（A ） 事件A 与B 互不相容； （B ）事件A 与B 对立； （C ） 事件A 与B 不相互独立； （D ）事件A 与B 相互独立。
（5）一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为p ，第二道工序的废品率为q ，则该
零件加工的成品率为（ Ｃ ）
（A ） 1p q -- （B ）1pq - （C ）1p q pq --+ （D ）(1)(1)p q -+- （6）对于任意两个事件A B 和，以下结论正确的是（ Ｂ ）。
（A ）若,AB φ≠则,A B 一定独立。 （B ）若,AB φ≠则,A B 有可能独立。 （C ）若,AB φ=则,A B 一定独立。 （D ）若,AB φ=则,A B 一定不独立。 2．填空题:
(1) 设事件A ，B 相互独立且互不相容，则))(),(min(B P A P =__０_.
(2) 已知,6.0)(,5.0)(==B A P A P 若B A 、互不相容，则
)(B P B A 、相互独立，则
)(B P (3) 已知5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，8.0)(=A B P ，)(B A P =___０.３__. (4) 某人独立射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多击中一次的概率为
_0.104_.
(5) 对同一目标进行三次独立射击，第一次、第二次、第三次射击的命中率分别为0.4，0.5，0.7。则三次射击中恰好有一次击中目标的概率。
3．在10只晶体管中有7只正品，3只次品。现不放回的抽取两次，每次一只，求下列事件的概率。（1）两只都是正品；（2）至少有一只次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二只是次品；（5）第二次才是次品。 解：设
i
A 表示第i 次取出次品，则
4．已知甲乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱任取3件放入乙箱，然后再从乙箱中任取一件产品，求该产品为次品的概率。 解
设A =“从乙箱中取出的是次品”，i B =
“从甲箱中取出的三件中恰有i 个次品”0,1,2i =.3
由全概率公式 5．已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次
品被误认为是合格品的概率是0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解 设A =“任取一产品，经检查是合格品”， B =“任取一产品确是合格品”，
|)
B 0.96
0.980.040.050=?+?=
，
6．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回.试求：
（1）顾客买下该箱的概率α；
（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率β.
解 设A =“顾客买下该箱”，B =“箱中恰有i 件残次品”，0,1,2i =，
（1）
001122()()(|)()(|)()(|)
P A P B P A B P B P A B P B P A B α==++
7．为防止意外，在矿内同时安装了两种报警系统A 与B ，每种报警系统都使用时，对系统A 其有效的概率是0.92，对系统B 其有效的概率为0.93，在A 失效的条件下，B 有效的概率为0.85.求：（1）发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率；（2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。 解：设=A “报警系统A 有效”，=B “报警系统B 有效”
（2）因为：862.0988.093.092.0)()()()(=-+=-+=B A P B P A P
AB P
8．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，求该射手的命中率. 解 设该射手的命中率为p ，由题意
习题2-1 随机变量及其分布函数
1．试说明下列函数能否为某随机变量的分布函数.
10,0,
()sin ,
0,21,.
2
x F x x x x π
π
?
=≤
20,
0,()ln(1)
,0.
1x F x x x x
=?+≥?
+?
解：
1()
F x 是；
2()
F x 不是，因为
2()01
F +∞=≠.
2．设随机变量X 的分布函数为0,1,1,1,4
(),11,1,
1.
x x F x ax b x x <-???=-?
=??+-<
且1
(1)2
P X ==
，试求：（1）常数,a b 的值；（2）(21)P X -<<。
又
习题2-2 离散型随机变量
1． 填空题
(1) 设随机变量X 的分布律为:{},N
a
k X P =
= N k ， ,2,1=，试确定___1______a =。 (2) 一批产品共100个，其中有10个次品，从中放回取5次，每次取一个，以X 表示任意取出的产品中的次品数，则X
(3) 某射手对一目标进行射击，直至击中为止，如果每次射击命中率都是p ，以X
表示射击的次数，则X 的分布律为
2. 将编号为1,2,3,4的四个球随机地放入3个不同的盒子中，每个盒子所放球的个数不限，以X 表示放球最多的盒子中球的个数，试求X 的分布列及其分布函数()F x .
3． 设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布,试问
(1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少？ (2) 在一周内至少发生
1次交通事故的概率是多少？ 解：设一周内发生交通事故的次数为X ，则()3.0~P X 。
（1）（2）
4．某人购买某种彩票，若已知中奖的概率为0.001，现购买2000张彩票，试求：（1） 此人中奖的概率；（2）至少有3张彩票中奖的概率（用泊松分布近似计算）。
解：设中奖的彩票数为X ，则(2000,0.001)X
B .
