·90·
习 题 七
1．对某一距离进行5次测量，结果如下：
2781,2836,2807,2765,2858（米）. 已知测量结果服从2(,)N μσ，求参数μ和2
σ的矩估计.
解 μ的矩估计为?X μ
=，2
σ的矩估计为2
2*21
1?()n
i i X X S n σ==-=∑ 1
(27812836280727652858)2809.05X =++++=，
*2
15854.01170.845
S =?=
所以
2?2809,1170.8μ
σ
== 2．设12,,,n X X X 是来自对数级数分布
1(),(01,1,2,)(1)k
p P X k p k lu p k
==-<<=-
的一个样本，求p 的矩估计.
解 111111ln(1)ln(1)ln(1)1k k
k k p p p p p p p μ∞∞
==-==-=-?----∑∑ （1） 因为p 很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩
121
111
l n (1)l n (1)
l n (1
)k
k k
x p
k k k p
p kp
kp x p p p μ∞
∞
∞
-===='
-??==-=- ?---??∑∑∑ 21ln(1)1ln(1)(1)
x p p x p p x p p ='
??=-=-???----?? （2） （1）÷（2）得 121p μμ=- 所以 2
1
2
p μμμ-= 所以得p 的矩估计
2
122
1
111n i i n i i X X X n
p X n α==-==-∑∑
3．设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，12,,,n X X X 为取自X 的
样本，试求参数N 和p 的矩估计
·91·
解 12
2,
(1)
()Np Np p Np μμ?=??=-+?? 解之得1/N p μ=，
2
1
(1)p Np μμ-+=， 即
1
N p
μ=
，
2
211
1p μμμ-=-，
所以 N 和p 的矩估计为
?X N p
=， *21S p X =-.
4．设总体X 具有密度
11
(1)1,,(;)0,.
C
x x C f x θθ
θθ
-+?>?=???
其他
其中参数01,C θ<<为已知常数，且0C >，从中抽得一个样本，
12,,,n X X X ，求θ的矩估计
解
1
1
1
1
111
111
1C
C
E X C
x d x
C
x
θθθθμθ
θθ
+∞-
-
+∞===-?
1
1
1()11C
C C C θθθθ
-=-?=--， 解出θ得
1
1,C
θμ=-
于是θ的矩估计为
1C X
θ
=-. 5．设总体的密度为
(1),01,
(;)0
,.x x f x α
αα?+<
·92·
试用样本12,,,n X X X 求参数α的矩估计和极大似然估计. 解 先求矩估计：
1
112100
11
(1),22
EX x dx x ααααμααα++++==+=
=++?
解出α得 1
112,1
μαμ-=
- 所以α的矩估计为
121
X X α
-=-. 再求极大似然估计： 11
2
1
(,,;)(1)(1)()n
n
n i
n
i L X X x x x x ααααα==
+=+∏ ，
1
ln ln(1)ln n
i
i L n x
αα
==++∑，
1
ln ln 01n
i i d L n
x d αα==++∑ ，
解得α的极大似然估计：
1
(1)ln n
i
i n
x
α
==-+∑.
6．已知总体X 在12[,]θθ上服从均匀分布，1n X X 是取自X 的样本，求
12,θθ的矩估计和极大似然估计.
解 先求矩估计： 12
12
EX θθμ+==
，
2222
2
211211222()()1243
EX θθθθθθθθμ-+++==+=
解方程组
12
122
1122
22
3θθμθθθθμ?+=???++?=??
得
·93·
11θμ=±
21θμ=
注意到12θθ<，得12,θθ的矩估计为
*1X θ
=-，
*2X θ=. 再求极大似然估计 11212121
11
(,,;,)()n
n n
i L X X θθθθθθ==
=--∏ ，1122,,,n x x x θθ≤≤ ， 由极大似然估计的定义知，12,θθ的极大似然估计为
11(1)min(,,)n X X X θ== ； 21()
max(,,)n n X X X θ== . 7．设总体的密度函数如下，试利用样本12,,,n x x x ，求参数θ的极大似然估计.
（1）1(),0,
(;)0,
.x x e x f x α
θαθαθα--?>?=???其它;已知
（2）||
1(;),,2
x f x e x θθθ--=-∞<<+∞-∞<<+∞. 解 （1）1
11
111
(,,;)()()
n
i i i n
x x n n n i
n i L X X x
e
x x e
α
α
θ
θααθθαθα=----=∑=
=∏
11
1
ln (;)ln ln (1)ln n
n
n i
i i i L X X n n x
x αθθααθ===++--∑∑
1ln 0n
i i d L n
x d αθθ==-∑ 解似然方程
1n
i i n
x αθ
==∑，
得θ的极大似然估计
1
.n
i i n
x α
θ
==∑
（2）1
||
||11
11(;)22n
i i i n
x x n n i L X X e e θθθ=-
---=∑==∏
由极大似然估计的定义得θ的极大似然估计为样本中位数，即
·94·
1()2()(1)
22
,1
(),.
