第4章 静定结构的位移计算习题解答
习题4.1 是非判断题
(1) 变形体虚功原理仅适用于弹性体系，不适用于非弹性体系。（ ） (2) 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。（ ）
(3) 功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。（ ） (4) 反力互等定理仅适用于超静定结构，不适用于静定结构。（ ） (5) 对于静定结构，有变形就一定有内力。（ ） (6) 对于静定结构，有位移就一定有变形。（ ）
(7) 习题4.1(7)图所示体系中各杆EA 相同，则两图中C 点的水平位移相等。（ ） (8) M P 图，M 图如习题4.1(8)图所示，EI =常数。下列图乘结果是正确的：
4
)832(12l
l ql EI ??? （ ）
(9) M P 图、M 图如习题4.1(9)图所示，下列图乘结果是正确的：
0332
02201111)(1y A EI y A y A EI ++ （ ）
(10) 习题4.1(10)图所示结构的两个平衡状态中，有一个为温度变化，此时功的互等
定理不成立。（ ）
(a)(b)
习题 4.1(7)图
图
(b)M
图
(a)M P
M (b)P M 图
(a)
习题 4.1(8)图 习题 4.1(9)图
(a)P
习题 4.1(10)图
【解】（1）错误。变形体虚功原理适用于弹性和非弹性的所有体系。
（2）错误。只有一个状态是虚设的。 （3）正确。
（4）错误。反力互等定理适用于线弹性的静定和超静定结构。 （5）错误。譬如静定结构在温度变化作用下，有变形但没有内力。 （6）错误。譬如静定结构在支座移动作用下，有位移但没有变形。 （7）正确。由桁架的位移计算公式可知。
（8）错误。由于取0y 的M 图为折线图，应分段图乘。 （9）正确。 （10）正确。 习题4.2 填空题
(1) 习题4.2(1)图所示刚架，由于支座B 下沉?所引起D 点的水平位移?D H =______。 (2) 虚功原理有两种不同的应用形式，即_______原理和_______原理。其中，用于求位移的是_______原理。
(3) 用单位荷载法计算位移时，虚拟状态中所加的荷载应是与所求广义位移相应的________。
(4) 图乘法的应用条件是：__________且M P 与M 图中至少有一个为直线图形。 (5) 已知刚架在荷载作用下的M P 图如习题4.2(5)图所示，曲线为二次抛物线，横梁的
抗弯刚度为2EI ，竖杆为EI ，则横梁中点K 的竖向位移为________。
(6) 习题4.2(6)图所示拱中拉杆AB 比原设计长度短了1.5cm ，由此引起C 点的竖向位移为________；引起支座A 的水平反力为________。
(7) 习题4.2(7)图所示结构，当C 点有F P =1(↓)作用时，D 点竖向位移等于? (↑)，当E 点有图示荷载作用时，C 点的竖向位移为________。
(8) 习题4.2(8)图（a ）所示连续梁支座B 的反力为)(16
11R ↑=B F ，则该连续梁在支座B
下沉?B =1时（如图（b ）所示），D 点的竖向位移D δ=________。
习题 4.2(1)图 习题 4.2(5)图
M =1
习题 4.2(6)图 习题 4.2(7)图
(a)
(b)
习题 4.2(8)图
【解】（1）
()3
?
→。根据公式R ΔF c =-∑计算。
（2）虚位移、虚力；虚力 。 （3）广义单位力。
（4）EI 为常数的直线杆。 （5）
48.875
()EI
↓。先在K 点加单位力并绘M 图，然后利用图乘法公式计算。 （6）1.5cm ↑；0。C 点的竖向位移用公式N ΔF l =?∑计算；制造误差不会引起静定结构产生反力和内力。
（7）
()a
?
↑。由位移互等定理可知，C 点作用单位力时，E 点沿M 方向的位移为
21a
?
δ=-
。则E 点作用单位力M =1时，C 点产生的位移为12a
?
δ=-
。
（8）
11
()16
↓。对（a ）
、（b ）两个图示状态，应用功的互等定理可得结果。 习题4.3 分别用积分法和图乘法求习题4.3图所示各指定位移?C V 。EI 为常数。 【解】1）求?C V
P
14M P （b ） 图
（c ）
图41M
（a ）
习题4.3(1)图
（1） 积分法
绘M P 图，如习题4.3（1）(b)图所示。在C 点加竖向单位力F P =1，并绘M 图如习题4.3（1）(c)图所示。由于该两个弯矩图对称，可计算一半，再将结果乘以2。
AC 段弯矩为
12M x =
，P P 1
2
M F x = 则
3/2
P V P 0
111
2d ()2248l C F l x F x x EI EI
?=???=↓?
（2） 图乘法
3P P V
1122()2423448C F l F l l l
EI EI
?=??????=↓
2)求?C V
（b ） 图（kN·
m ）P M （c ） 图M
习题4.3(2)图
（1） 积分法
绘M P 图，如习题4.3（2）(b)图所示。在C 点加竖向单位力并绘M 图，如习题4.3（2）(c)图所示。以C 点为坐标原点，x 轴向左为正，求得AC 段（0≤x ≤2）弯矩为
M x =，2P 10(2)M x =?+
则
2
2V 0
168010(2)d ()3C x x x EI EI
?=??+=↓?
（2） 图乘法
由计算位移的图乘法公式，得
V 112112680
1602240221021()232333C EI EI
???=
????+????-???=↓???? 3)求?C V
（a ）
M
（c ） 图（b ） 图
l 2
M P P /2ql =21ql 4
习题4.3(3)图
（1） 积分法
绘M P 图，如习题4.3（3）(b)图所示。在C 点加竖向单位力并绘M 图，如习题4.3（3）(c)图所示。根据图中的坐标系，两杆的弯矩（按下侧受拉求）分别为 AB 杆
12M x =-，2P 1
42
ql M x qx =-
CB 杆
M x =，P 2
ql
M x =
则
4
/2
2V
00
1111d d ()242224l
l C ql ql ql x x qx x x x x EI
EI EI
???=-?-+?=↓ ???
??
（2）图乘法
2224
V
1122112()243238222423224C ql l ql l ql l l ql l l EI EI
???=????-????+????=↓ ??? 4)求?A
A
EI B l
l
2EI 2（a ）
（b ） 图
M P （c ） 图M
ql 2/8
ql 2
/22
ql 1/3
1
1
习题4.3（4）图
（1）积分法
绘M P 图，如习题4.3（4）(b)图所示。在A 点加单位力偶并绘M 图，如习题4.3（4）(c)图所示。以A 为坐标原点，x 轴向右为正，弯矩表达式（以下侧受拉为正）为
113M x l =-
，2P 3122
M qlx qx =- 则
23P P
V 02232202d d 2113111311d 1d 2322322l
l C l l l l MM MM x x
EI EI x qlx qx x x qlx qx x
EI l EI l
?=+????????
=-?-+-?- ? ? ? ?????????
????
35
8ql EI
=
（ ） （2） 图乘法
由计算位移的图乘法公式，得
2
22
21
12112111212122333323211212111 2333832A ql l l ql EI
ql l l ql EI ???????=
????+?+???+? ? ????????
???+????+????????