（1）
2000
(1)1(0)1(0.999)0.8648P
X P X ≥=-==-≈. （2）由于20000.0012?=，故
(3)1(0)(1)(2)P X P X P X P X ≥=-=-=-=
习题2-3连续型随机变量
1. 设连续型随机变量X 的密度函数为
2,
01,()2,
12,0,
ax x f x x x ?≤≤?
=-<≤???其他.
试求：（1）常数a 的值；（2）随机变量X 的分布函数；（3）13(
)22
P X <<。
（2）当0x <时，()0F x =；
当2x >时，()1F x =. 故，
2. 设连续型随机变量X 的分布函数为?
??<≥-=-000
)1()(x x e A x F x ，，,
试求：（1）系数A ；（2）X 的密度函数；（3）(13)P X <<。 解：（1）由1)(=+∞F 知，
A
e A x F x x x =-==-+∞
→+∞
→)1(lim )(lim 1。
（2）
??
?≤>='=-.0,0;
0,)()(x x e x F x f x （3）()()
3
11311)1()3()31(-----=---=-=<。
3. 设K 在(0，5)内服从均匀分布, 求方程02442=+++K Kx x 有实根的概率。
解：所求的概率为：
4. 某种型号的电子管寿命X (以小时计)具有以下概率密度
21000
1000()0x f x x
?>?=???，，其他
， 现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）, 任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500
小时的概率是多少？
从而所求概率为
5. 设连续型随机变量~34X N （，），（1）求{}{}
2,52>≤（2）确定常数C 使{}{
}C X P C X P >=≤。
（2
6．设连续型随机变量()X E λ，证明：对一切实数0s >，0t >有
(|)()P X s t X t P X s >+>=>。
证明：由于()X E λ，从而其分布函数为
0,
0,()1,0.
x
x F x e x λ-≤??=?->??
故，对一切实数0s >，0t >，
1()()s e F s P X s λ-==-=>。
习题2-4 二维随机变量及其分布
1．一箱子装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件，10件，10件。现从中随机抽取一件，
记
11,0,X ?=??若抽到一等品,其他. 210X ?=??，若抽到二等品,，
其他.
试求),(21X X 的联合分布列。
解：
2．设随机变量(2,2)Z U -，随机变量
1,1,1,
1;
Z X Z -≤-??=?
>-?? 1,
1,1,
1.
Z Y Z -≤??=?
>??
试求(,)X Y 的联合分布列。
(2,2)U -1,1)Y =-=(1,1)(1,1)0P X Y P Z Z =-=
=≤->=；
3. 完成下列表格
4．设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为：
2,
01,02(,)0
x cxy x y f x y ?+≤≤≤≤=?
?其他
，
求：（1）常数c ；（2）{1}P X Y +≤；（3）X 和Y 的边缘密度函数。
()()()()()1211221280
1,010.8;10010
0,110.1;
100
10
0,
00.1100
P X X P X P X X P X P X X =====
===========。
()121,10;
P X X ===
当
10>()0=x f X ；
求Y 的边缘密度函数：
()(
)?
+∞
∞
-=
dx
y x f y f Y ,。当
20>5. 设),(Y X 服从}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上的均匀分布，求：
（
1）),(Y X 的联合概率密度函数；（2）}{2
X Y P <；（3）X 和Y 的边缘密度函数。 解：（1）由（X ，Y ）服从G
上的均匀分布知，（X ，Y ）的联合密度为：
（3）先求X 的边缘密度：()()?
+∞
∞
-=
dy
y x f x f X ,。 当
2
0>，
()0
=x f X ；
当
2
0≤≤x 时，
再求Y 的边缘密度函数：
()()?+∞
∞
-=dx
y x f
y f Y
,
习题2-5 条件分布及随机变量的独立性
1．设二维离散型随机变量),(Y X 只取 )2,1(),1,1(),0,0(-- 及 )0,2( 四对值，相应概率依次为
12
5
,31,61,121 ，试判断随机变量X 与Y 是否相互独立。
所以，X 与Y 不独立。
2. 设随机变量X 与Y 相互独立，试完成下表：
3．设二维连续型随机变量(,)X Y
的联合密度函数为
1,01,02,
(,)0,x y x f x y <<<
其他.
试判定X 与Y 是否相互独立。 解：
()(,)X f x f x y dy
+∞
-∞
=?
.
当0x ≤或1x ≥时，
()0
X f x =；当01x <<时，
20
()12x
X f x dy x
==?.
()(,)Y f y f x y dx
+∞
-∞
=?
.
由于当(,){01,02}x y x y x ∈<<<<时，
(,)()()
X Y f x y f x f y ≠?，
且区域{01,02}x y x <<<<的面积不为0，所以，X 与Y 不相互独立.
