离散点插值方法、等值线的绘制及平滑技巧
2008-06-10 22:45
由于等值线图看起来非常直观、形象,因此在天气预报、气候预测分析等方面用得非常多,已成为预报员不可缺少的工具之一。如各等压面层的位势高度图、高空环流、温度及降水分布图等等。目前也有一些非常好的微机用绘图软件,如SUFER、GRADS 等。这些软件一般都只有DOS 版,在流行的WINDOWS平台上,虽然可以调用,但不能使用鼠标操作,故不如使用在WINDOWS 环境中开发的软件方便。因此,许多希望在自己开发的应用程序中能方便地显示及打印各类等值线图的人,都想知道绘制等值线图的原理方法。如何用格点资料绘制等值线图在文献〔1〕中已有介绍,而离散点(如气象台站) 的资料必须通过插值才能绘制等值线图。插值的方法有几种,比如三角网插值,它是将相邻的三个点连成一个个三角形,然后用文献〔1〕介绍的追踪法或其它方法在三角形边上进行插值。此方法的优点是需要插的值少,插值算法简单,数据处理量少。缺点是三角网的生成随意性很大,任意四个点可生成二组不同的三角形,不同的三角网插值得出的等值线也不可能完全相同。若人为固定三角网,当有资料缺测时,就不得不重新调整三角网,因此程序的通用性不高。目前比较流行的是通用性好的网格化方法。
1 离散点网格化
理论上,离散点网格化可采用局部曲面拟
合方法,用多元回归方法建立
V ( X , Y) = a + bX + c Y
或二次方程
V ( X , Y) = a + bX + c Y + dX2 + eY2 + f X Y
所谓局部,是指采用拟合点周围一定范围的部
分离散点进行拟合。这种做法虽然在许多情
况下效果不错,但通常总是有些地方与实际情
况有较大出入。因此根据人工绘制等值线时
的直接内插方式,采用以下几个步骤。
111 定点
(1) 根据离散点的分布范围确定整个网格
的范围及网格距,网格距不宜过大或过细。
(2) 确定每个离散点属于哪一个网格,也
即每个网格包含哪些离散点。
(3) 在欲插值的网格点周围一定范围内
(约3～4 个网格距如图1) ,按其4 个象限各
找一个合适的离散点,剔除距离插值点最远的
一个点(或其对面象限的点,使网格点处于另
三点组成的三角形之内) 。若有2 个象限找不
到离散点,则要判别是否有已插值的格点值可
替代,若也没有已插值可替代,则该格点暂时
不插值,并记下该格点位置,留最后补插值。
图1 离散点网格化
找合适点的原则:
A bs ( Xi - X0) ×A + A bs ( Yi - Y0) ×
B = 最小
式中:X0 、Y0 ———为网格点坐标,
A、B ———为权重系数, (可根据其相邻象
限有无离散点不断调整) 。
112 插值
当某离散点与网格点距离小于011 个网
格距时,可近似作为该网格点值。
一般情况下,先由3 个点插出与纬向线相
交点的2 个值,最后这2 个值内插出网格点上
的值。为了使内插值更准确,可以考虑所选的
3 个离散点各点与网格点的距离,内插时乘上
权重系数,距离越近权重系数越大。
当4 个离散点的值如图2 的情况时,有可
能是高中心,正常插值肯定小于这4 个点的最
大值,不成为高中心,因此要根据周围离散点
的值作特殊处理。
图2 高中心特殊处理
113 补插
将初次无法进行插值记录下来的格点,重
新检查是否可插值。
114 外围点插值
采用此方法插值,得到的网格点值只能在
外围离散点所包的范围内。为了使插值的网
格点尽可能包围外围离散点,可以在外围采用
外延的方法,将插值网格点扩大一圈。方法
是:对于任一个无插值网格点,在其周围应有
8 个(边线上5 个) 方向,任何一个方向,只要
最近的两个格点有值,则可外推出该格点值,
将8 方向可能推出的两个以上的值求算术平
均作为该格点的插值。
115 技巧
为方便下一步连等值线,所有格点的值不
要与等值线的值相等,可对插出的格点值增减
一个非常小的值ε(如0101) 。若周围有一个
格点的值比该值大,则减去ε,否则加上ε。
2 绘制等值线
网格点资料如何绘制等值线,文献〔1〕介
绍了直接追踪法, 这里介绍另一种方法。
(1) 先将每个已插值的网格点与其右边及
下边两个网格点值进行比较,若满足条件
Sgn ( Z( x , y) - Z0) + Sgn ( Z ( x + 1 , y) - Z0) = 0 则记录一竖线段两个坐标
Sgn ( Z( x , y) - Z0) + Sgn ( Z ( x , y + 1) - Z0) = 0 则记录一横线段两个坐标
式中: Z ( 3 ) ———格点值;
Z0 ———等值线的值;
Sgn ( ) ———求正负号函数。
即把所有格点值看成只有两值,一是大于
Z0 ,一是小于Z0 (前面插值处理使任何一格点值不等于Z0) ,最后可得到若干条线段(图3) 。图3 两值化的等值线图
(2) 线段连接。对于某一线段X , 根据其
终点,顺序查找与之共点的起点或终点的线段
Y ,确定他们相连关系,根据线段X 两边格点
值插出等值线值的位置,作为等值线的一个点
坐标并记录下来。再根据Y 的终点或起点继
续查找..,当再也找不到时,即为该连线的
一个端点,同样要插值确定并记录该线终点坐标。再回过头从线段X 的起点继续找,直至
找到另一个端点。当等值线起点终点属于同
一个网格时,该等值线是闭合的。
当某一线段起点终点均找不到与之相连
的其它线段时,可以考虑不要该线段。当某一
线段一头与另外3 个线段共点时(如图4) ,即图4 多线段共点
当等值线的值为10 时,按顺序会记下4 个线
段A、B、C、D ,4 个线段的都有一个共同的端点。这种情况下则应根据等值线值与4 个格
点值,按相互间距离最近的两个相连,另外两
个相连来处理(图中虚线) 。
(3) 当组成一条折线的点少于4 时,可以
不要该条折线。
3 等值线的平滑
前面连成的等值线,其实是一条条折线, 当网格距足够小时(可在粗网格上插细网格) , 这些折线看起来就比较平滑。但这样处理有
两个缺点,一是要做很细的网格插值,但无论
如何细,曲线还是会随着图形的放大而逐渐变
成了折线。二是要记录很细的格点值及等值线,可能就要开一个很大的数组,若要存放在
磁盘上则会占用较大的磁盘容量。为节省存
储空间,又要较精确地描绘曲线,唯一的办法
是增加数据处理工作量,必须从折点数据中找
到一系列的函数关系,使之完全通过这些折
点。根据这些函数加密数据点画出的折线是
看起来是连续而平滑的。图形越放大,需加密
数据点越多。目前,采用的平滑方法有多项式
拟合、样条函数、拉格郎日插值函数、斜轴抛物线平均加权法等方法进行逐段拟合。不管是
哪种方法,直接使用都可能会出现不合理的情
况(图5) ,解决办法是先对拟合点或自变量作
些初步处理或称预处理,最后进行坐标(旋转)
变换后,用拉格郎日插值函数绘制平滑曲线。
图5 直接插值曲线
311 预处理
(1) 检查闭合线
当一条曲线的第一点与最后一点同属一
个网格时,则可以认为这条线是闭合的,在最
后点之后加上第一点坐标作为最后点。
(2) 合并紧邻点
相连的两个点距离小于012 个网格距时,
