图像处理课件-chapter6

F u, v v dv exp j 2ux du
F u,0 exp j 2ux du


2
上式表明gy(x)是F(u,0)的傅立叶反变换 。或者说gy(x)的傅立叶变换G(u)与 F(u,0)相同。由此可知，函数f(x,y)在x 轴上投影的傅立叶变换等于f(x,y)的傅 立叶变换在(u,v)平面上沿u轴平面上的 切片。
R exp( j 2 R )dR
因为 x cos y sin
h x cos y sin
1 2d 1 2d
，上式记：
R exp j 2 R x cos y sin dR
4
由(6.15)可知：
f x, y;

f x, y;
f x, y

R GR, exp j2Rx cos y sin dR

0 f x, y; d
3
由此可得，用傅立叶变换法重建图像的 步骤如下： ① 根据式（6.12）或式（6.18）对N个不 同θ方向上投影进行一维傅立叶变换。 ② 在傅立叶变换空间从极坐标向直角坐 标插值。 ③ 利用式（6.15）或离散形式的傅立叶 频谱进行反变换得到重建图像。
g y x



Fu, v exp j2ux vydudv dy




Hale Waihona Puke F u, v exp j 2ux dudv exp j 2vydy






F u, v exp j 2ux v dudv
f x, ydy

g x y
f x, ydx

2
设f(x,y)的傅立叶变换为F(u,v)，则根据傅 立叶反变换式可知：
f ( x, y )




F u, v exp j 2 ux vy dudv
2
把f(x,y)傅立叶变换代入：
2
s x cos y sin t x sin y cos
t1 y
t
s
θ
x
s1
s1=xcosθ + ysinθ 坐标旋转关系
2

函数f(x,y)沿着s方向(在t1轴上)的投影为
g s s1 , f x, y dt
t
3
G r , g ( s1 , ) exp( j 2 rs1 )ds1
（英） G.N.Hounsfield
（美）Allan M. Cormack
2
6.2 投影定理

一个N维函数f(x1,x2,x3,…,xN)在第N－1维 上的映射称为函数f在第N-1维的投影。 在简单的二维情况下，函数f(x,y)在x轴上 （沿y方向）和在y轴上（沿x方向）的投 影可分别表示为 :
g y x

发射投影成像
– 如，正电子发射成像（PET：Positron Emission Tomography） – 采用在衰减时放出正电子的放射性离子，放出的 正电子很快与负电子相撞湮灭而产生一对相背运 动的光子。 – 相对放置的两个检测器接收到这两个光子就可以 确定一条射线， – 检测器围绕物体呈环形分布， – 相对的两个检测器构成一组检测器对，检测由一 对正负电子产生的光子。
G(r , ) F (r cos , r sin ) F (u , v )


3
上式表明，f(x,y)在一条与x轴夹角为θ， 离开原点距离为r的直线上的投影的傅立 叶变换等于二维傅立叶变换在与u轴成θ 方向上的切片，这就是投影定理，也称 之为切片定理。
3
f (x,y)
F(u,v)
0

4

由式（6.21）可知，右边正是投影数据g(ρ,θ)
与脉冲响应h(ρ)所表示的滤波器的卷积，h(· )
为卷积函数。

求f ’(x,y,θ) 则是在θ角方向上卷积了的投影，
因此从式（6.22）求f (x,y)可被认为是求逆投
影过程，即卷积逆投影重建法。
4

式（6.20）所表示的h(ρ)正是频率响应为|R|的 滤波器，如下图所示，通常称为重建滤波器。

其中g z x, y f x, y, z dz
3
6.3 傅立叶投影重建
傅立叶投影重建的基础就是傅立叶投影定理。
根据投影定理，如果能将不同角度 θ1,θ2,…, θn得到的投影值进行傅立叶变换，就 可以得到F(u,v)分别在相应角度位置上的切片 。当切片趋向无穷多，即取无穷多个投影时， 就可获得在 (u,v)平面上的所有F(u,v)值，从而 进行傅立叶反变换就可以重建图像f(x,y)。
散射线
入射线
散射线
组织对射线的吸收

