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2018 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)
数 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。
学
4 页，选择题部分 1 至 2 页；非选择题部分 3 至
考生注意：
1．答题前， 请务必将自己的姓名、 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题 纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题
选择题部分(共 40 分)
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是 符合题目要求的。
1．已知全集 U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则 e U A= A ．
B ．{1，3}
C ．{2，4， 5}
D ．{1，2，3，4，5}
卷上的作答一律无效。 参考公式：
若事件 A ，B 互斥，则 P(A B) P(A) P(B) 若事件 A ，B 相互独立，则 P(AB) P(A)P(B) 若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，则 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 k k n k
P n (k) C k n p k (1 p)n k (k 0,1,2, ,n) 台体的体积公式 V 1
(S 1 S 1S 2 S 2)h 其中 S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， h 表 示台体的高
柱体的体积公式 V Sh
其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高
1
锥体的体积公式 V Sh
3
其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高 球的表面积公式
2
S 4 R
2
球的体积公式
43
2
2．双曲线x y2=1 的焦点坐标是
3
A．（- 2 ，0），（ 2，0）
C．（0，- 2），（0， 2 ）
3．某几何体的三视图如图所示
（单位：
B．（-2 ，0），
（2 ， 0）
D．（0 ，-2），
（0 ，2）
cm ），则该几何体的体积（单位： cm
3）是
侧视图
A．2 B．4 C
．
D．
4 ．复数2（i 为虚数单位）的共轭
复数是
1i
A ． 1
+i
B． 1
-i
C
．
5．函数y= 2|x| sin2 x的图象
可能是
6．已知平面α，直线m，n 满足m
α，
B．必要不充分条
件
n α，
A ．充分不必要
条件
C ．充分必要
条件
D．既不充分也不必要
条件
7．设 0< p <1 ，随机变量ξ的分布列是
则当p 在（ 0，1）内增大时，
A ．D（ξ）减小B．D（ξ）增大
C ．D（ξ）先减小后增大
D ．D（ξ）先增大后减小
8．已知四棱锥S- ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB 上的点（不含端点），设SE与BC 所成的角为θ1 ，SE与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S- AB- C 的平面角为θ3，则 A ．θ1 ≤θ2≤ θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C ．θ1≤θ3≤θ2
D ．θ2≤ θ3 ≤ θ1 π
9．已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π，向量b
满足 3 b2- 4e·b +3=0 ，则| a- b| 的最小值是
A． 3-1 B． 3+1 C．2 D． 2- 3
10．已知 a1,a2,a3,a4成等比数列，且a1 a2 a3 a4 ln(a1 a2 a3) ．若a1 1，则A．a1 a3,a2 a4 B． a1 a3,a2 a4 C ． a1 a3,a2 a4 D． a1 a3,a2 a4
非选择题部分（共 110 分）
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。
11 ．我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；
鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别
x y z 100,
为x，y，z，则1当z 81时， x _______________________ ， y _________ ．
5x 3y z 100,
3
x y 0,
12．若x, y满足约束条件 2x y 6,则 z x 3y的最小值是_______，最大值是 ________
x y 2,
13 ．在△ ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a= 7 ，b =2，A=60 °，则
sin B= ________________________________________________________________________
c = ________ ．
14．二项式（3x 1）8的展开式的常数项是______
2x
x 4,x
15．已知λ∈R，函数f（x）= 2，当λ=2 时，不等式f（x）<0 的解集是
．若
x24x 3,x
函数f（x）恰有 2 个零点，则λ的取值范围是．
16．从 1 ，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4 ，6 中任取 2 个数字，一共可以组成 __________________________________________________________________________
个没有重复数字的四位数 .（用数字作答）
17．已知点P（0 ，1），椭圆x+y2=m（m>1）上两点A，B 满足AP =2 PB ，则当m = _
4
时，点B 横坐标的绝对值最大．学科 *网三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18 ．（本题满分 14 分）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过
34
点P（， - ）．
55
（Ⅰ）求 sin （α+π）的值；
5
（Ⅱ）若角β满足 sin（α+β）= ，求 cos β的值．
13
19．（本题满分 15 分）如图，已知多面体ABCA 1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面
ABC ，∠
ABC =120 °，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2 ．
Ⅰ）证AB 1⊥平面
（Ⅱ）求直线AC1 与平面ABB1所成的角的正弦值．
20．（本题满分 15 分）已知等比数列｛a n｝的公比q>1，且a3+a4+a5=28 ，a4+2 是a3，a5
的等差中项．数列
｛b n｝满足b 1=1 ，数列｛（b n+1 - b n）a n｝的前n 项和为 2n2+n．
（Ⅰ）求q 的值；
（Ⅱ）求数列 {b n}的通项公式．学 *科网
21 ．（本题满分 15 分）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线C ：
y2=4x 上存在不同的两点A，B满足PA，PB 的中点均在C 上．
B
（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM 垂直于y 轴；
2
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+ y =1（x<0）上的动点，求△ PAB 面积的取值范围．
4
22 ．（本题满分 15 分）已知函数f（x）= x - ln x．
（Ⅰ）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+ f（x2）>8-
8ln2 ；
（Ⅱ）若a≤ 3-4ln2 ，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a 与曲线y= f （x）有唯一公共点．
、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 40 分。 1.C 2.B 3.C 4.B
5.D
6.A
7.D 8.D 9.A
10.B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题 6 分，单空题每题 4 分， 满分 36 分。 11.8 ； 11
12.-2 ；8
13. 21
;3
7
14.7
15. (1,4);(1,3] (4, )
16.1260
17.5
三、解答题：本大题共 5小题，共 74 分。
18. 本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分 14 分。
34 (Ⅰ)由角 的终边过点 P( , )
得 sin
55 4
所以 sin( π) sin .