可在中间插一个点,而将这两个点取消。
(3) 将大折角减小
当3 个相邻点之间的夹角小于一定角度
时,通过逐步调整3 个点的Y 坐标,将夹角加
大(角β减小) 。可以通过多次的合并及减小
折角,使得曲线逐步平滑。
312 配函数绘线
加密数据点的拉氏插值函数程序如下:
For I = 1 To N :Z( I) = 1 :Next I
For I = 1 To N :For J = 1 To N
If I < >J Then Z(J ) = Z(J ) ×(XX - X( I) ) / (X(J ) - X( I) )
Next J :Next I
YX = 0 : For I = 1 To N : YX = YX + Z( I) ×Y( I) :Next I
N 是样本点数, 对应数组X ( ) 、Y ( ) ,
XX 是插值X 坐标, Y X 是插出的Y 坐标。
采用3 点样本插值的具体做法是:
(1) 采用3 点在第一、二点之间进行插值。
(2) 为了避免出现如图5 那样的不合理插
值,可采用坐标转换方式。即根据第一点与第
二点连线和第二点与第三点连线的夹角来确
定新坐标旋转角度γ(图6) ,使角α等于角β。
(3) 在新的坐标系下进行第一、二点之间
进行插值。插值步长可以根据网格距大小及
图6 确定新坐标旋转角(
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数据文件调入后,返回Random 子菜单选
择Output , 填入输出文件名, 扩展名应为
1GRD ,然后选择Begin 即可将输入文件网格
化,生成输出文件。
Begin 生成的1GRD 文件,产生的数据分
布在给定的经、纬度极大值、极小值之间的每
一段。若直接由TOPO1EXE 调用,等值线将
布满整张图。为了不出现等值线,必须使用Modify 进行空白化处理,空白化步骤如下: (1) 编辑一空白化文件, 扩展名为生成
1BLN。格式:第一行: (点数- 1) 0
第二行:第一点横坐标(经度) 第一点纵
坐标(纬度)
第三行:第二点横坐标(经度) 第二点纵
坐标(纬度)
..
这些点相联成的闭合区域外将空白化。
(2) 在主菜单依次选择Modify →Blank ,出
现对话框,
在Input grid file : 填入欲空白化的
1GRD 文件,在Output grid file : 填入输
出文件,扩展名1GRD ,
在Blank file : 填入上一步生成的
1BLN 文件,
在Begin creating grid with current param2 eters ? 填YES ,即空白化生成输出文件。
312 运行TOPO1EXE
主菜单如下:
[ Topo ] Input Level Scale Conline Title Border Xyline Grid Post Output Equip
用到的各选项功能如下:
Input :填入输入文件名,它是GRID1EXE
的输出文件。
Level :调整等值线的最大、最小值、间距。Scale :调节屏幕图形的大小(F2 键显示) 。
Title :输入标题。
Post :将单点及其数值标注在指定位置,
若在此填入地图文件名,可调入地图。
Output :将显示的图形输出打印。
4 全屏幕修改
SURFER 软件包绘制的等值线精度高,
光滑不足,可进行全屏幕修改。
F2 显示后再按任意键,图上出现一小十
字架,按AL T - E ,屏幕底部出现下面的字样: X = 110 Y = 25 Z = 19173 ESC
AL T - S OR NEW Z:
表示当前小十字架坐标为(110 ,25) ,数值
为19173 ,填入新的Z 值,就可部分修改图形。
修改后的图形可按AL T - S 存盘。
5 等值线标值标准化
上述方法绘制的等值线上标值有的没有,
有的多于两个,这是SURFER 的缺陷。笔者
对程序进行了修正,可绘制出等值线标值标准
的气候图。其基本思路是:采用汇编编译器找
出此部分地址,将修改后的子程序写入。
(上接第71 页) 图的放大倍数由程序自动确定。
每一个插值要还原到原坐标系下进行连线。
(4) 这样我们可用1 、2 、3 点绘出1 、2 点之
间曲线,2 、3 、4 点绘出2 、3 点之间曲线,最后2 点的曲线,只须将最后一点与倒数第三点调换
位置,调用同一个子程序便可绘出。
4 不足之处
由于不能插出比样本离散点最大值更大
或最小值更小的值,因此,当高(低) 中心的离
散点的值只比等值线的值略大时,绘出的高
(低) 中心最内的闭合线所包围的面积比手工
绘的要小,这种情况需作进一步的改进。
插值法和拟合实验报告 一、 实验目的 1.通过进行不同类型的插值，比较各种插值的效果，明确各种插值的优越性； 2.通过比较不同次数的多项式拟合效果，了解多项式拟合的原理； 3.利用matlab 编程，学会matlab 命令； 4.掌握拉格朗日插值法； 5.掌握多项式拟合的特点和方法。 二、 实验题目 1.、插值法实验 将区间[-5,5]10等分，对下列函数分别计算插值节点 k x 的值，进行不同类型 的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较： ;11)(2x x f += ;a r c t a n )(x x f = .1)(42 x x x f += (1) 做拉格朗日插值； (2) 做分段线性插值； (3) 做三次样条插值. 2、拟合实验 给定数据点如下表所示： 分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数 ),(i i y x 和拟合函数的图形。 三、 实验原理 1.、插值法实验
∏∑∏∏∏∑∑≠==≠=≠=≠=+-==--= =-= ==-=-=----==++==j i j j i i i i i n i i n n j i j j n j i j j i i n j i j j n i i i n i i n n n o i n i i n x x x x x y x l x L x x c n i x x c x x x c x x x x x x x x c y x l x L y x l y x l y x l x L ,00 ,0,0,01100 00 )(l )()() (1 ,1,0, 1)()(l ) ()())(()()()()()()()(， 故， 得 再由，设 2、拟合实验
等值线图的一般判读方法 [知识点拨] 1.等值线图的判读步骤 堪察加半岛地形图 2.等值线的判读原则 (1)题眼原则 判读等值线图，要看以下几个方面的内容：图名、延伸方向、等值线的疏密、数值及等值距、弯曲状况、局部小范围的闭合等。 (2)数值原则 ①同线等值，邻线可等值也可差一定值。 ②对于两点间的数值差，有如下三种情况：a.两点都在等值线上，则两点数值确定，直接用两点的数值相减。b.如果一点在线上，一点不在，则在线上的点数值确定，不在线上的点数值不确定，因而求出的数值差是一个范围。c.如果两点都不在线上，则数值都为一个范围，因而求出的差值也为一个范围，且两个范围相减时，其中一个范围的大值减另一个范围的小值，其小值减另一个范围的大值。学，科网 例：如图，A点数值为100，B点数值范围为100～200，C点数值范围为200～300，D点数值为400，则A、B两点的差值为0～100；A、D两点差值为300；B、C两点差值为0～200。