2n n n X n X X n θ++???=??+??为奇数,为偶数 8．设总体X 服从指数分布
()
,,(;)0,.
x e
x f x θθθ--?≥?=???其他
试利用样本12,,,n X X X 求参数θ的极大似然估计.
解 1
()
11
(,,;),,1,2,,.n
i i i n
x n x n i i L X X e
e
x i n θ
θθθ=-
+--=∑==≥=∏
1
ln n
i
i L n X
θ==-∑
ln 0d L
n d θ
=≠ 由极大似然估计的定义，θ的极大似然估计为 (1)
x θ= 9．设12,,,n X X X 来自几何分布 1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ，
试求未知参数p 的极大似然估计.
解 11
11
(,
,;)(1
)(1)n
i i i n
x n
x n
n i L x x p p
p p
p =--=∑=-=-∏ ，
1
ln ln (
)ln(1),n
i
i L n p X
n p ==+--∑
1ln 0,1n
i i X n
d L n dp p p
=-=--∑ 解似然方程
1
1n
i
i n X n p p
=-+=-∑， 得p 的极大似然估计
1p X
=。 10．设12,,,n X X X 是来自两个参数指数分布的一个样本.
·95·
1
211221,,
(;,)0
,.x e x f x θθ
θθθθ--?>?=??
?其它
其中12,0θθ-∞<<+∞<<+∞，求参数1θ和2θ的（1）极大似然估计；（2）
矩估计。
解 （1）1
2
11211
2
1
(,,;,),,1,2,,.i x n
n i i L X X e
x i n θθθθθθ
--
==>=∏
211
2
1
ln ln ()n
i i L n X n θθθ==---∑
12
ln 0L n
θθ?=≠? 由极大似然估计的定义，得1θ的极大似然估计为
1(1)
x θ=； 121
222ln 1()0n
i i L n X n θθθθ=?-=+-?∑
解似然方程得2θ的极大似然估计
2(1)
X x θ=- （2）112EX μθθ==+
22222212[()]()EX DX E X μθθθ==+=++
解方程组
11222
2212,
(),μθθμθθθ?=+??=++?? 得 22
221,θμμ=-
11θμ=所以12,θθ的矩估计为
*1,X S θ=-
*2
?.S θ==
11．罐中有N 个硬币，其中有θ个是普通硬币（掷出正面与反面的概率各为0.5）其余N θ-个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复n 次，若掷出0次、1次、2次正面的次数分别为012,,n n n ，利用（1）矩法；（2）极大似然法去估
·96·
计参数θ。
解 设X 为连掷两次正面出现的次数，A =‘取出的硬币为普通硬币’，则
21(0)()(0|)()(0|)(),24P X P A P X A P A P X A N N θθ
===+===
1221(1)()(1|)()(1|)()2P X P A P X A P A P X A C N θ===+==?2N
θ
=,
(2)()(2|)()(2|)P X P A P X A P A P X A ===+=
2143()24N N N N N
θθθ
--=+=，
即X 的分布为
012
43424X N P
N N N
θθ
θ- （1）143222N N N N N
θθθμ--=+= 解出θ得 1(2),
N θμ=- θ的矩估计为 12
1(2)[2(2)]N X N n n n
θ=-=-+ 1201(22)(2)N N
n n n n n n n
=--=+ （2）012
143(;)424n n n
n N L X X N N N θθθθ-??????
= ? ? ???????
，
012ln (ln ln(4))(ln ln(2))(ln(43)ln(4))L n N n N n N N θθθ=?-+-+--
012
ln 3043n d L n n d N θθθθ=+-- ， 解似然方程
01
2
3,43n n n N θ
θ
+=
-
得θ的极大似然估计
014()3N
n n n
θ
=+. 12．设总体的分布列为截尾几何分布 1
()(1),1,2,,,k P X k k r θ
θ-==-=
(1)r
P X r θ=+=，
从中抽得样本12,,,n X X X ，其中有m 个取值为1r +，求θ的极大似然估计。
·97·
解 1
()
1
11
(,,;)(1)(1),n m
i i i n m
X n m X mr
n m mr n i L X X θθ
θθ
θ
θθ-=-----=∑=
-=-∏
1
ln (
())ln ()ln(1),n m
i
i L X
n m mr n m θθ-==--++--∑
1
ln 11
()()0,1n m i i d L X n m mr n m d θθθ-==-++---∑
解似然方程
1
1n m i
i X
n m mr
n m
θ
θ
-=-++-=
-∑ 得θ的极大似然估计
1
1
1
1n m
n
i
i
i i n m n
i
i
i i X
n m mr
X n
X
mr
X
m
θ
-==-==-++-==
+-∑∑∑∑.
13．设总体X 服从正态分布212(,),,,,n N X X X μσ 是其样本，（1）求C
使得 1
2211
()n i i i C X X σ-+==-∑是2σ的无偏估计量；（2）求k 使得
1
||n
i
i k X X σ==-∑为σ的无偏估计量. 解 （1） 1
1
2
21111
1
()[()()]n n i i i i i i i i E C E X X C D X X E X X σ--+++===-=-+-∑∑
1
21
1
()2(1)n i i i C
DX
DX C n σ-+==+=?-∑
可见当12(1)C n =-时， 12211
()n i i i C X X σ-+==-∑是2σ的无偏估计量.
