第05练 二次函数与幂函数
刷基础
1．（2020·贵溪市实验中学高二期末）已知函数(
)
2
53
()1m f x m m x --=--是幂函数且是(0,)+∞上的增函数，
则m 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．－1或2 D ．0
【答案】B 【解析】
由题意得2
11,530,1m m m m --=-->∴=-， 故选：B.
2．（2020·浙江高一课时练习）如图，函数1y x
=
、y x
=、1y =的图象和直线1x =将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数
的图象经过的部分是④⑧，则
可能是（ ）
A ．y ＝x 2
B ．y x
=
C ．12
y x =
D ．y=x -2
【答案】B 【解析】
由图象知，幂函数()f x 的性质为：
（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，
； （2）当01x <<时，()1f x >，且()1f x x <；当1x >时，01x <<，且()1
f x x
>； 所以()f x 可能是y x
=
.故选B.
3．（2019·河南高三月考）若e a =π，3e b =，3c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c a b << D ．b c a <<
【答案】A 【解析】
因为3x
y =在R 上为增函数，所以33e π<，即b c <. 因为e y x =在(0,)+∞为增函数，所以3e e π>，即a b >. 设ln ()x
f x x
=
， 2
1ln ()x
f x x
-'=
，令()0f x '=，x e =. (0,)x e ∈，()0f x '>，()f x 为增函数， (,)x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 为减函数.
则()(3)f f π<，即
ln ln 3
3
π
π
<
，因此3ln ln3ππ<， 即3ln ln 3ππ<，33ππ<.又33e πππ<<，所以a c <. 所以b a c <<. 故选：A
4．（2020·全国高一专题练习）下列关系中正确的是（ ） A ．2213
3
3
111252??????<< ? ? ?
??????
B ．122333
111225??????<< ? ? ?
??????
C ．212333
111522??????<< ? ? ?
??????
D ．221333
111522??????<< ? ? ?
??????
【答案】D 【解析】
因为12x
y ??= ???是单调递减函数，1233<，所以12
331122????> ? ?????
，
因为幂函数23y x =在()0,∞+上递增，11
52
<；
所以223
3
1152????< ? ?
????
，
即
22
33
2
3
111 522??????
<<
? ? ?
??????
，故选D.
5．（2020·越秀广东实验中学高一期末）幂函数y a x
=，当a取不同的正数时，在区间[]
01，上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点()()
A10B01
，，，，连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数
y y
a b
x x
、
==的图像三等分，即有BM MN NA
==，那么
1
a
b
-=（）
A．0 B．1 C．
1
2
D．2
【答案】A
【解析】
因为BM MN NA
==，点()()
A10B01
，，，，
所以
1221
M N
3333
????
? ?
????
，，，
分别代入y y
a b
x x
、
==中，21
33
12
log b log
33
a==
，
所以2
3
1
3
111
log0
2
3log
3
a
b
-=-=，
故选A．
6．（2020·湖南茶陵三中高一开学考试）已知函数()()()
f x x a x b
=--（其中a b
>）的图象如图所示，则函数()()
log
a
g x x b
=-的图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】
法一：结合二次函数的图象可知，1a >，10b -<<，所以函数()()log a g x x b =-单调递增，排除C ，D ；把函数log a y x =的图象向左平移b 个单位，得到函数()()log a g x x b =-的图象，排除A ，选B. 法二：结合二次函数的图象可知，1a >，10b -<<，所以1a >，01b <-<，在()()log a g x x b =-中，取0x =，得()()0log 0a g b =-<，只有选项B 符合， 故选B.
7．（2018·福建厦门双十中学）函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64}
【答案】D 【解析】
设关于()f x 的方程()()2
0mf
x nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.
而()2
f x ax bx c =++的图象关于2b x a =-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2b
x a
=-对称．而选项D 中
416164
22
++≠.故选D. 8．（2020·安徽宣城高一期末）若函数()2
1242
f x x x =-+的定义域、值域都是[]2,2(1),b b >则（ ） A ．2b = B ．2b ≥
C ．()1,2b ∈
D ．()2,b ∈+∞
【答案】A
【解析】
结合二次函数的性质，函数()2
1242
f x x x =
-+的对称轴为2x =， 结合题意和二次函数的性质可得：()22f b b =， 即：
()2
1222422
b b b ?-?+=， 整理可得：2320b b -+=， 解方程有：2b =或1b =(舍去)， 综上可得2b =. 本题选择A 选项.
9．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高二月考）若函数2
1()2
f x x a x =+在区间[]3,4和[]2,1--上均为增函数,则实数a 的取值范围是( ) A ．[]4,6 B ．[]6,4--
C ．[]2,3
D ．[]3,2--
【答案】D 【解析】
2
1()2
f x x a x =
+, ()()()2
21122
f x x a x x a x f x -=-+-=+=,
()f x ∴为实数集上的偶函数，
因为在区间[]3,4和[]
2,1--上均为增函数， 所以()f x 在区间[]3,4递增和在[]1,2上递减，，
∴函数2
1()2
f x x a x =
+，0x >的对称轴[]2,3x a =-∈， 得[]3,2a ∈--，故选D.
10．（2020·四川成都外国语学校）函数5cos 2sin ,0,6y x x x π??
=-∈????
的最小值为（ ）
A ．2-
B ．0
C ．1
D ．3-
【答案】A 【解析】
函数2
213()cos2sin 12sin sin 2(sin )22
f x x x x x x =-=--=-++，
而50,
6x π??
∈????
，则0sin 1x ， 故当sin 1x =时，函数取得最小值为-2， 函数5cos 2sin ,0,6y x x x π??
=-∈????