(3)弯曲原则 若等值线有弯曲，在某处向“高值”方向凸出，表明该处数值比其两翼偏“低”，即为低值区；同理，等值线在某处向“低值”方向凸出，表明此处数值比其两翼偏“高”，即为高值区。 例：如图所示，A处数值比其两翼低，B处数值比其两翼高。 a.若为等高线，A处“偏低”为山谷；B处“偏高”为山脊。 b.若为等压线，A处“偏低”为低压槽；B处“偏高”为高压脊。 c.若为某海域等温线，A处“偏低”表示有寒流流经；B处“偏高”表示有暖流流经。 (4)等值线的闭合原则 有闭合曲线位于两等值线间，若闭合曲线数值与其中的高值相等，则曲线内的数值高于这个高值且不超过一个等值距；若闭合曲线值与其中的低值相等，则曲线内的数值低于这个低值且不超过一个等值距，即“高高低低”原则。 如下图中闭合等值线在600和800之间，如果A点所在等值线的数值是800，则B点的数值大于800小于1 000，如果A点所在等值线的数值是600，则B点的数值大于400小于600。 [典题示例] 【典例】(2017·湖北四市二模)图示为某山地各地理要素示意图。读图，该山地北坡属于( ) A.阳坡和迎风坡 B.阴坡和背风坡 C.阴坡和迎风坡 D.阳坡和背风坡
利用matlab实现插值与拟合实验 张体强1026222 张影 晁亚敏 [摘要]：在测绘学中，无论是图形处理，还是地形图处理等，大多离不开插值与拟合的应用，根据插值与拟合原理，构造出插值和拟合函数，理解其原理，并在matlab平台下，实现一维插值，二维插值运算，实现多项式拟合，非线性拟合等，并在此基础上，联系自己所学专业，分析其生活中特殊例子，提出问题，建立模型，编写程序，以至于深刻理解插值与拟合的作用。 [关键字]: 测绘学插值多项式拟合非线性拟合 [ Abstract]: in surveying and mapping, whether the graphics processing, or topographic map processing and so on, are inseparable from the interpolation and fitting application, according to the interpolation and fitting theory, construct the fitting and interpolation function, understanding its principle, and MATLAB platform, achieve one-dimensional interpolation, two-dimensional interpolation, polynomial fitting, non-linear fitting, and on this basis, to contact their studies, analysis of their living in a special example, put forward the question, modeling, programming, so that a deep understanding of interpolation and fitting function. [ Key words]: Surveying and mapping interpolation polynomial fitting nonlinear
离散点插值方法、等值线的绘制及平滑技巧 2008-06-10 22:45 由于等值线图看起来非常直观、形象,因此在天气预报、气候预测分析等方面用得非常多,已成为预报员不可缺少的工具之一。如各等压面层的位势高度图、高空环流、温度及降水分布图等等。目前也有一些非常好的微机用绘图软件,如SUFER、GRADS 等。这些软件一般都只有DOS 版,在流行的WINDOWS平台上,虽然可以调用,但不能使用鼠标操作,故不如使用在WINDOWS 环境中开发的软件方便。因此,许多希望在自己开发的应用程序中能方便地显示及打印各类等值线图的人,都想知道绘制等值线图的原理方法。如何用格点资料绘制等值线图在文献〔1〕中已有介绍,而离散点(如气象台站) 的资料必须通过插值才能绘制等值线图。插值的方法有几种,比如三角网插值,它是将相邻的三个点连成一个个三角形,然后用文献〔1〕介绍的追踪法或其它方法在三角形边上进行插值。此方法的优点是需要插的值少,插值算法简单,数据处理量少。缺点是三角网的生成随意性很大,任意四个点可生成二组不同的三角形,不同的三角网插值得出的等值线也不可能完全相同。若人为固定三角网,当有资料缺测时,就不得不重新调整三角网,因此程序的通用性不高。目前比较流行的是通用性好的网格化方法。 1 离散点网格化 理论上,离散点网格化可采用局部曲面拟 合方法,用多元回归方法建立 V ( X , Y) = a + bX + c Y 或二次方程 V ( X , Y) = a + bX + c Y + dX2 + eY2 + f X Y 所谓局部,是指采用拟合点周围一定范围的部 分离散点进行拟合。这种做法虽然在许多情 况下效果不错,但通常总是有些地方与实际情 况有较大出入。因此根据人工绘制等值线时 的直接内插方式,采用以下几个步骤。 111 定点 (1) 根据离散点的分布范围确定整个网格 的范围及网格距,网格距不宜过大或过细。 (2) 确定每个离散点属于哪一个网格,也 即每个网格包含哪些离散点。 (3) 在欲插值的网格点周围一定范围内 (约3～4 个网格距如图1) ,按其4 个象限各 找一个合适的离散点,剔除距离插值点最远的 一个点(或其对面象限的点,使网格点处于另 三点组成的三角形之内) 。若有2 个象限找不 到离散点,则要判别是否有已插值的格点值可 替代,若也没有已插值可替代,则该格点暂时 不插值,并记下该格点位置,留最后补插值。 图1 离散点网格化 找合适点的原则: A bs ( Xi - X0) ×A + A bs ( Yi - Y0) × B = 最小 式中:X0 、Y0 ———为网格点坐标,
