初三数学讲义
存在性问题
教学过程：
一、教学衔接（课前环节）
1、回收上次课的教案，了解家长的反馈意见；
2、检查学生的作业，及时指点
3、捕捉学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容
二、知识点解析
存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。
一、函数中的存在性问题（相似）
1.（2011枣庄10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，把抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2()y x h k =-+.所得抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D.
（1）写出h k 、的值；
（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；
（3）在线段AC 上是否存在点M ，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.
二、函数中的存在性问题（面积）
2. 如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线k y x
=相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan∠AOX＝4．过点A 作直线AC∥x 轴，交抛物线于另一点C ．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC 的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．
三、函数中的存在性问题（四边形）
3． 如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-
21，0)、 B (2，0)两点，且与y 轴交于点C ； (1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；
(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四 点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；
(3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点
为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P
巩固练习，及时反馈
1.如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C ．
（1）求抛物线的解析式； （2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；
（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PMx 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P 、M 、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
y
A B
C
O x
2.如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=k x+3。
(1) 设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式。
(2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；
(3)是否存在使△AMN的面积等于32
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的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。
3．已知直角坐标系中有一点A（－4，3），点B在x轴上，△AOB是等腰三角形．
(1）求满足条件的所有点B的坐标；
(2）求过O、A、B三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）；
(3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积．
4、在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数
23
=y（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始
终与y轴相切，设切点为A．
（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：
①求出点A，B，C的坐标．
②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的1
2
．若存在，试求出所
有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．
5．如图所示，抛物线与x 轴交于点()()1030A B -，、，两点，
与y 轴交于点()03.C -，以AB 为直径作M ⊙，过抛物线上一点P 作M ⊙的切线PD ，切点为D ，并与M ⊙的切线AE 相交于点E ，连结DM 并延长交
M ⊙于点N ，
连结.AN AD 、 (1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；
(2）若四边形EAMD 的面积为43，求直线PD 的函数关系式；
(3）抛物线上是否存在点P ，使得四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
1、【答案】解：（1）∵由平移的性质知，2()y x h k =-+的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），
∴1
4h k =-=-，。 （2）由（1）得()2=14y x +-.
当=0y 时，()2140x +-=． 解之，得1231x x =-=， 。
∴A(30)B 10- ，，(，).
又当0x =时，()()22=140143y x +-=+-=-，
∴C 点坐标为（0，－3）。
又抛物线顶点坐标D （－1，－4），
作抛物线的对称轴1x =-交x 轴于点E ，DF⊥ y 轴于点F 。易知
在Rt△AED 中，AD 2=22+42=20，在Rt△AOC 中，AC 2=32+32=18，
在Rt△CFD 中，CD 2=12+12=2， ∴AC 2＋ CD 2＝AD 2。∴△ACD 是直角三角形。
（3）存在．作OM ∥BC 交AC 于M ，Ｍ点即为所求点。
由（2）知，△AOC 为等腰直角三角形，∠BAC＝450，AC 1832==。 由△AOM∽ △ABC，得AO AM AB AC =。即39,AM 24432
== 。 过M 点作MG⊥AB 于点G ，则AG=MG=29281942164
?? ???==， OG=AO －AG=3－
9344
=。又点M 在第三象限，所以M （－34，－94）。 2、【答案】解：（1）把点B （－2，－2）的坐标代入k y x =得，22
k -=-，∴k ＝4。 ∴双曲线的解析式为：4y x =。 设A 点的坐标为（m ，n ）．∵A 点在双曲线上，∴mn＝4。
又∵tan∠AOX＝4，∴m n
＝4，即m ＝4n 。∴n 2＝1，∴n＝±1。 ∵A 点在第一象限，∴n＝1，m ＝4。∴A 点的坐标为（1，4）。
把A 、B 点的坐标代入2y ax bx =+得，4422a b a b +=??-=-?