35
8ql EI
=
（ ） 习题4.4 分别用积分法和图乘法求习题4.4(a)图所示刚架C 点的水平位移?C H 。已知EI =常数。
习题4.4图
【解】1）积分法
D
q
l l
B
A
C
l
A
B
l
D
C
A
B
D
C
22ql 2
ql 2
81ql 2(b)图M P M 图
(c)(a)
x
x
1l
P M 、M 图分别如习题 4.4（b ）、（c ）图所示，建立坐标系如（c ）图所示。各杆的弯
矩用x 表示，分别为 CD 杆
M x =，P 12
M qlx =
AB 杆
M x =，2P 1
2
M qlx qx =-
代入公式计算，得
2H 001111d ()d 22l
l C x qlx x x qlx qx x EI EI ?=??+??-?
?43
()8ql EI =
→ 2）图乘法
224H
112232()2233828C ql ql l l l l ql EI EI
???=????+???=→ ??? 习题4.5 习题4.5(a)图所示桁架各杆截面均为A =2×10-3m 2，E =2.1×108kN/m 2，F P =30kN ，d =2m 。试求C 点的竖向位移V C ?。
(b) 图
NP F A D
C
1
0.5
1--/2
√2
2/2
√0
00
N F （c ） 图d
1d （d ） 图
F N 1d
2√P
2F P F F P E
2C
F P
B
D
E P
F P
F 2
√P
F 2
-2P
F
2√-3(a)
(b) 图
NP F
1
N F （c ） 图d
1d 2√1
-d 2√1d
2√1
-d
2√（d ） 图
F N 1d 2√√P
习题 4.5图
【解】绘NP F 图，如习题4.5(b)图所示。
在C 点加竖向单位力，并绘N F 图，如习题4.5(c )图所示。 由桁架的位移计算公式N NP
F F Δl EA =
∑，求得
V P 10 2.64mm()C F d EA
?+=
=↓ 习题4.6 分别用图乘法计算习题4.3和习题4.4中各位移。（见以上各题） 习题4.7 用图乘法求习题4.7（1）、（2）、（3）、（4）图所示各结构的指定位移。EI 为常
数。
【解】
1）求V C ?
q
=4m
EI
l 3m
A
B
EI
l =4m
C
ql 12q
3416q
7
4
1
（a ）
P M （b ） 图M
（c ） 图
习题 4.7（1）图
绘P M 图，如习题4.7（1）(b)图所示；在C 点加竖向单位力，并绘M 图，如习题4.7（1）(c )图所示。
由计算位移的图乘法公式，得
V 22112111234574165742332331112113 442233242354 ()
3C AB BC
q q EI
ql l ql l EI q EI ???????=
????+?+????+? ? ????????
???+
????+????????=↓
2）求?D
D
2EI A
l /2
l q
EI
EI
2C B
2
ql /2
l 1
1
1
1
/8
ql 22/8
/8
2
ql 2/81317（a ）
（b ） 图
M P （c ） 图M
习题 4.7（2）图
绘P M 和M 图，分别如习题4.7（2）(b )、(c )图所示。 由计算位移的图乘法公式，得
222
2111317111111122888382D l ql ql ql l ql EI EI ?????=
?+?+??+??? ??????
? 313
12ql EI
=
（ ）
3）求A 、B 两截面的相对转角?AB
ql EI
C
l B
A
2EI
q
2l
C
/8
2
ql 2
2ql 1
1
（a ）
（b ） 图
M P （c ） 图M
习题 4.7（3）图
绘P M 和M 图，分别如习题4.7（3）(b )、(c )图所示。 由计算位移的图乘法公式，得
221121212238AB ql l ql l EI ???
=
???-??? ???
311
24ql EI
=
（ ） 4）求C 、D 两点间的相对线位移CD ?及铰C 左右两侧截面C 1、C 2之间的相对转角12
C C ?
l
P
F D
EI
l
l
l
l B
A l
F P
C C C C
C C
/2
l P F A B
F /2
P l F /2
P l F /2
P l l
F P l F P A
B D 11
12
√A
B
D
1
1
1
11
（b ） 图
P M （c ） 图M
（c ） 图M
习题 4.7（4）图
绘P M 图，如习题4.7（4）(b )图所示。分别加一对单位力和单位力偶，并绘M 图，如习题4.7（4）(c )、(d )图所示。
由计算位移的图乘法公式，得
P 1111223
2CD F l l EI ???=
????? ??? 3P 2()24F l EI
=→← 12
P 111112232C C l F l EI ???=
??????????
2P 1
6F l EI
=
（ ） 习题4.8 求习题4.8(a)图所示刚架A 、B 两点间水平相对位移，并勾绘变形曲线。已知EI =常数。
B
A
q q
l q
l /2
/2
l /8
2
ql /242ql /24
ql 2/2l /2l /2
l 1
1
A B
(b)图
M P (c)图
M (d)变形曲线
A
B A
B
习题 4.8图
【解】绘P M 和M 图，分别如习题4.8(b )、(c )图所示。则
222411141212424252242382 ()
60AB l l
l l ql ql l ql l EI
ql
EI
???=
?????+??-???????
=-→←
变形曲线如习题4.8(d )图所示，需注意图中A 、B 两点以上为直线。 习题4.9 习题4.9(a)图所示梁的EI =常数，在荷载F P 作用下，已测得截面B 的角位移为0.001rad （顺时针），试求C 点的竖向位移。
(a)
(b)图
M P M 图
(c)
习题 4.9图
【解】绘P M 图，在B 点加单位力偶并绘M 图，分别如习题4.9(b )、(c )图所示。图乘得
P
3B F EI
?=
令0.001B ?=，得P 0.001
3
F EI =
。 下面求V C ?（在P M 图中令P 1F =即为对应之M 图）：
P V P P 271
1
2123333639mm()2323C F F F EI
EI ???=
????+????==↓????
习题4.10 习题4.10(a)图所示结构中，EA =4×105kN ，EI =2.4×104kN·m 2。为使D 点竖
向位移不超过1cm ，所受荷载q 最大能为多少？
NP F P M （b ） 图、 图F N M （c ） 图、 图
习题 4.10图
【解】绘梁杆的P M 图、桁杆的NP F 图，如习题4.10(b ) 图所示。
在D 点加竖向单位力，绘梁杆的M 图、桁杆的N F 图，如习题4.10(c )图所示。 由组合结构的位移计算公式，求得V D ?为
[]
V 11
2213242421222233341
1.5(0.5)37.5
2.552183 2D q q q EI
q q EA q q
EI EA
???=
????-???+????????+?-?+??=+
令V 0.01D ?=，解得
32.04kN /m q =
即q 不超过32.04kN/m 时，D 点竖向位移不超过1cm 。
习题4.11 试计算由于习题4.11(a)图所示支座移动所引起C 点的竖向位移?C V 及铰B 两侧截面间的相对转角21B B ?。
R2F =3F R2（a ）
（b ）
习题 4.11图
【解】在C 点加一竖向单位力，求出支座移动处的反力，如习题4.11(b ) 图所示。则
V R (10.0130.02)0.07()C F c a a a ?=-=--?-?=↓∑
在铰B 两侧截面加一对单位力偶，求出支座移动处的反力，如习题4.11(c ) 图所示。则
12
0B B ?=
习题4.12 习题4.12(a )、(b)图所示刚架各杆为等截面，截面高度h =0.5m ，α =10-5，刚架内侧温度升高了40℃，外侧升高了10℃。试求：
图（a ）中A 、B 间的水平相对线位移?AB 。 图（b ）中的B 点的水平位移?B H 。
(a)
(b)
F F F F M （c ） 图、 图
N N （d ） 图、 图
M F
习题 4.12图
【解】1）求图（a ）中?AB
在A 、B 两点加一对单位力，绘M 图和N F 图，如习题4.12(c ) 图所示。按如下公式计算?AB
N
d AB t
M x t F l h
α?α?=+∑
∑?