（2） 1
11||n
i i i j i j i E k E X X k E X X X n n σ=≠=-=--∑∑∑ 1
11
n
i j i j i
n k
E
X X n n =≠-=-∑∑ 设 11i i j i n Z X X n n ≠-=-∑，因22
211(1)~(,)i n n n X N n n n
μσ--- 2
2111~(
,)i j i n n X N n n n
μσ≠--∑，所以21~(0,)n Z N n σ-
~(0,1)
N.
因为
E=
||
E Z=
于是
1
||
n
i
E k E Z
σ
=
==
∑
故当
k=
1
||
n
i
i
k X X
σ
=
=-
∑是σ的无偏估计。
14．设
12
,,,
n
X X X
是来自参数为λ的泊松分布总体的样本，试证对任意的常数k，统计量2
(1)
kX k S
+-是λ的无偏估计量。
证22
((1))(1)
E kX k S kEX k ES k k
λλλλ
+-=+-=+-=（此处利用了X是EX的无偏估计，2S是DX的无偏估计），所以对任意的2
(1)
kX k S
+-是λ的无偏估计。
15．设总体X有期望
12
,,,,
n
X X X
μ 为一样本，问下列统计量是否为μ的
无偏估计量？（1）
12
1
()
2
X X
+;（2）
12
2
X X
-+;（3）
121
1
(2332)
10n n
X X X X
-
+++;
（4）
(1)
X；（5）
()n
X；（6）
(1)()
1
()
2n
X X
+.
解（1），（2），（3）都是样本的线性组合，而且组合系数之和为1，故它们都是μ的无偏估计。但（4），（5），（6）一般不是μ的无偏估计，如~(1,)
X B p，则(1),(0)1,
P X p P X p EX p
μ
====-==，而
(1)
X不是0就是1，且
(1)121
(1)(1,1,,)n
n
P X P X X X p
=
=====
，
故
(1)
n
EX p p
=≠
即
(1)
X不是p
μ=的无偏估计。
16．设 θ是参数θ的无偏估计量，且有 0
Dθ>，试证明 2θ不是2θ的无偏估计量。
证
2
222
()
E D E D
θθθθθθ
=+=+≠，
即 2θ不是2θ的无偏估计量.
·98·
·99·
注：该题说明：当 θ
是未知参数θ的无偏估计时， θ的函数 ()g θ不一定是θ的函数()g θ的无偏估计。
17．设总体2~(,)X N μσ，123,,X X X 是来自X 的样本，试证估计量
11231315102X X X μ=
++；2123115
3412X X X μ=++， 3123
111
362
X X X μ=++. 都是μ的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效.
证 1231
131131()51025102E EX EX EX μμμ=++=++= 2
115()3412
E μμμ=++= 3
111()362
E μμμ=++= 故 1
2
3
,,μ
μμ都是μ的无偏估计. 2
21231
191390.39251004100
D DX DX DX μσσ=++==, 2222
112550()0.347916144144
D μσσσ=++==， 2223
11114()0.389936436
D μσσσ=++==. 所以 2
μ最有效. 18．设总体X 服从区间[1,
]θ上的均匀分布，1θ>未知，1,,n X X 是取
自X 的样本。（1）求θ的矩估计和极大似然估计量；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是，请修正为无偏估计量；（3）问在（2）中两个无偏估计量哪一个更有效。 解 （1）先求矩估计 112
EX θ
μ+==，
121θμ=-，
所以θ的矩估计为 21X θ
=- 再求极大似然估计. 1111
(;)1
(1)n
n n
i L x x θθθ==
=--∏ ，121,,,n x x x θ≤≤
·100
· 所以θ的极大似然估计为 ()
L n X θ= （2） (21)2111E E X EX θ
θθ=-=-=+-= 可见矩估计是θ的无偏估计.
为求 L θ的数学期望，先求 ()L n X θ=的密度()L
f x . 总体X 的分布函数为
0,1,1(),1,11,.
x x F x x x θθθ
=≤≤?-?>??
()n X 的分布函数为 ()[()],n L F x F x = 所以
11()()()[()]()[()]n n L L
f x F x nF x F x nf x F x --''==?=? 1
(1),1,(1)0,.n n
n x x θθ-?-≤≤?=-???
其他
1
1
111
(1)(1)(1)(1)(1)n n n L n n n x n E x dx x dx x dx θθθ
θθθ---??=?=-+-??--?
?
??? 1111(1)(1)(1)(1)(1)1(1)1n n n n n
n n
x x n n n n n θθθθθθ++????----=
+=+????-+-+??????
111111n n n n n n θθ-??
=+=+
?+++?? 可见 L θ
不是θ的无偏估计，若将 L θ修正为 11L
L n n n
θθ+'
=
-，则 L θ
'是θ的无偏估计。
（3） 2
(1)(21)43D D X DX n
θθ-=-== 1222111(1)(1)2(1)(1)(1)n n n L n n n x n x x E x dx x x dx n n θθθθθθ-??--==--??--????