4. 设二维连续型随机变量),(Y X 的联合密度函数为
201,01
(,)0
x y cxy f x y <<<
求常数c ，并判断X 与Y 是否相互独立。
求X 的边缘密度：()()?
+∞
∞
-=
dy
y x f x f X ,。
当
10≥≤x x 或时，()0=x f X ；
当10<()?
==
1
226x
dy xy x f X 。
求Y 的边缘密度函数：()()?+∞
∞
-=dx
y x f
y f Y
,。
当
10≥≤y y 或时，()0=y f Y ；
当
10<==
1
2
236y dx xy y f Y 。
由于对任x ，y ，有
()()()y f x f y x f Y X =,。所以，X 与Y 相互独立。
5．设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0,1）内服从均匀分布，Y 的概率密度为
?????≤>=-0
,
00,
2
1)(2/y y e y f y Y ．
（1）求X 与Y 的联合概率密度；（2）设关于a 的二次方程为 022
=++Y Xa a ，求此方程有实根的概率。
解：由X ~U (0，1)知X 的密度为：
()X f x =
1,01;0,
x <
由X Y 与独立知，(X ,Y )的一个联合密度为：
1;
()()2
Y f y ?=???
方程有实跟的概率为：
习题2-6 随机变量函数的分布
1．设随机变量X 的分布列为
试求：(1)12-=X Y ，(2)2
X
Z =的分布列。
解：
2．设随机变量(0,1)X U ，试求X Y e =的密度函数。
解：由(0,1)X
U 知其密度函数为1,01,()0,.x f x <
??其他设X Y e =，函数()x
y g x e ==. 则
min{(),()}0g g α=-∞+∞=，max{(),()}g g β=-∞+∞=+∞.所以，当(0,)y ∈+∞时，
3．设连续型随机变量X 的密度函数为 1
,10,
21
(),
02,40,x f x x ?-<
其他.
试求2Y X =的密度函数()Y f y 。
解：先求Y 的分布函数
()
Y F y ，在对其求导数.
2()()()
Y F y P Y y P X y =≤=≤.
4. 设随机变量X 与Y 相互独立，且X ，Y 的概率分布分别为
试求随机变量Y X +=ξ及XY =η的各自概率分布列。
(2)(2)(0,2)(1,P P X Y P X Y P X Y ξ==+====
+=
=
(0)(0)
(0,1)(0
,P P X Y P X Y P X Y η======
+=
=
5．设随机变量(0,1)X U ，(1)Y E 且X 与Y 相互独立，试求Z X Y =+的密度函数。
解：由(0,1)X
U ，(1)Y Exp 知，X 与Y 的密度函数分别为
1,01,()0,.X x f x <
0,()0,
0.
y
Y e y f y y -?>?=?
≤??
又由X 与Y 相互独立知(,)X Y 的一个联合密度函数为
,
01,0,(,)0,
.
y e x y f x y -?<<>?=?
??其他
设Z X Y =+的密度函数为()
Z f z . 由于X 与Y 相互独立，从而
()()()Z X Y f z f x f z x dx
+∞
-∞
=-?
.
由()X f x ，()Y f z x -不等于零的区域知01,
0.x z x <
->? 所以，当0z ≤时，()0Z f z =；
当01z <<时，()
()11z
z x z
Z f z e
dx e
---==-?；当1z ≥时，
1
()0
()1(1)
z x z Z f z e dx e e ---==-?.
所以，
1,01,()(1),1,
0,.z z Z e z f z e e
z --?-<
=-≥??
≤??z 0
习题3-1 数学期望
1．填空题
（1）设二维随机变量(,)(10,2,1,1,0)X Y
N ，则(25)E XY Y -++（2）设随机变量(2)X
P ，(0,6)Y
U ，若233Z X Y =--，则()E Z 2．设X 的分布列为：
求（1）)(X E ；（2）)1(+-X E ；（3）)(2
X E 。
3．把4个球随机地放入4个盒子中去，设X 表示空盒子的个数，求)(X E 。
2
42!144256
=
4．设连续型随机变量X 的密度函数为
??
?
??<≤-<<=其他,021,210,)(x x x x x f ，
求（1）EX ，（2）||EX X E -。
解：
12
1
()()(2)1
E X x f x dx
x xdx x x dx +∞
-∞
==+-=?
??，
5．设二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布列为
求：（1）)(X E ,)(Y E ；（2）)2(Y X E -,)3(XY E 。
()0.