因AC ，BD 杆两侧温度均升高了40℃，对上式无影响。其他四边代入上式计算结果相
互抵消，故0AB ?=。
2）求图（b ）中的?B H
在B 点加一水平单位力，绘M 图和N F 图，如习题4.12(d ) 图所示。
H (4010)1
1040
4421420.0116m()2
2
B h
α?α?-+=
????+????=→ 习题4.13 由于制造误差，习题4.13(a)图所示桁架中HI 杆长了0.8cm ，CG 杆短了0.6cm ，试求装配后中间结点G 的水平偏离值?G H 。
F (b)
习题 4.13图
【解】在G 点加一水平单位力，解出HI ，CG 杆的轴力N F ，如习题4.13(b)图所示。则
H N (0.810.50.6) 1.1cm()G F l ?=?=?+?=→∑
习题4.14 求习题4.14(a)图所示结构中B 点的水平位移?B H 。已知弹性支座的刚度系数k 1=EI/l ，k 2=2EI /l 3。
l
ql =（c ） 图（b ） 图
（a ）M
P M
习题 4.14图
【解】（1）绘P M 图，并求支反力R F ，如习题4.14(b)图所示。
（2）在B 点加一水平单位力，绘M 图，并求支反力R F ，如习题4.14(c)图所示。 （3）由公式P R R
d MM F F Δs EI k =
+∑∑?，得
422
H
1124()233B l ql ql l l l ql EI EI EI
?=???+??=→
第三章 静定结构的位移计算 一、判断题： 1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。 2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。 3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。 4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取： A. ; ; B. D. C. M =1 5、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。 6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。 M k M p 2 1 y 1 y 2 * * ωω ( a ) M =1 7、图a 、b 两种状态中，粱的转角?与竖向位移δ间的关系为：δ=? 。 8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。 A a a 9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。 二、计算题： 10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角?A ，EI = 常数。 q l l l /2 11、求图示静定梁D 端的竖向位移 ?DV 。 EI = 常数 ，a = 2m 。
a a a 10kN/m 12、求图示结构E 点的竖向位移。 EI = 常数 。 l l l l /3 2 /3 /3 q 13、图示结构，EI=常数 ，M =?90kN m , P = 30kN 。求D 点的竖向位移。 P 3m 3m 3m 14、求图示刚架B 端的竖向位移。 q 15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。 q 16、求图示刚架中Ｄ点的竖向位移。EI ＝ 常数 。 l l l/2 17、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。 EI ＝ 常数 。
第4章 静定结构的位移计算 4.1 结构位移的概念 4.1.1 结构位移 结构都是由变形材料制成的，当结构受到外部因素的作用时，它将产生变形和伴随而来的位移。变形是指形状的改变，位移是指某点位置或某截面位置和方位的移动。 如图4.1(a)所示刚架,在荷载作用下发生如虚线所示的变形，使截面A 的形心从A 点移动到了A ′点，线段AA ′称为A 点的线位移，记为A ?，它也可以用水平线位移Ax ?和竖向线位移Ay ?两个分量来表示如图4.1(b)。同时截面A 还转动了一个角度，称为截面A 的角位移，用A ?表示。又如图4.2所示刚架，在荷载作用下发生虚线所示变形，截面A 发生了A ?角位移。同时截面B 发生了B ?的角位移，这两个截面的方向相反的角位移之和称为截面A 、B 的相对角位移，即B A AB ???+=。同理，C 、D 两点的水平线位移分别为 C ?如 D ?，这两个指向相反的水平位移之和称为C 、D 两点的水平相对线位移，既D C CD ?+?=?。 除上述位移之外，静定结构由于支座沉降等因素作用，亦可使结构或杆件产生位移，但结构的各杆件并不产生内力，也不产生变形，故把这种位移称为刚体位移。 一般情况下，结构的线位移、角位移或者相对位移，与结构原来的几何尺寸相比都是极其微小的。 图4.1 图4.2
引起结构产生位移的主要因素有：荷载作用、温度改变、支座移动及杆件几何尺寸制造误差和材料收缩变形等。 4.1.2 结构位移计算的目的 1. 验算结构的刚度 结构在荷载作用下如果变形太大，即使不破坏也不能正常使用。既结构设计时，要计算结构的位移，控制结构不能发生过大的变形。让结构位移不超过允许的限值，这一计算过程称为刚度验算。 2. 解算超静定 计算超静定结构的的反力和内力时，由于静力平衡方程数目不够，需建立位移条件的补充方程，所以必须计算结构的位移。 3. 保证施工 在结构的施工过程中，也常常需要知道结构的位移，以确保施工安全和拼装就位。 4. 研究振动和稳定 在结构的动力计算和稳定计算中，也需要计算结构的位移。 可见，结构的位移计算在工程上是具有重要意义的。 4.1.3 位移计算的有关假设 在求结构的位移时，为使计算简化，常采用如下假定： (1) 结构的材料服从胡克定律，既应力应变成线性关系。 (2) 结构的变形很小，不致影响荷载的作用。在建立平衡方程时，仍然用结构原有几何尺寸进行计算；由于变形微小，应力应变与位移成线性关系。 (3) 结构各部分之间为理想联结，不需要考虑摩擦阻力等影响。 对于实际的大多数工程结构，按照上述假定计算的结果具有足够的精确度。满足上述条件的理想化的体系，其位移与荷载之间为线性关系，常称为线性变形系。当荷载全部去掉后，位移即全部消失。对于此种体系，计算其位移可以应用叠加原理。 位移与荷载之间呈非线性关系的体系称为非线性变形体系。线性变形体系和非线性变形体系统称为变形体系。本书只讨论线性变形体系的位移计算。 4.2 变形体系的虚功原理 4.2.1 虚功和刚体系虚功原理 实功：若力在自身引起的位移上做功，所做的功称为实功。 虚功：若力在彼此无关的位移上做功，所做的功称为虚功。 虚功有两种情况：其一，在做功的力与位移中，有一个是虚设的，所做的功是虚功；