?? 211
11(1)2(1)2(1)(1)(1)(1)n n n n n x x x dx n n n n n θ
θθθθ++??--=
-+-??-++????
?
·101·
222
2(1)2(1)1[(1)22]1(1)(2)(1)(2)n n n n n n n n θθθθθθ??--=-+=+?++??+++++?
? 2
2()L L L D E E θθθ
=- 222
222
2221(2)(1)(2)(1)(2)(1)(1)(1)
n n n n n n n n n n n n θθθθ=++---++++++++ 2222
221
2(1)(1)(2)(1)(1)n n n n n n n n n n θθθ??=-+-- ?++++++??
22
2222
2
(1)(1)(2)2(1)1
(2)(
1)(1)(2)(1)
L n n n n n n n D n n n n n n θθθ??++-+-+'=+-??+++++?? 2
22221(1)(1)(2)(2)(2)3D n n n n n n n n
θθθθθ
--=--≤<=+++. 故
L θ
'
较 θ有效. 19．设总体X 的数学期望EX μ=已知，试证统计量2
1
1()n i i X n μ=-∑是总
体方差2
DX σ=的无偏估计.
证 222
11
11(())()n n i i i i E X E X n n μμσ==-=-=∑∑， 证毕.
20．设总体212~(,),,,,n X N X X X μσ 为来自X 的样本，试证2
21
1()1n
i i S X X n ==--∑是2σ的相合（一致）估计. 证 2
2221111()11n n i i i i S X X X nX n n ==??=-=-??--??
∑∑ 因为12,,,n X X X 相互独立，所以222
12,,,n X X X 也相互独立且具有相同的分布，由大数定理，对任意的0ε>有
2211lim 0n i n i P X EX n ε→∞
=??
-≥=????
∑. 即 21
1n i i X n =∑依概率收敛于2
2EX μ=，而X 依概率收敛于1EX μ=，由依概
率收敛的性质.
·102
· 2
222222211111()()n n p i i i i X X X X EX EX n n μμσ==-=-??→-=-=∑∑ 又由于
11n n →-（当n →∞时）而2*2
1
n S S n =-，故2S 依概率收敛于2σ，从而 2S 是2
σ的相合估计。
21．设1
2
,,,n
X X X 是来自总体(,)F x θ的一个样本，
1
(,,)n n
X X θ 是θ的一个估计量，若 2
,n n n n E k D θθθσ=+=且2lim lim 0n n
n n k σ→∞→∞
== 试证 n θ
是θ的相合（一致）估计量。 证 由切比雪夫不等式，对任意的0ε>有
2(||)n
n n D P k θθθεε
--≥≤
于是
2
0lim (||)lim 0n n n
n n P k σθθεε
→∞
→∞
≤--≥≤= 即 n θ
依概率收敛于θ，故 n θ是θ的相合估计。 22．设12,,,n X X X 是取自均匀分布在[0,
]θ上的一个样本，试证
12max(,,,)n n T X X X = 是θ的相合估计。
证 ()n n T X =的分布函数为
0,0,()(),0,1,0.n n
T n t t F t F t t t θθ
??
n T 的密度为
1
1
,0,()()()()0,.n n n T T nt t f t F t nf t F t t θθθ--?≤≤?'===??>?
1011
n n
n n n n n n ET t dt n n θθθθθ+==?=++? 22
1
2022
n n n
n n n
n n ET t dt n n θ
θθθθ++===++? 所以
·103·
2222
22
2(1)(1)(2)
n n n n DT n n n n θθθ=-=++++ 由切比雪夫不等式有
2
22
1(1)(2)n n n P T n n n θθεε
??-≥≤??+++?? 当n →∞时 lim lim {}01n n n n n P T P T n θεθε→∞
→∞
??
-
≥=-≥=??+?? 故 n T 是θ的相合估计.
23．从一批钉子中抽取16枚，测得长度（单位：厘米）为2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11，设钉长分布为正态，试在下列情况下，求总体期望μ的置信度为0.90的置信区间。 （1）已知0.01σ=厘米； （2）σ为未知. 解 22.125,
0.0029,
0.017X S S ===
（1）μ
的置信区间为0.05
0.05
(X u X u -+
0.052.125, 1.645,0.01,16X u n σ====
μ的置信区间为(2.121,
2.129)；
（2）μ
的置信区间为0.050.05(X t X t -+ 0.05(15) 1.7531t =
μ的置信区间为(2.1175,2.1325).
24．生产一个零件所需时间（单位：秒）2~(,)X N μσ，观察25个零件
的生产时间，得 5.5, 1.73X S ==，试以0.95的可靠性求μ和2
σ的置信区间.
解 μ
的置信区间为0.0250.025(X t X t -+ 其中 0.0255.5,(24) 2.0639, 1.73
,25.
X t S n ==
== 所以 μ的置信度0.95下的置信区间为
1.73
1.73
(5.5 2.0639
, 5.5 2.0639
)
(4.7858, 6.2141)
55
-
?+?= 2
σ的置信区间为
2222/21/2(1)(1),(1)(1)n S n S n n ααχχ-??