的最小值为-2. 故选：A ．
11．（2020·北京顺义牛栏山一中高三月考）函数()(1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为1
4
-，最大值为2，则n m -的最大值为（ ）
A ．
52
B ．
522
+
C ．
32
D ．2
【答案】B 【解析】
当x≥0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=x 2﹣x=（x ﹣12）2﹣1144
≥-， 当x ＜0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=﹣x 2﹣x=﹣（x+12）2+1
4
，
作出函数f （x ）的图象如图：
当x≥0时，由f （x ）=x 2﹣x=2，解得x=2． 当x=
12时，f （12）=1
4
-． 当x ＜0时，由f （x ）=）=﹣x 2﹣x=1
4
-
．
即4x 2
+4x ﹣1=0，解得x=44248
--±=
?=4182-±-±=，
∴此时x=
12
-， ∵[m ，n]上的最小值为1
4
-
，最大值为2，
∴n=2，
11
22
m -≤≤，
∴n ﹣m 的最大值为2﹣122
--=5222+， 故选：B ．
12．（2019·湖南雁峰衡阳市八中（文））“函数2
()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”是
“4a ≤-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
若4a ≤-，则对称轴(1)32x a =-+≥>，所以()f x 在(,2]-∞上为单调递增，
取3a =-，则对称轴(1)2x a =-+=，()f x 在(,2]-∞上为单调递增，但4a >-，所以“()f x 在(,2]-∞上为单调递增”是“4a ≤- ”的必要不充分条件.
13．（2018·民勤县第一中学高一期中）下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②0y x =图象是一条直线；
③若函数2x
y =的定义域是{}|0x x ≤，则它的值域是{}|1y y ≤；④若函数1
y x
=
的定义域是{}|2x x >，则它的值域是1|2y y ??
<
????
；⑤若函数2y x 的值域是{}|04y y ≤≤，则它的定义域一定是
{}|22x x -≤≤．其中不正确命题的序号是 ．
【答案】②③④⑤ 【解析】
幂函数图象不过第四象限，①正确；0y x =图象是直线1y =上去掉点(0,1)，②错误；函数2x
y =的定义域
是{}|0x x ≤，则它的值域是{|01}y y <≤，③错误；函数1
y x
=
的定义域是{}|2x x >，则它的值域是1|02y y ?
?
<
，④错误；若函数2y x 的值域是{}|04y y ≤≤，则它的定义域也可能是{}|02x x ≤≤，
⑤错误，故填②③④⑤．
刷能力
1．（2020·首都师范大学附属中学高一月考）已知二次函数f （x ）＝x 2+bx +c ，若对任意的x 1，x 2∈[-1，1]，有|f （x 1）-f （x 2）|≤6，则b 的取值范围是（ ） A ．[]5,5- B ．[]4,4-
C ．[]3,3-
D ．[]22-,
【答案】C 【解析】
∵二次函数f （x ）＝x 2
+bx +c ＝2
2b x ??+ ??
?+c ﹣24b ，对称轴x ＝﹣2b ，
①﹣
2
b
＜﹣1即b ＞2时，函数f （x ）在[﹣1，1]递增， f （x ）min ＝f （﹣1）＝1﹣b +c ，f （x ）max ＝f （1）＝1+b +c ，
故f （﹣1）﹣f （1）＝﹣2b ，|f （1）﹣f （﹣1）|＝|2b |≤6得23b <≤ ，
②﹣
2
b
＞1时，即b ＜﹣2时，|f （1）﹣f （﹣1）|＝|2b |≤6得32b -≤<-， ③当﹣1≤﹣2b ≤1，即﹣2≤b ≤2时，函数f （x ）在[﹣1，-2b ]递减，函数f （x ）在[﹣2
b
，1]递增，
∴|f （1）﹣f （﹣2b ）|≤6，且|f （﹣1）﹣f （﹣2
b
）|≤6，
即|24b +b +1|≤6，且|2
4
b ﹣b +1|≤6，解得：﹣3≤b ≤3，又﹣2≤b ≤2， 故b 的取值范围是[]3,3- 故选C ．
2．（2019·贵州毕节高一期末）已知函数()2
23f x x mx =--，若对于[]()1,2,2x f x m ∈<-恒成立，则
实数m 的取值范围为（ ） A ．1,3??-+∞ ???
B ．1,3??-+∞????
C ．14,3??-- ???
D ．14,3
??--???
?
【答案】A
【解析】
[]1,2x ∈，()2f x m <-恒成立，
等价于[]
1,2x ∈，()20f x m -+<恒成立.
令2
()()225g x f x m x mx m =-+=-+-，对称轴为x m =.
即等价于[]
1,2x ∈，max ()0g x <即可. 当1m 时，
得到1(2)4450
m g m m ≤??=-+-
当12m <<时，
得到12
(2)4450(1)1250m g m m g m m <
=-+-
，解得：12m <<.
当2m ≥时， 得到2
(1)1250m g m m ≥??
=-+-
，解得：2m ≥.
综上所述：1
3
m >-. 故选：A
3．（2015·浙江慈溪高一期中）已知幂函数)(x f y =的图象过点)2
2
,21
(，则2log (2)f 的值为( ) A ．
21 B ．2
1
- C ．2 D ．2- 【答案】A ． 【解析】
试题分析：设幂函数为()a
f x x =，
由题意得，11
()222a a =?=，∴1
2221log (2)log 22
f ==，故选A ． 4．（2020·浙江嵊州高三三模）已知,a b ∈R ，设函数()2
f x x ax b =++，函数()2
g x x cx d =++，若函
数()()()()
y f g x g f x =-没有零点，则（ ） A ．a c =，且b d =
B ．a c ≠，且b d =
C ．a c =，且b d ≠
D ．a c ≠，且b d ≠
【答案】C 【解析】
若()()()()
y f g x g f x =-没有零点，即()()()()
f g x g f x =无解， 即()()f x g x x ==无解，
所以()()2
2
11x a x b x c x d +-+=+-+无解，
整理得()a c x d b -=-无解 所以,a c b d =≠. 故答案选：C.