静定结构的位移计算 一、判断题： 1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。 2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。 3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。 4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取： A. ; ; B. D. C. =1 5、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。 6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。 M k M p 2 1 y 1 y 2 * * ωω ( a ) M =1 7、图a 、b 两种状态中，粱的转角?与竖向位移δ间的关系为：δ=? 。 二、计算题： 10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角?A ，EI = 常数。 q l l l /2 11、求图示静定梁D 端的竖向位移 ?DV 。 EI = 常数 ，a = 2m 。
a a a 10kN/m 12、求图示结构E 点的竖向位移。 EI = 常数 。 l l l /3 2 /3 /3 q 14、求图示刚架B 端的竖向位移。 q 15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。 17、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。 EI ＝ 常数 。 18、求图示刚架中D 点的竖向位移。 E I = 常数 。 q l l l/l/22
19、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角，EI＝常数。 23 l/ l/3 20、求图示结构A、B两点的相对水平位移，E I = 常数。 l l 26、求图示刚架中铰C两侧截面的相对转角。 27、求图示桁架中D点的水平位移，各杆EA 相同。 a 30、求图示结构D点的竖向位移，杆AD的截面抗弯刚度为EI，杆BC的截面抗拉（压）刚度为EA。
§1.3超静定结构的计算 超静定结构是具有多余约束的几何不变体系，仅根据静力平衡条件 不能求出其全部支座反力和内力，还须考虑变形协调条件。 计算超静定结构的基本方法是力法和位移法。这两种基本方法的解 题思路，都是设法将未知的超静定结构计算问题转换成已知的结构计算 问题。转换的桥梁就是基本体系，转换的条件就是基本方程，转换后要 解决的关键问题就是求解基本未知量。 1.3.1力法 力法是以多余未知力为基本未知量、一般用静定结构作为基本结构，以变形协调条件建立基本方程来求解超静定结构内力的计算方法。 （一）超静定次数的确定一 超静定结构多余约束（或多余未知力）的数目称为超静定次数，用 n表示。 确定超静定次数的方法是：取消多余约束法，即去掉超静定结构中 的多余约束，使原结构变成静定结构，所去掉的多余约束的数目即为原 结构的超静定次数。 在结构上去掉多余约束的方法，通常有如下几种： ●切断一根链杆，或者移去一个支座链杆，相当于去掉一个约束； ●将一个固定支座改成固定铰支座，或将受弯杆件某处改成铰接，相当于去掉一个抗转动约束； ●去掉一个联结两刚片的铰，或者撤去一个固定铰支座，相当于 去掉两个约束； ●将一梁式杆切断，或者撤去一个固定支座，相当于去掉三个约束。 （二）力法的基本原理法 现以图1-26a所示一次超静定结构为例，说明力法的基本原理。其中，要特别重视力法的三个基本概念。
图1-26 1、力法的基本未知量：取超静定结构中的多余未知力（如图1-26a 中的X1）作为力法的基本未知量，以X i表示。多余未知力在超静定结构内力分析中处于关键的地位，因此，有必要将其突出出来，作为主攻目标。力法这个名称也因此而得。 2、力法的基本体系：将原结构中的多余约束（如图1-26a中的支 座B）去掉，所得到的无任何外加因素的结构，称为力法的基本结构（图1-26b）；基本结构在荷载和多余未知力共同作用下的体系，称为力法的基本体系（图1-26c）。在基本体系中，仍然保留原结构的多余约束反力X1，只是把它由被动力改为主动力，因此基本体系的受力状态与 原结构完全相同。由此看出，基本体系本身既是静定结构（可方便计算），又可用它代表原来的超静定结构。因此，它是由静定结构过渡到超静定结构的一座桥梁。 3、力法的基本方程：为求多余未知力，除平衡条件外，还须补充 新的条件，即利用原结构的已知变形条件。在本例中，基本体系沿多余未知力X1方向的位移Δ1应与原结构支座B处的竖向位移相同，即 Δ1=0 （a） 由图1-26d和e可知，变形条件（a）可表示如下： （b） 根据叠加原理，，于是可进一步将变形条件写成显含多余未知力X1的展开形式为
建筑力学常见问题解答 5 静定结构位移计算 1.为什么要计算结构的位移？ 答：结构位移计算的目的有两个。一个目的是验算结构的刚度。在结构设计中，除了应该满足结构的强度要求外，还应该满足结构的刚度要求，即结构的变形不得超过规范规定的容许值(如屋盖和楼盖梁的挠度容许值为梁跨度的1/200～1/400，而吊车梁的挠度容许值规定为梁跨度的1/600)。另一个目的是为超静定结构的内力计算做准备。因为在超静定结构计算中，不仅要考虑结构的平衡条件，还必须满足结构的变形协调条件。 2. 产生位移的主要因素有哪些? 答：产生位移的主要因素有下列三种： (1)荷载作用；(2)温度变化和材料的热胀冷缩；(3)支座沉降和制造误差。 3.结构位移有哪两类？ 答：结构变形时，结构上某点产生的移动或某个截面产生的移动或转动，称为结构的位移。 结构的位移可分为两类：一类是线位移，指结构上某点沿直线方向移动的距离。另一类是角位移，指结构上某点截面转动的角度。 4. 线性变形体系的应用条件是什么？ 答：线性变形体系的应用条件是： (1) 材料处于弹性阶段，应力与应变成正比关系； (2) 结构变形微小，不影响力的作用。
线性变形体系也称为线性弹性体系，它的应用条件也是叠加原理的应用条件，所以，对线性变形体系的计算，可以应用叠加原理。 5.应怎样理解虚功中作功的力和位移的对应关系？ 答：功包含了两个要素——力和位移。 当做功的力与相应于力的位移彼此独立无关时，就把这种功称为虚功。在虚功中，力与位移是彼此独立无关的两个因素。不仅可以把位移状态看作是虚设的，也可以把力状态看作是虚设的，它们各有不同的应用。 6. 何谓虚功原理？ 答：变形体虚功原理表明：第一状态的外力在第二状态的位移上所做的外力虚功，等于第一状态上的内力在第二状态上的变形上所做的内力虚功。即外力虚功W12=内力虚功W/12 7.何谓广义力？何谓广义位移？ 答：如果一组力经历相应的位移作功。即一组力可以用一个符号F表示，相应的位移也可用一个符号Δ表示，这种扩大了的力和位移分别称为广义力和广义位移。 8.何谓单位荷载法？ 答：利用虚功原理建立结构在荷载作用下的位移计算公式时，首先要确定力状态和位移状态。 由于实际荷载作用下结构产生位移和变形，所以是位移状态，也可以称为实际状态。 为用虚功原理，还必须建立力状态。由于力状态和位移状态除了结构形式
第3章 静定结构位移计算 §3 – 1 基本概念 3-1-1 虚拟单位力状态构造方法 ●虚拟单位力状态构造方法： （1）去掉所有荷载重画一个结构； （2）标出所求位移矢量； （3）该矢量变成单位力，即得虚拟单位力状态。 如图3-1a 刚架求C 点竖向位移CV ?和C 截面转角 C ?，图3-1b 和图3-1c 为求相应位移所构造的虚拟单位 力状态。 3-1-2 位移计算公式 虚拟单位力作用下，引起的内力和支座反力： N Q ,,,Ri F M F F 实际荷载作用下，引起的内力： NP P QP ,,F M F ●位移计算一般公式 N Q Ri i F du Md F ds F c ??γ=++-∑∑∑∑??? ●荷载作用产生位移的计算公式 Q N QP NP P k F F F F M M ds ds ds EA EI GA ?=++∑∑∑? ?? 1、梁或刚架结构 P M M ds EI ?=∑? 2、桁架结构 N NP F F ds EA ?=∑? 图3-1虚拟单位力状态 ) a () b () c (
