平面向量与三角函数综合练习 题型一三角函数平移与向量平移的综合 三角函数与平面向量中都涉及到平移问题,虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同,但它们实质是 一样的,它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中?解答平移问题主要注意两个方面的确定:(1)平移的方向;(2)平移的单位?这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标 例1 把函数y = sin2x的图象按向量a = (- , —3)平移后,得到函数y = Asin( w x+ )(A > 0, w> 0 , 6 || = p的图象,贝U 和B的值依次为 题型二三角函数与平面向量平行(共线)的综合 此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手,将向量问题转化为三角问题,然后再利用三角函数 的相关知识再对三角式进行化简,或结合三角函数的图象与民性质进行求解?此类试题综合性相对较强,有利于考查学生的基础掌握情况,因此在高考中常有考查 例2 已知A、B、C为三个锐角,且 A + B + C=n若向量8 = (2 —2sinA , cosA + si nA)与向量6 = (cosA —si nA , 1 + si nA)是共线向量. (I)求角A; 一 C —3B (n)求函数y = 2sin 2B + cos —;—的最大值? 题型三三角函数与平面向量垂直的综合 此题型在高考中是一个热点问题,解答时与题型二的解法差不多,也是首先利用向量垂直的充要条件 将向量问题转化为三角问题,再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.
已知向量 "a = (3sin a cos a ), "b = (2sin a, 5sin a — 4cos a , (I )求tan a 的值; a (n )求 cos ( +)的值. 2 3 题型四三角函数与平面向量的模的综合 此类题型主要是利用向量模的性质 |"|2 ="2,如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法: (1) 先进行向量运算,再代入向量的坐标进行求解; (2)先将向量的坐标代入向量的坐标,再利用向量的坐标 运算进行求解? 5 v 3< 0 v av ,且 sin 3=— ,求 sin a 的值. 2 13 题型五 三角函数与平面向量数量积的综合 此类题型主要表现为两种综合方式: (1)三角函数与向量的积直接联系; (2)利用三角函数与向量的夹 角交汇,达到与数量积的综合 ?解答时也主要是利用向量首先进行转化,再利用三角函数知识求解 ? 例 5 设函数 f(x)=""其中向量"=(m , cosx) , " = (1 + sinx , 1), x € R ,且 f( ) = 2. (I)求 实数m 的值;(n )求函数f (x )的最小值. 六、解斜三角形与向量的综合 在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的,说明正弦定理、余弦定理与向量 有着密切的联系?解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标, 要求 根据向量的关系解答相关的问题 ? b A A b 例6 已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角,其对边分别为 a 、 b 、 c ,若m = (— cos ;, sin'), n = 妖(牛,2 n ,且b 已知向量 ""=(cos a ,sin a ), " = (cos B,sin 3, a — 3)的值;(n )若一- l " —= .(I )求 cos(
实用标准
—tanC。
例 1 ? (1 )在 ABC 中,已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800,所以 B 640,或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3,求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中,已知 a 20 cm , b 28 cm , 40°,解三角形(角度精确到 10,边长精确 到 1cm ) o 解:(1 )根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ; 根据正弦定理,b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm); 根据正弦定理,c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 (2 )根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ,解三角形; ①当 B 640 时, C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中, sin A cos A
si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二:由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6
专题二 三角函数与平面向量的综合应用 (时间:45分钟 满分:100分) 一、选择题(每小题7分,共35分) 1.已知sin(2π-α)=45,α∈????3π2,2π,则sin α+cos αsin α-cos α 等于( ) A.17 B .-17 C .-7 D .7 2.如图,D 、 E 、 F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点,则( ) A .+BE →+CF →=0 B. -CF →+DF → =0 C .+CE →-CF →=0 D. -BE →-FC →=0 3.已知向量a =(2,sin x ),b =(cos 2x,2cos x ),则函数f(x)=a ·b 的最小正周期是( ) A.π2 B .π C .2π D .4π 4.已知a ,b ,c 为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,向量m =(3,-1),n =(cos A , sin A ).若m ⊥n ,且a cos B +b cos A =c sin C ,则角A ,B 的大小分别为( ) A.π6,π3 B.2π3,π6 C.π3,π6 D .π3,π3 5.已知向量OB →=(2,0),向量=(2,2),向量CA →=(2cos α,2sin α),则向量OA →与向 量OB →的夹角的取值范围是( ) A.????0,π4 B.??? ?π4,512π C.????512π,π2 D.??? ?π12,512π 二、填空题(每小题6分,共24分) 6.在直角坐标系xOy 中,已知点A (-1,2),B (2cos x ,-2cos 2x ),C (cos x,1),其中x ∈[0,π],若⊥,则x 的值为______. 7.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AD =1,BC =2,AB =3,P 是BC 上的一个动点,当?PD PA 取得最小值时,tan ∠DP A 的值为 ________.