5．（2018·浙江高三其他）已知()()2
0f x ax bx c a =++≠，其中b a c =+，若对任意的实数b ，c 都有不
等式(
)()22
2f b c
f bc ≥+成立，则方程()0f x =的根的可能性为（ ）
A ．有一个实数根
B ．两个不相等的实数根
C ．至少一个负实数根
D ．没有正实数
根 【答案】C 【解析】
因为()()22
2440b ac a c ac a c ?==+-=-≥-， 所以()0f x =至少有一个根①，
因为对任意的实数b ，c 都有不等式(
)()22
2f b c
f bc ≥+成立，2
22b
c bc +≥恒成立，
所以()()2
0f x ax bx c a =++≠在区间,2b a ??
-
+∞ ???
上单调递增，所以0a >． 若0b =，由b a c =+得c a =-，
此时()2
0f x ax a =-=有一个负根和一个正根；
若0b >，则02b
x a
=-
<， 结合①可知()0f x =至少有一个负根； 若0b <，由0a >，b a c =+，得0c <，
则()0f x =有一个负根和一个正根， 故选：C ．
6．（2019·河北莲池保定一中高三月考）已知函数2
()220182019f x ax x =--，对任意t R ∈在区间
[]1,1t t -+存在两个实数1
2
,x x
，使 12()()1f x f x -≥成立，则a 的取值范围是( )
A ．11
[,]22
- B ．[1,1]-
C ．(]{}[),101,-∞-+∞
D ．{}11,0,22
????-∞-??+∞ ????
???
【答案】D 【解析】
存在两个实数1x ，2x ，使()()()()12max min 11f x f x f x f x -≥?-≥，()2
220182019f x ax x =--与
22y ax =的图象完全“全等”，即可以通过平移完全重合.
因为11t x t -≤≤+且t R ∈，即用一个区间宽度为2的任意区间去截取函数图象，使得图象的最高点与最低点间的纵坐标之差大于1，
因此取纵坐标之差最小的状态为()()2
211f x ax
x =-≤≤，
当0a >时，此时()()max min 201f x f x a -=-≥，故12a ≥； 当0a =时，显然符合；
当0a <时，此时()()max min 021f x f x a -=-≥，故12
a ≤-， 故选：D
7．（2020·湖北武昌高一期末）已知函数2
()()f x ax bx c a b c =-+<<有两个零点1-和m ，若存在实数0x ，
使得()00f x >，则实数m 的值可能是（ ） A ．02x - B ．01
2
x -
C ．032
x +
D ．03x +
【答案】C 【解析】
1-是2()()f x ax bx c a b c =-+<<的一个零点，所以0a b c ++=，
又
,0,0a b c a c <<∴<>，由,0a b a <<可得
1b a
<，由02a b c a b b a b =++>++=+可得1
2b a >-，函数
图像是开口向下的抛物线，对称轴为2b x a
=-，则11224b a -<-<
画出大致图像，如图：
1-到对称轴的距离为151,224b d a ??=-+∈ ???，则5
121,2m d ??
+=∈ ???
，
又05022m x d <-<<
，∴005,2m x x ?
?∈+ ??
?，
综上所述，函数的另一个零点可能是03
2
x + 故选：C
8．（2017·浙江高二学业考试）已知函数()()2
,f x x ax b a b R =++∈，记集合(){}
|0A x R f x =∈≤，
()(){}
|10B x R f f x =∈+≤，若A B =≠?，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[]4,4-
B ．[]22-,
C ．[]2,0-
D ．[]0,4
【答案】B 【解析】
A ≠?∴可设(){}{}1212|0=|,A x R f x x R x x x x x =∈≤∈≤≤≤，则12,x x 为方程()20f x x ax b =++=的两个根，
()(){}
(){}(){}1212|10|1|11B x R f f x x R x f x x x R x f x x =∈+≤=∈≤+≤=∈-≤≤-
因为A B =，所以()2110,1x x f x -=-≤恒成立， 因此21221,
x x x b x b ==∴=
由()11x f x -≤恒成立得22
01,1x ax b x ax b ++++≤≥-恒成立，
即24022a a ?=-≤∴-≤≤ 故选：B
9．（2019·浙江舟山高二期末）已知函数2
()f x x ax b =++，,m n 满足m n <且()f m n m =-，
()f n m n =-，则当m x n <<时，有（ ）
A ．()f x x n +<
B ．()f x x m +>
C ．()0f x x -<
D ．()0f x x ->
【答案】A 【解析】
设(,)(,)A m n m B n m n --，，则直线AB 的方程为2y x m n =-++，即A,B 为直线2y x m n =-++与()f x 的图像的两个交点，由于()f x 图像开口向上，所以当m x n <<时，()2f x x m n <-++，即
()f x x x m n n +<-++<，故选A.
10．（2019·上海外国语大学附属大境中学高一期末）已知二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＞0)，f (m )＜0，则f (m ＋1)的值为( ) A ．正数 B ．负数
C ．0
D ．符号与a 有关
【答案】A 【解析】
函数2
y x x =+在x 轴以下的部分时，
10x -<<，总区间只有1的跨度，
又
0a >，()f x ∴图象由函数2y x x =+的图象向上平移，
∴小于零的区间长会小于1，
又
()0f m <，
1m ∴+一定跨出了小于零的区间， ()1f m ∴+一定是正数，故选A.
