5、没有宽宏大量的心肠，便算不上真正的英雄
——俄.普希金
高三数学复习中应重视数学阅读的教学
黄文忠
新的数学课程标准强调的一个新理念是：注重学生诸多能力的培养，其中包括数学阅读能力、数学应用能力和数学探究能力，而数学阅读能力是数学思维的基础和前提
因此，在数学教学中对学生进行数学阅读能力的培养，是提高中学生自主学习能力和"教学生学会学习"的一项重要举措，对高三数学教学而言，数学阅读能力就是读教材、读题、审题、破题、书写表达的能力
它是高三数学复习中必须花大力气研究和解决的问题
一、目前高三数学教学中数学阅读教学的现状
1、抛弃教材重资料
高三的学生往往缺乏阅读数学课本的习惯，主要的原因是，学生对数学的理解仅仅停留在解题的层面上，加上有的教师很少留时间和空间让学生阅读课本，喜欢滔滔不绝的讲，使学生产生了依赖性．
2、数学表达能力欠缺
许多学生不能用连贯的科学的数学语言叙述定义、定理，回答教师提出的问题往往断断续续，断章取义，残缺不齐，不知所云；书写解题过程时主次不分，条理杂乱无章，无法用准确完整的数学语言来表述解题过程等，这主要是没有让学生认真阅读教材的结果
3、审题能力差
缺乏仔细审题意识，因片面审题，快速答题带来诸多失误，"审题快作题慢，走不通回头看，几回几转从头看，时间不够心头乱"；"一看就会，一做就错"；思维定势的影响，用"想当然"代替现实的片面意识，怀有侥幸心理，哪知道熟题"专烧熟人"；忽略题中的关键词语、条件，对题意的理解有偏差，一知半解，会做而不得分
【例1】 已知定点A（1，1）和直线l：x＋y－2＝0，则到定点A的距离与到定直线l的距离相等的点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线
很多学生不假思索就错选C，主要原因就是在复习圆锥曲线的概念时只抓住到定点距离与到定直线的距离之比，而忽略了定点是否在定直线上，忽略了题目中隐含 "A∈l"的 条件
4、只见表面不见实质
数学阅读常出现这种情况，认识一段数学材料中每一个字、词或句子，却不能理解其中的推理和数学含义，更难体会到其中的数学思想方法
数学语言形式表述与数学内容之间的这一矛盾决定了数学阅读必须勤思多想
数学语言的理解常需要更多的判断、推理，语言中蕴涵的推理、判断的理由、依据须清楚明白；否则，即便语言中的概念清楚，意义明白，也不能达到数学上的理解看不见材料背后的数学模型
5、迁
移能力差
对新题型、新背景、新运算、新信息题目，看不懂，读不懂，不能转化成熟悉的数学模型解决问题
其实，这些都是由于学生平时学习过分依赖老师，往往是举三反一，而不是举一反三，缺乏数学阅读能力，读题、破题、解题能力差所造成的
【例2】 （2006年福建数学理科卷）对于直角坐标平面内的任意两点A(x,y)、B(x，y)，定义它们之间的一种"距离"：‖AB‖=︱x－x︱+︱y－y︱.
给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.
其中真命题的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
近几年来，福建数学高考试题都会通过提供新材料、创设新情境和提出新问题来考查考生的学习新数学知识的能力和综合利用所学知识解决新问题的能力
如06年的距离问题这类问题大多没有在以往的复习资料上出现过，绝大多数内容都取材于高数，背景相对公平，正是高考所追求的理想题型
学生在考试过程中遇到这类试题时，要沉着冷静地仔细研读试题提供的材料，找准突破口，和自己已有的知识建立起实质性的联系，综合地运用所学的数学知识和数学思想方法解决新问题
6．对题干较长的题目不能抓住关键词，提取有效信息
【例3】（2007年福建数学理科卷）中学数学中存在许多关系，比如"相等关系"、"平行关系"等等．如果集合中元素之间的一个关系""满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意，都有；
（2）对称性：对于，若，则有；
（3）传递性：对于，若，，则有．
则称""是集合的一个等价关系．例如："数的相等"是等价关系，而"直线的平行"不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．
其实，这题的背景并不复杂
平时学过的如"图形的全等"、"图形的相似"、"非零向量的共线"、"命题的充要条件"都可以．但是，可能由于缺乏数学阅读能力，无法把握关键词，这题就难倒了很多学生