5
34
(Ⅱ)由角 的终边过点 P( , ) 得 cos
55
5 12
由 sin( ) 得 cos( ) .
13 13
由 ( ) 得 cos cos( )cos sin( )sin ，
4
， 5
3
， 5 所以
cos
56
或 cos
16
.
65 65
19.本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时
力和运算求解能力。满分 15 分。 方法一：
Ⅰ)由 AB 2,AA 1 4,BB 1 2,AA 1 AB,BB 1 AB 得 AB 1 A 1B 1 2 2 ， 所以 A 1B 12 AB 12
AA 1
2. 故
AB
1 A 1B 1 .
由 BC 2 ， BB
1 2,CC 1 1, BB 1 BC , CC 1 BC 得 B 1C 1
5 ，
2018 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数 学·参考答案
由 AB BC 2, ABC 120 得 AC 2 3 ，
由CC 1 AC ，得 AC 1 13，所以 AB 12
B 1
C 12
AC 12
，故 AB 1 B 1C 1 . 因此 AB 1 平面 A 1B 1C 1 . Ⅱ）如图，过点 C 1作C 1D A 1B 1 ，交直线 A 1B 1于点 D ，连结 AD .
由 AB 1 平面 A 1 B 1C 1 得平面 A 1B 1C 1 平面 ABB 1 ， 由 C 1D A 1B 1 得 C 1D 平面 ABB 1 ，
所以 C 1AD 是 AC 1与平面 ABB 1所成的角 .学科 .网
由
B 1
C 1
5, A 1B 1 2 2, A 1C 1 21得
cos C 1A 1B 1
,sin C 1A 1B 1
所以 C 1D 3 ，故 sin C 1AD
C 1
D 39 AC 1 13
因此，直线 AC 1与平面 ABB 1 所成的角的正弦值是
39
13
方法
Ⅰ）如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB ，OC 为 x ，y 轴的正半轴，建立空间直
角坐标系 O -xyz .
由题意知各点坐标如下：
A(0, 3,0), B(1,0,0), A 1(0, 3,4), B 1(1,0,2), C 1(0, 3,1), uuru uu u r uu u r
因此 AB 1 (1, 3,2), A 1B 1 (1, 3, 2), A 1C 1 (0,2 3, 3), uuru uu u r
由 AB 1 A 1B 1 0得 AB 1 A 1B 1 . uuru uu u r
由 AB 1 A 1C 1 0得 AB
1 A 1C
1.
所以 AB 1 平面 A 1B 1C 1 .
(Ⅱ)设直线 AC 1与平面 ABB 1 所成的角为 .
uuur uuur uuur
由(Ⅰ)可知 AC 1 (0,2 3,1), AB (1, 3,0), BB 1 (0,0,2),
设平面 ABB 1的法向量 n (x,y,z) .
uuur
n AB 0, x 3y 0,
由 uuru 即 可取 n ( 3,1,0) n BB 1 0, 2z 0,
uuur
uuur
| AC 1 n | |cos AC 1, n | uuur 1
| AC 1 | |n |
因此，直线 AC 1与平面 ABB 1 所成的角的正弦值是 39
.
13
20.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应 用能力。满分 15 分。
Ⅰ)由 a 4 2是 a 3 , a 5的等差中项得 a 3 a 5 2a 4 4 ，
所以 sin 39
13
所以a3 a4 a5 3a4 4 28 ，
2 解得 a 4 8.