11．（2018·浙江湖州高一期中）已知1是函数f （x ）=ax 2+bx+c （a ＞b ＞c ）的一个零点，若存在实数x 0．使得f （x 0）＜0．则f （x ）的另一个零点可能是（ ） A ．0x 3- B ．01
x 2
-
C ．03x 2
+
D ．0x 2+
【答案】B 【解析】
∵1是函数f （x ）=ax 2+bx+c 的一个零点， ∴a+b+c=0，
∵a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0，且|a|＞|b|，得11b a
-<
< 函数f （x ）=ax 2+bx+c 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为2b x a
=- 所以11222
b a -
<-< 画出函数大致图象如图：
当1
022
b a ≤-
<时，函数的另一零点x 1∈[-1，0），x 0∈（-1，1） 则x 0-3∈（-4，-2），0111,222x ??-
∈- ??? ，0315,222x ??
+∈ ???
，()021,3x +∈ 当1022b
a -<-<时，函数的另一零点x 1∈（-2，-1），x 0∈（-2，1）
则x 0-3∈（-5，-2），0151,222x ??-
∈- ??? ，0315,222x ??
+∈- ???
，()020,3x +∈ 综上可知f （x ）的另一个零点可能是01
x 2
- 所以选B
12．（2012·浙江高三竞赛）()2
f x x bx c =++，若方程()f x x =无实根，则方程()()f f x x =（ ）
A ．有四个相异实根
B ．有两个相异实根
C ．有一个实根
D ．无实数根
【答案】D 【解析】
因为抛物线2
()f x x bx c =++开口向上，
由方程()f x x =无实数根可知，抛物线2
()f x x bx c =++必在直线y x =上方，
即对任意的x ∈R ，()(())()f x x f f x f x x >?>>， 所以方程(())f f x x =没有实根，故选D.
刷真题
1．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设函数f (x )=x 3－3
1
x ，则f (x ) A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增
D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【解析】因为函数()3
31
f x x x
=-
定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数．
又因为函数3
y x =在0,
上单调递增，在
,0上单调递增， 而3
31y x x
-=
=在0,上单调递减，在
,0上单调递减，
所以函数()3
3
1
f x x x =-在0,上单调递增，在
,0上单调递增．
故选：A ．
【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若2x ?2y <3?x ?3?y ，则
A ．ln(y ?x +1)>0
B ．ln(y ?x +1)<0
C ．ln|x ?y |>0
D ．ln|x ?y |<0
【答案】A
【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-， 令()23t
t
f t -=-，
2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，
x y ∴<，
0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；
x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 3．【2020年高考天津】设0.7
0.8
0.71
3,(),log 0.83
a b c -===，则,,a b c 的大小关系为
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
【答案】D
【解析】因为0.731a =>，
0.8
0.80.71333b a -??==>= ???
，
0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，
所以1c a b <<<. 故选：D.
4．【2020年高考浙江】已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0，则 A ．a <0 B ．a >0
C ．b <0
D ．b >0
【答案】C
【解析】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的
零点
为123,,2x a x b x a b ===+ 当0a >时，则23x x <，1>0x ，
要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <， 即=-b a ，且0b <，所以0b <；
当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <. 综上一定有0b <. 故选：C
【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题. 5．【2020年高考江苏】已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()2
3 f x x =，则()8f -的值是▲ ．
【答案】4-
【解析】2
3(8)84f ==，
因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-
课时跟踪检测（十二） 二次函数与幂函数 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．函数y ＝x 的图象是( ) 解析：选B 由幂函数y ＝x α，若0＜α＜1，在第一象限内过(1,1)，排除A 、D ， 又其图象上凸，则排除C ，故选B. 2．(2018·丽水调研)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ∈R)，对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )成立，在函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的一个不可能是( ) A ．f (－1) B ．f (1) C ．f (2) D ．f (5) 解析：选B 由f (2＋t )＝f (2－t )知函数y ＝f (x )的图象对称轴为x ＝2. 当a >0时，易知f (5)＝f (－1)>f (1)>f (2)； 当a <0时，f (5)＝f (－1) ∴函数f (x )的单调递增区间是(－∞，0)． 4．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈ [a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为____________． 解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈????－9 4，－2，故当m ∈????－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2 －5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点． 答案：??? ?－9 4，－2 5．若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________. 解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＋t ＝－(x －2)2＋t ＋4图象的顶点在x 轴上， 所以f (2)＝t ＋4＝0，所以t ＝－4. 答案：－4 二保高考，全练题型做到高考达标 1．已知f (x )＝x ，若00，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( ) 幂函数与二次函数基础梳理 1．幂函数的定义 一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数． 2．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3 ，y ＝x 12， y ＝x －1的图象分别如右图． 3.二次函数的图象和性质 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 ???? ??4ac －b 24a ，＋∞ ? ????－∞，4ac －b 24a 单调性 在x ∈??????－b 2a ，＋∞上单调递增 在x ∈? ????－∞，－b 2a 上单调递减 在x ∈? ????－∞，－b 2a 上单调递增 在x ∈??????－b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数 顶点 ? ????－b 2a ，4ac －b 24a 对称性 图象关于直线x ＝－b 2a 成轴对称图形 5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) (2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0) (3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 函数y ＝f (x )对称轴的判断方法 (1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 2 2对称． (2)一般地，函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)． 练习检测 1．