透射投影成像，
– 图6.2表示等强度的射线透过不同密度分布时 的情况， – 每块上的数字表示每块的密度或衰减，总的衰 减是叠加的， – 其中一条射线束通过均匀密度物质的厚块，另 一射线通过不等密度的厚块组合，但检测器的 记录相同， – 因此，投影重建时需要一系列投影才能重建二 维图像。


[




f ( x, y )dt ]sxp( j 2 rs1 )ds1 s1 x t x s1 y f ( x, y ) e xp[ j 2 r ( xR cos y sin )]dxdy t y







(From Siemens)
(From Picker)
1
CT 扫描仪
扫描速度: 50, 100 ms 扫描厚度: 1.5, 3, 6, 10 mm

(From Imatron)
1
数据获取系统 (DAS)
Pre-Collimator
Post-Collimator
Source Filter
Scattering

由此可知，卷积逆投影重建的关键是设计重建
检测器
光子
正电子
光子
负电子
检测器
PET成像系统示意图
反射断层成像： 将入射信号（通常是单色平面波）入射到 物体上，通过检测经物体散射（反射）后 的信号强度来重建。

射线投影成像的基本原理：
– 人体组织对X射线吸收和散射，造成衰减， – 人体内的不同结构，比如脂肪、胰、骨骼对X 射线吸收能力有所不同。
计算机 CT扫描成像的示意图
1
第一代CT
单个探测器 平移－旋转 并行光光束
(From G. Wang)
1
第二代CT
多个探测器 平移－旋转 小扇形光束
(From G. Wang)
1
第三代CT
多个探测器 平移－旋转 大扇形光束
(From G. Wang)
1

CT一次平移扫描所获得的输出信号
X射线管 平移扫描 信号电流
(数字)图像处理
(Digital) Image Processing
第6章 图像重建
6.1 计算机断层扫描技术 6.2 投影定理 6.3 傅立叶投影定理 6.4 卷积逆投影重建 6.5 代数重建 6.6 三维图像重建的体绘制
发射断层成像系统 反射断层成像系统 透射式断层扫描成像系统

发射断层成像： 发射源在物体内部，将具有放射性的离 子（放射元素）注入物体内部，在物体 外部检测其经过物体吸收之后放射量。
3
g,
s f x, yds
GR ,
g, exp j2R d

f x, y
0 0
2
GR, exp j2R x cos y sin RdRd
3
f x, y
0 R GR, exp j2Rx cos y sin dRd
Detector
Patient
(From G. Wang)
2
数据获取系统(DAS)
X-ray Tube Source Filter
Detectors
CT Gantry
(From Siemens)
Detector (From G. Wang)
2

医学影像领域：
– Computed Tomography(CT)：获 1979年诺贝尔奖（Nobel Price） – 布尔赫、珀塞尔，获1952年诺贝 尔奖，发现了核磁共振现象 – 劳特布尔（美）、P· 曼斯菲尔德 （英）获2003年年诺贝尔奖，核 磁共振的研究




(cos 2 sin 2 ) f ( x, y ) e xp[ j 2 ( xr cos yr sin )]dxdy F ( r cos , r sin ) 1 f ( x, y ) e xp[ j 2 r ( xu yv)]dxdy f ( x, y ) sxp[ j 2 r ( xu yv)]dxdy F (u, v)
1 2d 1 2d
g ,

R exp j 2 R x cos y sin dRd
g , h x cos y sin d
卷积逆投影法重建图像为：
f ( x, y ) f ( x, y, )d
1 2d 1 2d
R F R, exp j 2 R x cos y sin dR
R g , exp j 2 R d exp j 2 R x cos y sin dR 1 2d 1 2d