，解得，a ＝1，b ＝3。 ∴抛物线的解析式为：23y x x =+。
（2）∵AC∥x 轴，∴点C 的纵坐标y ＝4，
专题：数列中的存在性问题 一、单存在性变量 解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为n ）的方程，然后n 的系数为0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。 例1、已知数列{ n a }的前n 项和为 n S =235n n +，在数列{n b }中，1b =8，164n n b b +-=0，问是 否存在常数c 使得对任意n ， log n c n a b +恒为常数M ，若存在求出常数c 和M ,若不存在说明理由. 解析：假设存在常数c 使得对任意n ， log n c n a b +恒为常数M ， ∵n S =235n n +， ∴当n =1时，则 1a = 1 S =8， 当n ≥2时，n a =1n n S S --=2235[3(1)5(1)]n n n n +--+-=62n +， 当n =1适合， ∴ n a =62 n +， 又∵164n n b b +-=0， ∴1n n b b +=164， ∴数列{n b }是首项为8，公比为1 64的等比数列， ∴n b = 118( )64n -=962n -， 则 log n c n a b += 9662log 2n c n -++= 62(96)log 2a n n ++-= 6(1log 2)29log 2 a a n -++， 又∵对任意n ，log n c n a b +恒为常数M ， ∴ 6(1log 2) a -=0，解得c =2， ∴M = 29log 2 a +=11， ∴存在常数c =2使得对任意n ， log n c n a b +恒为常数M =11. 二、双存在型变量 解题思路：先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进
y x O 二次函数中的动点问题（二） 平行四边形的存在性问题 一、技巧提炼 1、二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像和性质 a ＞0 a ＜0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当x ＝ 时，y 有最 值是 当x ＝ 时，y 有最 值是 增减 性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 2、平行四边形模型探究 如图1，点A ()11,x y 、B ()22,x y 、C ()33,x y 是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D 的坐标。 A B C x y 图1 图2 如图2，过A 、B 、C 分别作BC 、AC 、AB 的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。
由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。 3、平面直角坐标系中直线和直线l2: 当l1∥l2时k1= k2;当l1⊥l2时k1·k2= -1 4、二次函数中平行四边形的存在性问题： 解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算 二、精讲精练 1、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C 点，且OA：OB：OC=1：3：3，△ABC的面积为6，（如图1） （1）求抛物线的解析式； （2）坐标平面内是否存在点M，使得以点M、A、B、C为顶点四边形是平行四边形若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P，△BCP面积最大如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
类型5 探究角度数量关系的存在性问题 1．(2015·南宁)在平面直角坐标系中，已知A ，B 是抛物线y ＝ax 2(a>0)上两个不同的点，其中A 在第二象限，B 在第一象限． (1)如图1所示，当直线AB 与x 轴平行，∠AOB ＝90°，且AB ＝2时，求此抛物线的解析式和A ，B 两点的横坐标的乘积； (2)如图2所示，在(1)所求得的抛物线上，当直线AB 与x 轴不平行，∠AOB 仍为90°时，A ，B 两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由； (3)在(2)的条件下，如图3，若直线y ＝－2x －2分别交直线AB ，y 轴于点P ，C ，直线AB 交y 轴于点D ，且∠BPC＝∠OCP，求点P 的坐标． 解：(1)设直线AB 与y 轴交于点E ， ∵AB 与x 轴平行，根据抛物线的对称性有AE ＝BE ＝1. ∵∠AOB ＝90°，∴OE ＝12 AB ＝1. ∴A(－1，1)，B(1，1)． 把x ＝1，y ＝1代入y ＝ax 2，得a ＝1， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2，A ，B 两点的横坐标的乘积为x A ·x B ＝－1. (2)x A ·x B ＝－1为常数，过点A 作A M⊥x 轴于点M ，BN ⊥x 轴于点N ， ∴∠AMO ＝∠BNO＝90°. ∴∠MAO ＋∠AOM＝∠AOM＋∠BON＝90°. ∴∠MAO ＝∠BON.∴△AMO∽△ONB. ∴AM ON ＝OM BN ，即OM·ON＝AM·BN. 设A(x A ，y A )，B(x B ，y B )， ∵A(x A ，y A )，B(x B ，y B )在y ＝x 2图象上， ∴y A ＝x 2A ，y B ＝x 2B .∴－x A ·x B ＝y A ·y B ＝x 2A ·x 2B . ∴x A ·x B ＝－1为常数． (3)设A(m ，m 2)，B(n ，n 2)，由(2)可知mn ＝－1. 