函数定义域的类型及求法
、已知解析式型(所有同学一定要会的)
即给出函数的解析式的定义域求袪，苴解袪是由解析式有意义列出关于自变量的不等 式或不等式组■解此不等式(或组)即得原函数的定义域°
Jx 1
- 2x - 1^
例求函数p 二 _ 的定文域. I - 15 >0 f Y > 5或丫 < -3
解*要使函数有意5C 则必须满足］
' - 即J ”工+引―8工0 ［工疋5且工工―11
解得r > §或斗< 且里工一11 即口数的定义域为{工r > 5或藍丈-3且工上-11 } o
二、含参问题(很重要)
例乳已知函数$ = J 沁亍一6沁一澈十8的定义境为E 求实数战的取值范围°
分析；函数的定文域为R ，表明他：-6林亠用十S 乙0 ,使一切工E R 都成立，由厂
项的系數是刖，所以应分刪=0或旳黑0进行讨论d
解.讨论.
① 当也二0时，函数的定义域为R ;
② 当用=0时，mx ■ - 6)KX + M ? -F X > 0杲二次不等式，其对一切实数X 都成立的充
综上可知；0 ￡ m 玉1 °
三、抽象函数(复合函数)的定义域
1已知f(x)的定义域，求f g(x)的定义域
其解法是：若f (x)的定义域为a < x < b ，则在f g(x)中，a < g(x) < b ，从中解得x 的取值范
要条件是.
围即为f g(x)的定义域.
例1 已知函数f(x)的定义域为1,，求f(3x 5)的定义域.
分析：该函数是由u 3x 5和f(u)构成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量，由于f(x)与f (u)是同一个函数，因此这里是已知 1 < u < 5，即K 3x 5 < 5，求x的取值范围.
4 10
解：Q f(x)的定义域为1,， 1 < 3x 5 < 5，4< x < 10.
3 3
故函数f(3x 5)的定义域为-,10.
3 3
2、已知f g(x)的定义域，求f (x)的定义域
其解法是：若f g(x)的定义域为m < x< n，则由m< x < n确定的g(x)的范围即为f (x)的定义域.
2
例2已知函数f(x 2x 2)的定义域为0,3，求函数f(x)的定义域.
分析：令u x2 2x 2，则f(x2 2x 2) f(u)，
由于f(u)与f(x)是同一函数，因此u的取值范围即为f(x)的定义域.
解：由0 < x < 3，得 1 < x2 2x 2 < 5 .
令u x2 2x 2，贝y f (x2 2x 2) f (u)，1< u < 5 .
故f (x)的定义域为1，.
3，已知f g(x)的定义域，求f[h(x)]的定义域
其解法是：若f g(x)的定义域为m < x < n，则由m < x < n确定的g(x)的取值范围即为h(x)
的取值范围，由h(x)的取值范围即可求出f[h(x)]的定义域x的取值范围。
例2 已知函数f(x 1)的定义域为1，，求f(3x 5)的定义域.
分析：令u x 1,t 3x 5，则f(x 1) f(u), f(3x 5) f(t)，
f (u), f (t)表示的是同一函数，故u的取值范围与t相同。
解：Q f(x)的定义域为1，，即K x < 5 0 < x 1 < 6。
0 < 3x 5 < 6
函数定义域的类型及求法
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故函数f （3x 5）的定义域为 -,一
3 3
4、运算型的复合函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集.
例3 若f（x）的定义域为3,5，求（x） f（ x） f（2x 5）的定义域.
解：由f （x）的定义域为3,5，则（x）必有5解得
所以函数（x）的定义域为4,0 .
四、实际问题型（这个就不讲了哈）求函数定义域要注意的问题:
1当解析式为整式时，x取任何实数。（如y=2x+1,y=x2+x-1的定义域为R）
2当解析式为分式时，x取分母不为零的实数。（如y二丄的定义域为｛x|x工-1｝）
x 1
3当解析式为偶次根式时，x取被开方数为非负数的实数。
（如y .F7或y 4^7的定义域为｛x|x >-1｝）
4当解析式为复合表达式时，首先逐个列出不等式，求出各部分的允许取值范围, 再求其公共部分。见例1
5当解析式涉及到实际应用问题时，视具体应用问题而定。
6、对数函数的真数要大于零，底数要大于零，且不等于1