5E X =
()0.3
E Y = (2) (2)10.4(2)0.2(1)0.10.1E X Y -=?+-?+-?=-，
(3)3()310.1E X Y E X Y ==??=。
6．设),(Y X 服从在A 上的均匀分布，其中A 为x 轴、y 轴及直线01=++y x 所围成的区域，求（1）)(X E ; （2）)23(Y X E +
- ;（3）)(XY E 。 解：由题意知(,)X Y 的联合密度为：
2
(,)(,)0
x y A f x y ∈?=?
?其他
（2）(32)3()2()12()E X Y E X E Y E Y -+=-+=+
12(,)y f x y d x d y
+∞
+∞-∞
-∞
=+?
?
2)xy dy dx
=112
习题3-2 方差
1. 填空题
（
1）设随机变量1X ，2X ，3X 相互独立，其中1~(0,6)X U ，2~(0,4)X N ，3X 服从参数为3的泊松分布，记1
2323Y X X X =-+，则()D Y
（2）已知)2,2(~-U X ，2
21Y X =+，则()E Y
=，()D Y =__25645_______。
（3）设X 的概率密度为2
()x f x -=
，则()D X 。
（4）设二维随机变量(,)(1,2,1,1,0)X Y N ，则(25)D X Y -++=___5_____，Y
X Z +-=2分布为____(5,5)N ______。
2. 设随机变量(1)X
E ，随机变量1,2,
0.5,2,1, 2.
X Y X X ?>?
==??
-
解： 2
2
(1)(2)x P Y P X e dx e ∞--==>==?，(0.5)(2)0P Y P X ====，
22
(1)(2)1x P Y P X e dx e --=-=<==-?.
故，222()1(1)(1)21E Y e e e ---=?+-?-=-，
222
()11(1)1E Y e e --=?+?-=， 2224()()(())44D Y E Y E Y e e --=-=-。
3. 设连续型随机变量X 的分布函数为
???
?
???
≥<≤-+-<=1,111,21arctan 21,0)(x x x
x x F π
，
求（1）X 的密度函数；（2）(),()E X D X 。
4．设随机变量()X
P λ且[(1)(2)]1E X X --=，随机变量1
(8,)2
Y
B 且X 与Y 相互独立，试
求(34)E X Y --及(34)D X Y --。 解：由()X
P λ知()E X λ=，()D X λ=. 所以，222()()(())E X D X E X λλ=+=+. 又
221[(1)(2)]()3()222E X X E X E X λλ=--=-+=-+，故1λ=. 所以，
()1E X =，()1D X =. 1
(8,)
2B ，故(34)()3()415E X Y E X E Y --=--=-.
由于X 与Y 相互独立，故(34)()9()19D X Y D X D Y --=+=。
5．设),(Y X 的概率密度为???≤≤≤=其它,
01
0,12),(2x y y y x f ,试求)(X D 及)(Y D 。
212)x y dy dx 2212)
x
x y dy dx 212)y y dy dx 22
12)x
y y dy dx ?1
6. 设两个随机变量X ，Y 相互独立，且都服从均值为0，方差为
2
1
的正态分布，求随机变量Y X -的方差。
11(0,
),(0,
)
2
2N Y N 且X (0,1)Z X Y
N =-
从而
习题3-3 协方差与相关系数
习题3-4 其他特征数
1．填空题 （1）设随机变量(2)X
P ，(0,6)Y
U 且XY ρ=
，若233Z X Y =--，则()D Z =___23____。
（2）设),(Y X 服从二维正态分布，则0=),(cov Y X 是X 与Y
（3）设),(Y X 服从二元正态分布(0,1,1,4,0.5)N ，则2
(23)E X XY -+=___4_____。 2. 选择题
（1）设X 与Y 的相关系数0XY ρ=
(A)X 与Y 相互独立； (B)X 与Y 不一定相关； (C)X 与Y 必不相关； (D)X 与Y 必相关
（2）设随机变量X 与Y 的期望和方差存在，且,)(DY DX Y X D +=-
，则下列说法哪个是不正
。
(A)()D X Y DX DY +=+； (B)EY EX XY E ?=)(； (C)X 与Y 不相关； (D)X 与Y 独立
3. 已知二维离散型随机变量),(Y X 的概率分布为 8
/18/18/11
8/108/108/18/18/11
1
01--X
Y
， （1）求协方差),(cov Y X 及相关系数XY ρ；（2）X 与Y 是否相互独立？是否不相关？ 解：X 及Y 的边缘分布列为：
0XY ρ=,故X 与Y 不相关。
4．设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合密度函数为
2
32,010,(,)0,x xy x y x f x y ?+≤≤≤≤?=???
，
其他.
试求：（1）相关系数XY ρ；（2）X 与Y 是否相互独立？是否不相关？