设直线AB 的解析式为y ＝k x ＋b ，联立? ????y ＝kx ＋b ，y ＝x 2，得x 2－kx －b ＝0. ∵m ，n 是方程的两个根，∴mn ＝－b.∴b＝1. ∵直线AB 与y 轴交于点D ，则OD ＝1. 易知C(0，－2)，OC ＝2，∴CD ＝OC ＋OD ＝3. ∵∠BPC ＝∠OCP，∴PD ＝CD ＝3. 设P(a ，－2a －2)，过点P 作PG⊥y 轴于点G ，则PG ＝－a ，GD ＝OG －OD ＝－2a －3. 在Rt △PDG 中，由勾股定理得：PG 2＋GD 2＝PD 2， 即(－a)2＋(－2a －3)2＝32，整理得5a 2＋12a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝－125 . 当a ＝－125时，－2a －2＝145 ，
类型一 “x ?，使得()()f x g x >”与“x ?，使得()()f x g x >”的 (1)x ?，使得()()f x g x >，只需()()()min min 0h x f x g x =->????. (2)x ?，使得()()f x g x >，只需()()()max max 0h x f x g x =->????. 类型二 “若1122x D x D ?∈?∈，，，使得()()12f x g x ＝”与“1122x D x D ?∈?∈，，使 ()()12f x g x ＝”的辨析 (1) 1122x D x D ?∈?∈，，使得()()12f x g x ＝等价于函数()f x 在1D 上的值域A 与()g x 在2D 上的值域B 的交集不是空集，即A B ≠?，如图③.其等价转化的目标是两个函数有 相等的函数值． (2) 1122x D x D ?∈?∈，，使得()()12f x g x ＝等价于函数()f x 在1D 上的值域A 是()g x 在2D 上的值域B 的子集，即A B ?，如图④.其等价转化的目标是函数()y f x =的值域都在函数()y g x =的值域之中． 说明：图③，图④中的条形图表示函数在相应定义域上的值域在y 轴上的投影． 类型三()(),f x g x 是闭区间D 上的连续函数，“12,x x D ?∈，使得()()12f x g x >”与“12,x x D ?∈，使得()()12f x g x >”的辨析 (1) ()(),f x g x 是在闭区间D 上的连续函数且12,x x D ?∈，使得()()12f x g x >，等价于()()min max f x g x >.其等价转化的目标是函数()y f x =的任意一个函数值均大于函数 ()y g x =的任意一个函数值．如图⑤.
第1讲 角的存在性处理策略 知识必备 一、一线三等角 1.如图1-1-1，o 90=∠=∠=∠E D ACB 且0 45=∠CAB →CBE ACD ??≌，此为 “一线三直角”全等，又称“K 字型”全等; 图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3 图1-1-4 2.如图1-1-2，o 90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ??∽，此为“一线三直角” 相似，又称“K 字型”相似; 3.如图1-1-3，o 90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ??∽，此为更一般的“一线三等角”. 二、相似三角形的性质 相似三角形的对应边成比例，其比值称为相似比； 相似三角形的对应线段成比例. 三、正切的定义 如图1-1-4，在ABC Rt ?中，b a A =∠tan ，即A ∠的正切值等于A ∠的对边与A ∠的邻边之比；同理，a b B = ∠tan ，则1tan tan =∠?∠B A ，即互余两角的正切值互为倒数. 方法提炼 一、基本策略：联想构造 二、构造路线 方式(一)：构造“一线三等角” 1.45o 角→构等腰直角三角形→造“一线三直角”全等，如图1-2-1； 图1-2-1 2.30o 角→构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-2；
A 图1-2-2 3.tan α=k →构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-3； 4.“一线三等角”的应用分三重境界； 一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，如图1-2-4所示的“同侧型一线三等角”及图1-2-5所示的“异侧型一线三等角”； 二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题； 三重境：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图1-2-6及图1-2-7所示； 方式 （二）：构造“母子型相似” “角处理”，还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线，造成某水平边或竖直边对此角结构，然后在这条线上补出一个与此角相等的角，构造出“母子型相似 ”，其核心结构如图1-2-8所示. 方式（三）：整体旋转法（ *） DAC DEA →DA 2=DC ?DE →DG 2+AG 2=DC ?DE 定 定 定 定 定 定 定 定 A A A 图1-2-3 图1-2-4 图1-2-5 图1-2-6 图1-2-7 图1-2-8