-- ?--??
·104
· 2220.0250.9752.9929,(24)39.364,(24)12.401S χχ===
所以2
σ的置信区间为
24 2.992924.29929(1.8248,5.7922)39.364
12.401???
=
???
.
25．零件尺寸与规定尺寸的偏差2~(,)X N μσ，令测得10个零件，得偏差值（单位：微米）2, 1, –2, 3, 2, 4, –2, 5, 3, 4，试求2,μσ的无偏估计值和置
信度为0.90的置信区间。
解 μ的无偏估计为10
1
1210i i X X ===∑ 2
σ的无偏估计为2
211104 5.7789n i i S X =??
=-?=????
∑
μ的置信区间为
0.050.05(X t X t --
0.052, 2.404,(9) 1.8331 3.1623X S t ====
所以 μ的置信度为0.90的置信区间为
2.404 2.404
(2 1.8331,2 1.8331)(0.6064,3.3935)3.1623 3.1623
-?
+?=；
2
σ的置信区间为
2
22
2
/21/2(1)(1)(1)
(1)n S n S n n ααχχ-??
-- ?--??
220.050.95(9)16.919,(9) 3.325χχ==
所以2
σ的置信度0.90下的置信区间为 52.00252.002(3.075,15.6397)16.919 3.325??
=
???
.
26．对某农作物两个品种计算了8个地区的单位面积产量如下： 品种A ：86，87，56，93，84，93，75，79； 品种B ：80，79，58，91，77，82，74，66.
假定两个品种的单位面积产量，分别服从正态分布，且方差相等，试求平均单位面积产量之差在置信度为0.95下的置信区间.
解 此题是在2
2
12σσ=的条件下求12μμ-的置信区间.
·105·
12μμ-的置信区间为
/212((2)X Y t n n S α--+-
/212(2)X Y t n n S α-++-其中 882
221111181.625,(8(81.625))145.6087i i i i X X S X =====-=∑∑
882
22211
1175.875,(8(75.875))102.1387i i i i Y Y S Y =====-?=∑∑
111.129,
2
w S ===
0.0250.05,(14) 2.1448t α==. 所以12μμ-的置信度为0.95下的置信区间为
1
1(81.62575.875 2.144811.129,81.62575.875 2.144811.129)22
--??-+?? ( 6.185,17.68
=-. 27．设A 和B 两批导线是用不同工艺生产的，今随机地从每批导线中抽取5根测量电阻，算得2
2
7
1 1.0710A S S -==?，2
2
6
2 5.310B S S -==?，若A 批导线的
电阻服从212
(,)N μσ分布，B 批导线的电阻服从222
(,)N μσ，求2
122
σσ的置信度为
0.90的置信区间.
解 2
122
σσ的置信区间为
2222
1212
/2121/212//(1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-?? ?----??
其中 2726
120.051.0710, 5.310,0.10,(4,4) 6.39.
S S F α--=?=?==
0.950.051
(4,4)0.1565(4,4)
F F =
=. 所以 2
122
σσ的置信度0.90下的置信区间为
1.07/53 1.07/53,(0.0032,0.1290)6.39
0.1565??
= ???.
28．两台机床加工同一种零件，分别抽取6个和9个零件测量其长度，算得
22
120.245,0.375S S ==，假定各台机床零件长度服从正态分布，试求两个总体
方差比22
12/σσ的置信区间（置信度为0.95）。
·106
· 解 2
122
σσ的置信区间为
2222
1212
/2121/212//,(1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-?? ?----??
其中 22
1212.0250.245,0.375,6,9,(5,8) 4.82S S n n F =====
0.9750.02511
(5,8)0.1479(8,5) 6.76F F ===
所以22
12/σσ的置信区间为
0.245/0.3750.245/0.375,(0.1355, 4.4173)4.820.1479??
= ???
.
29．设12,,,n X X X 是来自参数为λ的指数分布总体的一个样本，试求λ
的置信度为1α-的置信区间. 解 由习题六的第7题知 21
2~(2)
n
i
i X
n λ
χ=∑. 对于给定的α，查2χ分布表，求出临界值2/2(2)n αχ和21/2(2)n αχ-使
2
2
1/2
/21
((2)2(2))1n
i i P n X n ααχλχα-=<<=-∑
解出λ得
221/2/211(2)(2)122n
n i i i i n n P X X ααχχλα-==?? ? ?<<=- ? ?
??
∑∑ 即λ的置信度1α-下的置信区间为
22
1/2/2(2)(2),22n n nX nX ααχχ-?? ???
.
30．设总体X 服从区间[0,]θ上的均匀分布12(0),,,,n X X X θ> 为来
自X 的一个样本，试利用()/n X θ的分布导出未知参数θ的置信度为1α-的置信区间.
解 X 的分布函数为
0,0(),01,X x x
F x x x θθθ
?