2 结构力学典型例题解析 3、混合结构 N NP P F F MM ds ds EA EI ?=+∑∑? ? ●支座移动引起位移计算公式 Ri i F c ?=-∑ ●温度引起位移计算公式 ()N 0t F t dx M dx h α??α=+±∑∑?? ()N 0M t t lF A h α??α=+±∑∑ 式中：0,,t t α?为线膨胀系数形心温度温差，h 截面高度 M A 虚拟状态弯矩图面积 ●有弹性支座情况的位移计算公式 ()P RP R 0RP R M M F ds F EI k Ay F F EI k ?=+?±=+? ∑∑? ∑∑ 3-1-3 图乘法 图乘法公式： 0P ()Ay MM dx EI EI ±?==∑∑? 图乘法公式条件： ●等截面直杆且EI=常数 ●求 y 0图形必须为一条直线 正负号确定： 面积A 与y 0同侧取“+”号 注意：求面积的图形要会求面积和形心位置。 为使计算过程简洁、明了，先将面积和形心处对应弯矩求出标在弯矩图一侧，然后直接代入图乘法公式求得位移。 图3-2 图乘法示意图
结构力学自测题4（第六章） 结构位移计算 姓名 学号 一、是 非 题（将 判 断 结 果 填 入 括 弧 ：以 O 表 示 正 确 ，以 X 表 示 错 误 ） 1、用 图 乘 法 可 求 得 各 种 结 构 在 荷 载 作 用 下 的 位 移 。( ) 2、图 示 简 支 梁 ，当 P 11= ，P 20= 时 ，1 点 的 挠 度 为 0.01653l EI / ，2 点 挠 度 为 0.0773l EI /。当 P 10=，P 21= 时 ，则 1 点 的 挠 度 为 0.0213 l EI / 。 （ ） l 3、已 知 图 a 所 示 刚 架 的 M P 图 如 图 b ，各 杆EI = 常 数，则 结 点 B 的 水 平 位 移 为：?BH = [ 1 /（EI ）]×[20×4×(1/2)×4 + (1/3)×4×48×(3/4)×4]=352/(EI ) （ 。（ ） (kN m) ( a ) ( b ) 4、在 非 荷 载 因 素 ( 支 座 移 动 ， 温 度 变 化 , 材 料 收 缩 等 ) 作 用 下 ， 静 定 结 构 不 产 生 内 力 ， 但 会 有 位 移 ， 且 位 移 只 与 杆 件 相 对 刚 度 有 关 。 （ ） 5、图 示 为 刚 架 的 虚 设 力 系 ， 按 此 力 系 及 位 移 计 算 公 式 可 求 出 杆 A C 的 转 角 。 （ ） C 1 P 6、图 示 梁 的 跨 中 挠 度 为 零 。 （ ） 7、图 示 梁 A B 在 所 示 荷 载 作 用 下 的 M 图 面 积 为 ql 33 。 （ ） l A l /2 8、图 示 桁 架 结 点 C 水 平 位 移 不 等 于 零 。 （ ） 9、图 示 对 称 桁 架 各 杆 E A 相 同 ， 结 点 A 和 结 点 B 的 竖 向 位 移 均 为 零 。 （ ） 10、图 示 桁 架 中 ， 结 点 C 与 结 点 D 的 竖 向 位 移 相 等 。 （ ） 二、选 择 题（ 将 选 中 答 案 的 字 母 填 入 括 弧 内 ） 1、图 示 结 构 A 截 面 转 角（设 顺 时 针 为 正）为 ： A .22Pa EI / ; B .-Pa EI 2 / ; C .542 Pa EI /() ; D .-542 Pa EI /() 。 （ ） a a 2、图 a 所 示 结 构 的 M P 图 示 于 图 b , B 点 水 平 位 移 ()→ 为 ： A . 5244ql EI ; B . 25484 ql EI ; C . 4854ql EI ; D . 16324 ql EI 。 （ ） l 2 ql /ql 2 3、图 示 刚 架 l a >>0 , B 点 的 水 平 位 移 是 ： A . 不 定 ， 方 向 取 决 于 a 的 大 小； B . 向 左 ； C . 等 于 零 ； D . 向 右 。（ ） 4、图 示 静 定 多 跨 粱 ， 当 EI 2 增 大 时 ， D 点 挠 度 ： A . 不 定 ， 取 决 于 EI EI 12；B . 减 小 ； C . 不 变 ； D . 增 大 。 （ ） 5、图 示 刚 架 中 杆 长 l ， EI 相 同 ，A 点 的 水 平 位 移 为: A. ()2302M l EI /→; B. ()M l EI 02 3/→; C. ()2302M l EI /←; D. ()02 3M l EI /←。 （ ） l M A 6、图 示 为 结 构 在 荷 载 作 用 下 的 M P 图 ， 各 杆 EI =常 数 ，支 座 B 截 面 处 的 转 角 为： A. 16/(EI ) ( 顺 时 针 ); B. 0; C. 8/(EI ) ( 顺 时 针 ); D. 18/(EI ) ( 顺 时 针 )。 （ ） 12kN.m B 7、图 示 桁 架 各 杆 EA =常 数 ， 则 结 点K 的 水 平 位 移 （ → ） 等 于 ： A. 2( 1+2 )Pa / (EA ) ; B. ( 4Pa ) / (EA ) ;
静定结构的位移计算
第4章 静定结构的位移计算 4.1 结构位移的概念 4.1.1 结构位移 结构都是由变形材料制成的，当结构受到外部因素的作用时，它将产生变形和伴随而来的位移。变形是指形状的改变，位移是指某点位置或某截面位置和方位的移动。 如图 4.1(a)所示刚架,在荷载作用下发生如虚线所示的变形，使截面A 的形心从A 点移动到了A ′点，线段AA ′称为A 点的线位移，记为A ?，它也可以用水平线位移Ax ?和竖向线位移Ay ?两个分量来表示如图4.1(b)。同时截面A 还转动了一个角度，称为截面A 的角位移，用A ?表示。又如图4.2所示刚架，在荷载作用下发生虚线所示变形，截面A 发生了A ?角位移。同时截面B 发生了B ?的角位移，这两个截面的方向相反的角位移之和称为截面A 、B 的相对角位移，即B A AB ???+=。同理，C 、D 两点的水平线位移分别为C ?如D ?，这两个指向相反的水平位移之和称为 C 、 D 两点的水平相对线位移，既D C CD ?+?=?。 除上述位移之外，静定结构由于支座沉降
第4章静定结构的位移计算70 等因素作用，亦可使结构或杆件产生位移，但结构的各杆件并不产生内力，也不产生变形，故把这种位移称为刚体位移。 一般情况下，结构的线位移、角位移或者相对位移，与结构原来的几何尺寸相比都是极其微小的。 4.1 图
71 第4章静定结构的位移计算 引起结构产生位移的主要因素有：荷载作用、温度改变、支座移动及杆件几何尺寸制造误差和材料收缩变形等。 4.1.2 结构位移计算的目的 1. 验算结构的刚度 结构在荷载作用下如果变形太大，即使不破坏也不能正常使用。既结构设计时，要计算结构的位移，控制结构不能发生过大的变形。让结构位移不超过允许的限值，这一计算过程称为刚度验算。 2. 解算超静定 计算超静定结构的的反力和内力时，由于静力平衡方程数目不够，需建立位移条件的补充方程，所以必须计算结构的位移。 3. 保证施工 在结构的施工过程中，也常常需要知道结构的位移，以确保施工安全和拼装就位。 4. 研究振动和稳定 在结构的动力计算和稳定计算中，也需要计算结构的位移。 可见，结构的位移计算在工程上是具有重