动点问题和存在性问题小结训练 一、基础训练 1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为X=﹣．下列结论中， 正确的是（） A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论： ① b2-4ac>0；② 2a+b<0；③ 4a-2b+c=0；④ a：b：c= －1：2：3. 其中正确的是( ) (A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④ 3.已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式． 4.已知一个二次函数当x = 8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式． 5.已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式． 6.某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系． （1）试求y与x之间的函数关系式； （2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？ 7.如图，在平面直c bx ax y+ + =2角坐标系中，抛物线c bx ax y+ + =2经过 A（-2，-4），O（0，0），B(2,0)三点. (1)求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线对称轴上一点，求AM+OM的最小值． （3）在此抛物线上是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第二轮复习之函数图像上点的存在性问题 中的距离、面积与角度 中考说明：从07到13年我们发现各区模拟和中考中有很多考题通过距离来限制动点的位置．比如寻找等腰三角形的顶点等等． 一、线段定值问题： 初中知识涉及点到点的距离，点到线的距离，平行线的距离，距离问题可分为以下几类： ① 动点P 到定点O 的距离等于定长d ，其实就是作圆（如图1）． ② 动点P 到定直线l 的距离等于定长d ，其实就是作平行线（如图2）． ③ 动点P 到两定平行直线的距离倍差，其实是作平行线（图略）． ④ 动点到两相交直线的距离相等，其实就是作角平分线．（如图3） ⑤ 动点到三角形三边的距离相等，其实就是三角形的内切圆圆心和旁切圆圆心（如图4）． P d O 图1图2P 2 P 1 l d d 图3 角平分线 角平分线 角平分线 角平分线 图4 I 3I 2 I 1 I 二、线段最值问题： 题型一： 已知AB a =，AC b =，其中a b <，求BC 的最值．如图，以点A 为圆 心，线段AB 为半径作圆， A ⊙交直线AC 于点1B 、2B ，当点B 与点1B 重合时，BC 取到最大值为a b +；当点B 和点2B 重合时，BC 取到最小值为b a -． 点评：首尾相连线段求最值，其实就是旋转共线，不重则大，重叠则小． 题型二： 在直线l 上找一点P ，使得其到直线同侧两点A B 、的距离之和最小，如图所示．作点A （或B ）关于直线l 的对称点，再连接另一点与对称点，与l 的交点即为P 点． 题型三： 直线12l l 、交于O ，P 是两直线间的一点，在直线12l l 、上分别找一点 A B 、，使得PAB △的周长最短．如图所示，作P 点关于12l l 、的对称点12P P 、，连接12P P ，与12l l 、分别交于A B 、两点，即为所求． 题型四： 直线12l l 、交于O ，A B 、是两直线间的两点，从点A 出发，先到1l 上一 题型一：存在问题中的距离 B 1B 2 C B A A' B P A l O l 1l 2 Q P B' A'B A O B A P 2 P 1P l 2 l 1
2017年数学中考专题《存在性问题》 题型概述 【题型特征】存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高.存在性问题按定性可分为:肯定型和否定型.存在性问题在假设存在以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能要求较高，并具备较强的探索性.正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验. 【解题策略】不同的存在性问题解法不同.下面按照解法及设问方式的不同将存在性问题分为代数方面的存在性问题(如方程根是否存在、最值是否存在等)、点的存在性问题(如构成特殊图形的点是否存在)并举例分析. (1)代数方面的存在性问题的解法思路是:将问题看成求解题，进行求解，进而从有解或无解的条件，来判明数学对象是否存在，这是解决此类问题的主要方法. (2)点的存在性问题的解法思路是:假设存在→推理论证→得出结论.若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断;若导出矛盾，就做出不存在的判断. 真题精讲 类型一 代数方面的存在性问题 典例1 (2016·广东梅州)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2 y x bx c =++过,,A B C 三点，点A 的坐标是(3,0)，点C 的坐标是(0，－3)，动点P 在抛物线上. (1)b = ，c = ，点B 的坐标为 ;(直接填写结果) (2)是否存在点P ，使得ACP ?是以AC 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在，说明理由; (3)过动点P 作PE 垂直y 轴于点E ，交直线AC 于点D ,过点D 作x 轴的垂线.垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标. 【解析】二次函数的图象及其性质，三角形中位线定理，应用数学知识综合解决问题的能力. 【全解】(1)－2 －3 (－1,0) (2)存在. 第一种情况，当以C 为直角顶点时，过点C 作1CP AC ⊥,交抛物线于点1P .过点1P 作y 轴的垂线，垂足是M .如图(1)， ,90OA OC AOC =∠=?Q ， 45OCA OAC ∴∠=∠=?. 190ACP ∠=?Q , 11 904545MCP CPM ∴∠=?-?=?=∠. 1MC MP ∴=.