·107·
()n X 的分布函数为()
0,0()(()),
01,
n n n
X n X t t F t F t t t θθθ
? ()n X Z θ=的分布函数为()
()()()()()n Z n X F z P Z z P z P X z θθ
=≤=≤=≤
()
0,0(),
011,
1
n n X z F z z z z θ?
==≤≤??>? 对于给定的α，令 ()
(1)1n X P t αθ
<≤=-
即
(1)()1Z Z F F t α-=- 由Z 的分布函数的表达式即
11n
t α-=- 从而得
t =即
()
1)1n X P αθ
<
<=-
将θ暴露出来得
()()(1n n P X X θα<<=- 所以θ的置信度为1α-下的置信区间为
(
()(),.n n X X
31．设0.50, 1.25, 0.80, 2.00是来自总体X 的一个样本值，已知ln Y X =服
从正态分布(,1).N μ
（1）求X 的数学期望EX （记为b ）； （2）求μ的置信度为0.95的置信区间；
（3）利用上述结果求b 的置信度为0.95的置信区间. 解 （1
）2
()
2,y Y Y y
X e EX Ee e dy μ--+∞-∞
===
?
2
2
t
t y
t e e dt
μ
μ
=--
+∞+
-∞
====
令2
(1)
11
222
t
e dt e
μμ
-
+-+
+∞
-∞
==
?；
（2）μ的置信区间为
/2/2
(Y u Y u
αα
-+
其中
11
[ln(0.50)ln(1.25)ln(0.8)ln(2.00)]ln10
44
Y=+++==
0.05
α=
0.025
1.96
u=，4
n=
所以μ的置信区间为
(0.98,0.98)
-
（3）由x e的严格单调性及（2）.
1
0.95(0.980.98)(0.48 1.48)
2
P Y Y P Y Y
μμ
=-<<+=-<+<+
1
0.48 1.48
2
()
Y Y
P e e e
μ+
-+
=<<
注意到0
Y=，知
1
2
b eμ+
=的置信度为0.95的置信区间为
0.48 1.48
(,)
e e
-.
32．从一台机床加工的轴中随机地取200根测量其椭圆度，由测量值（单位：
毫米）计算得平均值0.081
X=，标准差0.025
S=，求此机床加工的轴之平均
椭圆度的置信度为0.95的置信区间。
解因总体不是正态的，所以该题是大样本区间估计，设平均椭圆度为μ，
nX
(0,1)
N，对于给定的α，查正态分布表，
求出临界值
/2
u
α
使
/2/2
1()()
X
P u u P X X
αααα
αμ
-=-<<=-<<+
即μ的置信区间为
/2/2
(X u X u
αα
-
+(0.0810.081
=-+
(0.0775,0.0845)
=.
33．在一批货物的容量为100的样本中，经检验发现16个次品，试求这批
货次品率的置信区间（置信度近似为0.95）
解设次品率为p，100件产品中的次品数为X，由教材163页知，p的
·108·
·109·
置信区间为
12(,)p p ，其中
11(2p b a
=--
21(2p b a =-+ 此处 222
/2/2,(2),a n u b n X u c
n X αα=+=-+= 本题中 0.02516
100,0.16,0.05, 1.96100
n X u α=====， 103.84,35.84, 2.56a b c === 于是p 的置信度近似为0.95的置信区间为
(0.101,
0.244).
34．设12,,,n X X X 为来自参数为λ的泊松分布的样本，试求λ的置信度近似为0.95的置信区间.
解
n
i
X
n λ
-∑近似服从(0,1)N
对于给定的α，查正态分布表求出临界值/2u α使
/21P u αα?
??
<=-????
将括号内的不等式进行等价变换：
2
2/2/2
X u u αα
2
2
/220nX nX n u αλλλ?-+-≤ 222/2(2)0n nX u nX αλλ?-++≤?