1
由 a 3 a 5 20 得8(q ) 20 ，
q
因为 q 1，所以 q 2.
Ⅱ)设 c n (b n 1 b n )a n ，数列 {c n } 前 n 项和为 S n .
由(Ⅰ)可知 a n 2n 1
， 所以b n 1 b n (4n 1) (1
2)n 1
，
故 b n b n 1 (4n 5) (1
)n 2
,n 2，
2
b n b 1 (b n b n 1) (b n 1 b n 2)
(b 3 b 2) (b 2 b 1)
1 n
2 1 n
3 1 (4n 5) ( )n 2 (4n 9) ( )n 3
7 3.
2 2 2 1 1 2 1 n 2
设T n 3 7 11 ( )2 (4n 5) ( )n 2
,n 2 ，
2 2 2
1 1 1
2 1 n 2 1 n 1
T n 3 7 ( )2
(4n 9) ( )n 2 (4n 5) ( )n 1 2 n 2 2 2 2 1 1 1 1 1
所以 T n 3 4 4 ( )2 4 ( )n 2 (4n 5) ( )n 1
，
2 2 2 2 2
1
n2
因此 T n 14 (4n 3) ( )n 2
,n 2 ，
2 又 b 1 1，所以 b n 15 (4n 3) (1
)n 2
.
2
21 ．本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知
识，同时考查运算 求解能力和综合应用能力。满分 15 分。
1 2 1 2
(Ⅰ)设 P(x 0,y 0)， A( y 12, y 1) ， B( y 22
,y 2)．
44
因为 PA ， PB 的中点在抛物线上，所以 y 1， y 2 为方程
由 c n
S 1,n 1, S n S n
1,n 2.
解得 c n 4n 1
(y
2y 0
)2 4
14
y 2
x 0
4
2
即
y
2
2
2y 0y 8x 0 y 0 0 的两个不同的实数根．
所以y1 y2 2y0 ．
2
因此，PM 垂直于y 轴．y1 y2 2 y0 ,
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知2
y1 y2 8x0 y0 ,
所以|PM | 81( y11 2 y22) x0 43y02 3x0，|y1 y2 | 2 2(y024x0)． 1 3 23因此，△PAB的面积S△PAB1|PM | |y1 y2 | 3 2(y02 4x0)2．
24
2
因为x02 y0 1(x0 0) ，所以y02 4 x0 4x02 4x0 4 [4,5] ．
4
因此，△PAB面积的取值范围是[6 2,15 10] ．
4
22 ．本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力。
满分 15 分。
11
（Ⅰ）函数f（x）的导函数 f （x），
2 x x
11
由 f (x1) f (x2) 得21x1 x11
因为 x1 x2，所以 x1x2 256 ．
1 1 1
因为x1 x2
，所以
x1 x22
11
2 x2x2 ，
由基本不等式得1x
1x2 x1 x2 2 4 x1x2 ．
由题意得f ( x1) f (x2 ) x1 ln x1 x2 ln x2 21 x1x2 ln(x1x2) ．
设 g( x) 1 x lnx
2
则 g ( x) 1 ( x
4)
4x
1 个实根．
所所以 g （x ）在 [256 ，+ ∞）上单调递增， 故 g （x 1x 2） g （256） 8
8ln 2 ， 即 f (x 1) f(x 2) 8 8ln
2． Ⅱ)令 m =e (a k)
，n = (
a 1)2
1 ，则 k f (m )–km –a >| a |+ k –k –a ≥ 0，
1a f (n )–kn –a |a|n 1 k)<0， 所以，存在 x 0∈（ m ，n ）使 f （x 0） =kx 0+a ， 所以，对于任意的 a ∈R 及 k ∈（0， 由 f （x ）=kx +a 得 k x ln x a x + ∞），直线 y = kx + a 与曲线 y =f （ x ）有公共点． 设 h （ x ）= x ln x a 则 h ′ （ x ） x x ln x 1 a 2 2 x g(x) 1 a ， x 2 其中 g （x ） = x lnx ． 2 由（Ⅰ）可知 g (x )≥ g 16 ）， 又 a ≤ 3– 4ln2 ， 故–g （x ） 1+a ≤– g 16) 1+a =–3+4ln2+ a ≤ 0， 所以 h ′（ x ） ≤ 0，即函数 h （x ） 在（ 0 ，+ ∞）上单调递减，因此方程 f （x ）– kx – a =0 至多 综上，当 a ≤ 3–4ln2 时，对于任意k>0 ，直线y=kx+a 与曲线y=f（x）有唯一公共点．
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