中考数学复习：二次函数角度的存在性问题 【例1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2 y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)A 、(4,0)B 两点，与y 轴交于点(0,2)C ； （1）求抛物线的表达式； （2）求证：CAO BCO ∠=∠； （3）若点P 是抛物线上的一点，且PCB ACB BCO ∠+∠=∠，求直线CP 的表达式． 【参考答案】（1）215222y x x = -+； （2）证明略；（3）4 23 y x =-+或2y =． 思路点拨 1．设求抛物线的交点式比较简便． 2．第（2）题求两个锐角的正切值相等，可以得到两个锐角相等． 3．第（3）题先把3个角的关系，转化为∠PCB ＝∠2，再按点P 与CB 的位置关系分两种情况讨论． 满分解答 （1）因为抛物线与x 轴交于A (1, 0)、B (4, 0)两点，所以y ＝a (x －1)(x －4)． 代入点C (0, 2)，得1 2a = ． 所以抛物线的表达式为1(1)(4)2y x x =--＝215 222x x -+． （2）如图2，tan ∠CAO ＝OC OA ＝2．如图3，tan ∠BCO ＝OB OC ＝4 2 ＝2，所以∠CAO ＝∠BCO ． 图2 图3 （3）如图2，图3，由于∠CAO ＝∠BCO ，根据等角的余角相等，得∠1＝∠2． 因为∠PCB ＋∠ACB ＝∠BCO ，所以∠PCB ＝∠BCO －∠ACB ＝∠1＝∠2． ∠PCB 存在两种情况： ①如图4，当点P 在CB 的右侧时，由∠PCB ＝＝∠2，得CP //x 轴．
此时直线CP 的解析式为y ＝2． ②如图5，当点P 在CB 的左侧时，设CP 与x 轴交于点D ． 由∠PCB ＝∠2，得DC ＝DB ． 设D (x , 0)，根据DC 2 ＝DB 2 ，列方程x 2 ＋22 ＝(4－x )2 ．解得32x =．所以D 3 (,0)2 ． 由C (0, 2)、D 3 (,0)2，得直线CP 的解析式为4 23 y x =- +． 图4 图5 图6 考点伸展 如果第（3）题的条件不变，求点P 的坐标． 第一种情形，如图4，当CP //x 轴时，点P 与点C 关于抛物线的对称轴5 2 x =对称，所以P (5, 2)． 第二种情形，如图6，设P 21 5 (,2)2 2 x x x - +． 作PE ⊥y 轴于E ，那么OD CO EP CE = ．所以23 22152(2)22 x x x =--+． 解得x ＝0，或73x =．所以P 710 (,)39 -． 【例2】已知在直角坐标系中，抛物线2 83y ax ax =-+(0)a <与y 轴交于点A ，顶点为D ，其对称轴 交x 轴于点B ，点P 在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧； （1）当 AB BD =时（如图），求抛物线的表达式； （2）在第（1）小题的条件下，当DP ∥AB 时，求点P 的坐标； （3）点G 在对称轴BD 上，且1 2 AGB ABD ∠= ∠，求△ABG 的面积． 【参考答案】（1）2138y x x =- ++； （2）1 (10,)2 ；（3）10或22． 思路点拨 1．抛物线的解析式中隐含了对称轴（点B ）和点A 的坐标，根据AB ＝BD 求出点D 的坐标，再代入解析式求待定系数a ．
函数中任意性和存在性问题探究 2011-12-22 高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究 一、相关结论： 结论1：1212min max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图一】 结论2：1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图二】 结论3：1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图三】 结论4：1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图四】 结论5：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ?∈?∈=?的值域和()g x 的值域交集不为空；【如图五】 【例题1】：已知两个函数2 3 2 ()816,()254,[3,3],f x x x k g x x x x x k R =+-=++∈-∈; (1) 若对[3,3]x ?∈-,都有()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (2) 若[3,3]x ?∈-,使得()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (3) 若对12,[3,3]x x ?∈-,都有12()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； 解：（1）设3 2 ()()()2312h x g x f x x x x k =-=--+,（1）中的问题可转化为：[3,3]x ∈-时，()0h x ≥恒成立，即min [()]0h x ≥。 '2()66126(2)(1)h x x x x x =--=-+； 当x 变化时，' (),()h x h x 的变化情况列表如下：
第1讲 角的存在性处理策略 知识必备 一、一线三等角 1.如图1-1-1，o 90=∠=∠=∠E D ACB 且045=∠CAB →CBE ACD ??≌，此为“一线三直角”全等，又称“K 字型”全等; 图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3 图1-1-4 2.如图1-1-2，o 90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ??∽，此为“一线三直角”相似，又称“K 字型”相似; 3.如图1-1-3，o 90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ??∽，此为更一般的“一线三等角”. 二、相似三角形的性质 相似三角形的对应边成比例，其比值称为相似比； 相似三角形的对应线段成比例. 三、正切的定义 如图1-1-4，在ABC Rt ?中，b a A =∠tan ，即A ∠的正切值等于A ∠的 对边与A ∠的邻边之比；同理，a b B =∠tan ，则1tan tan =∠?∠B A ，即互余两角的正切值互为倒数. 方法提炼 一、基本策略：联想构造 二、构造路线 方式(一)：构造“一线三等角” 1.45o 角→构等腰直角三角形→造“一线三直角”全等，如图1-2-1；