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3. 答案 A 2.如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )． A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－12 答案 B 3．(2011·浙江)设函数f (x )＝? ???? －x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (α)＝4，则实数α等于( )． A ．－4或－2 B ．－4或2 C ．－2或4 D ．－2或2 解析 由????? α≤0，－α＝4或? ???? α＞0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B. 答案 B 4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )． A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增， 第6讲 幂函数与二次函数 一、选择题 1．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点? ? ???4，12，则f (2)＝( ) A.1 4 B ．4 C.22 D. 2 解析 设f (x )＝x α，因为图像过点? ????4， 12，代入解析式得：α＝－1 2 ，∴f (2)＝2－12＝2 2. 答案 C 2．若函数f (x )是幂函数，且满足 f 4f 2＝3，则f (1 2 )的值为( ) A ．－3 B ．－1 3 C ．3 D.1 3 解析 设f (x )＝x α，则由 f 4f 2＝3，得4α 2 α＝3. ∴2α＝3，∴f (12)＝(12)α＝12α＝1 3. 答案 D 3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为 ( )． A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3] D ．(1,3) 解析 f (a )＝g (b )?e a －1＝－b 2＋4b －3?e a ＝－b 2＋4b －2成立，故－b 2＋4b －2>0，解得2－20， x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 f (a )＋f (1)＝0?f (a )＋2＝0???? a >0，2a ＋2＝0或??? a ≤0，a ＋1＋2＝0，解得a ＝ －3. 答案 A 5 .函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－ b 2a 对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )． A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64} 解析 设关于f (x )的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0有两根，即f (x )＝t 1或f (x )＝t 2. 而f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象关于x ＝－ b 2a 对称，因而f (x )＝t 1或f (x )＝t 2的两根也关于x ＝－b 2a 对称．而选项D 中4＋162≠1＋642 . 答案 D 6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是 ( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析 由题意得f (0)＝c ≥1，f (1)＝a ＋b ＋c ≥1.当a 越大，y ＝f (x )的开口越小，当a 越小，y ＝f (x )的开口越大，而y ＝f (x )的开口最大时，y ＝f (x )过(0,1)，(1,1)，则c ＝1，a ＋b ＋c ＝1.a ＋b ＝0，a ＝－b ，－b 2a ＝1 2，又b 2－4ac >0，a (a －4)>0， §2.6 一次函数、二次函数与幂函数 (时间：45分钟 满分：100分) 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．若函数y ＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a 等于 ( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 2．“a <0”是“方程ax 2＋1＝0有一个负数根”的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分必要条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( ) 4.幂函数y ＝f (x )的图象过点??? ?4，1 2，那么f (8)的值为 ( ) A ．2 6 B ．64 C. 2 4 D.164 5．已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)·2 7325 t t x +-(t ∈N)是偶函数，则实数t 的值为( ) A ．0 B ．－1或1 C ．1 D ．0或1 二、填空题(每小题6分，共24分) 6．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α，β，且α>0，1<β<2，则实数m 的取值范围是 . 7．对于函数y ＝x 2 ，y ＝12 x 有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内 都单调递增；③它们的图象关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图象都是抛物线型． 其中正确的有__________． 8．已知函数f (x )＝ ax ＋b x －b ，其图象关于点(－3,2)对称，则f (2)的值是________． 9．设二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a 的值为________． 学校：年级：教学课题：二次函数与幂函数学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 教学目标专题复习二次函数和幂函数的图像与性质 教学内容 一. 【复习目标】 1.准确理解函数的有关概念. 2.体会数形结合及函数与方程的数学思想方法. 一、幂函数 (1)幂函数的定义 形如 (α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数 (2)幂函数的图象 函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x 1 2 y＝x－1 定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0} 值域R [0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 单调性增x∈[0，＋∞)时，增，x ∈(－∞，0]时，减 增增 x∈(－∞，0)时， 减 定点(0,0)，(1,1) (1,1) 例1.下列函数中是幂函数的是（ ） A ．y ＝2x 2 B ．y ＝1x 2 C ．y ＝x 2＋x D ．y ＝－1 x 例2. (2011·陕西高考)函数y ＝ 13 x 的图象是( ) 例3.幂函数y ＝x m 2－2m －3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且当x ＞0时，函数是减函数，则m 的值为( )． A ．－1＜m ＜3 B ．0 C ．1 D ．2 练习：已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点? ? ? ??－2，12在幂函数y ＝g (x )的图象上，若f (x ) ＝g (x )，则x ＝________. 已知点M ? ?? ?? 33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝x 2 B ．f (x )＝x －2 C ．f (x )＝x 1 2 x D ．f (x )＝ 12 x - 设α ∈?????? ????－1，1，1 2，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 （ ） A ．1,3 B ．－1,1 C ．－1,3 D ．－1,1,3 对于函数y ＝x 2 ，y ＝x 1 2 有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图象都是抛物线型． 其中正确的有________． 二、二次函数 1、二次函数的三种形式【1】 幂函数与二次函数专题 [最新考纲] 1．了解幂函数的概念． 2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2 ，y ＝x 3 ，y ＝1 x ，y ＝ 的图象，了解它们的变化情况． 3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 知 识 梳 理 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质 函数 特征 性质 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 1 2 y ＝x －1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ∈R ，且 x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R ，且 y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (－∞，0] 减，[0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)减，(0，＋∞)减 定点 (0,0)，(1,1) (1,1) 2.