等潜水位线图的判读技巧 JGSLJZ 【知识梳理】 1. 概念：潜水等水位线即潜水面等高线，根据潜水面上各自的水位标高绘制，一般绘在等高线地形图上。 2. 河流流向判读: 潜水水位往往随地形而有起伏(呈正相关)，可根据图中等值线数据递变(递增或递减)顺序判断出地势高低，河流都是由高处向低处流，可知河流流向。 3. 潜水的流向：垂直于等潜水位线由高处往低处流。 4. 确定引水工程：为了最大限度地使潜水流入水井和排水沟，当等水位线凹凸不平、疏密不均时，取水井应布置在地下水汇流处，当等水位线由密变稀时，取水井应布置在由密变稀的交界处，并与等水位线平行。 5. 潜水的埋藏深度：是指潜水面到地表的距离。同一幅图上的地形等高线与潜水等水位线相交之点的数值之差（二者高程之差），即为该点的潜水埋藏深度。 6. 潜水流速的大小：取决于于潜水的坡度。坡度越大，流速越快，坡度越小，流速越慢。在同一幅地图上，等潜水位线越密集的地方坡度越大。不同地图中要注意比例尺和高差。 7. 潜水与河水补给关系判读： 作一垂直于河流的辅助线与等潜水线相交，比较同一水平线上，地下水和河水水位的高低，从而确定补给关系。潜水位高则地下水补给河水，反之则相反。 如上图所示： a. 潜水补给河水； b. 河水补给潜水； c. 左岸河水补给潜水，右岸潜水补给河水。 8. 闭合等潜水位线: 中心潜水位低:地下水开采过度；中心潜水位高:降水过多或大水漫灌。 【典例精析】 下图中实线为地形等高线，虚线为潜水面等高线(单位：米)，读图回答1～3题。
1. 钻孔井甲的潜水埋藏深度约( ) A. 10米 B. 5米 C. 2.5米 D. 0米 2. 地下水流速( ) A. ①＝② B. ②＝④ C. ①＞③ D. ③＞④ 3. 收集潜水的理想水沟位置选择合理的是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【解析】甲位于15米等高线和10米等水位线相交点，潜水埋藏深度为二者的差值；①处比③处坡度大，故地下水的流速更大；③处地势较低，位于谷地，水沟与等水位线平行，且位于等潜水线由密变疏之处，因此是收集潜水的理想水沟。 【答案】1.B 2.C 3.C 【同步训练】 地下水是一种宝贵的水资源。读图回答1-2题。 1.下图为某地两条河流两侧的潜水位等值线示意图，可反映河流与潜水补给关系的一般情况。图中数字表示潜水位(单位：米)。读图判定（） A．a图河流自南向北流，b图河流自北向南流 B．a图河流自北向南流，b图河流自南向北流 C．a图潜水补给河流，b图河流补给潜水 D．a图河流补给潜水，b图潜水补给河流 2．近年来，苏南地区封闭了大量的机井，其原因主要是（） A. 苏南地表水丰富，不需要开采地下水 B．保护地下冻土层 C.地下水开采成本高 D. 减缓地面沉降
实验三 插值法与拟合实验 一、实验目的 1. 通过本实验学会利用程序画出插值函数，并和原图形相比较 2. 通过本实验学会拟合函数图形的画法，并会求平方误差 二、实验题目 1. 插值效果的比较 实验题目：区间[]5,5-10等分，对下列函数分别计算插值节点k x 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较： 2 11)(x x f +=； x x f arctan )(=； 4 41)(x x x f += （1） 做拉格朗日插值； （2） 做三次样条插值. 2. 拟合多项式实验 实验题目：给定数据点如下表所示： 分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数),(i i y x 和拟合函数的图形. 三、实验原理 本实验应用了拉格朗日插值程序、三次样条插值程序、多项式拟合程序等实验原理. 四、实验内容 1（1） figure x=-5:0.2:5; y=1./(1+x.^2); plot(x,y,'r'); hold on %拉格朗日插值 x1=-5:1:5; y1=1./(1+x1.^2); xx=-4.5:0.5:4.5; yy=malagr(x1,y1,xx); plot(xx,yy,'+') %三次样条插值 dy0=1./(1+25); dyn=1./(1+25);
m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx); plot(xx,m,'ok') 1（2） x=-5:0.2:5; y=atan(x); plot(x,y,'r'); hold on %拉格朗日插值 x1=-5:1:5; y1=atan(x1); xx=-4.5:0.5:4.5; yy=malagr(x1,y1,xx); plot(xx,yy,'+') %三次样条插值 dy0=1./(1+25); dyn=1./(1+25); m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx); plot(xx,m,'ok') 1（3） x=-5:0.2:5; y=x.^2./(1+x.^4); plot(x,y,'r'); hold on %拉格朗日插值 x1=-5:1:5; y1=x1.^2./(1+x1.^4); xx=-4.5:0.5:4.5; yy=malagr(x1,y1,xx); plot(xx,yy,'+') %三次样条插值 dy0=1./(1+25); dyn=1./(1+25); m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx); plot(xx,m,'ok') 2. x=[-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5]'; y=[-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55]'; plot(x,y,'or'); hold on %三次多项式拟合 p1=mafit(x,y,3);
等值线的判读技巧和方法 石旦文/四川 等值线是某地地理现象数值相等的各点的连线。地理等值线图能将一种或多种地理要素作用的结果，以地理数值的方式表达其空间的分布情况，具有包容信息量大，综合性强的特征，能较好地体现学生的知识应用能力水平，所以常被高考题所采用。在2009年高考文科综合卷全国Ⅰ卷的总计5幅图中，等值线图就占一半以上，共有3幅图，四川卷中也有两幅图；在2010年、2011年的高考文综全国和四川卷中，等值线图出现的频率也较高。 等值线内容涉及数线形转换，如等高线地形图和地形剖面图，可将垂直分布的地形起伏情况反映在一幅平面图中，对学生而言是比较难掌握好的，所以在教学过程中，特别在复习阶段，教师引导学生通过分析等值线分布图的共性，在典型例题中结合各种相关影响因素进行综合分析，总结规律，对提高学生等值线分布图的判读和分析能力，完成教学目标无疑会有很大的帮助。 这类试题出题角度都很巧妙且有新意，注重内涵的理解、知识的应用和动手能力，把地理图像考查和学科主干考查有机结合起来，并与世界气候、地形、洋流等知识结合，多以选择题或综合分析题的形式出现，达到知识与能力的统一，很好地体现了高考以能力测试为主的指导思想。 一、地理等值线的主要种类 常见的等值线：等高线、等深线、等温线（等气温线、等水温线）、等压线（水平面等压线、垂直面等压线）、等降水量线、等太阳辐射量线、等盐度线、等PH值线、等太阳高度线、等潜水位线等等。其中最重要是：等高线、等温线、等压线、等降水量线。