二 、数学阅读的内涵
1． 数学阅读、数学阅读教学及数学阅读能力
（1）数学阅读的界定：《辞海》中"阅"的意思是看、经历、汇集；"读"的意思是照文字念诵、外扬、欣赏
数学阅读是指从数学公式、图形、符号、文字等数学材料中提取信息的心理过程和智力过程，包括看书、提出问题、对数学过程进行演绎推理、应用、归纳总结行为，其实质是领会、理解其中的数学知识、数学方法、数学思想，体验数学文化，欣赏数学美的过程
(2)数学阅读教学的
界定：数学阅读教学是数学阅读活动的教学，是师生之间、学生之间在数学阅读活动中相互交流、互动合作与共同发展的过程
学生是数学阅读的主人，学生需要掌握数学阅读的基本方法、策略和技能，教师实施数学阅读教学是为了提高数学教与学的效益、促进学生形成和掌握数学阅读的基本方法和策略
(3)数学阅读能力：是指从数学公式、图形、符号、文字等数学材料中提取信息，并独立的进行归纳、总结的能力，是通过动口、动手、动脑的理解过程和加工过程
2.数学阅读的特点
(1)数学是一门语言
"数学教学就是数学语言的教学"，数学语言具有简洁、无歧义的特点，但数学符号内涵丰富，有一定的抽象性，尤其是符号语言和图式语言跟自然语言差别很大，而在阅读中语意转换频繁，要求灵活，这就给数学阅读带来一定难度．阅读过程是一个转化的过程,是一个内部言语的转化过程，是新知识的同化和顺应的过程
(2)数学阅读的逻辑性
数学阅读不同于一般阅读，数学材料的呈现主要是归纳和演绎，具有一定的严谨性，加之数学语言的抽象性，使数学阅读需较强的逻辑思维能力．在数学阅读过程中，记忆、理解、抽象、综合、分析、归纳、类比、联想等思维活动都需充分调动才能达到好的阅读效果
(3)数学阅读的综合性
数学阅读要求认真细致，要求记忆重要概念、原理、公式，因书写可以加快、加强记忆，所以在数学阅读时，对重要的内容常通过书写或作笔记来加强记忆
数学阅读时常要求从课文或数学试题或其它材料中概括归纳出一些东西，
(4)数学阅读的精确性
每个数学概念、符号、术语都有其精确的含义，当一个学生试图阅读、理解一段数学材料、一个概念、定理或其证明时，他必须了解其中出现的每个数学术语和每个数学符号的精确含义，不能忽视或略去任何一个不理解的词汇
(5)数学阅读的灵活性
数学阅读过程中语意转换频繁，要求思维灵活
三、 逐步培养学生数学阅读能力的策略
1、教师应将数学阅读纳入数学课堂教学的基本环节
不少的数学课堂教学，常常是教师在布置作业时，才让学生打开课本，学生也只有在做作业遇到困难时，才翻开数学课本，教师没有重视和引导学生进行数学阅读
在学或复习完某一章节或单元后，要求学生在全面阅读教材和课堂笔记的基础上，自己进行知识总结，以发现自己以前没有认识理解的问题，并及时阅读理解和弥补
把已经学过的东西咀嚼、消化、组织整理，反复推敲，融汇贯通，提炼出关键性的问题
使学生学习目的明确，条理清晰
，概念准确
建议：在每节数学课上能否设计至少5分钟数学阅读环节，可以读教材上的内容（定义、定理、规律总结等），可以是读题训练等
2、掌握阅读数学教材的技巧
重视阅读数学课本，首先要教师引导，特别在讲授新课时，应当纠正那种"学生闭着书，光听老师讲"的教学方法；在讲解概念时，应让学生翻开课本，教师按课本原文逐字、逐句、逐节的阅读．在阅读中，让学生反复琢磨，认真思考，对书中概念、定理、定义中有本质特征的关键词句要仔细品味，深刻理解其语意，达到举一反三而非举三反一的效果
如：能换成其它词语行吗？能省略某字某行吗？加上某字词行吗？等等
要读出书中的要点、难点和疑点，读出字里行间所蕴藏的数学精髓，从数学材料或题目中提炼出数学思想、观点和方法
教师可以列出读书提纲，以便使学生更快更好地理解复习内容
A．阅读引言：(1)要注意章节标题，因为它标出了主要内容；(2)要注意引入新知识的直观素材、学习本章节的现实意义以及高考考纲对这部分考点的考查层次；(3)要抓住关键字、词、句、符号、图形和重要结论
【例4】（2004年上海市高考题）教材中"坐标平面上的直线"与"圆锥曲线"两章内容体现出解析几何的本质是
如果平时没有注意做好这些准备，遇到这种类型的高考试题，也就束手无策
B．阅读概念：(1)要正确理解概念中的字、词、句，能正确进行文字语言，图形语言和符号语言的互译；(2)要注意联系实际找出正反例子或实物；(3)要弄明白概念的内涵和外延，既能区分相近的概念，又能知道其适用范围
数学概念都是用文字来表达的，且文字精练、简明、准确，所以对有些数学概念的辨析简直需要"咬文嚼字"