2
2/2//2
22u u X X n
n α
αλ+-
<<++所以λ的置信度近似为0.95的置信区间为
224
(22k k X X n n +++，其中 1.96k =。
教版七年级数学补充习题答案(上下学期)(上下册) 2015详细版 七年级上册七年级下册：凤凰科学技术版次：2012.6（2015.6重印） 每天更新，请您关注七年级上册数学补充习题答案第1页教版七年级上册数学补充习题答案第2页七上数学补充习题答案第3页科版七年级上册数学补充习题答案第4页科版七年级上册数学补充习题答案第5页科版七年级上册数学补充习题答案第6页科版初一七年级上册数学补充习题答案第7页科版初一七年级上册数学补充习题答案第8页科版初一七年级上册数学补充习题答案第9页科版初一七年级上册数学补充习题答案第10页科版初一七年级上册数学补充习题答案第11页科版初一七年级上册数学补充习题答案第12页科版初一七年级上册数学补充习题答案第13页科版初一七年级上册数学补充习题答案第14页科版初一七年级上册数学补充习题答案第15页科版初一七年级上册数学补充习题答案第16页科版初一七年级上册数学补充习题答案第17页科版初一七年级上册数学补充习题答案第18页科版初一七年级上册数学补充习题答案第19页科版初一七年级上册数
学补充习题答案第20页科版初一七年级上册数学补充习题答案第21页科版初一七年级上册数学补充习题答案第22页科版初一七年级上册数学补充习题答案第23页科版初一七年级上册数学补充习题答案第24页科版初一七年级上册数学补充习题答案第25页科版初一七年级上册数学补充习题答案第26页科版初一七年级上册数学补充习题答案第27页科版初一七年级上册数学补充习题答案第28页科版初一七年级上册数学补充习题答案第29页科版初一七年级上册数学补充习题答案第30页教版七年级上册数学补充习题答案第31页教版七年级上册数学补充习题答案第32页教版七年级上册数学补充习题答案第33页教版七年级上册数学补充习题答案第34页教版七年级上册数学补充习题答案第35页教版七年级上册数学补充习题答案第36页教版七年级上册数学补充习题答案第37页教版七年级上册数学补充习题答案第38页教版七年级上册数学补充习题答案第39页教版七年级上册数学补充习题答案第40页教版七年级上册数学补充习题答案第41页教版七年级上册数学补充习题答案第42页教版七年级上册数学补充习题答案第43页教版七年级上册数学补充习题答案第44页教版七年级上册数学补充习题答案第45页教版七年级上册数学补充习题答案第46页教版七年级上册数学补充习题答案第47页教版七年级上册数学补充习题答案第48页教版七年级上册数学补充习题答案第
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。
2019初一数学补充习题答案 【导语】高效的学习，要学会给自己定定目标（大、小、长、短），这样学习会有一个 方向；然后要学会梳理自身学习情况，以课本为基础，结合自己做的笔记、试卷、掌握的薄弱环节、存在的问题等，合理的分配时间，有针对性、具体的去一点一点的攻克、落实。本篇文章是wo为您整理的《2019初一数学补充习题答案》，供大家借鉴。 【篇一：4.2解一元一次方程】 1、(B) 2、(1)x；(2)6x；(3)3； (4)0；(5)2；(6)3，2 3、(1)不是；(2)是 4、(B) 5、(1)x=-3；(2)x=18；(3)x=6； (4)x=-11；(5)x=-1；(6)x=-40； 【篇二：4.3用一元一次方程解决问题（1）】 1、4周 2、这4个日期分别是10、11、12、13 3、设共需xkg小麦．根据题意，得(1- 25%)x=625．解得x=. 4、设黑色皮块有3x块，白色皮块有5x块， 根据题意，得3x+5x=32，x=4．所以 黑色皮块有12块，白色皮块有20块
5、设人数较少的村有x人.根据题意，得x+ 2x-3=597.解得x=200.较大的村有597-200=397人【篇三：4.3用一元一次方程解决问题（2）】 1、7个两分球，3个三分球 2、17人，3人 3、装生铁200t，棉花200t 4、设前年A品牌电脑卖了x台，则B品牌电脑卖了(2200-x)台．根据题意，得(1+ 6%)x+(1-5%)(2200-x)=2200 +110.解得x=2000.2200-2000= 200（台） 【篇四：4.3用一元一次方程解决问题（3）】 1、17点20分 2、4名，23本 3、甲：7只，乙：5只 4、170人，250人 【篇五：4.3用一元一次方程解决问题（4）】1、设飞机在静风时的速度为xkm/h．根据 题意，得(24+x)×2=(x-24)×3． 解得x=840.(24+840)×2=2448 (km) 2、设十位数字为x，则百位数字为x+7，个
《概率论与数理统计》实验报告 学生姓名李樟取 学生班级计算机122 学生学号201205070621 指导教师吴志松 学年学期2013-2014学年第1学期
实验报告一 成绩 日期 年 月 日 实验名称 单个正态总体参数的区间估计 实验性质 综合性 实验目的及要求 1．了解【活动表】的编制方法； 2．掌握【单个正态总体均值Z 估计活动表】的使用方法； 3．掌握【单个正态总体均值t 估计活动表】的使用方法； 4．掌握【单个正态总体方差卡方估计活动表】的使用方法； 5．掌握单个正态总体参数的区间估计方法． 实验原理 利用【Excel 】中提供的统计函数【NORMISINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值Z 估计活动表】，在【单个正态总体均值Z 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【总体标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 1设总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为 样本的观测值 于是得到μ的置信水平为1-α 的置信区间为 利用【Excel 】中提供的统计函数【TINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值t 估计活动表】，在【单个正态总体均值t 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【样本标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 2.设总体2~(,)X N μσ，其中2 σ未知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为样本的观测值 整理得 /2/21X z X z n n P αασαμσ? ?=-??? ?-<<+/2||1/X U z P n ασμα????==-??????-
《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.