在近两年各省市和全国地理高考卷及文综卷中，不仅出现了平时常见的等高线、等温线、等压线等值线图，还出现了以洋底地层年龄分析图、人口密度分布图、等农业产值线、等时间线、等蒸发量线、等距离线、等噪音线等教材上没有出现过的等值线为背景的题目。 二、地理等值线的主要特征 1、同一条等值线上各点数值相等。 2、等值线闭合且不中断。 3、两条等值线之间一般不相交和重叠（除悬崖外）。 4、相邻的等值线差值相等或为零。 5、等值线的数值是逐渐递减的。 三、地理等值线的判读技巧 地理等值线的判读技巧可以慨栝为以下三个规律，运用这些规律解等值线题，既能方便记忆，又能准确答题。 （一）、“凸高为低，凸低为高”规律。 所谓“凸高为低，凸低为高”就是指若等值线向数值更高的方向凸出，则表示该处是低值区；若等值线向数值更低的方向凸出，则表示该处是高值区。 1、若为等高线 在等高线图中“凸高为低，凸低为高” 规律常用来判断山谷、山脊。 若等高线向数值更高的方向凸出，则表示该处是低值区，地形为山谷； 若等高线向数值更低的方向凸出，则表示该处是高值区，地形为山脊。 2、若为等压线
MATLAB中的插值、拟合与查表 插值法是实用的数值方法，是函数逼近的重要方法。在生产和科学实验中，自变量x与因变量y的函数y = f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。 如何根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=φ(x)，使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值。用简单函数y=φ(x)在点x处的值来估计未知函数y=f(x)在x点的值。寻找这样的函数φ(x)，办法是很多的。φ(x)可以是一个代数多项式，或是三角多项式，也可以是有理分式；φ(x)可以是任意光滑（任意阶导数连续）的函数或是分段函数。函数类的不同，自然地有不同的逼近效果。在许多应用中，通常要用一个解析函数（一、二元函数）来描述观测数据。 根据测量数据的类型： 1．测量值是准确的，没有误差。 2．测量值与真实值有误差。 这时对应地有两种处理观测数据方法： 1．插值或曲线拟合。 2．回归分析（假定数据测量是精确时，一般用插值法，否则用曲线拟合）。 MATLAB中提供了众多的数据处理命令。有插值命令，有拟合命令，有查表命令。 2.2.1 插值命令 命令1 interp1 功能一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。各个参量之间的关系示意图为图2-14。 格式 yi = interp1(x,Y,xi) %返回插值向量yi，每一元素对应于参量xi，同时由向量x 与Y的内插值决定。参量x指定数据Y的点。若Y为一矩阵，则按Y的每列计算。yi是阶数为length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。 yi = interp1(Y,xi) %假定x=1:N，其中N为向量Y的长度，或者为矩阵Y的行数。 yi = interp1(x,Y,xi,method) %用指定的算法计算插值： ’nearest’：最近邻点插值，直接完成计算；
第十章 插值与拟合方法建模 在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。 §1 数据插值方法及应用 在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据 ),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高，要求确定一个初等函数)(x P y =（一般用多项式或分段 多项式函数）通过已知各数据点（节点），即n i x P y i i ,,1,0,)( ==，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。 1、分段线性插值 这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果 b x x x a n =<<<= 10 那么分段线性插值公式为 n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11 1 11 =≤<--+--= ----- 可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。 例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标y1和y2，这样就得到下表的数据（单位：mm ）。
专题突破一：等值线图的判读方法 等值线图判读高考没有单独提出，但绘制和阅读等值线图，并能获取和解读信息是考纲能力要求之一。 1.等值线的共性特征 ①同一条等值线上各点的数值相等。 ②相邻两条等值线值可以相等(如河谷两侧相邻的等高线)，也可以按周边地区趋势依次递减或递增；同一幅图中相邻两条等值线的间隔（等值距）相等。 ③同一幅图上任意两条等值线一般不会相交不重叠(陡崖除外)。 ④等值线一般应是闭合曲线，在局部图中受图幅所限不一定全部闭合，但一定在相邻的多张拼接图中闭合。 ⑤等值线弯曲度越大，其弯曲处的两侧变化越大。 2.等值线的判读步骤 步骤说明 一看图名读图名明确等值线图所要反映的地理事物，即等高线、等压线、等温线、等降水量线、等盐度线、等人口密度线、等震线、等时线、等潜水位线、等太阳高度线和等太阳辐射线等 二看数值特征看最大值和最小值；看数值的递变规律；计算差值等。如等值线数值增大方向，等高线图中为山顶所在区域；在等压线中则为高压所在区域；在等温线图中可根据递变规律判断南北半球 三看疏密如等高距一定时，等高线愈密则坡度愈陡，水流愈急；同一幅图中，等压线越密的地方，风力越大；在等温线中反映温差大小 四看 走向 等值线弯曲方向与河水流向相反；等值线弯曲方向与洋流流向相同 五看弯曲确定弯曲部分为高值区还是低值区，一般采用垂线法和切线法： ①垂线法：在等值线图上弯曲最大处的两侧作各等值线的垂线，方向从高值指向低值。若箭头向中心辐合，则等值线弯曲处与两侧相比为低值区；若箭头向外围辐散，则等值线弯曲处与两侧相比为高值区(如下图)： ②切线法：在等值线弯曲最大处作某条等值线的切线，比较切点与切线上其他点的数值大小。若切点数值小于其他点的数值，则该处为低值区；若切点数值大于其他点的数值，则该处为高值区(如下图)：