高中数学解三角形和平面向量试题 一、选择题: 1.在△ABC 中,若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于( B ) A .60o B .60o 或 120o C .30o D .30o 或150o 2.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若c =2,b =6,B =120o ,则a 等于( D ) A .6 B .2 C .3 D .2 3.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ,A=45°,2=b 则sinB=( A ) A . 1 2 B .22 C . 3 2 D .1 4.ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ,若5 ,22 a b A B ==,则cos B =( B ) A . 53 B .54 C .55 D .5 6 5.在△ABC 中,若)())((c b b c a c a +=-+,则A ∠=( C ) A .0 90 B .0 60 C .0 120 D .0 150 6.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为(D ) A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中, b a B A =--cos 1cos 1,则△AB C 一定是( A ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,若角A 、B 、C 依次成等差数列,且a=1, ABC S b ?=则,3等于( C ) A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33,BC=4,CA=3则角C 大小为( B ) A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( A ) A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11.已知A 、B 两地的距离为10km ,B 、C 两地的距离为20km ,现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地 的距离为( D )。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12.已知M 是△ABC 的BC 边上的中点,若向量AB =a ,AC = b ,则向量AM 等于( C ) A . 21(a -b ) B .21(b -a ) C .21( a +b ) D .1 2 -(a +b ) 13.若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线,且 BC AB λ=则λ等于( B ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14.已知平面向量),2(),2,1(m -==,且∥,则32+=( C ) A .(-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10) 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 ( C ) A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16.(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( B ) A .31-或 B.13-或 C .3 D . -1 17. 若|2|= ,2||= 且(-)⊥ ,则与的夹角是 ( B ) (A ) 6π (B )4π (C )3π (D )π12 5 183 =b , a 在 b 方向上的投影是2 3 ,则 b a ?是( B ) A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19.若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ,且c a ⊥r r ,则向量a r 与b r 的夹角为( C ) (A )30° (B )60° (C )120° (D )150°
向量与三角函数综合试题 1.已知向量a 、b 满足b ·(a-b)=0,且|a|=2|b|,则向量a +2b 与a 的夹角为 ( D ) A.3π B.3π2 C. 2π D.6π 2.已知向量),(n m =,)sin ,(cos θθ=,其中R n m ∈θ,,.若||4||=,则当2 λλ或2-<λ B .2>λ或2-<λ C .22< <-λ D .22<<-λ 3.已知O 为原点,点P (x ,y )在单位圆x 2 +y 2 =1上,点Q (2cos θ,2sin θ),且PQ =(3 4, -3 2),则·的值是 ( A ) A .18 25 B .9 25 C .2 D .9 16 4.R t t ∈+===,),20cos ,20(sin ,)25sin ,25(cos 0 0,则||的最小值是B A. 2 B. 22 C. 1 D. 2 1 5.如图,△ABC 中,AB=4,AC=4,∠BAC=60°,延长CB 到D ,使||||BA BD =u u u r u u u r ,当E 点在线段AD 上移动时,若,AE AB AC λμλμ=+-u u u r u u u r u u u r 则的最大值是( C ) A .1 B 3 C .3 D .236.已知向量(2,0)OB =u u u v ,向量(2,2)OC =u u u v ,向量22)CA αα=u u u v ,则向量OA u u u v 与向量OB uuu v 的夹角的取值围是( D ) A .[0, ]4π B .5[,]412ππ C .5[,]122ππ D .5[,]1212 ππ 7.已知向量(1,1),(1,1),(22)a b c θθ==-=r r r ,实数,m n 满足ma nb c +=r r r ,则 22(1)(1)m n -+-的最小值为( D ) A 21 B .1 C 2 D .322- 8.如图,BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点,且2BF FA =u u u r u u u r , 若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径,则FD FE u u u r u u u r g 的值是( B ) B .)