第四章静定结构的位移计算 一. 教学内容 理解广义力和广义位移的概念、虚功原理、单位荷载法、图乘法、互等定理。 能利用单位荷载法正确的计算结构在荷载作用及支座移动下和温度变化下 的位移。 掌握图乘法及应用条件，能用图乘法计算粱和刚架的位移；能够计算桁架的位移。 一. 教学目的 掌握各种静定结构的位移计算,为超静定结构的内力和位移计算打好基础。 二. 主要章节 第一节、概述 第二节、功和虚功原理 第三节、单位荷载法计算位移的 第四节、结构在荷载作用下的位移计算 第五节、图乘法 第六节、温度作用时静定结构的位移计算 第七节、支座移动时静定结构的位移计算 第八节、线性变形体系的互等定理 §6-9 小结 §6-10 思考与讨论 §6-11 习题 §6-12 测验 三. 学习指导 本章是静定结构与超静定结构的联结部分，一方面有相对的独立性，另一方面又是学习超静定结构的基础，因此应当有一个正确的学习态度。本章的理论基础是虚功原理，重点是单位荷载法和图乘法的应用，因此应当加强学习和练习。 四. 参考资料 《建筑力学教程》P61～80 第一节、概述
一. 教学目的 了解位移的概念。 二. 主要内容 . 结构位移计算概述 三. 学习指导 本节是静定结构与超静定结构的联结部分，本节的关键是概念的理解，应在理解虚力原理的基础上掌握计算静结构在支座移动时的位移，因而加深单位荷载法的理解，为今后的学习打下一个良好的基础。 四. 参考资料 《建筑力学》P61 6.1.1位移的概念： 结构在荷载、温度变化、支座移动与制造误差等各种因素作用下发生变形，因而结构上个点的位置会有变动。这种位置的变动称为位移。 结构的位移通常有两种（图6-1）：截面的移动----线位移；截面的转动----角位移。 图6-1 结构位移计算的目的： (1) 验算结构的刚度，校核结构的位移是否超过允许限值，以防止构件和结构产生过大的变形而影响结构的正常使用。 (2) 为超静定结构的内力计算打下基础。因为，位移计算是计算超静定结构的一个组成部分。 6.1.2.产生位移的原因：
一. 用力法计算超静定结构 （一）复习重点 1. 理解超静定结构及多余约束的概念，学会确定超静定次数 2. 理解力法原理 3. 掌握用力法计算超静定梁和刚架（一次及二次超静定结构） 4. 掌握用力法计算超静定桁架和组合结构（一次及二次超静定结构） 5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的计算（一次超静定结构） （二）小结 1. 超静定结构、多余约束、超静定次数 （1）超静定结构 从几何组成角度，结构分为静定结构和超静定结构。 静定结构：几何不变，无多余约束。 超静定结构：几何不变，有多余约束。 （2）多余约束 多余约束的选取方案不唯一，但是多余约束的总数目是不变的。 （3）超静定次数 多余约束的个数是超静定次数。 判断方法：去掉多余约束使原结构变成静定结构。
2. 力法原理 力法是计算超静定结构最基本的方法 （1）将原结构变为基本结构 （2）位移条件： （3）建立力法方程
3．用力法求解超静定梁和刚架例：二次超静定结构 （1）原结构变为基本结构 （2）位移条件 （3）力法方程
（3）绘弯矩图 4. 用力法计算超静定桁架和组合结构 注意各杆的受力特点：二力杆只有轴力，受弯杆的内力有弯矩、剪力和轴力。 例：超静定组合结构 （1）原结构变为基本结构 （2）位移条件
（3）力法方程 （4）绘弯矩图 5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的内力计算 （1）温度变化时，超静定结构的内力计算 原结构变为基本结构 位移条件 力法方程
（2）支座移动时，超静定结构的内力计算 原结构变为基本结构 位移条件 二. 用位移法计算超静定结构 （一）复习重点 1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别 2. 掌握用位移法计算超静定结构（具有一个及两个结点位移） 3. 掌握计算对称结构的简化方法 （二）小结 1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别 位移法是求解超静定结构的又一基本方法，适用于求解超静定次数较高的连续梁和刚架。 位移法的前提假设：对于受弯的杆件，可略去轴向变形和剪切变形的影响，且弯曲变形是微 2. 掌握用位移法求解超静定结构（具有一个及两个结点位移的结构） 例：求连续梁的内力 解：（1）确定基本未知量及基本体系
结构力学自测题4（第六章） 结构位移计算 姓名 学号 一、是 非 题（将 判 断 结 果 填 入 括 弧 ：以 O 表 示 正 确 ，以 X 表 示 错 误 ） 1、用 图 乘 法 可 求 得 各 种 结 构 在 荷 载 作 用 下 的 位 移 。( ) 2、图 示 简 支 梁 ，当 P 11= ，P 20= 时 ，1 点 的 挠 度 为 0.01653l EI / ，2 点 挠 度 为 0.0773l EI /。当 P 10=，P 21= 时 ，则 1 点 的 挠 度 为 0.0213 l EI / 。 （ ） l 3、已 知 图 a 所 示 刚 架 的 M P 图 如 图 b ，各 杆EI = 常 数，则 结 点 B 的 水 平 位 移 为：?BH = [ 1 /（EI ）]×[20×4×(1/2)×4 + (1/3)×4×48×(3/4)×4]=352/(EI ) （ 。（ ） (kN m) ( a )( b ) 4、在 非 荷 载 因 素 ( 支 座 移 动 ， 温 度 变 化 , 材 料 收 缩 等 ) 作 用 下 ， 静 定 结 构 不 产 生 内 力 ， 但 会 有 位 移 ， 且 位 移 只 与 杆 件 相 对 刚 度 有 关 。 （ ） 5、图 示 为 刚 架 的 虚 设 力 系 ， 按 此 力 系 及 位 移 计 算 公 式 可 求 出 杆 A C 的 转 角 。 （ ） C 1 P 6、图 示 梁 的 跨 中 挠 度 为 零 。 （ ） 7、图 示 梁 A B 在 所 示 荷 载 作 用 下 的 M 图 面 积 为 ql 33 。 （ ） l A l /2 8、图 示 桁 架 结 点 C 水 平 位 移 不 等 于 零 。 （ ） 9、图 示 对 称 桁 架 各 杆 E A 相 同 ， 结 点 A 和 结 点 B 的 竖 向 位 移 均 为 零 。 （ ） 10、图 示 桁 架 中 ， 结 点 C 与 结 点 D 的 竖 向 位 移 相 等 。 （ ） 二、选 择 题（ 将 选 中 答 案 的 字 母 填 入 括 弧 内 ） 1、图 示 结 构 A 截 面 转 角（设 顺 时 针 为 正）为 ： A .22Pa EI / ; B .-Pa EI 2 / ; C .542Pa EI /() ; D .-542 Pa EI /() 。 （ ） a a A 2、图 a 所 示 结 构 的 M P 图 示 于 图 b , B 点 水 平 位 移 ()→ 为 ： A . 5244ql EI ; B . 25484 ql EI ; C . 4854ql EI ; D . 16324 ql EI 。 （ ） l 2 ql /ql 2 3、图 示 刚 架 l a >>0 , B 点 的 水 平 位 移 是 ： A . 