常见的插值方法及其原理 这一节无可避免要接触一些数学知识，为了让本文通俗易懂，我们尽量绕开讨厌的公式等。为了进一步的简化难度，我们把讨论从二维图像降到一维上。 首先来看看最简单的‘最临近像素插值’。 A,B是原图上已经有的点，现在我们要知道其中间X位置处的像素值。我们找出X位置和A,B位置之间的距离d1,d2，如图，d2要小于d1,所以我们就认为X处像素值的大小就等于B处像素值的大小。 显然，这种方法是非常苯的，同时会带来明显的失真。在A,B中点处的像素值会突然出现一个跳跃，这就是为什么会出现马赛克和锯齿等明显走样的原因。最临近插值法唯一的优点就是速度快。 图10，最临近法插值原理 接下来是稍微复杂点的‘线性插值’（Linear） 线性插值也很好理解，AB两点的像素值之间，我们认为是直线变化的，要求X点处的值，只需要找到对应位置直线上的一点即可。换句话说，A,B间任意一点的值只跟A,B有关。由于插值的结果是连续的，所以视觉上会比最小临近法要好一些。线性插值速度稍微要慢一点，但是效果要好不少。如果讲究速度，这是个不错的折衷。 图11，线性插值原理
其他插值方法 立方插值，样条插值等等，他们的目的是试图让插值的曲线显得更平滑，为了达到这个目的，他们不得不利用到周围若干范围内的点，这里的数学原理就不再详述了。 图12，高级的插值原理 如图，要求B,C之间X的值，需要利用B,C周围A,B,C,D四个点的像素值，通过某种计算，得到光滑的曲线，从而算出X的值来。计算量显然要比前两种大许多。 好了，以上就是基本知识。所谓两次线性和两次立方实际上就是把刚才的分析拓展到二维空间上，在宽和高方向上作两次插值的意思。在以上的基础上，有的软件还发展了更复杂的改进的插值方式譬如S-SPline, Turbo Photo等。他们的目的是使边缘的表现更完美。
地理等值线的判读技巧 一、高考展望： 从近四年高考来看，每年涉及等值线的内容分值较高，以考查等高线、等温线、等降水量线和等压线最为突出，今后的命题仍将注重： 1.根据等高线地形图判读地形部位、河流流向，提出开发利用方案 2.根据等温线的变化情况，判读气温的水平分布规律及影响其变化的因素 3.阅读等降水量线图，判断降水的水平分布规律及影响因素 4.根据等压线的弯曲及封闭状况，判读气压场的分布特点，进而确定锋面位置及天气状况 二、等值线的特点 1、同一条线上数值相等 2、相邻两条线的差值相等或为零（除特殊每条线标注外） 3、各线不相交（除等高线的陡崖外） 4、等值线封闭：中心为最高（低）值的中心。 5、等值线疏密→单位距离差值小或大 例： 等压线密集→气压差大→风大 等高线密集→坡度大 等温线密集→温差大 等降水量线密集→降水量差异大 三、等值线判读的一般方法: 1、读数值： 同线等值，相邻两条等值线之间的差全图一致 2.看疏密状况： 间距密—变化大，间距疏—变化小 3.看走向和弯曲状况： 高的向低值的方向弯（山脊、高压脊等） 低的向高值的方向弯（山谷、低压槽等）
4.局部闭合状况： 大于大的，小于小的 例题 读下面的等高线地形图，分析回答： (1)①②③④四处中，属盆地地形的是______。 (2)计划从小河引水到C处，有AC和BC两条路线，选择哪一条比较合理？为什么？ (3)如果在山坡上整修梯田，选在甲处好还是乙处好？为什么？ (4)设计修建坝高达100米的水库，根据等高线，选择何处筑坝比较合适？在筑坝处用符号标识并说明理由。 答案：(1) ①(2)AC 顺地势自流(3)甲坡度较缓，不易造成水土流失 （4）略峡谷处，坝长较短 （2000年文科综合能力测试第1题）读华北某地地形图，据图判断1-3题：
等值线判读 学习目标： 1.知道等值线的基本概念和类型 2.理解等值线的一般特点、运用。 3.学会等值线数据读法、弯曲判读方法和疏密判读。 4. 通过等压线、等高线、等温线三种基本等值线方法归纳，让学生学会知识迁移运用，能独立判读其他类型的等值线图，从而提高学生的读图思考能力。 教学过程： 基础知识回顾 1、等值线的概念和类型 ◆将某地理要素数值相等的点用光滑的线连接起来，叫做等值线。 ◆等值线可以反映某地理要素的空间分布。 等值线包括：等高线、等深线、等温线、等降水量线、等压线、等太阳辐射量线、等盐度线、等震线等。 2、等值线的一般特点 (1)同线等值。 (2)等值距全图一致(若图中标出不同，则作为例外)。 (3)等值线一般不相交、不重叠(陡崖除外)，一般应是闭合曲线，但在局部图中可以不闭合。 (4)一条等值线两侧数值大小趋向相反。 (5)同一幅图上，相邻两等值线之间的数值差为0（如在鞍部）或相差一个等值距。 (6)等值线密集处，表示单位水平距离的差值较大；等值线稀疏处，表示单位水平距离的差值较小。 考点一：等值线上数据的判读 1、数值大小的确定 【典例剖析】 例1：右面为等压线图，单位为百帕，等值距为2，箭头为风向，回答： （1）此图表示哪个半球的气压情况 （2）a的数值是多少 （3）比较???点数值的大小【规律总结】大多数等值线图上等值距全图一致，同一方向数值大小趋向相同，相邻两等值线之间的数值相差一个等值距（有例外情况）。 2、相邻两条等值线之间的封闭等值线的判读（小区域闭合等值线的读法） 例2 ：读下列等温线图回答： （1）各地温度判断正确的是 A、A地<2℃ B、B地<0℃ C、C地> 2℃ D、D地>4 ℃ （2）A、B两地各为什么地形 【规律总结】闭合等值线的判断 等值线的闭合原则：当有闭合曲线位于两等值线之间时，若闭合曲线数值与其中的高值相等，则曲线内的数值高于这个高值且不超过一个等差距；若闭合曲线数值与其中的低值相等，则曲线内的数值低于这个低值且不超过一个等差距；即“高于高值，低于低值”原则。如下图中200＜A＜300、100＜B＜200。 3、任意两点数值差的计算及等值线中最值计算 【典例剖析】 例3：读下图，图中等高线表示一种风力堆积的地表形态（单位：米）。回答下题： Q点对P点的相对高度(H)最大可以达到(米): F61TO51Y 等高线图的基础知识与判读技巧 典型真题剖析下图所示区域属于湿润的亚热带季风气候，回答(1)～(3)题。 (1)R、Q两点的相对高度可能为 A.800米 B.900米 C.1000米 D.1100米 (2)M、N、P、Q四地中，海拔可能相等的两地是 A.M，N B.M，P C.M，Q D.P，Q (3)若在Q地建一小型度假村，应特别注意防治的自然灾害是 A.风沙 B.洪涝 C.滑波 D. 寒潮 【解析】第（1）题，读图可知，图中R地的海拔高度在1200米～1300米之间，Q地的海拔高度在200米～300米之间，故两地的相对高度可能是1000米。第（2）题，M地可能为一高地，其周围闭合等高线的海拔高度为500米，没M地的海拔高度在500米～600米之间，很可能与N地相等。第（3）题，该区域属于湿润的亚热带季风气候，夏季降水充沛，Q 地位于陡坡之上，夏季连降暴雨时，有可能发生滑坡等地质灾害。 【答案】（1）C （2）A （3）C 上述例题为2007年全国高考文科综合卷Ⅰ的3～5题，主要考查等高线图的相对高度和绝对高度的计算、地形特征的判断，以及此地形特征易引发的自然灾害。 等高线地形图作为一种重要地图类型，是地理地图学习的基础，在高考中一直占有重要的地位，对历年高考真题的分析，也不难发现试题的编制也仅停留在对基础知识的理解和等高线地形图的阅读上，掌握一定的判读方法即可以作出正确解答。考试大纲和新课标要求学生对空间概念的理解和地图的阅读要具备一定的能力。所以，提高学生等值线读图题的读图技巧和读图分析能力是解决高考试题的关键所在。 （一）掌握等高线地图的基本性质 （1）等高线可以看作是不同海拔高度的水平面与实际地面的交线，所以等高线是闭合 曲线； （2）位于同一等高线上的地面点，海拔高度相同； （3）在同一幅图内，除悬崖（几条不同高度的等高线相交在一起---表示陡崖）以外，不同海拔的等高线不能相交；[陡崖相对高度计算方法：（x-1）d≤Δh和<(x+1)d，其中x 表示相交的等高线条数，d为等高距，Δh表示陡崖相对高度] （4）在图内相邻两条等高线的高差相同，即等高距相等； （5）地面坡度与等高线之间的水平距离成反比（在同一幅等高线图上，相邻等高线水平距离愈小，等高线排列越密，说明地面坡度愈大；相邻等高线之间的水平距离愈大，等高 线排列越稀，则说明地面坡度愈小）。 （6）几条特殊的等高线：0米线表示海拔0米，也可以表示海岸线；200米线区分平原和低山丘陵；500米和1000米线显示低山丘陵或高原；2000米和3000米线反映中山和高原； 4000米线反映青藏高原和高山的特征。 依据上述等高线的特点，我们应该具备这样的能力：（1）根据等高线地形图的数值，读出图上任一点的海拔高度或者海拔范围，并可以比较两点的海拔高度可换算相对高度；依据地形图的比例尺，可推算两地的实际水平距离，最终也可以推算出该地的平均坡度。 （二）可以判断地形图上的地表形态特征，如下表。 等值线的类型及判读 【考情分析】 地理等值线图能将一种或多种地理要素作用的结果，以地理数值的方式表达其空间的分布情况，具有包容信息量大，综合性强的特征，能较好地体现学生的知识应用能力水平，所以常被高考题所采用。在近两年各省市和全国地理高考卷及文综卷中，不仅出现了平时常见的等高线、等温线、等压线等值线图，还出现了以等降水量线、酸雨等PH 值线图等教材上很少出现过的等值线为背景的题目。等值线内容涉及数线形转换，如等高线地形图和地形剖面图，可将垂直分布的地形起伏情况反映在一幅平面图中，对学生而言是比较难掌握好的，所以在教学过程中，特别在复习阶段，教师引导学生通过分析等值线分布图的共性，在典型例题中结合各种相关影响因素进行综合分析，总结规律，对提高学生等值线分布图的判读和分析能力，达成教学目的无疑会有很大的帮助。 【知识链接】 1.等值线数值共性整合 等值线数值分析是解答等值线试题的切入点和基础， 也是该类试题考查的重点内容之一。等值线在数值上 一般具有以下共性（以右图的等压线分布图为例）： ①同一条等值线上，要素值处处相等。如图，A 等压线上的数值都为1015.0百帕。 ②等值距全图一致，即任意两条相邻等值线之间 的数值差等于零或等于一个等值距。如图，任意两条 相邻两条等压线的气压差为0或为2.5百帕。 ③等值线向高值凸出处为低值区，向低值凸出处 为高值区。如图，①区域为低压槽；②区域为高压脊。 ④等值线稀疏区体现该要素的变化在该区域的变化较小，等值线密集区体现该要素的变化在该区域的变化较大。如图，③区域等压线密集气压差大；④区域等压线稀疏气压差小。 ⑤两条等值线之间，若出现局部闭合等值线，表示该要素不在正常范围内，等值线闭合 ② ③ ④ Petrel建模算法的几点认识 摘要：petrel软件是地震资料解释、测井分析、地质综合研究、地质建模、数值模拟一体化平台，适用于各种油藏类型，是国内使用比较广泛的建模软件。但对petrel中地质建模部分的具体算法研究较少，因此讨论其具体算法的特点和适用性就具有很大的实际意义。本文就petrel软件的地质建模模块中的算法进行比对和论述。从确定性建模和随机建模两个方面入手，对比分析petrel软件中指示克里金算法，序贯指示模拟算法的优缺点和适用性，希望可以为地质建模人员优选算法和决策建模方法提供参考和借鉴。 关键词：建模算法指示克里金序贯指示模拟 一、确定性建模方法和随机建模方法 1.确定性建模方法 确定性建模是对井间未知区给出确定性的预测结果，即从已知确定性资料的控制点（如井点）出发，推测出点间（如井间）确定的、惟一的和真实的储层参数。主要手段是利用地震资料、水平井资料、露头类比资料和密井网资料1。利用插值方法对井间参数进行内插和外推是确定性建模的主要方法。插值方法包括数理统计插值方法和地质统计学克里金插值方法。其中克里金插值方法是最常用的插值方法。由于储层的随机性，储层预测结果便具有多解性。因此，应用确定性建模方法作出的唯一的预测结果便具有一定的不确定性，以此作为决策基础便具有风险性。为此，人们广泛应用随机模拟方法对储层进行建模和预测。 2.随机建模方法 所谓随机建模，是指以已知的信息为基础，以随机函数为理论，应用随机模拟方法，产生可选的、等可能的储层模型的方法2。这种方法承认控制点以外的储层参数具有一定的不确定性，即具有一定的随机性。因此采用随机建模方法所建立的储层模型不是一个，而是多个，即一定范围内的几种可能实现（即所谓可选的储层模型，以满足油田开发决策在一定风险范围的正确性的需要，这是与确定性建模方法的重要差别。对于每一种实现（即模型），所模拟参数的统计学理论分布特征与控制点参数值统计分布是一致的。各个实现之间的差别则是储层不确定性的直接反映。如果所有实现都相同或相差很小，说明模型中的不确定性因素少；如果各实现之间相差较大，则说明不确定性大。随机模拟与克里金插值法有较大的差别，主要表现在以下三个方面： 2.1克里金插值法为局部估计方法，力图对待估点的未知值作出最优（估计方差最小）的、无偏（估计值均值与观测点值均值相同）的估计，而不专门考虑所有估计值的空间相关性，而模拟方法首先考虑的是模拟值的全局空间相关性，其次才是局部估计值的精确程度。 专题练(十四) 等值线图的判读能力 一、选择题(每小题4分，共44分) (2019·河北五个一名校联盟一诊)2018年11月3日，突发山体滑坡形成的堰塞体阻断了金沙江。下图示意金沙江某段河流及附近等高线地形图，据此完成1～3题。 1．山体滑坡之前，河流①②段( ) A．①处流向②处西南流向东北 B．①处流向②处西北流向东南 C．②处流向①处西南流向东北 D．②处流向①处东北流向西南 2．若堰塞体上游河流流量稳定，在堰塞体自然崩溃之前，①处水位变化为( ) 3．山体滑坡发生后，在等高线地形图中滑坡处的相应等高线( ) A．没有变化B．向高海拔处凸出 C．向低海拔处凸出D．趋于平直 解析：第1题，由河流流向与等高线凸出方向相反可知，图中河流由①处流向②处；结 合指向标，可确定由西北流向东南。 易错警示：注意图中指向标的箭头指向正北方。 第2题，①处位于堰塞体上游，在堰塞体自然崩溃之前，①处水位持续上涨；结合沟谷下窄上宽的特点，在河流流量稳定的前提下，①处河流水位上涨先快后慢。故A正确。 疑难突破：上游来水稳定的前提下，河流水位上涨速度与河道形态相关。图示河流位于高山峡谷中，则河道形态为“V”型；相同来水量，前期因河道下部窄而水位上升快，后期因上部较宽而水位上升较慢。 第3题，山体滑坡发生后，滑坡处地势较两侧低，则相应等高线向高海拔处凸出。 答案：1.B 2.A 3.B (2019·广东惠州调研)地下水位指地下水水面的海拔，浅层地下水水位的起伏形势通常与该地地表一致且催生地下径流，而地下水埋深则是其相对于地表的埋藏深度。