C．阅读定理 ：(1)要注意分清定理的条件和结论；(2)要探讨定理的证明途径和方法，通过与课本对照，分析证法的正误、优劣；(3)要注意联系类似定理，进行分析比较、掌握其应用；(4)要思考定理可否逆用、推广及引伸
D．阅读公式：(1)要弄明白公式的来龙去脉，会推导公式；(2)要明白公式的特征并能想办法记忆；(3)要注意公式的应用条件，弄明白有关公式的内在联系，了解公式的运用、逆用、合用、变用和巧用
3、教师应掌握一定的阅读指导策略，指导学生进行有效的阅读
教师在指导学生进行数学阅读时，要注意符合学生的认知规律，引导学生进行由简单到复杂、由点到面、由此及彼等认识活动，注重阅读的目标性，层次性，明确阅读的主攻方向或思维方向
可让学生运用不同的简单图线、符
号圈点勾画不同的重要内容，标记不同的意义，以强化阅读重点与关键，做到自我阅读理解、掌握、心中有数
【例5】 某项赛事，在"五进三"的淘汰赛中，需要加试综合素质测试．每位选手都有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目．某选手从中任意连续地抽取3次，每次等可能地抽取1道题，被抽取的题目不再放回．（I）求该选手在３次抽取中，只有第一次抽到艺术类题目的概率；（II）求该选手抽到体育类题目数的分布列和数学期望
变式：①将不再放回改为放回；②连续地抽取3次改为一次抽取三道题； ③只有第一次改为恰有一次； ④彼此不同类别改为相同类别；⑤至少有1次改为至多有1次；⑥10道不同的题目改为有6个相同的红球，2个相同的白球，2个相同的黑球（除颜色外无区分）
求该选手在３次摸取中，只有第一次摸到白球的概率；⑦同⑥的题干，求该选手摸到黑球数的分布列、数学期望、方差
⑧同⑥的题干，求该选手在３次摸取中，摸到3个彼此不同颜色球的概率
等等
通过变换不同的背景，培养学生的阅读能力，让学生清晰地认识到读题、审题、破题的重要性，从而掌握"概率问题"的主要模型和审题的方法
（关键词：都、不都、都不、恰好（刚好、正好）、完全、不完全、全不、至多、至少、放回、不放回、相同的球、不同的球、或、且、非、排、选、各、共、k次内发生、第k次发生、第k次才发生、发生k次、连续取出3个球、一次取出3个球等）
总而言之，通过阅读训练达到"学生要不断反思自己的学，教师应不断反思自己的教"
4、 数学阅读讲求听说读写相结合
我校每年举办青年教师基本功大赛，主要围绕着青年教师在教学方面的听说读写，这在一定程度上提高了很多青年教师的教学素质，受此启发，我觉得培养学生数学阅读也要有听，说，读，写
在新课改背景下的数学教学中，教师的作用不应被看成"知识的传授者"，而应成为学生学习活动的促进者、启发者、质疑者和示范者，充分发挥"导向"作用，使用"听、说、读、写"这四大武器
数学学习中的"听"：
（1）听老师上课
听老师上课，主要是听老师上课的思路，即发现问题、明确问题、提出假设、检验假设的思维过程
既要听老师讲解、分析时的每一句话，更要抓住重点，听好关键性的步骤，特别关注听课时发现或产生的疑难问题
(2)听同学发言
倾听和接受他人的数学思想和方法，不仅是听老师上课，还包括听同学的发言
同学间的思想交流更能引起共鸣，从中可以了解其他
同学学习数学和思考问题的方法，加之老师适时的点拨和评价，有利于自己开阔思路、激发思考、澄清思维、引起反思
数学学习中的"说"
众所周知，说课比赛可以加速教师对教材的理解，实际上，在教学过程中，我发现培养学生良好的语言文字表达能力，不仅是语文学习的任务，也是提高数学素养的重要内容，是数学学习的任务之一
培养学生"说"的能力主要围绕着下列几个方面来进行：
(1)说解题的体会，特别是结合解题过程中产生困惑的地方以及解题的得失经验
(2)说解题思路的产生
主要如何切入知识点
(3)说数学方法
一般来说，这个主要针对一些数学能力较强的学生而言，通过他们的总结不断提高自身的解题技巧
数学学习中的"读"
现代社会已进入信息化时代，要求学生不仅要"学会"，更要"会学"
高三的学生任务重，是否"会学"是成败的重要因素，"会学"的基础当然是会"读"
尤其是在省质检以后更显得相当重要
这方面的训练着重放在以下几个方面：
(1) 读考试说明和高考题
从某种角度来说，每年颁布的考纲对部分知识点的要求都会略有差别，在每年高三的第一轮复习，就可通过阅读当年的考纲，了解高考对每个知识点的一些基本要求，这样就可以在高考复习过程中有所侧重；在阅读次年颁布的考纲后，要求逐步体会这些要求与往年的差别，这对高考后期回归课本的复习带有很强的指导意义
