） （A ）2-≤m （B ）2-≥m （C ）1-≤m （D ）1-≥m
5. 已知f (x)＝
2
x
x
e e -+且x ∈[0, ＋∞ ）
(1) 判断f (x)的奇偶性; (2) 判断f (x)的单调性，并用定义证明
三、对数与对数运算
（1）对数的定义：若(0,1)x
a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作______=x ，
其中a 叫做____，N 叫做____
(2)几个重要的对数恒等式: log 10a = ，log 1a a = ，log b
a a
b =．
(3)常用对数: (以_____为底),记作：_________; 自然对数：(以_____为底), 记作：_________． (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么
①________________)(log =MN a ②________________)(log =N M
a ③log log ()n a
a n M M n R =∈ ④log a N
a
N =
⑤log log (0,)b n
a a n
M M b n R b
=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a
b N N b b a =>≠且 练习：1.________,2log 6log 3
1
log .2________,32log 63564==??=x x 则若
3.设,518,9log 18==b a ，求45log 36.
4.已知35a b
c ==，且112a b
+=，求c 的值
5.求方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解
6. 求函数22
(log )(log )3
4
x x y =
在区间8]上的最值
四、对数函数及其性质
1.函数y =
（ ）
A [1,)+∞
B 2
3(,)+∞ C 2
3[,1] D 2
3(,1]
2.若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 ( ) (A)a=2,b=2 (B)a= 2 ,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a= 2 ,b= 2
3.已知7.01.17.01.1,8.0log ,
8.0log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）
（A ）c b a <<
（B ）c a b << （C ）
b a
c <<
（D ）a c
b <<
4.已知函数f （x ）=2log (0)3(0)
x x x x >≤???，则f ［f （1
4）］的值是（ ）
A ．9
B ．1
9
C ．－9
D ．－1
9
5.函数y=|log 2x|的图象是（ ）
6.如果log 5log 50a b >>，那么a 、b 间的关系是（ ）
A 01a b <<<
B 1a b <<
C 01b a <<<
D 1b a <<
7．若0＜a ＜
1，f(x)＝|log a
x|，则下列各式中成立的是（ ） A ．f(2)＞f(1
3)＞f(
14
) B ．f(
14
)＞f(2)＞f(13
) C ．f(13
)＞f(2)＞f(
14
) D ．f(
14
)＞f(1
3
)＞f(2)
8.已知a>b ，函数f(x)＝(x －a)(x －b)的图象如图所示，则函数g(x)＝log a (x ＋b)的图象可能为( )
9．已知：()lg()x
x
f x a b =-（a ＞1＞b ＞0）．
（1）求)(x f 的定义域（2）判断)(x f 的单调性（3）若)(x f 在（1，＋∞）恒为正，比较a-b 与1的大小．
五、幂函数
（1）幂函数的定义：一般地，函数________________叫做幂函数，其中x 为_________，α是___________． （2）常见幂函数的图象（在同一坐标系中画出下列函数的图像）
2
3
2322
11
--======x y x
y x y x y x
y x
y
（3）幂函数的性质
①图象分布：在第______象限都有图像，在第 ____象限无图象． ②过定点：_____________．
③单调性：如果0α>，在[0,)+∞上为___函数如果0α<，则在(0,)+∞上为____函数，并且无限接近_____ ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为__________函数，当α为偶数时，幂函数为_______函数．
当q
p
α=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈）， 若p 为奇数q 为奇数时，则q
p y x =是_______函数，
若p 为奇数q 为偶数时，则q p y x =是_______函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q p
y x =是_______函数． 练习：
1．函数y ＝（1－2x ）2
1－
的定义域是_________ 2.幂函数的图象过点(2,
14
), 则它的单调递增区间是
3.函数4
3
-=x
y 在区间上 是减函数
4．下列命题中正确的是（ ）
A ．当0α=时，函数y x α
=的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点 C ．幂函数的y x α
= 图象不可能在第四象限内 D ．若幂函数y x α
=为奇函数，则在定义域内是增函数 六、函数的零点：
对于函数y=f(x)，我们把使___________的实数x 叫做函数y=f(x)的零点，函数的零点是一个______ 零点的存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_____________，
那么函数y=f(x)在区间（a,b ）内有零点，即存在c ∈ (a ，b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根.
练习：
1.已知函数f(x)＝?
????2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x>1，则函数f(x)的零点为( ) A.12，0 B.－2，0 C.12 D.0
2.在下列区间中，函数f(x)＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )
A ．(－14，0)
B ．(0，14)
C ．(14，12)
D ．(12，3
4)
3.函数f(x)＝(1
2
)x －sinx 在区间[0,2π]上的零点个数为________．
4.若函数f(x)＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下表
那么方程x 3＋A.1.5 B.1.4 C.1.3 D.1.2
七、一元二次方程的实根分布问题
一元二次方程的根，其实质就是其相应二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此，可以借助于二次函数及其图象，利用数形结合的方法来研究一元二次方程的实根分布问题，
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的实根分布
1.已知方程x 2+(m –3)x+m=0的两个根均小于1，求实数m 的取值范围。
2.已知方程()2
210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围 3.
关于x 的方程2kx 2-2x-3k-2=0的二根，一个小于1，另一个大于1，则求实数k 的取值范围。
3.若方程x 2–2mx+m –1=0在区间(–2，4)上有两根，求实数m 的取值范围。
七、函数模型
1．某物体一天中的温度T 是时间t 的函数: T(t)=t 3
-3t+60,时间单位是小时,温度单位是C ?,当t=0表示中午12:00,其后t 值取为正,则上午8时的温度是（ ） A ．8 C ? B ．112C ? C ．58 C ? D ．18C ? 2.某产品的总成本y （万元）与产量x （台）之间的函数关系式是y=3000+20x －0.1x 2
（0 台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（ ） A ．100台 B ．120台 C ．150台 D ．180台 3.某商场购进一批单价为6元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价格。经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y （件）是价格x （元/件）的一次函数。试求y 与x 之间的关系式 ． 在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为 时，才能时每月获得最大利润． 每月的最大利润是 ． 4.某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线． （1）写出服药后y 与t 之间的函数关系式； （2）据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间（共4次）效果最佳． 5.市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析，发现有如下规律:该商品的价格每上 涨 x%(x＞0)，销售数量就减少kx% (其中k为正常数)．目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b个． (1)当k=1 2 时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大． (2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围． 6.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为l万件，1.2万件，1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据．用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数x y ab c =+ (其中a，b，c为常数)．已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好．并说明理由．
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