图1-2-1 2.30o 角→构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-2； 图1-2-2 3.tanα=k →构直角三角形→造“一线三直角”相似，如 图1-2-3； 4.“一线三等角”的应用分三重境界； 一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，如图1-2-4所示的“同侧型一线三等角”及图1-2-5所示的“异侧型一线三等角”； 二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题； 三重境：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图1-2-6及图1-2-7所示； 方式 （二）：构造“母子型相似” “角处理”，还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线，造成某水平边或竖直边对此角结构，然后在这条线上补出一个与此角相等的角，构造出“母子型相似”，其核心结构如图1-2-8所示. 方式（三）：整体旋转法（*） 前两种构造属静态构造方式，再介绍一种动态构造方式，即整体旋转法，其核心思想是“图形的旋转（运动）本质是图形上点旋转（运动）；反过来，点的旋转（运动）可以看成该点所在图形的旋转（运动）”. 下面以三个问题说明此法： 问题1 已知点A （3，4），将点A 绕原点O 顺时针方向旋转45o角，求其对应点A’的坐标. 简析 第一步 （“整体旋转”）：如图1-2-9，作AB ⊥y 轴于点B ，则AB =3，OB =4，点A 绕原点O 顺时针方向旋转45o得到点A ’，可看成Rt △OAB 绕原点O 顺时针方向旋转45o得到Rt △OA ’B ‘，则 图1-2-3 图1-2-4 图1-2-5 图1-2-6 图1-2-7 图1-2-8
函数中任意性和存在性问题探究 高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究 一、相关结论： 结论1：1212min max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图一】 结论2：1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图二】 结论3：1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图三】 结论4：1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图四】 结论5：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ?∈?∈=?的值域和()g x 的值域交集不为空；【如图五】 例题1：已知两个函数2 3 2 ()816,()254,[3,3],f x x x k g x x x x x k R =+-=++∈-∈; (1) 若对[3,3]x ?∈-,都有()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (2) 若[3,3]x ?∈-,使得()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (3) 若对12,[3,3]x x ?∈-,都有12()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； 解：（1）设3 2 ()()()2312h x g x f x x x x k =-=--+,（1）中的问题可转化为：[3,3]x ∈-时，()0h x ≥恒成立，即min [()]0h x ≥。 '2()66126(2)(1)h x x x x x =--=-+； 当x 变化时，' (),()h x h x 的变化情况列表如下： x -3 (-3,-1 ) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3 h '(x ) + 0 － 0 + h(x) k-45 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 k-9
平行四边形的存在性问题 专题攻略 解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算． 难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点． 如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况． 灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便． 针对训练 1．如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P．若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 解析、由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)＝－(x＋1)2＋4， 得A（－3，0），B（1，0），C（0，3），P（－1，4）． 如图，过△P AC的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的点M． ①因为AM1//PC，AM1＝PC，那么沿PC方向平移点A可以得到点M1． 因为点P(－1，4)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位可以与点C(0，3)重合，所以点A(－3，0)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位就得到点M1(－2，－1)． ②因为AM2//CP，AM2＝CP，那么沿CP方向平移点A可以得到点M2． 因为点C(0，3)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以与点P(－1，4)重合，所以点A(－3，0)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位就得到点M2(－4，1)． ③因为PM3//AC，PM3＝AC，那么沿AC方向平移点P可以得到点M3． 因为点A(－3，0)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位可以与点C(0，3)重合，所以点P(－1，4)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位就得到点M3(2，7)． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 解析．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)． ①如图1，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P关于AB 的中点（1，0）对称，所以点M的横坐标为2． 当x＝2时，y =－x2+2x＋3＝3．此时点M的坐标为(2，3)．