如图示意苏州市2005～2015年浅层地下水平均水位与平均埋深。据此完成4～6题。 4．苏州市地势 ( ) A．西南高东北低B．东南高西北低 C．西北高东南低D．东北高西南低 5．甲、乙、丙、丁四个地点中，浅层地下水流速最快的是( ) A．甲B．乙 C．丙D．丁 6．图中丁地的海拔约为( ) A．5.2 m B．2.8 m C．4 m D．1.2 m 解析：第4题，由材料可知，浅层地下水水位的起伏形势通常与该地地表一致。由图中地下水水位线数值的分布可知，图示西北部数值普遍比东南部要大，可知苏州市地势西北高东南低。第5题，由材料“浅层地下水水位的起伏形势通常与该地地表一致且催生地下径 实验报告三 一、实验目的 通过本实验的学习，各种插值法的效果，如多项式插值法，牛顿插值法，样条插值法，最小二乘法拟合（即拟合插值），了解它们各自的优缺点及插值。 二、实验题目 1、 插值效果比较 实验题目：将区间[]5,5-10等份，对下列函数分别计算插值节点k x 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较： 211)(x x f +=；x x f arctan )(=；4 2 1)(x x x f +=。 （1） 做拉格朗日插值； （2） 做三次样条插值。 2、 拟合多项式实验 实验题目：给定数据点如下表所示： i x -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 i y -4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55 分别对上述数据做三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数()i i y x ,和拟合函数的图形。 三、实验原理 n 阶拉格朗日插值 设已知n x x x ,,,10 及()()()x L n i x f y n i i ,,,1,0 ==为不超过n 次的多项式，且满足 插值条件()().,,1,0n i y x L i i n ==由对()x L 2的构造经验，可设 ()()()()(),11000 n n n i i i n y x l y x l y x l y x l x L +++==∑= 其中，()()n i x L i ,,1,0 =均为n 次多项式且满足() .,,1,0,, ,0, ,1n j i j i j i x l j i =?? ?≠==不难验 证，这样构造出的()x L n 满足插值条件。因此问题归结为求()()n i x l i ,,1,0 =的表达式。因 ()i j x i ≠是n 次多项式()x l i 的n 个根，故可设 35 第三章空间平滑和空间插值 本章介绍基于GIS的空间分析中两个常用操作：空间平滑和空间插值。空间平滑和空间插 值关系密切，它们都可以用于显示空间分布态式及空间分布趋势，二者还共享某些算法（如核 密度估计法Find/Replace All）。空间平滑和空间插值的方法有很多种，本章只介绍其中最常用 的几种。 空间平滑与移动平均在概念上类似（移动平均是求一个时间段内的均值），而空间平滑术 是一个空间窗口内计算平均值。第 3.1节介绍空间平滑的概念和方法，第 3.2节是案例分析 3A，用空间平滑法研究中国南方/泰语地名(Find/Replace all)分布。空间插值是用某些点的已知 数值来估算其他点的未知数值。第3.3节介绍了基于点的空间插值，第3.4节为案例3B，演示 了一些常用的点插值法。案例3B所用数据与3A相同，是案例3A工作的延伸。第3.5节介绍 基于面的空间插值，用一套面域数值（一般面单元较小）来估算另一个面域的数值（范围较大）。面插值可用于数据融合以及不同面域单元的数据整合。第 3.6节为案例3C，介绍两种 简单的面插值法。第3.7节为小结。 3.1空间平滑 与移动平均法计算一个时间段的平均值（例如：五日平均温度）相似，空间平滑是将某点 周围地区（定义为一个空间窗口）的平均值作为该点的平滑值，以此减少空间变异。空间平滑 适用面很广。其中一种应用是处理小样本问题，我们在第八章会详细讨论。对于那些人口较少 的地区，由于小样本事件中随机误差的影响，癌症或谋杀等稀有事件发生率的估算不够可靠。 对于某些地区，这样的事情发生一次就可导致一个高发生率，而对于另外许多地区，没有发生 这种事情的结果是零发生率。另外一种应用是将离散的点数据转化为连续的密度图，从而考察 点数据的空间分布模式，可参见下面的第3.2节。本节介绍两种空间平滑方法（移动搜索法及 核密度估计法），附录3介绍经验贝叶斯估计。 第七讲插值方法与数据拟合 § 7.1 引言 在工程和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据(x i , y i ) (i= 1, 2, …, n) 揭示自变量x与因变量y 之间的关系，一般可以用一个近似的函数关系式y = f (x) 来表示。函数f (x) 的产生办法因观测数据与要求的不同而异，通常可采用两种方法：插值与数据拟合。 § 7.1.1 插值方法 1．引例1 已经测得在北纬32.3?海洋不同深度处的温度如下表： 根据这些数据，我们希望能合理地估计出其它深度（如500米、600米、1000米…）处的水温。 解决这个问题，可以通过构造一个与给定数据相适应的函数来解决，这是一个被称为插值的问题。 2．插值问题的基本提法 对于给定的函数表 其中f (x) 在区间[a, b] 上连续，x0，x1，…，x n为[a, b] 上n + 1个互不相同的点，要求在一个性质优良、便于计算的函数类{P(x)} 中，选出一个使 P(x i ) = y i，i= 0, 1, …, n(7.1.1) 成立的函数P(x) 作为 f (x) 的近似，这就是最基本的插值问题（见图7.1.1）。 为便于叙述，通常称区间[a, b] 为插值区间，称点x0，x1，…，x n为插值节点，称函数类{P(x)} 为插值函数类，称式(7.1.1) 为插值条件，称函数P(x) 为插值函数，称f (x) 为被插函数。求插值函数P(x) 的方法称为插值法。 § 7.1.2 数据拟合 1．引例2 在某化学反应中，已知生成物的浓度与时间有关。今测得一组数据如下： 根据这些数据，我们希望寻找一个y = f (t) 的近似表达式（如建立浓度y与时间t之间的经验公式等）。从几何上看，就是希望根据给定的一组点（1, 4.00），…,（16, 10.60），求函数y = f (t) 的图象的一条拟合曲等高线的基础知识和判图技巧
等值线的类型及判读
Petrel建模算法的几点认识
2020年高考地理二轮复习第二部分专题一等值线图的判读能力课时作业[含答案]
数值计算插值法与拟合实验
Chapter03第三章 空间平滑和空间插值
插值法与数据拟合法
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