不 定 ， 方 向 取 决 于 a 的 大 小； B . 向 左 ； C . 等 于 零 ； D . 向 右 。（ ） 4、图 示 静 定 多 跨 粱 ， 当 EI 2 增 大 时 ， D 点 挠 度 ： A . 不 定 ， 取 决 于 EI EI 12；B . 减 小 ； C . 不 变 ； D . 增 大 。 （ ） 5、图 示 刚 架 中 杆 长 l ， EI 相 同 ，A 点 的 水 平 位 移 为: A. ()2302 M l EI /→; B. ()M l EI 02 3/→; C. ()2302 M l EI /←; D. ()02 3M l EI /←。 （ ） l M A 6、图 示 为 结 构 在 荷 载 作 用 下 的 M P 图 ， 各 杆 EI =常 数 ，支 座 B 截 面 处 的 转 角 为： A. 16/(EI ) ( 顺 时 针 ); B. 0; C. 8/(EI ) ( 顺 时 针 ); D. 18/(EI ) ( 顺 时 针 )。 （ ） 4m 2m 12kN.m B 7、图 示 桁 架 各 杆 EA =常 数 ， 则 结 点K 的 水 平 位 移 （ → ） 等 于 ： A. 2( 1+2 )Pa / (EA ) ; B. ( 4Pa ) / (EA ) ; C. ( 2+2 )Pa / ( EA ) ; D. ( 3Pa ) / (EA ) 。 （ ） a a
建筑力学基本计算4 结构的位移计算 1、基本概念和计算要求 在学习结构的位移计算时,应注意下列几点： 1） 位移计算的目的主要是考虑结构的刚度计算和为力法打下基础，后一个更为重要。 2） 虚功原理是位移计算的基础，在学习时，着重要考虑由虚功原理得出的位移求解公式及其每一项的物理意义。 3） 在用单位荷载法计算位移时，关键是虚设单位力（广义力）的位置、方向和性质都必须与所求位移一一对应。 2、基本计算方法 结构位移的计算方法主要有积分法和图乘法两种： 1） 积分法：在用积分法计算结构位移的时候，着重考虑梁和刚架的位移计算，所以位移计算公式为∑??=?ds EI M M P k ，从而，只需要分段建立弯矩方程，就可以利用积分公 式求出位移。 2） 图乘法：对于利用图乘法求结构的位移这是一个最重要也是最常用的方法。最后公式为 ∑?=?EI y C ω，从而，需要分别画出荷载作用下的M P 图和虚设单位荷载作用下的M 图，就可以利用图乘公式求位移。 3、计算步骤和常用方法 考试要求一般为求解常见荷载作用下梁和刚架的位移，积分法作为基础，而图乘法是最常用的方法和手段。计算过程中要注意： 1） 图乘法的三个适用条件，只要有一条不满足，就不能使用图法。 2） 在使用图乘法的基本公式时，要理解图乘法是以一个弯矩图的面积ω乘以其形心所对应的另一个直线弯矩图上的竖标y C ，再除以EI 。特别注意竖标y C 必须从直线弯矩图上取得。 3） 要学会能正确灵活使用图乘的公式，首先要熟练掌握图乘法的计算步骤，包括支座反力的计算、弯矩图的绘制、基本图形的面积和形心、图乘时的正负号取舍等等；其次要灵活运用图乘法的技巧（即图乘法中图形叠加概念的灵活运用）。 4） 学会掌握标准抛物线的判别方法，即看抛物线顶点处的切线是否与基线相平行。 5） 用图乘法计算位移时所求位移的方向须按计算结果的正负判定，当计算结果为正，说明所求位移的方向与虚设单位力的方向一致，否则相反。 4、举例 试求图（a ）所示刚架结点B 的水平位移ΔBx ，EI 为常数。 [解] 先作出M P 图和1M 图，如图（b ）、（c ）所示。M P 图为荷载单独作用下的弯矩图；1M 图为在B 点水平方向虚设单位力F P =1情况下结构的弯矩图。 由图乘法，可得 ∑++=?=?)(1332211y y y EI EI y C Bx ωωωω
第5章 静定结构位移计算 §5 – 1 基本概念 5-1-1 虚拟单位力状态构造方法 ●虚拟单位力状态构造方法： （1）去掉所有荷载重画一个结构； （2）标出所求位移矢量； （3）该矢量变成单位力，即得虚拟单位力状态。 如图3-1a 刚架求C 点竖向位移CV ?和C 截面转角 C ?，图3-1b 和图3-1c 为求相应位移所构造的虚拟单位 力状态。 5-1-2 位移计算公式 虚拟单位力作用下，引起的内力和支座反力： N Q ,,,Ri F M F F 实际荷载作用下，引起的内力： NP P QP ,,F M F ●位移计算一般公式 N Q Ri i F du Md F ds F c ??γ=++-∑∑∑∑??? ●荷载作用产生位移的计算公式 Q N QP NP P k F F F F M M ds ds ds EA EI GA ?=++∑∑∑? ?? 1、梁或刚架结构 P M M ds EI ?=∑? 2、桁架结构 N NP F F ds EA ?=∑? 图3-1虚拟单位力状态 ) a () b () c (
2 结构力学典型例题解析 3、混合结构 N NP P F F MM ds ds EA EI ?=+∑∑? ? ●支座移动引起位移计算公式 Ri i F c ?=-∑ ●温度引起位移计算公式 ()N 0t F t dx M dx h α??α=+±∑∑?? ()N 0M t t lF A h α??α=+±∑∑ 式中：0,,t t α?为线膨胀系数形心温度温差，h 截面高度 M A 虚拟状态弯矩图面积 ●有弹性支座情况的位移计算公式 ()P RP R 0RP R M M F ds F EI k Ay F F EI k ?=+?±=+? ∑∑? ∑∑ 5-1-3 图乘法 图乘法公式： 0P ()Ay MM dx EI EI ±?==∑∑? 图乘法公式条件： ●等截面直杆且EI=常数 ●求 y 0图形必须为一条直线 正负号确定： 面积A 与y 0同侧取“+”号 注意：求面积的图形要会求面积和形心位置。 为使计算过程简洁、明了，先将面积和形心处对应弯矩求出标在弯矩图一侧，然后直接代入图乘法公式求得位移。 图3-2 图乘法示意图
第16讲：计算结构位移的目的；功的有关概念；计算结构位移的一般公式。 要求：了解计算位移的目的及虚功原理等概念；理解计算位移的一般公式。 重点：计算结构位移的一般公式的推导 第四章结构位移计算 1、计算结构位移的目的 ⑴计算结构的位移以验算其刚度，保证使用过程中不致发生过大的位移。 ⑵为超静定结构计算打下基础。计算超静定结构时，除利用静力平衡条件外，还必须考虑结构的位移条件。 2、产生位移的原因 ⑴荷载作用；⑵温度变化和材料胀缩；⑶支座沉陷和制造误差。 3、结构位移与应变 ⑴如图4-1所示，多跨静定梁支座A有给定位移c A时，各杆只发生刚体运动，而应变等于零（支座反力和各杆内力为零）。 ⑵如图4-2所示，简支梁在荷载q作用下各点产生线位移（挠度ω），同时梁内因承受弯矩M而产生曲率κ（曲率半径R=1/κ）和应变ε（一边纤维拉伸，一边纤维压缩）。 *4、结构位移的度量 如图所示 ⑴线位移：△A ～水平分位移△Ax，竖向分位移△Ay。 ⑵角位移（转角）：θA 。 位移计算是一个几何问题，但最好的解法是虚功法。本章中先应用刚体虚功原理计算刚体体系的位移，再讨论变形体虚功原理和应用变形体虚功原理求变形体体系的位移。 §4－1 虚力原理求刚体体系的位移 对于具有理想约束的刚体体系，其虚功原理可表述如下：设体系上作用一任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小刚体体系位移，则主动力在位移上所作虚功总和恒等于零。 强调指出：体系上的力系与位移二者是独立无关的。因此在应用中，可以把位移看作虚设的，也可以把力系看作虚设的。虚设位移与给定力系之间应用虚功原理的形式称为虚位移原理，可利用虚设位移的几何关系求给定力系中的未知力。虚设力系与实际位移之间应用虚功原理的形式称为虚力原理，可用于求实际位移中的未知位移。 1、虚力原理 如图4-3a所示简支梁，A支座向上移动c1，现拟求B点竖向位移Δ。 为此，对如图4-3a中的位移状态应用虚功原理。这里，位移状态是给定的，力系则可根据需要来虚设。 在拟求位移Δ方向设置单位荷载，这个 ＇