第一讲动点存在性问题 一．考情分析 二．知识回顾 1、题型分类 在中考中，存在性问题一般分为四类： 1.是否存在三角形（等腰三角形、直角三角形）； 2.是否存在四边形（平行四边形、直角梯形和等腰梯形）； 3.是否存在三角形与已知三角形相似或者全等； 4.是否存在三角形与已知三角形的面积之间有数量关系。 2、方法归纳 在解决动点存在性问题时，一般先假设其存在，得到方程，如果有解，则存在，反之，则不存在。而在列方程时，一般要用到特殊三角形以及特殊平行四边形的性质、相似、解直角三角形等知识点，需要注意的是，列方程时，一定要遵循：用两种不同的方法表示同一个量，否则，将会得到“1=1”之类的恒等式。 对于是否存在三角形，一般按顶点分为三类情况。 而对于是否存在平行四边形则有两种形式的题目：如果已知三个定点，就有三种情况，一般利用平移坐标法即可求出答案；如果只有两个定点就应该按与边平行以及与对角线平行两种情况考虑了。 对于等腰梯形，就应该考虑腰长在下底边上的投影了。 对于是否存在三角形与已知三角形相似或者全等，则与是否存在三角形一样，分三类情况，当然，如果有一个角是一个定角（比如直角），则就分为两类情况。
类型一：是否存在三角形（等腰三角形、直角三角形） （A ）【典型例题1】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。设运动的时间为t （秒）。当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？ （C ）【典型例题2】如图2，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，. （1）求点到的距离； （2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设. ①当点在线段上时（如图3），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由； ②当点在线段上时（如图4），是否存在点，使为等腰三角形？若存在， 请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由. （B ）【典型例题3】如图，已知直线1 12y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线 21 2y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。 学习心得 A B Q C P D 图1
角度：提高思维质量的有效方法 作者：龚国胜 思想品德学科中考题型一般分为两类，一类是客观题，另一类是主观题。主观题的特点是：(1)材料复杂，难以抽象概括； (2)层次多，难找准答题切入点；(3)答案不唯一，不易抓住中心。这些特点很容易让学生答这类题时出现答案不全面现象。学生答案不全面有审题偏差方面的原因，也有知识理解、掌握不系统，不能迁移运用等能力因素的影响。但我以为，学生在组织答案时对答题切入“视角”的把握，也是影响答案是否全面的重要因素。因此，如果我们在教学中，重视培养学生的“角度”意识，学生答题不全面的现象就能得到一定的改善。事实上，尽管中考主观题形式多样，材料浩如烟海，但就初中所学知识而言，其要求学生掌握的答题“角度”却是有限的，主要有下列几种。现例析如下： 角度一：政治、经济、文化 例1胡锦涛同志在党的十七大报告中指出：“我们已经朝着十六大确立的全面建设小康社会的目标迈出了坚实步伐，今后要继续努力奋斗，确保到2020年实现全面建成小康社会的奋斗目标。” 阅读材料，结合所学知识，就如何才能“确保到2020年实现全面小康社会的奋斗目标”谈谈你的看法。 参考答案要点：(1)坚持中国共产党的领导。坚持邓小平理论、三个代表思想和科学发展观，加强社会主义民主政治建设。 (2)以经济建设为中心，大力发展生产力，坚持改革开放，发展社会主义市场经济。 (3)加强社会主义法制建设，加强社会主义精神文明建设。 分析：提“建议”或谈“看法”是中考主观题经常采用的扩展性设问方式。不少学生认为，既然是叫我谈“建议”或“看法”，那我想怎么说就怎么说。其实不然，一是“建议”或“看法”必须符合所学的道理，换句话说，你的“建议”或“看法”其实就是课本里的说法，不是你的凭空想象；二是“建议”或“看法”应该有系统性、逻辑性和层次性，先提什么，后谈什么，不仅是先后次序的问题，更重要的是反映了一个人思维的严密性和层次性。因此，谈“建议”或“看法”首先要找到切入的角度，这是把问题答全的基础。 学生回答此题，只知道要围绕经济层面去谈小康建设，对于全面小康社会中的政治层面、文化层面容易忽略。事实上，国家的建设不外乎政治、经济和文化三大方面。这三个维度不仅是分析本题的--切入点，也是我们分析许多其他问题的共同切入点。掌握了分析问题的角度，我们就有可能对问题作出全面的分析。从本题的参考答案我们不难发现，它正是分别从政治、经济和文化的角度去分析说明的。 角度二：国家、社会、个人 例2我国大力发展义务教育，2006年，我国对西部农村地区义务教育阶段中小学生实行免除学杂费政策；2007年，我国对全国1.48亿名农村义务教育阶段中小学生实行免除学杂费政策；2007年底，国务院又决定，从2008年春季学期起免除城市义务教育学杂费。 阅读材料，用所学知识分析说明国家采取上述措施的重要意义。 参考答案要点：(1)大力发展义务教育，免除农村地区义务教育阶段学杂费，有利于公民人人平等享有受教育的权利；有利于实施科教兴国战略；有利于提高全民族的文化素质。有利于加强社会主义精神文明和法制建设。 (2)免除农村地区学生学杂费，有利于减轻农民负担，有利于实现共同富裕的目标，有利于构建和谐社会。 (3)公民接受教育，掌握一定的知识和技能，有利于公民个体获得更全面发展，更好实现人生价值。 分析：阅读材料谈“意义”或“启示”，是思想品德学科中考主观题又一经常采用的扩展性设问方式，它是考查学生发散思维能力的有效手段。解答“意义”设问，学生们往往觉得无边无际，拿捏不准。做这类题，老师们常要求学生采用“广种薄收”法，即要求学生多写答案，寄希望于答案中的某一点能与标准答案相符。可事实上，学生往往写了很多。得分却很少，因为学生没有掌握好“角度”，答的内容很多是同一层意思。根据初中所学内容，我认为，对国家或政府采取的举措谈意义，其最为重要的答题切入点就是“国家、社会和个人”三个角度，而就“国家”这个角度又可以分别从政治、经济、文化三个层面去论述；社会角度可以从社会建设的政治目标(和谐社会)和社会建设的经济目标(共同富裕)去分析；个人角度主要可以从学生的学习和实践两个方面去说明。 解答本题，学生只知道围绕“个人”角度去谈大力发展义务教育、免除学杂费的意义，至于“国家、社会”层面的意义很多学生就完全忽略了。从参考答案看，第一层就是谈大力发展义务教育对国家的意义。第二层是谈免除义务教育学杂费对社会的意义。第三层主要是谈教育对个人的意义。 角度三：权利与义务