二次函数 (1)二次函数的定义 形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，(m ，n )为顶点坐标； ③两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)其中x 1，x 2分别是f (x )＝0的两实根． (3)二次函数的图象和性质 函数 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0) 图象 a >0 a <0 定义域 R R 值域 y ∈?? ?? ?? 4ac －b 2 4a ，＋∞ y ∈? ? ???－∞，4ac －b 2 4a 对称轴 x ＝－b 2a 顶点 坐标 ? ????－b 2a ，4ac －b 2 4a 奇偶性 b ＝0?y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数 递增 区间 ? ?? ?? －b 2a ，＋∞ ? ? ???－∞，－b 2a 递减 区间 ? ? ???－∞，－b 2a ? ???? －b 2a ，＋∞ 最值 当x ＝－b 2a 时，y 有最小值y min ＝4ac －b 24a 当x ＝－ b 2a 时，y 有最大值y max ＝4ac －b 2 4a 【知识要点】 一、在现实生活中有许多问题，往往隐含着量与量之间的关系，可通过建立变量之间的函数关系和对所得函数的研究，使问题得到解决. 数学模型方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法；数学模型则是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述. 数学模型来源于实际，它是对实际问题抽象概括加以数学描述后的产物，它又要回到实际中去检验，因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方法的前提. 二、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化现象需要用不同的函数模型来描述，数学应用题的建模过程就是信息的获取、存储、处理、综合、输出的过程，熟悉一些基本的数学模型，有助于提高我们解决实际问题的能力. 三、一次函数、二次函数和幂函数的图像和性质 1、一次函数的一般形式为,y kx b =+当0k >时，函数单调递增，当0k <时，函数单调递减，当0k =时，函数是常数函数. 2、二次函数的一般形式是2 (0)y ax bx c a =++≠，当0a >时，函数的图像抛物线开口向上，顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，函数在(,)2b a -∞-单调递减，在(,)2b a -+∞单调递增.当2b x a =-时，函数有最小值244ac b a -.当0a <时，函数的图像抛物线开口向下，顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，函数在(,)2b a -∞-单调递增，在(,)2b a -+∞单调递减.当2b x a =-时，函数有最大值244ac b a -. 3、 幂函数的一般形式为(,a y x a R a x =∈是常数，是自变量），其特征是以幂的底为自变量，指数为常数，其定义域随着常数a 取值的不同而不同. 所有幂函数都在(0,)+∞有定义，并且图像都过点（1， 1）；0,a >幂函数在(0,)+∞是增函数，0a <，幂函数在(0,)+∞是减函数. 四、解决实际问题的解题过程 二次函数与幂函数 1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞) 值域 ? ? ? ? 4ac－b2 4a，＋∞? ? ? ? －∞， 4ac－b2 4a 单调性 在x∈? ? ? ? －∞，－ b 2a上单调递减； 在x∈? ? ? ? － b 2a，＋∞上单调递增 在x∈? ? ? ? －∞，－ b 2a上单调递增； 在x∈? ? ? ? － b 2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x＝－ b 2a对称 2. (1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较 (3)幂函数的性质比较 函数 特征 性质 y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数 单调性增 x∈[0，＋∞)时，增； x∈(－∞，0]时，减 增增 x∈(0，＋∞) 时，减； x∈(－∞，0)时，减判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是 4ac－b2 4a.(×) (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×) (3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．(×) (4)当n>0时，幂函数y＝x n是定义域上的增函数．(×) (5)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝± 2 2.(×) (6)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2.(×) 1．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为() C．1 D．－1 答案D 解析因为b>0，故对称轴不可能为y轴，由给出的图可知对称轴在y轴右侧，故a<0，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点，故a2－1＝0，a＝±1，又a<0，所以a＝－1，故选D. 2．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为 ________． 答案[1,2] 二次函数与幂函数 1．五种常见幂函数的图象与性质 R R R{x|x≥0}{x|x≠0} (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 3．二次函数的图象和性质 x∈R 1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则函数的解析式为________________． 答案：f (x )＝x 12 (x ≥0) 2．函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是________． 解析：函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝3 2>1， ∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在x ∈[－1,1]上为单调递减函数， ∴y min ＝2－6＋3＝－1. 答案：－1 1．对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况． 2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． [小题纠偏] 1．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.????0，1 20 B.????－∞，－1 20 C.??? ?1 20，＋∞ D.??? ?－1 20，0 解析：选C 由题意知????? a >0，Δ<0，即????? a >0，1－20a <0， 解得a >1 20. 2．给出下列命题： ①函数y ＝2x 是幂函数； ②如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点； ③当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数； ④二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[m ，n ]的最值一定是 4ac －b 2 4a . 其中正确的是________． 答案：② 二次函数与幂函数 自我检测： 1．若f (x )既是幂函数又是二次函数，则f (x )可以是( ) A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝5x 2 C ．f (x )＝－x 2 D ．f (x )＝x 2 2．(教材习题改编)设α∈? ?????－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( ) A ．1,3 B ．－1,1 C ．－1,3 D ．－1,1,3 3．(教材习题改编)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.? ????0，120 B.? ????－∞，－120 C.? ????120，＋∞ D.? ?? ??－120，0 4．(教材习题改编)已知点M ? ????33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为________． 5．如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的 最小值为________． [例1] 已知幂函数m ＝________. 练习1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是( ) A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1 B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1 C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1 D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12 ，③y ＝x 2，④y ＝x －1 (2)(2013·淄博模拟)若a <0，则下列不等式成立的是( ) A ．