(2) 读教材
在把握考纲的前提下，主要是围绕课本上的概念、定理来进行，读的时候一定不能急于求成，必须把概念的内涵、外延，特别是在与立体几何有关的命题上更要懂得用数学语言来表达
(3)读例题、习题
在完成上面两个方面的内容后，就开始着重把课本的例题和课后的习题逐步处理，因为现在高考的命题也基本上围绕着源于课本，但又可能略高于课本的要求，因此要通过例题、习题的阅读可以逐步熟悉高考的要求
数学学习中的"写"
(1) 写错题本
这应该对全体学生比较适用而且容易做到的
但是，对于一些优秀生而言，在整理的时候不应该只是正确答案的罗列，而应该注重分析错误的根源，以及教师讲评中出现的更为简捷的解法
也就是说注意讲究算理
(2)每次考试后的总结
应该说，高三的学生经历的阶段考如每月的月考、1月份的市统考、2月份的期末考、4月份的省质检、5月份的市质检、以及5月中旬的校质检等等，这些考试的情况对以后的高考应试都有很大的参考价值，因此，要让学生形成及时做好考试的总结，特别是要着重针对考前准备（包括
知识体系和心理预期）对考试的发挥的影响以及在考试过程中出现的问题，而不是仅仅放在分数的得失上
其次，要建立自己在考试中失分的档案，了解自己在考试中有哪些知识点还没有熟练掌握，通过这些分析，知道自己的实力，树立考试的信心
5、开设三种语言相互转化专题讲座
数学阅读能力的培养要靠教师长期的培养，需要每节课的设计上有数学阅读的意识
在高三复习中，也可以通过专题讲座加以提升、归纳、内化
如阅读图表等统计资料，提取有关信息并解决相关问题；阅读相关信息材料，通过归纳、探索，发现规律，得出结论；阅读试题提供的新定义、新定理，解决新问题等
高考不仅仅是要把平时储存在学生头脑中的知识提取出来，看其数量大小，而更要考核考生的知识应用能力以及从已有的知识出发，建构新的知识的能力
【例6】（2003年全国卷）在平面几何里，有勾股定理："设的两边BC、AC互相垂直，则 "AC2+BC2=AB2"
拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是："设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则
"
6．加强审题训练
一方面，审题是"快、准、活"解题的基础和前提；另一方面，阅读、理解能力是数学能力的重要部分，高考考查的力度逐年加大
审题三步曲：在解题过程中有可能会遇到三次审题：第一次是拿到题目时，耐心仔细地审题，把握条件的关键词，包括括号内一些不起眼的条件，从中获得尽可能多的信息，迅速找出解题方向；第二次是在解题受阻时，应再次审题，有没有漏看什么条件，想想有什么隐含条件，再去考虑解题策略；第三次是在解完题后，再次回顾题目，看看所得解答与题目要求是否吻合，是否合理，"瞻前顾后"
审题思维链：区分重要和非重要信息→概括信息→推理信息→激活原有知识经验
（1）审视条件，挖掘隐含信息
（2）审视结论，确定解题方向
（3）审视数值、符号、位置，探求优美解法
这点可能是很多学生容易忽略的
【例7】根据图形的性质，写出一个重要不等式（化简后）
从学生解答中出现的问题归纳如下：
错误答案
出错原因
f () ＞ 没有看到y＝ ＞ 没有看到括号中"化简后" ≥ 没有看出图中"b＞a＞0"
a2＋b2 ＞ 2ab (a、b∈R)
没有看出a、b∈R＋
( a-b )2 ＞ 0
化简过头，及忘记"重要"二字 学生出错的根本原因在于"读题"，对图形提供的信息和题目的要求没有全面、仔细、深刻地理解
阅读能力是学习
数学的一个十分重要而又容易被忽略的技能，学习数学新知识离不开阅读，高三数学复习也离不开数学阅读
由此可见，在高三数学复习中通过让学生自己阅读教材、自己阅读例题的解法，加强学生阅读能力的培养势在必行
数学阅读会使学生形成求知、开动脑筋、不断探索的良好习惯，可大大激发学生学习数学的积极性和灵感，同时对其他各学科的学习起着巨大的促进作用
数学阅读是学生享用不尽、终生受益的一种崇高的精神活动
前苏联教育家苏霍姆林斯基说"没有大量的阅读，一个人就会受到精神空虚的威胁
" 数学家张广厚也特别指出："只做题不看书，是学不好数学的"
高三的数学教师更应加强对学生的数学阅读能力的培养，让高三的学生们愉快地越过"数学阅读"这座山
??
??
??
??
1
5、没有宽宏大量的心肠，便算不上真正的英雄
——俄.普希金