习题二 3.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数并作图； (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 故X 的分布律为 （2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 22 35 当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数 (3) 4.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3. 故X 的分布律为 分布函数 5.（1） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=! k a k λ， 其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ， 试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知 故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知 即 1a =. 6.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率;
（2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7) (1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+ 331212 33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++ (2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ =0.243 7.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有 即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松近似 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则 故 1 3 p = 所以 4451210(4)C ()33243 P X === . 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3） (2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3） 10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间 隔起点无关（时间以小时计）. （1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32 (0)e P X -== (2) 52 (1)1(0)1e P X P X - ≥=-==- 11.设P {X =k }=k k k p p --22) 1(C , k =0,1,2 P {Y =m }=m m m p p --44) 1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=5 9 ，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥= ，故4(1)9 P X <=. 而 2 (1)(0)(1)P X P X p <===-
模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对 于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查 到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为
5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别 取和0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：
概率论与数理统计 实验报告 概率论部分实验二 《正态分布综合实验》
实验名称：正态分布综合实验 实验目的：通过本次实验，了解Matlab在概率与数理统计领域的应用，学会用matlab做概率密度曲线，概率分布曲线，直方图，累计百分比曲线等简单应用；同时加深对正态分布的认识，以更好得应用之。 实验内容： 实验分析： 本次实验主要需要运用一些matlab函数，如正态分布随机数发生器normrnd函数、绘制直方图函数hist函数、正态分布密度函数图形绘制函数normpdf函数、正态分布分步函数图形绘制函数normcdf等；同时，考虑到本次实验重复性明显，如，分别生成100,1000,10000个服从正态分布的随机数，进行相同的实验操作，故通过数组和循环可以简化整个实验的操作流程，因此，本次实验程序中要设置数组和循环变量。 实验过程： 1.直方图与累计百分比曲线 1）实验程序 m=[100,1000,10000]; 产生随机数的个数 n=[2,1,0.5]; 组距 for j=1:3 for k=1:3 x=normrnd(6,1,m(j),1); 生成期望为6，方差为1的m(j)个 正态分布随机数
a=min(x); a为生成随机数的最小值 b=max(x); b为生成随机数的最大值 c=(b-a)/n(k); c为按n(k)组距应该分成的组数 subplot(1,2,1); 图形窗口分两份 hist(x,c);xlabel('频数分布图'); 在第一份里绘制频数直方图 yy=hist(x,c)/1000; yy为各个分组的频率 s=[]; s(1)=yy(1); for i=2:length(yy) s(i)=s(i-1)+yy(i); end s[]数组存储累计百分比 x=linspace(a,b,c); subplot(1,2,2); 在第二个图形位置绘制累计百分 比曲线 plot(x,s,x,s);xlabel('累积百分比曲线'); grid on; 加网格 figure; 另行开辟图形窗口，为下一个循 环做准备 end end 2）实验结论及过程截图 实验结果以图像形式展示，以下分别为产生100,1000,10000个正态分布随机数，组距分别为2,1,0.5的频数分布直方图和累积百分比曲线，从实验结果看来，随着产生随机数的数目增多，组距减小，累计直方图逐渐逼近正态分布密度函数图像，累计百分比逐渐逼近正态分布分布函数图像。
<概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率
为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，
概率论与数理统计习题 集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤
（1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随 机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。
概率论与数理统计实验报告 一、实验目的 1.学会用matlab求密度函数与分布函数 2.熟悉matlab中用于描述性统计的基本操作与命令 3.学会matlab进行参数估计与假设检验的基本命令与操作 二、实验步骤与结果 概率论部分： 实验名称：各种分布的密度函数与分布函数 实验内容： 1.选择三种常见随机变量的分布，计算它们的方差与期望<参数自己设 定）。 2.向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5,。记正面向上的次数 为x， （1）计算x=45和x<45的概率， （2）给出随机数x的概率累积分布图像和概率密度图像。 3.比较t(10>分布和标准正态分布的图像<要求写出程序并作图）。 程序： 1.计算三种随机变量分布的方差与期望 [m0,v0]=binostat(10,0.3> %二项分布，取n=10,p=0.3 [m1,v1]=poisstat(5> %泊松分布，取lambda=5 [m2,v2]=normstat(1,0.12> %正态分布，取u=1,sigma=0.12 计算结果： m0 =3 v0 =2.1000 m1 =5 v1 =5 m2 =1 v2 =0.0144 2.计算x=45和x<45的概率，并绘图 Px=binopdf(45,100,0.5> %x=45的概率 Fx=binocdf(45,100,0.5> %x<45的概率 x=1:100。 p1=binopdf(x,100,0.5>。 p2=binocdf(x,100,0.5>。 subplot(2,1,1>
plot(x,p1> title('概率密度图像'> subplot(2,1,2> plot(x,p2> title('概率累积分布图像'> 结果： Px =0.0485 Fx =0.1841 3.t(10>分布与标准正态分布的图像 subplot(2,1,1> ezplot('1/sqrt(2*pi>*exp(-1/2*x^2>',[-6,6]> title('标准正态分布概率密度曲线图'> subplot(2,1,2> ezplot('gamma((10+1>/2>/(sqrt(10*pi>*gamma(10/2>>*(1+x^2/10>^(-(10+1>/2>',[-6,6]>。b5E2RGbCAP title('t(10>分布概率密度曲线图'> 结果：
概率论与数理统计复习题--带答案
;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；
9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生；
《概率论与数理统计》作业集及答案
第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
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§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19
第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生；
（4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B
（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==
概率论与数理统计习题 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2