2a >? ????12a >(0.2)a B ．(0.2)a >? ????12a >2a C.? ????12a >(0.2)a >2a D ．2a >(0.2)a >? ?? ??12a 例2．设f (x )y ＝f (x )的图象是 幂函数与二次函数专题练习 一、选择题 1.(2020·郑州外国语学校期中)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为() A.1，3 B.－1，1 C.－1，3 D.－1，1，3 解析因为函数y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y＝x－1的值域为{y|y≠0}，函数y＝x，y＝x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1，3.答案 A 2.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则() A.a>0，4a＋b＝0 B.a<0，4a＋b＝0 C.a>0，2a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝0 解析因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即a>0，且其对称轴为 x＝2，即－b 2a ＝2，所以4a＋b＝0. 答案 A 3.在同一坐标系内，函数y＝x a(a≠0)和y＝ax＋1 a的图象可能是() 解析若a<0，由y＝x a的图象知排除C，D选项，由y＝ax＋1 a 的图象知应选 B；若a>0，y＝x a的图象知排除A，B选项，但y＝ax＋1 a 的图象均不适合，综 上选B. 答案 B 4.若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A.－1 B.1 C.2 D.－2 解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得， ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ， ∴?????－a ≥4－3a ，－a ＝1或?????－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 答案 B 5.若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6) 解析 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ， 令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1，4)， 所以f (x ) 教 学 内 容 二次函数与幂函数 1． 二次函数的定义与解析式 (1)二次函数的定义 形如：f (x )＝ax 2＋bx ＋c _(a ≠0)的函数叫作二次函数． (2)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c _(a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)_(a ≠0)． 2． 二次函数的图像和性质 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图像 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 ????4ac －b 2 4a ，＋∞ ? ???－∞，4ac －b 2 4a 单调性 在x ∈????－∞，－b 2a 上单调递减； 在x ∈??? ?－b 2a ，＋∞上单调递增 在x ∈????－∞，－b 2a 上单调递增； 在x ∈??? ?－b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数 顶点 ????－b 2a ，4ac －b 2 4a 对称性 图像关于直线x ＝－b 2a 成轴对称图形 3. 幂函数 形如y ＝x α (α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 4． 幂函数的图像及性质 (1)幂函数的图像比较 (2)幂函数的性质比较 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 1 2 y ＝x － 1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ∈R 且x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R 且y ≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函 数 奇函数 单调性 增 x ∈[0，＋∞) 时，增；x ∈(－∞，0]时，减 增 增 x ∈(0，＋∞) 时，减；x ∈(－∞，0)时，减 [难点正本 疑点清源] 1． 二次函数的三种形式 (1)已知三个点的坐标时，宜用一般式． (2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式． (3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便． 2． 幂函数的图像 (1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x 轴，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图像越远离x 轴． (2)函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 1 2，y ＝x －1可作为研究和学习幂函数图像和性质的代表． 二次函数与幂函数 【考纲要求】 1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。 2.幂函数 (1)了解幂函数的概念． (2)结合函数1(1,2,3,1,)2 y x α α==-的图象，了解它们的图象的变化情况． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、初中学过的函数 （一）函数的图象与性质 1.过原点的直线的方程,图象,性质； 2.函数的最高次项的系数能否为零。 （二）二次函数的最值 1.二次函数有以下三种解析式： 一般式：2 y ax bx c =++（0≠a ）， 顶点式：2 ()y a x h k =-+（0≠a ），其中顶点为(,)h k ，对称轴为直线x h =， 基 本 初 等 函 数 图象与性质 一次函数 二次函数 幂函数 常数函数 零点式：12()()y a x x x x =--（0≠a ），其中21,x x 是方程02 =++c bx ax 的根 2. 二次函数2y ax bx c =++（0a >）在区间[,]p q 上的最值： 二次函数2y ax bx c =++（0a >）在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令 01 ()2 x p q = + . （1） （2） （3） （4） （1）若2b p a - <，则min ()()f x f p m ==，max ()()f x f q M ==； （2）若02b p x a ≤-<，则min ()()2b f x f m a =-=，max ()()f x f q M ==； （3）若02b x q a ≤-<，则min ()()2b f x f m a =-=，max ()()f x f p M ==； （4）若2b q a ≤-，则min ()()f x f q m ==，max ()()f x f p M ==. 要点诠释： 1．二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值； 2. 求二次函数的最值一般要数形结合。 考点二、幂的运算 m n a = ，1n n a a -= ，m n m n a a -11 =(,1)m n N n +∈>、 ； (2) (,1)n a n N n =∈> ， (1,a n n =>为奇数） ， (0)((0)a a a n a a ≥?=?- 第4节幂函数与二次函数【考试要求】 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝1 x ，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变 化规律，了解幂函数；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 【教学重点】幂函数的概念，三个二次的关系 【教学难点】幂函数性质，三个二次的转换 【教学方法】知识梳理、典例启发讲练 【教学手段】多媒体辅助教学 【教学过程】 【知识梳理】 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数， 其中x是自变量，α为常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 ???? ??4ac －b 24a ，＋∞ ? ? ???－∞，4ac －b 24a 对称轴 x ＝－ b 2a 顶点 坐标 ? ???? －b 2a ，4ac －b 24a 奇偶性 当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数 单调性 在? ? ???－∞，－b 2a 上是减函数； 在???? ?? －b 2a ，＋∞上是增函数 在? ? ???－∞，－b 2a 上是增函数； 在???? ?? －b 2a ，＋∞上是减函数 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，则当???a >0，Δ<0时恒有f (x )>0；当???a <0， Δ<0 时，恒有f (x )<0. 