导数中的任意性与存在性问题探究
函数中任意性和存在性问题探究 高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究 一、相关结论： 结论1：1212min max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图一】 结论2：1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图二】 结论3：1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图三】 结论4：1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图四】 结论5：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ?∈?∈=?的值域和()g x 的值域交集不为空；【如图五】 例题1：已知两个函数232()816,()254,[3,3],f x x x k g x x x x x k R =+-=++∈-∈; (1) 若对[3,3]x ?∈-,都有()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (2) 若[3,3]x ?∈-,使得()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (3) 若对12,[3,3]x x ?∈-,都有12()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； 解：（1）设32()()()2312h x g x f x x x x k =-=--+,（1）中的问题可转化为：[3,3]x ∈-时，()0h x ≥恒成立，即min [()]0h x ≥。 '2()66126(2)(1)h x x x x x =--=-+； 当x 变化时，'(),()h x h x 的变化情况列表如下： x -3 (-3,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3
2019-2020年中考数学专题37 动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题 （含解析） 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的 观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形 的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有 点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就 问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解 这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存 在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相 似三角形存在问题；其它存在问题等。本专题原创编写动点形成的等腰三角形存在性问题模拟题。 在中考压轴题中，动点形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思 想准确地进行分类。 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（4，0），动点C在直线 1 l:y x 2 上，若以A、B、C三点 为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是【】 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A。 【考点】单动点问题，坐标与图形性质，等腰三角形的判定，含30度角直角三角形的性质。
课前预习 1.如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为(4，1)，连接OA ，将线段OA 绕点O 逆时针旋转45°，得到OA′，则OA′所在直线的解析式为_____________ ． 提示：将特殊角放置在直角三角形中使用，能够将特殊角转化为边之间的关系来进行应用． 具体操作：过点A 作AB ⊥OA ，交直线OA′于点B ，则△OAB 为等腰直角三角形，构造弦图求出B 点坐标，即可求出直线OA′ 的解析式． 二次函数压轴题之角度的存在性（讲义）
知识点睛 角度存在性的处理思路 1.和角度相关的存在性问题通常要放在直角三角形中处理，通过三角函数将角的特征转化为边的比例特征来列方程求解．一般过定点构造直角三角形． 2.当两个角相等时，常转化为两个直角三角形相似的问题来处理． 精讲精练 1.如图，抛物线2722y x x =-++与直线122 y x =+交于C ，D 两点．点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交CD 于点F ．若存在点P ，使∠PCF =45°，则点P 的坐标为____________________________．
2.如图，抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交 于点C，顶点为D．将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC，则平移后抛物线的解析式为____________________________________．
3.如图，抛物线y=x2-4x-5与x轴的负半轴交于点B，与y轴交 于点C，点A(a，-5)在抛物线上．若点E在y轴上，且∠BEO=∠ABC，则点E的坐标为______________________．