第5章 静定结构位移计算 习题 5-1：由积分法求图示悬臂梁C 点的竖向位移CY ?，杆件的EI 为常数。 题5-1图 5-2：由积分法求图示悬挑梁C 点、D 点的竖向位移CY ?和DY ?，杆件EI 为常数。 题5-2图 5-3：图示刚架的A 支座向下发生了a 的移动，向左发生了b 的移动，求由此引起C 点的转角C ??和D 点的竖向位移DY ?。 题5-3图 题5-4图 5-4：图示刚架的A 支座向下发生了a 的移动，C 支座向右发生了b 的移动，求由此引起铰D 两侧截面的相对转角D ??和E 点的竖向位移EY ?。 5-5：图示桁架的CE 杆由于制造误差比设计短了a ，试计算由此引起的D 点水平位移DX ?。杆件的EA 均相同。 m 4kN
题5-5图 5-6：图示桁架的EB 杆由于制造误差比设计短了a ，试计算由此引起的D 点水平位移DX ?。杆件的EA 均相同。 题5-6图 5-7：求图示桁架E 点的竖向位移 EY ?、FG 杆的转角 FG ??，所有杆件EA 相同。 题5-7图 5-8：求出图示桁架C 点的竖向位移 CY ?，所有杆件的EA 相同。
题5-8图 5-9：求图示结构的C 、D 两点的相对水平位移 CDX ?，所有杆件的EI 相同。 题5-9图 5-10：求图示结构D 点的水平位移 DX ?，所有杆件的EI 相同。 题5-10图 5-11：计算图示结构D 点的转角 D ??，所有杆件的EI 相同，弹簧刚度系数为k 。 10kN
题5-11图 5-12：试求图示结构G 点的水平位移GX ?，所有杆件的EI 均为常量。 题5-12图 5-13：用图乘法求图示结构D 点的竖向位移DY ?，所有杆件的EI 相同，弹簧的刚度系数为k 。 题5-12图 5-14：求图示结构A 点的水平位移 AX ?、D 点的转角 D ??，所有杆件的EI 相同。 q kN
第八章力法 本章主要内容 1）超静定结构的超静定次数 2）力法的解题思路和力法典型方程（显然力法方程中所有的系数和自由项都是指静定基本结构的位移，可以由上一章的求位移方法求出（图乘或积分）） 3）力法的解题步骤以及用于求解超静定梁刚架桁架组合结构（排架） 4）力法的对称性利用问题，对称结构的有关概念四点结论 5）超静定结构的位移计算和最后内力图的校核 6） §8-1超静定结构概述 一、静力解答特征： 静定结构：由平衡条件求出支反力及内力； 超静定结构的静力特征是具有多余力，仅由静力平衡条件无法求出它的全部（有时部分可求）反力及内力，须借助位移条件（补充方程，解答的唯一性定理）。 二、几何组成特征：（结合例题说明） 静定结构：无多余联系的几何不变体 超静定结构：去掉其某一个或某几个联系（内或外），仍然可以是一个几何不变体系，如桁架。即：超静定结构的组成特征是其具有多余联系，多余联系可以是外部的，也可能是内部的，去掉后不改变几何不变性。 多余联系（约束）：并不是没有用的，在结构作用或调整结构的内力、位移时需要的，减小弯矩及位移，便于应力分布均匀。 多余求知力：多余联系中产生的力称为 三、超静定结构的类型（五种） 超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构 四、超静定结构的解法 综合考虑三个方面的条件： 1、平衡条件：即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程； 2、几何条件：也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。即结构的变形必须 符合支承约束条件（边界条件）和各部分之间的变形连续条件。 3、物理条件：即变形或位移与内力之间的物理关系。 精确方法： 力法（柔度法）：以多余未知力为基本未知量 位移法（刚度法）：以位移为基本未知量。 力法与位移法的联合应用： 力法与位移法的混合使用：混合法 近似方法：
建筑力学问题简答（七）超静定结构内 力计算 194．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？ 答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。 从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。 195．什么是超静定结构的超静定次数？ 答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。 196．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？ 答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。 197．如何确定超静定结构的超静定次数？ 答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。 198．撤除多余约束的方法有哪几种？ 答：撤除多余约束常用方法如下： （1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。 （2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。 （3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。 199．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？ 答：用力法计算超静定结构的基本思路是： 去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。 200．什么是力法的基本结构和基本未知量？ 答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。 201．简述n 次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。 答：（1）n 次超静定结构的力法方程 对于n 次超静定结构，撤去n 个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的n 个多余约束处代以相应的多余未知力。当原结构在去掉的多余约束处的位移为零时，相应地也就有n 个已知的位移谐调条件：Δi =0（i =1，2，…，n ）。由此可以建立n 个关于求解多余未知力的方程： 00 22112222212111212111=?++++=?++++=?++++nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X δδδδδδδδδ 式中： δii 称为主系数，表示当X i =1作用在基本结构上时，X i 作用点沿X i 方向的位移。由于δ