3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 【诊 断 自 测】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x 1 3是幂函数.( ) (2)当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数.( ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 2 4a .( ) 1 ●高考明方向 1.了解幂函数的概念． 2.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x ，y ＝x 12 的图象， 了解它们的变化情况． 3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. ★备考知考情 1.幂函数、二次函数的图象与性质的应用是高考命题的 热点． 2.常与一元二次不等式、一元二次方程等知识交汇命题， 考查数形结合思想． 3.题型主要以选择题、填空题为主，另外在解答题中 常与导数的应用综合，属中高档题. 一、知识梳理《名师一号》P21 注意： 知识点一 幂函数 1.定义：形如y ＝x α(α∈R)的函数叫幂函数， 其中x 是自变量，α是常数． 注意：关注定义！ ．幂函数的性质 2 结合定义域及奇偶性分析 《名师一号》P22 问题探究问题1 幂函数图象有什么特点？ (1)幂函数的图象一定会经过第一象限， 2 3 一定不会经过第四象限， 是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性； (2)幂函数的图象最多只能经过两个象限； (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，那么交点一定是原点． 特例： 1 1,2,3,,12 α=-的幂函数的图象和性质 图象： 性质： 一般地，对于幂函数y x α=，有如下性质： (1) 当 0α>时， ① 图象都通过点(0,0),(1,1)； 3=y x 2=y x y x = 1 x -12 x = 4 ② 在[0,)+∞上是增函数， 1α>时曲线下凹； 01α<<时曲线上凸. (2) 当0α<时， ① 图象都通过点(1,1)； ② 在(0,)+∞上是减函数； ③ 在第一象限内，图象向上与y 轴无限接近， 向右与x 轴无限接近. 注意： 幂函数在其他象限的图象可由幂函数的性质 及奇偶性作出。 作出下列函数的图象 （1）4y x = （2）5 y x = （3）14 y x = （4）1 y x -= （5）23 y x - = 练习: 作出下列函数的图象 （1）13 y x = （2）23 y x = 10一 3 < . 1 1-若不等式or+l> 0恒成立的荒分条件是0 Vx<—,则实数。的取俏范国是 3 【考点】必要条件.充分条件与充要条件的判断；二次函数的性质. 【分析】不等式x 2 -ax+\> 0恒成立的充分条件是0 <兀<2，令fM = x 2-ax + \ , 则函数/(兀)在(0,丄)上恒大于0, V /(x)的图像恒过(0,1)点,???只需/( - ) >0, 2. 设/(x)是定义在R 上周期为2的偶函数，已知xW[2, 3]R't, f (x) =x~2x. (1) 求 1, 1]lit/ (x)的解析式; (2) 若f (x)=加兀在区间[2k-1, 2H1](胆NJ 上有两解,求加的取值范围. 【考点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质. 【解】(1)设 00W1,有 x+2e[2, 3], [2, 3]时，f (x) =x 2 ~2x ?.*./ (x) =f (x+2) =(x4-2)2 —2 (x+2), /./ (x) =/+2x, xW[0, 1], V/ (x)是偶函数, ?丁(一兀)=/(x),???当 xe[-l, 0]时,-xe[0, 1], ? ?f (x) =f (—x) =(-x)2 +2 (—x) =x 2 —2x, xW[—1, 0], x 2 -2X ,XG [-1,0] x 2 +2x,兀 e El (2)根据函数图像：f (x)=呛在区间[2—1, 2R+1] (JteN*)上有两解, ???过(3, 过(5, -1),祥弓 Am 的取值范围为一￡). 推广可得：〃的取值范围为[-右 第2题图CQN31 3. 定义在D 上的函数f (x),如果满足：对任意 xCZ), 存在常数M>0,都冇 If G) \^M 成立，贝IJ 称八Q 是D 上的有界函数,其中M 称为函数/(X )的上界.已知函 数 y (x )=i+6/-(-)x +(-)\ 2 4 课时作业7 二次函数与幂函数 一、选择题 1．幂函数y ＝f (x )经过点(3,3),则f (x )是( D ) A ．偶函数,且在(0,＋∞)上是增函数 B ．偶函数,且在(0,＋∞)上是减函数 C ．奇函数,且在(0,＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数,且在(0,＋∞)上是增函数 解析:设幂函数的解析式为y ＝x α ,将(3,3)代入解析式得3α ＝3,解得α＝1 2,∴y ＝x 12 ,其是非奇非偶函数,且在(0,＋∞)上是 增函数． 2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3,当x ∈[－2,＋∞)时,f (x )是增函数,当x ∈(－∞,－2]时,f (x )是减函数,则f (1)的值为( B ) A ．－3 B ．13 C ．7 D ．5 解析:函数f (x )＝2x 2 －mx ＋3图象的对称轴为x ＝m 4, 由函数f (x )的增减区间可知m 4＝－2, 所以m ＝－8,即f (x )＝2x 2＋8x ＋3, 所以f (1)＝2＋8＋3＝13. 3．(宁夏银川一中模拟)已知点(m,8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n 的图象上,设a ＝ f ? ????33,b ＝f (lnπ),c ＝f ? ?? ?? 22,则a ,b ,c 的大小关系为( A ) A ．a ????? m ＝2，n ＝3， ∴f (x )＝x 3,且f (x )在(－∞,＋∞)上单调递增, 又33<2 2<1 第4节 幂函数与二次函数 课标要求 1.掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间． 2．了解幂函数的概念． 3．结合函数y ＝x ，y ＝x 2 ，y ＝x 3 ，y ＝1 x ，y ＝x 1 2 的图象，了解它们的变化情况. 知识衍化体验 知识梳理 1．幂函数 一般地，形如_________的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．五个常用幂函数的图象与性质 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} (1)一般式：f (x )＝_________． (2)顶点式：f (x )＝_________． (3)零点式：f (x )＝_________． 4．二次函数的图象与性质 R R [1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关． 2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当a ＞0且△＜0时恒有f (x )＞0，当a ＜0且△＜0时恒有f (x )＜0． 基础自测 疑误辨析 1．判断下列结论的正误(在括号内打“√”或“×”)． (1)函数 y ＝2x 1 2 是幂函数．( ) (2) 当n ＞0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3) 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[m ，n ]的最值一定是 4ac －b 2 4a .( ) 教材衍化 2．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则函数的解析式为____________． 3．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[－1，2]上是单调函数，则实数k 的取值范围是__________． 考题体验 4．若a ＝2 － 32 ，b ＝????253 ，c ＝??? ?123，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c 5．若存在非零的实数a ，使得f (x )＝f (a －x )对定义域上任意的x 恒成立，则函数f (x )可能 是( ) A ．f (x )＝x 2－2x ＋1 B ．f (x )＝x 2－1 C ．f (x )＝2x D ．f (x )＝2x ＋1 6．已知幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·x m 2－6m ＋8 在(0，＋∞)上是增函数，则m 的值为________． 考点聚焦突破 考点一 幂函数的图象和性质 【例1】(1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )幂函数与二次函数
第6讲 幂函数与二次函数
2.6 一次函数、二次函数与幂函数
二次函数与幂函数专题复习
幂函数与二次函数专题
一次函数、二次函数和幂函数-含答案
二次函数与幂函数
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第4节幂函数与二次函数
幂函数与二次函数 知识点与题型归纳
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高中数学课时作业：二次函数与幂函数
第4节 幂函数与二次函数(轻巧夺冠)
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